四川省德阳五中2017_2018学年高二数学下学期期中试题-含答案 师生通用

四川省德阳五中2017-2018学年高二数学下学期期中试题考生注意：1将选择题的答案填涂在机读卡中，填空题和解答题只能书写在答题卷中，考试结束只交机读卡和答题卷。

2本试卷总分150分，考试时间为120分钟，注意掌握时间。

一、选择题：本大题共12个小题，每一小题5分，总分60分。

1．下列命题中正确的是 ( )A.棱柱的各个面都是四边形B.棱柱中只有两个面互相平行C.棱柱的侧棱长不都相等D.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 2．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是 ( )A.圆柱B.圆锥C.棱锥D.棱柱 3．已知正方体外接球的体积是π332，则此正方体的棱长为( ) A.1 B.34 C.334 D.316 4．对于直线n m 、和平面βα、，能推出βα⊥的一个条件是 ( )A.n m ⊥，m ∥α，n ∥βB.n m ⊥，m =βα ，α⊂nC.m ∥n ，β⊥n ，α⊂mD.m ∥n ，α⊥m ，β⊥n5．若θ是直线l 的倾斜角，且51cos sin =+θθ，则直线l 的斜率为 ( ) A.34B.43C.34- D.34-或43- 6．在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则该二面角的大小为 ( )A. 30B. 45C. 60D.907．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1与平面D D BB 11所成的角为( )A.30 B.45 C.60 D.908．若向量→a =x 2(log ，)1-，→b =x 2(log ，)log 22x +的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 ( ) A.21(，)4 B.21(，]1C.1(，]4 D.21(，1()1 ，)49．在长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，1=AD ，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为 ( ) A.1010 B.1030C.515 D.1010310．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )A.81B.71C.61D.5111．已知函数2)(2++=mx x x f ，|1|)(2-=x x g ，R x ∈．若函数)(x F )()(x g x f +=在0(，)2上有两个不同的零点21x x 、，则实数m 的取值范围是 ( )A.29[-，)22- B.29(-，)3- C.3(-，)22- D.3(-，]22-12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ，100>N ，且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( ) A.440 B.330C.220 D.110二、填空题：本大题共4个小题，每题4分，共16分。

