质点组力学解题指导

第二章质点组力学

解题指导

（一）基本要求

质点组力学问题比起质点力学的一些问题要复杂的多，学习者不仅要了解质 点组整体的运动特征，有时还要了解质点组内部各质点相对运动的特征。解决质点组问题所依赖的基本理论仍然是动力学三大定理及与之相对应的三个守恒定律。

1..动量定理

()∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i e i n i i i F v m dt d dt d 11P

在这里应把系统看成一个整体，就好象是一个质点。因此，首先还应熟练掌握质心的求法，从而在非连续质点组中采用质心运动定理。

2.动量矩定理

()()∑∑-=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n i e i i n i i i m dt d dt d 11F r M v r J

采用这个定理应注意到对点之矩和对轴之矩之间的关系，以及质点组内所有内力对任一质点或定轴之矩矢量和为零。

3.动能定理

()()r F r F

d d dT n i i i i n

i e i ⋅+⋅=∑∑--11

这个定理与前面两个定理的不同之处在于：内力可以改变质点组的动能。当街决多个质点组成的质点组问题时，还可以采用维里定理（n →∞），维里定理具有统计性质。另外，可以用力学量的平均动能、平均势能来解决力做功的问题。

（二）解题要点

1.分析题意，确定研究对象。如果系统选择适当，可以使未知的约束反力成 为内力，取和后而不出现在方程中。

2.进行受力分析及运动情况的分析，这是解决问题的前提。分析质点组的受

力要区分内力和外力；而分析运动则主要是分析系统的总体运动特征。只有在正确的分析基础上才能找到解决问题的恰当途径。

3.选择合适的定理。一般地说，讨论平动的整体特征要运用动量定理；而讨论转动整体特征就要用动量矩定理；当问题涉及到能量关系时则要用到动能定理。无论运用哪个定理，都应注意避免一些未知约束反力在方程中出现。若要避开某轴上的约束反力，就可选用对该轴的动量矩定理；若要避开曲线法向反力就可用动能定理，因为这个力在这个方向并不作功。

4.对各种守恒条件要有敏锐地判断能力。有时守恒条件虽不严格符合，但经过分析，作出合理近似处理而使之能够近似满足时，也不要放弃利用守恒定律的机会。

5.对于两体问题，如果只讨论相对运动，就可以把其中之一（质量较大者）当作参考系，另一物体的惯性质量换为折合质量即可列出方程。

6.解决变质量物体问题，最好按下面关于此问题所述的解题步骤进行。

（三）基本方法

与质点力学的基本定理相同，质点组的基本定理也可以分为两类。动量定理、质心定理和动量矩定理属于第一类，动能定理属于另一类。现在仅把它们在质点组中的应用的不同给予补充：第一类问题考虑到质点组总体运动的方向性，就可应用质心动量及动量矩定理。这些定理在描述质点组运动时反映了方向性，而且任何质点组的运动都可分解为质心的平动和绕质心的转动两部分。当质点组在空间作任意运动时，质心的运动有三个分量，绕质心的转动也可以分解为三个绕坐标轴转动的分量。引起这六个运动量改变是相应的外力和外力矩。实际上，定理提供了六个运动微分方程，其中三个表示平动；三个表示转动。因此，可以求出运动量的大小和方向，以及力或力矩来。

第二类问题是考虑机械运动与其它运动形态转化的问题。这时应用动能定理，它始终只是一个方程，并不是什么方向的力在这里都要考虑，采用的只是做功的这部分力才会引起质点组动能的改变。因此，利用动能定理可以算出速度、加速度的大小；也可以算出能做功的这部分力的大小，或算出相应的位移。其次，在力的分类上两者都有区别。在动量定理和动量矩定理中，内力和内力矩不会引起动量和动量矩的改变，因此，可以不考虑内力仅考虑外力。而在动能定理中，

内力是要做功的，它对质点组动能的变化有影响。由于两类定理不同，我们在解题时，要根据问题的具体情况灵活选择。

变质量问题，是质点组中出现的一个新问题。对待这类问题，除了首先要理解变质量运动微分方程的各项物理意义外，还应注意到运用此类方程求解变质量物体动力学问题的一些标准算法。

1.明确所研究系统，找出质点组在任一时刻的质量，即质量变化规律。一般

采用惯性参照系较为方便。

2.分析系统的运动，确定什么是本体速度和微元与本体分离速度v或合并速

度u。

3.找出质量的变化规律。

4.马上得到质点组外力变化的规律

5.写出运动微分方程及分量式。

6.进行适当的数字变化，进行求解。

以上不论是哪一类问题，在进行演算时的主要步骤与思路大致相同。应用基本定理解答问题的一些经验是值得学习的，先归纳如下：

1.选定质点组为研究对象。第一类问题时选对象尽可能不要求未知力；第二

类问题把整个运动系统当作研究对象来处理。

2.分析质点组所受的力时，第一类问题只分析系统受的外力（主动力、约束

力、摩擦力等）；第二类问题要考虑内力。

3.质点组基本定理只能用于惯性系，在计算时，特别是遇到速度时，要经常

留心对惯性系“绝对量”的使用。

4.为了在计算中有效地消除未知力，所以在确定哪些物体为一个质点组时，

应尽可能地把可能多的未知力都包含在内力之中。

5.已知外力时，根据质心运动定理，即可写出质心运动方程；反之，已知质

心运动规律时，便可确定外力的向量和。在应用质心运动定理时，不必考虑内力，当体系某一部分位移已知时，应用质心运动守恒定律，还有可能求得体系的另一部分位移。此时要注意各位移的方向。

6.应用动量定理时，根本不用考虑某些复杂的未知内力。因此，常用来研究

连续介质（液体或气体）的运动。而动量守恒定律，可以从体系中某一部分的平动速度变化求出体系另一部分速度，而且动量守恒定律还被广泛用到碰