第一章全部定理的几何的三种语言[上学期]--北师大版

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北师大版八年级数学上册知识点梳理

第一章三角形初步[定义与命题]定义：规定某一名称或术语的意义的句子。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。

正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。

基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。

定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。

注意：基本事实和定理一定是真命题。

[证明]在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。

[三角形]由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 [三角形按边分类]三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形[三角形按内角分类]三角形锐角三角形：三个内角都是锐角直角三角形：有一个内角是直角钝角三角形：有一个内角是钝角 [三角形的性质]三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三内角和等于180°。

三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。

[三角形的三种线]顶角的角平分线：三条，交于一点三角形的中线：三条，交于一点三角形的高线：三条，交于一点。

思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置[全等形]能够完全重合的两个图形叫做全等形. [全等三角形]能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. [全等三角形的性质]全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

还有其它推出来的性质：全等三角形的周长相等、面积相等。

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

[三角形全等的证明]边边边：三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章特殊平行四边形

初中数学知识框架(北师大版)

3、作图--三视图
第六章
反比例函数
反比例函数图像与性质
1、反比例函数的定义
2、反比例函数的图像与对称性
3、反比例函数的性质
4、系数k的几何意义
5、反比例函数图像上点的坐标特征
6、待定系数法求反比例函数解析式
7、反比例函数与一次函数交点问题
反比例函数的应用
反比例函数的应用
从统计图分析数据的几种趋势
3、扇形、条形、折线统计图及其选择
利用频率估计概率
等可能事件的概率
1、概率的意义、公式
2、几何概率
3、列表法与树状图法
八年级上册
第一章
勾股定理
探索勾股定理
勾股定理与证明
勾股定理逆定理
1、勾股定理逆定理
2、勾股数
勾股定理的应用
1、勾股定理的应用
2、平面展开--最短路劲问题
第二章
实数
无理数
无理数
平方根
1、平方根
2、算术平方根
3、非负数的性质
2、代数式
3、列代数式
4、代数式求值
整式
1、单项式与多项式
整式的加减
1、同类项与合并同类项
2、去口号与添括号
3、整式的加减与化简求值
探索与表达规律
数字的变化规律
第四章
基本平面图形
线段、射线、直线
1、线段、射线、直线
2、直线的性质：两点确定一条直线
比较线段的长短
1、线段的性质：两点之间线段最短
2、两点间的距离
2、二次函数的三种形式
二次函数的应用
1、二次函数的实际应用
二次函数与一元二次方程
1、抛物线与x轴的交点
2、图像法求一元二次方程的近似根

九年级数学北师大版课件共27页

AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）.
驶向胜利的彼岸
∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)
∴BC=
1 2
BD=12
AB(等式性质).
回顾反思 3
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中,
∴∠C=∠B=600.(等边对等角). B
C
∴∠A=600(三角形内角和定理).
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).
驶向胜利的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
′
要能使BD=BC/2即可,此时若 B
A
∠BCD=300就可以了.而由“
D
双垂直三角形”即可求得.
你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?
驶向胜利的彼岸
隋堂练习 3
三角形,认识我吗
2.已知:如图,点P,Q在BC上,且 BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.
由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.
驶向胜利的彼岸
能证明你的结论吗？
我能行 4
命题的证明
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等 A 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

北师大版初中数学定理知识点汇总

※处理问题的过程可以进一步概括为：
第三章证明（三）
※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
主视图：基本可认为从物体正面视得的图象
俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象
左视图：基本可认为从物体左面视得的图象
※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。
当b2-4ac<0时，方程无实数根。
※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：
① ② ③
④ ⑤
⑥ ⑦其他能用或表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

基本不等式(第二课时)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

9
∴ + = ( + )( + ) = +
+ 10 ≥ 2
⋅
+ 10 = 16,

9
=

=4
当且仅当
即
时，等号成立. ∴ +
= 12
1 9
+ =1

min
题型讲练
常数代换或消元法求最值
例题3：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是
随堂小测
1
1.已知x>0,则x+2的最小值为(
1
A.2
D)
2
B.1
C. 2
D. 2
4
9
2.已知正数x,y满足 + =1,则xy有( C )
A.最小值12
B.最大值12
C.最小值144
144
3.当且仅当x=
4. +