把答案直接填在题中给出的横线上。

13．已知集合4)2()2(|){22=-++=y x y x A ，，}3|){R k kx y y x B ∈+==，，．若B A 只含有一个元素，则=k ．14．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，面积为S ，则该圆锥的底面面积是．15．在直角坐标系中，与点2(A ，)1的距离为1，且与点1(B ，)3的距离为2的直线的方程是．16．已知空间四边形ABCD 的四个顶点都在球O 的面上，F E 、分别是CD AB 、的中点，且AB EF ⊥，CD EF ⊥，若8=AB ，4==EF CD ，则球O 的表面积为． 三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(满分10分)设)(x f )4(cos cos sin 2π+-=x x x ．(1)求)(x f 的单调递增区间；(2)在锐角△ABC 中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、．若0)2(=A f ，1=a ．求△ABC 面积的最大值．18．(满分12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中N M 、分别是SC AB 、的中点，P 是上SD 的一个动点．(1)当点P 落在什么位置时，AP ∥ 平面SMC ，证明你的结论； (2)求三棱锥NMC B -的体积．19．(满分12分)已知圆C :4)2()(22=-+-y a x )0(>a 及直线l :03=+-y x ．直线l 被圆C 截得的弦长为22． (1)求a 的值；(2)求过点3(，)5并与圆C 相切的切线方程．20．(满分12分)已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f ．(1)若函数)(x f 的定义域和值域均为1[，]a ，求实数a 的值；(2)若函数)(x f 在区间-∞(，]2上是减函数，且对任意的1[21∈x x 、，]1+a ，总有4|)()(|21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．21．(满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90=∠=∠CDP BAP .(1)证明：平面⊥PAB 平面PAD ；(2)若DC AB PD PA ===，90=∠APD ，求二面角C PB A --的余弦值．22．(满分12分)已知直线l ：01034=++y x ，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)若直线过点1(M ，)0且与圆C 交于B A 、两点(A 在x 轴上方，B 在x 轴下方)，则在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴恒平分ANB ∠？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．德阳五中高2016级第三学期半期考试数学题答案 一、选择题答案：13．43-； 14．2S； 15．0543=-+y x 或3=x ； 16．π65． 三、解答题：17．解：(1)因)(x f )4(cos cos sin 2π+-=x x x ]1)4(2[cos 212sin 21++-=πx x212sin 21)22cos(212sin 21-=-+-=x x x π， 由⇒+≤≤-22222ππππk x k )(44Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，故)(x f 单调递增区间是4[ππ-k ，]4ππ+k )(Z k ∈；(2)由(1)知0)2(=A f ⇒21sin =A ，因△ABC 为锐角三角形，∴6π=A ．由余弦定理有)231(2)cos 1(2cos 2222-⨯=-≥-+=bc A bc A bc c b a ，∵1=a ，∴1)32(≤-bc ⇒32+≤bc ，进而43241sin 21+≤==∆bc A bc S ABC ，当且仅当226+==c b 时取等号．故△ABC ． 18．解：(1)当点P 为SD 的中点时，AP ∥平面SMC ，证明如下：由三视图知该多面体是四棱锥，其底面边长为1的正方形，侧棱⊥SD 底面ABCD ，且2=SD ．连接PN ，∵N P 、分别是SC SD 、的中点，∴PN ∥DC 且DC PN 21=， 又M 是正方形ABCD 的边AB 的中点∴AM ∥DC 且DC AM 21=， ∴AM ∥PN 且PN AM =，即四边形AMNP 是平行四边形，∴AP ∥MN ，又⊄AP 平面SMC ，⊂MN 平面SMC ，∴AP ∥平面SMC ．(2)∵点S 到平面ABCD 的距离为2，∴点N 到平面ABCD 的距离为1=h ，∵三棱锥NMC B -的体积满足：1211211213131=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--h S V V MBC MBC N NMC B 19．解：(1)∵圆C :4)2()(22=-+-y a x 的圆心为a C (，)2，半径2=r ，而圆心C 到直线l :03=+-y x 的距离2|1|+=a d ，依题24222d -=，∴2|1|2+==a d ⇒3-=a 或1=a ，∵0>a ，故所求1=a ；(2)∵切线过点3(，)5，设所求切线方程为)3(5-=-x k y ，即035=-+-k y kx ， 该直线与4)2()1(22=-+-y x 相切，∴21|352|2=+-+-k k k ⇒125=k ， 又∵4)25()13(22>-+-，点3(，)5在圆C 外，切线应有两条，斜率不存在时3=x 是另一条切线．故所求切线方程为3=x 或045125=+-y x ．20．解：(1)∵二次函数52)(2+-=ax x x f 的对称轴为a x =，且开口向上，∴)(x f 在定义域1[，]a 上单调递减，即1[∈x ，]a 时，)1()()(f x f a f ≤≤， ∴依题=∈)]1()([)(f a f x f ，1[，]a ，满足∴⎩⎨⎧==a f a f )1(1)(，即252115222=⇒⎩⎨⎧=+-=+-a aa a a ，满足1>a ， 故所求2=a ；(2)∵)(x f 在区间-∞(，]2上是减函数，∴-∞(，](]2a ，-∞⊆，即2≥a ． ∴)(x f 在区间1[，]1+a 上的子区间1[，]a 递减，子区间a [，]1+a 递增， 由于11≥-a ，∴当1[∈x ，]1+a 时，)1()()(f x f a f ≤≤， 即1[∈x ，]1+a 时，a x f a 26)(52-≤≤-． ∴对任意的1[21∈x x 、，]1+a 时，有：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-⇒-≤≤--≤≤-5)(6226)(526)(5222212a x f a a x f a ax f a ， ⇒12)()()12(2212+-≤-≤+--a a x f x f a a∴12|)()(|221+-≤-a a x f x f ，依题有4122≤+-a a ，解得31≤≤-a ，又∵2≥a ，故所求2[∈a ，]3．21．解：(1)证明：∵90=∠CDP ，∴CD PD ⊥，又由AB ∥CD ，∴PD AB ⊥；由90=∠BAP ，∴PA AB ⊥，∵⊆PD PA 、平面PAD 且相交，∴⊥AB 平面PAD ，又∵⊆AB 平面PAB ，∴平面⊥PAB 平面PAD ；(2)设a DC AB PD PA ====，结合 90=∠APD ，知PAD ∆、PAB ∆、PDC ∆是全等的等腰直角三角形，∴a AD PB PC 2===；由(1)中⊥AB 平面PAD 知AD AB ⊥，∴四棱锥P A B C D -的底面ABCD 是矩形，∴a AD BC 2==，∴PBC ∆是边长为的等边三角形，设E 为PB 的中点，连接AE CE 、，则PB CE ⊥，且a PB CE 2623==；又∵PBC ∆是以PB 为斜边的等腰直角三角形，∴PB AE ⊥，且a PB AE 2221==；由PB CE ⊥和PB AE ⊥知：平面AEC 是二面角C PB A --的棱PB 的垂面，即AEC ∠是二面角C PB A --的平面角，又∵a AC 3=，在A EC ∆中，由余弦定理有：332c o s 222-=⋅-+=∠CE AE AC CE AE AEC ． 所求二面角C PB A --的余弦值为33-． 22．解：(1)圆心C 在x 轴上，所以设a C (，)0，又∵l ：01034=++y x 与半径为2的圆C相切，∴234|104|22=++a ⇒5-=a 或0=a ，∵圆心C 在直线l 的右上方，∴0=a ，故所求圆C 为422=+y x ；(2)假设在x 轴正半轴上存在符合题意的点N ，设n N (，)0，①当直线AB 的斜率不存在时，在x 轴正半轴上每一点N 都使得x 轴恒平分ANB ∠； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ， ∵B A 、两点的坐标1(x ，)1y 、2(x ，)2y 满足：⎩⎨⎧=-+-=04)1(22y x x k y ，消去y 可得：042)1(2222=-+-+k x k x k 由韦达定理可得：122221+=+k k x x ，142221+-=k k x x ，若x 轴平分ANB ∠，则0=+BN AN k k ⇒02211=-+-nx y n x y⇒0)1()1(2211=--+--nx x k n x x k ⇒0))(1())(1(1221=--+--n x x n x x ⇒02))(1(22121=+++-n x x n x x ，所以021)1(21)4(22222=+++-+-n k k n k k ⇒4=n ， 综上可知，存在点4(N ，)0，使得轴恒平分ANB ∠．。