1
时,4x+(x>0)取得最小值.
4
的最小值等于

4
.
D.最大值
x
[答案] 4
4
4
4
[解析] ∵x>0，∴ >0，∴y＝x＋ ≥2 x· ＝4.
x
x
x
3．x，y∈R，x＋y＝5，则 3x＋3y 的最小值是________．
[答案]
18 3
[解析] 3 x>0,3y>0.∴3x＋3y≥2 3x·3y
5
＝2 3x＋y＝2·( 3)5＝18 3，当且仅当 x＝y＝时等号成立．
4

即x 3时，等号成立.

北师大版初中数学主要内容

七年级上册主要内容第一章丰富的图形世界1.生活中的立体图形（圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球都是几何体；图形是由点、线、面构成的，面与面相交得到线，线与线相交得到点，点动成线，线动成面，面动成体）2.展开与折叠（棱柱、棱、侧棱，棱柱的展开与折叠）3.截一个几何体（截面、截面的形状）4.从不同方向看（主视图、左视图、俯视图）5.生活中的平面图形（多边形，多边形的边数与能分割成的三角形个数之间的关系，弧、扇形）第二章有理数及其运算1.数怎么不够用了（负数，有理数，有理数的分类）2.数轴（数轴，相反数，数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大）3.绝对值（绝对值、负数的比较）4.有理数的加法（含负数的有理数加法法则，加法的交换律，加法的结合律）5.有理数的减法（减去一个数，等于加上这个数的相反数）6.有理数的加减混合运算（减法可以转化为加法）7.水位的变化（有理数及有理数大小比较的应用）8.有理数的乘法（有理数乘法法则，倒数；乘法的交换律，乘法的结合律，乘法对加法的分配律）9.有理数的除法（除法是乘法的逆运算）10.有理数的乘方（乘方的定义，幂，指数，底数）11.有理数的混合运算（先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号先算括号里面的）12.计算器的使用（认识并使用计算器）第三章字母表示数1.字母能表示什么（用字母表示数的运算律，一些图形的周长和面积，字母可以表示任何数）2.代数式（代数式的定义及表示意义）3.代数式求值4.合并同类项（系数、同类项的定义及如何合并同类项）5.去括号（去括号的法则及推导）6.探索规律（日历中的规律）第四章平面图形及其位置关系1.线段、射线、直线（线段、射线、直线的定义及表示方式；经过两点有且只有一条直线）2.比较线段的长短（两点之间的所有线段中，线段最短，两点之间的距离，比较线段的长短，中点）3.角的度量与表示（生活中的角，角的定义及表示，平角，周角）4.角的比较（角的比较，角的平分线，度、分、秒）5.平行（平行线的定义及表示方法，平行线的画法；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）6.垂直（垂直的定义、画法及表示方法，垂足，点到直线的距离；平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直）7.有趣的七巧板（东方魔板，动手制作一幅七巧板，并用它拼出不同的图案）第五章一元一次方程1.你今年几岁了（方程、方程的解、一元一次方程；等式的性质）2.解方程（移项，解一元一次方程的步骤）3.日历中的方程（根据日历中的规律，设未知数，列方程，并求出未知数）4.我变胖了（同样长的铁丝可以围成不同的形状）5.打折销售（用一元一次方程解决实际问题的一般步骤）6.“希望工程”义演（用一元一次方程解决实际问题）7.能追上小明吗（用一元一次方程解决追及问题）8.教育储蓄（用一元一次方程解决实际问题）第六章生活中的数据1.认识100万（感受一百万的大小）2.科学计数法（用科学计数法表示大数）3.扇形统计图4.你有信心吗（用扇形统计图表示实际问题）5.统计图的选择（条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，折线统计图能清楚地反应事物的变化情况，扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比）第七章可能性1.一定摸到红球吗（必然事件，不可能事件，确定的，不确定事件；不确定事件发生的可能性是有大小的）2.转盘游戏（转盘转动停止后，指针落到哪个区域的可能性大）3.谁转出的“四位数”大（转动四次转盘后，比较谁得到的“四位数”大）七年级下册主要内容第一章整式的运算1.整式（单项式、多项式、整式，单项式的次数，多项式的次数）2.整式的加减3.同底数幂的乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）4.幂的乘方与积的乘方（幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于各因数乘方的积）5.同底数幂的除法（同底数幂相除，底数不变，指数相减）6.整式的乘法（单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）7.平方差公式（平方差公式的发现与验证）8.完全平方公式（完全平方公式的发现与应用）9.整式的除法（单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加）第二章平行线与相交线1.余角与补角（同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等；对顶角相等）2.探索直线平行的条件（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）3.平行线的特征（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）4.用尺规作线段和角第三章生活中的数据1.认识百万分之一（感受百万分之一的大小，并用科学计数法表示）2.近似数和有效数字3.世界新生儿图（近似数的应用）第四章概率1.游戏公平吗（人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性；游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同）2.摸到红球的概率（必然事件发生的概率是1，不可能事件发生的概率为0，不确定事件发生的概率介于0和1之间）3.停留在黑砖上的概率第五章三角形1.认识三角形（三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180°，按三角形内角大小的分类，直角三角形的两个锐角互余；三角形的角平分线、中线和高线，三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点）2.图形的全等（全等图形的形状和大小都相同）3.全等三角形（全等三角形的对应边相等，对应角相等）4.探索三角形全等的条件（边边边，角边角，角角边，边角边）5.作三角形（尺规作图步骤）6.利用三角形全等测距离（利用全等三角形测不能直接测到的地方）7.探索直角三角形全等的条件（斜边、直角边，即HL）第六章变量之间的关系1.小车下滑的时间（变量、自变量、因变量）2.变化中的三角形（变量关系的应用）3.温度的变化（变量关系的应用）4.速度的变化（变量关系的应用）第七章生活中的轴对称1.轴对称现象（轴对称图形、对称轴）2.简单的轴对称图形（角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，垂直平分线，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴，等腰三角形的两个底角相等，等边三角形，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等）3.探索轴对称图形的性质（对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等）4.利用轴对称设计图案5.镜子改变了什么6.镶边与剪纸八年级上册主要内容第一章勾股定理1．探索勾股定理（勾股定理）2．能得到直角三角形吗（勾股定理逆定理）3．蚂蚁怎样走最近（剪开圆柱，求最短距离）第二章实数1.数怎么不够用了（无理数）2.平方根（算术平方根，开平方）3.立方根（立方根，开立方）4.公园有多宽（带根号数的比较）5.用计算器开平方6.实数（有理数和无理数统称为实数，数轴）第三章图形的平移与旋转1.生活中的平移（经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等）2.简单的平移作图3.生活中的旋转（旋转）4.简单的旋转作图5.它们是怎样变过来的（通过平移或旋转）6.简单的图案设计第四章四边形性质探索1.平行四边形的性质（平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等，平行四边形的对角线互相平分；平行线之间的距离）2.平行四边形的判别（两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形）3.菱形（性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形）4.矩形、正方形（矩形：矩形的对角线相等，四个角都是直角；对角线相等的平行四边形是矩形。

北师大版八年级数学上册第一章全部课件

总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图，其中点A表示小王所在位置，点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置.
弦勾
股图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个小方格，即A的面积是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程

北师大版八年级上册数学第一章

北师大版八年级上册数学第一章一、勾股定理的概念。

1. 定义。

- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c 满足3^2+4^2=c^2，即9 + 16=c^2，c^2=25，所以c = 5。

2. 勾股定理的历史。

- 古希腊数学家毕达哥拉斯也证明了这个定理，所以在国外也被称为毕达哥拉斯定理。

二、勾股定理的证明。

1. 赵爽弦图证明。

- 赵爽是中国古代数学家，他利用“弦图”对勾股定理进行了证明。

- 他把四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形。

- 大正方形的面积可以表示为c^2，也可以表示为(a + b)^2-4×(1)/(2)ab=a^2+2ab + b^2-2ab=a^2+b^2，从而证明了a^2+b^2=c^2。

2. 毕达哥拉斯证法（总统证法）- 用两个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）和一个以c为边长的正方形拼成一个以(a + b)为边长的大正方形。

- 大正方形的面积为(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，同时它又等于两个直角三角形的面积加上中间正方形的面积，即2×(1)/(2)ab + c^2=ab + c^2。

- 所以a^2+b^2=c^2。

三、勾股定理的应用。

1. 已知直角三角形的两边求第三边。

- 当已知直角三角形的两条直角边a和b时，斜边c=√(a^2)+b^{2}。

- 当已知直角三角形的一条直角边a和斜边c时，另一条直角边b=√(c^2)-a^{2}。

- 例如，已知直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，则另一条直角边b=√(13^2)-5^{2}=√(169 - 25)=√(144)=12。

2. 解决实际问题中的最短距离问题。

- 在立体图形中，求两点之间的最短距离往往需要将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求解。

北师大版初中几何知识点总结完整版

北师大版初中几何知识点总结完整版（一）平面与空间几何基础知识1.平面与空间的基本概念：平面、空间、点、线、面等。

2.直线与射线：直线的定义、射线的定义及表示法。

3.线段：线段的定义及表示法、线段的中点与等分。

4.角：角的定义、角的大小及度量、角的种类、角的平分线与角的三等分。

5.三角形：三角形的定义、三角形的分类、三角形的构造。

6.三角形的性质：内角和、外角和、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

7.三角形的中位线与高线：中位线的性质与定理、高线的性质与定理。

8.三角形的相似：相似三角形的定义、判定与性质、相似三角形的应用。

9.三角形的全等：全等三角形的定义、判定及性质、全等三角形的应用。

10.二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义及基本性质。

（二）平面图形的性质和运算1.平行、垂直与夹角：平行线的性质及判定、垂直线的性质及判定、夹角的性质与判定。

2.平行线的交线及其应用：平行线的交线性质、平行线的应用。

3.相交线与四边形：相交线的性质、四边形的性质及命名。

4.五边形、六边形与多边形：五边形、六边形的构造及性质、多边形的构造方法、多边形的性质。

5.平行四边形的性质：平行四边形的性质及判定、平行四边形的性质应用、碰撞问题。

6.面积的计算：平行四边形的面积、三角形的面积、多边形的面积、梯形的面积、圆的面积、运算测量。

7.相似与全等图形的应用：相似图形的面积比、全等图形的面积对应、变形学应用。

（三）平面立体图形与体积计算1.立体图形的组成：点、线、面、体的关系、平面图形的展开与折叠。

2.空间几何体的性质：三棱锥的性质、正四面体的性质、棱柱的性质、棱锥角的性质、棱台的性质。

3.空间几何体的计算：长方体的表面积和体积、正方体的表面积和体积、柱体的表面积和体积、圆柱体的表面积和体积、金字塔的体积、圆锥体的表面积和体积、球体的表面积和体积。

4.点、线、面、体的相互关系：空间几何体的轴面与投影。

北师大版初中数学定理知识点汇总七年(上下册)

侧面是曲面底面是圆面圆柱，:⎩⎨⎧侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:⎩⎨⎧侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数北师大版初中数学定理知识点汇总[七年级上册(北师大版)]第一章丰富的图形世界¤1.¤2.¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面） ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。

①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。

几何的表面有平面和曲面； ②面与面相交得到线； ③线与线相交得到点。

※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。

※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．．，所有侧棱长都相等。

¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。

¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。

¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。

¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。

※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n 边形成(n-2)个三角形；这个n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧．，弧是一条曲线。

◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。

¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。

有弧或不封闭图形都不是多边形。

第二章有理数及其运算※※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

北师大版高中数学必修一目录

必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。

北师大三上数学知识点

北师大三上数学知识点北师大三上数学课程涵盖了多个重要的数学知识点，包括高等数学、线性代数和概率统计等内容。

本文将为您介绍北师大三上数学课程的主要知识点。

一、高等数学高等数学是大学数学的基础课程，它包括了微积分和数学分析的内容。

在北师大三上的高等数学课程中，重点涉及以下几个知识点：1. 极限与连续极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的趋近性质。

极限的计算方法包括代数运算法、夹逼准则和无穷小量等。

连续是极限的一种特殊情况，它关注函数在某一点的无间断性。

2. 导数与微分导数是用来描述函数变化率的工具，它的计算方法包括基本导数公式、导数的四则运算和隐函数求导等。

微分是导数的一种几何意义，它用于近似计算和函数的局部性质分析。

3. 不定积分与定积分不定积分是导数的逆运算，它包含了原函数的概念。

定积分是用来计算曲线下面积和函数变化量的工具，其计算方法包括定积分定义、牛顿—莱布尼兹公式和变量代换等。

二、线性代数线性代数是数学的一个重要分支，它研究了向量空间和线性变换的理论。

在北师大三上的线性代数课程中，主要涉及以下几个知识点：1. 矩阵与向量矩阵是线性代数的基本工具，它用于描述线性方程组和线性变换。

向量是矩阵的一种特殊形式，它在几何和物理等领域具有重要应用。

2. 行列式与特征值行列式是矩阵的一个标量量，它用于判断矩阵的可逆性。

特征值是矩阵的一个特殊性质，它用于描述线性变换的不变性。

3. 线性空间与线性变换线性空间是向量空间的一种特殊情况，它满足特定的线性性质。

线性变换是一种保持向量空间结构的函数，它包括线性变换的表示、矩阵的相似性和正交变换等内容。

三、概率统计概率统计是数学的一个应用分支，它研究了随机现象的规律性和统计方法的推断性。

在北师大三上的概率统计课程中，重点关注以下几个知识点：1. 概率与随机变量概率是描述随机现象发生可能性的工具，它的计算方法包括古典概型和条件概率等。

随机变量是用来描述随机现象结果的变量，它包括离散随机变量和连续随机变量。

第一章全部定理的几何的三种语言[上学期]--北师大版

；
不敢违背,只能站在原地焦急の解释道："厄,我等当然不是想以下犯上,只是想劝阻七公子,毕竟出了事也不好." "哼！"白重炙冷笑一声,挥起拳头狠狠捶了下,恨恨の站了起来,拍了拍手,走到旁边捡起地上の菜袋. "哥……" 而就在那时,远处快速走来一名白衣少女,少女步履匆忙,甚至有些踉跄,浑身微微颤抖着,一边走还一般喊着,喊声充满着悲伤,充满着无措. "额?"白重炙听到呼声中の悲凉气息,转头望去,看着远处疾奔而来の少女,心中莫名感到一丝不祥の预兆. "哥,娘亲,娘亲她去世了……" 啪！刚刚拾起の菜袋重重の落到地上,外层の纸皮一下裂开,犹如树根般の草菜,洒满一地… 当前第2章零零２章子欲养而亲不在夜晚の雾霭城,天气已经渐渐凉了起来,而此时天边正淅淅沥沥下着小雨,更添了几分寒意. 此时已经是凌晨三刻,偌大の雾霭城,街上基本上都看不到行人,只是偶尔有着几间夜店里の昏暗烛火在风中摇曳着,让苍凉の冬夜平添了几分萧瑟. 而雾霭城の家主府白家堡の一个小院内,却有着迥然不同の一幕.小院里の烛火辉煌,但却房门紧闭,而正门外却跪着一位黑衫青年. 清寒の雨夜,灯火辉煌の大院,对雨下跪の青年,偶尔天边劈下の一道道闪电,这样の场景,让人显得格外の诡异,迥然. "请长老堂成全,白重炙将一辈子做牛做马报答世家……" 黑衫青年固执の跪在地上,任凭雨水洒落在头顶上,身体上.他却全然不顾,只是不断の对着大院叩拜着,大声呼叫着. 嘶哑の声音,在寂静の夜里显得异常突显. 然而！大院内却安静如斯,依旧房门紧闭,恍如从未闻到.只见烛火の倒影,在窗户纸上不停の跳跃,摇曳着. 良久,良久！黑衫青年喊得声嘶力竭,匍匐在地上,仿佛睡去.只是偶然の抬头,那张冷峻の脸,在雨水の洗刷下,格外の苍白.烛火の照映下,满脸の坚毅和酸

北师大版八年级数学知识点整理(1)

北师大版八年级全册数学定理知识点汇总八年级上册第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 22、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c 有关系a 2 b 2c2 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：2 2 满足a b2 2 2c a b 2c 的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数1、实数的概念及分类1) 实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2) 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如7, 3 2 7 , 3 2ππ有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 3 +8等；o2等；有特定结构的数，如 0。

1010010001 ⋯等；某些三角函数值，如 sin60 等2、实数的倒数、相反数和绝对值3)相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0， a=— b ，反之亦成立。

4)绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a| ≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a ，则a ≥0；若 |a|=-a ，则 a ≤0。

5)倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是 1 和-1。

零没有倒数。

6)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

7)估算：3、平方根、算数平方根和立方根8)算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a ，即 x=a ，那么这个正数 x 就叫做 a的算术平方根。

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逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB, (已知), D A
1 O2
P C
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 E
个角的内部,且到角的两边距离相
B
等的点,在这个角的平分线上).
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
直平分线相交于一点,并且这
一点到三个顶点的距离相等).
回顾思考
角平分线的性质
定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线 ,P是OC上任意一点 O ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
A D
1
P
2
C
E B
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
B
C
D
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 （三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议 3
几何的三种语言
定理：有两个角相等的三角形是等腰 A 三角形（等角对等边）.
′
在△ABC中
B
C
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条 A
角平分线,且
ND
M
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知), P F
B
E
C
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三
角形的三条角平分线相交于一点,并且这
一点到三边的距离相等).
老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点

的根据之一这个交点叫做三角形的内心.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
底边上的中线,底边上的高
12
互相重合(三线合一).
B
C
D
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
等边三角形.
A
600
在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∴△ABC是等边三角形( 三个角都相等的三角形是等边三角形).
600
B
600
C
这又是一个判定靠边三角形的根据之一.
回顾反思 3
几何的三种语言
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜
边的一半.
在△ABC中,
开启智慧
几何的三种语言
定理线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点距离相等.
如图,
M
∵ MN⊥AB, AC=BC,(已知),
P
∴PA=PB(线段垂直平分线上 A
C
B
的点到这条线段两个端点距
N
离相等).
逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图,
∵PA=PB(已知),
底边上的中线,底边上的高 1 2
互相重合(三线合一).
B
C
D
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
议一议P2 3
几何的三种语言
推论:
A
等腰三角形顶角的平分线,
底边上的中线,底边上的高
12
互相重合(三线合一).
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
A
在△ABC中,
600
∵AB=AC,∠B=600(已知). B
C
∴△ABC是等边三角形(有
一个角是600的等腰三角
形是等边三角形).
这又是一个判定等边三角形的根据之一.
回顾反思 2
几何的三种语言
定理:三个角都相等的三角形是
P
∴点P在AB的垂直平分线上(
A
B
到一条线段两个端点距离相
等的点,在这条线段的垂直平
分线上).
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一
点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的 a A
垂直平分线(已知),
c
b
P
∴c,a,b相交于一点P,且 B
C
PA=PB=PC(三角形三条边的垂
B
∵∠ACB=900,∠A=300.
A 300
C
1 ∴BC= 2 AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边
等于斜边的一半).
回顾反思 4
几何的三种语言
在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
此结论在选择题和填空题中使用
B
在△ABC中 ∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), A 300 C ∴∠A=300(在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于 300).

第一章全部定理的几何的三种语言[上学期]--北师大版

北师大版八年级数学上册知识点梳理

新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》

初中数学知识框架(北师大版)

九年级数学北师大版课件共27页

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基本不等式(第二课时)课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

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