三类圆锥曲线“焦半径公式”的一套记忆口诀
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Ｚ ＨＯＮＧ ＵＥ Ｊ Ａ Ｘ Ｉ ＯＸ ＵＥ Ｃ ＡＮ ＫＡＯ
复 习指津 § 嚣
蓦 ｉ 麟
三 类 圆锥 曲线 “ 半 径 公 式 ” 一 套 记 忆 口诀 焦 的
甘 肃会 宁县 第五 中学 （ ３ ７ ０ 王彩 云 ７ ００ ）
人教版高 中数 学第 二 册 （ ） 八 章 《 上 第 圆锥 曲线 方
． …
结 合 椭 圆 的几 何 性 质 及 第
二定 义 ， 动 点 Ｐ（ ， 。 ． 设 。 ｙ ） 设
Ⅳ
椭 圆 标 准 方 设 为 程 十 一 １
（ ＞ ｂ＞ ０） Ｆ （ ｆ ０）， （ ， ｎ ， 一 ， Ｆ Ｃ
ｒ Ｆ
ｌ ０
有 Ｊ上 述 记 忆 口诀 ， 应 用 中 就 口 以 灵 沽 而 准 确 地 ， 在 Ｊ
左 准 线 ｚ： 一 一 ； ｚ
离成等 差数列 ， ｙ ＋ 的值． 求
右 准 线 ｚ： 一 了 。 一 ａ ２
．
解双 线 程 肴 ｌ（） ： 方 为 一 一，０ ， 曲 Ｆ， ５
又 Ｂ（ ６ 、 Ｃ在 同一 支 ， 上 支上 ． ｘ ， ）Ａ、 即
ＩＦ ［ １ Ｐ 丽 丽 一 丽
不难发现 ： Ｐ 与 ｌ Ｆ 』 Ｉ Ｆ ｛ ｚ 仅与 “ ｅ 有 关 ， Ｐ 、、 。 符合
“ ＋右 一” 律 ． 左 规
【 ２ 抛物线 ｙ ｘ 上一点 Ｍ 到焦点 的距 离为 例 】 ４ 。 １则点 Ｍ 的纵坐标是 （ ， ） ．
Ａ Ｂ ｃ Ｄ ． ． ． ． 舌 ｏ
又 。Ａ、 Ｃ到 Ｆ 的 距 离 成 等 差 数 列 ，’ ２ ｅ。 ． Ｂ、 ‘ ． 一 （ｙ 一 ．
ｎ） ＝～ （ － ｅ ） ａ－ ｅ ），。Ｙ１ 弘 ＝ ２ ２ １ ． ＝ ＝ ａ－ ｙ１ （ － ｙ３ ． ． ＋ ｙ ＝ ２
即 Ｉ Ｆ ｌ ＋ — ‘Ｚ 。 Ｐ ａ
Ｉ ＩＰ 一Ｚ寺 一— 。 Ｐ —（一。 × 。ｎ ． 等 ）ａ ＋ Ｌ Ｌ “
ｅ 的点的轨迹 ， 叫圆锥 曲线 ， Ｆ叫做 圆锥 曲线 的焦点 ， 点
直线 Ｚ 叫做 圆锥 曲 线 相 应 于 焦 点 Ｆ 的 准 线 ； 数 ｅ 做 常 叫 离心 率 ， 里 ｅ ０ 当 Ｐ １ 轨 迹 是 双 曲线 ； ０ ｅ １ 这 ＞ ， ＞ 时 当 ＜ ＜
时轨迹是椭 圆； ｅ 当 —ｌ时轨迹 是抛 物线． 动点 Ｐ（ 。 设 ｘ，
解决问题 ， 现举 两例加 以说明．
Ｏ ，— ｃ（ ＞Ｏ （ 图 １ ）ｅ ｃ ）如 ）
．
【１ 双 线 一２一的 支 有 同 例】在 曲篙 ＝１一 上 不 的 ５＝ ￣ ＝
图 １
三 点 Ａ（ ｙ ） Ｂ（ 。 ６ ， ｘ ， 。 与 焦 点 Ｆ（ ， ） 距 ｘ ， ， ｘ ， ） Ｃ（ ｓ ｙ ） ０５ 的
ｙ ）焦 点 Ｆ， Ｐ到 相 应 于 点 Ｆ 的准 线 ￡ 距 离 为 ， 。， 点 的 则
ｌＤ ｌ
点 Ｐ的轨迹满 足 ｛ Ｐｌ
“
—ｅｅ ｝ 由此便 产生 了一 ，＞０ ，
的长短 ， ａ ｅ。 视 ＋ ｘ， 一ｅｏ ａ ｙ ， — ｅｏ 整体 ， ｘ ， ＋ｅ０ ａ ｙ 为 依
解 ：．ｙ ４ ’－ 。一 ． 一 １
．
同理 可 得 ， 当椭 圆 标 准 方 程 为 ＋ 一 １ ｎ ６ ｏ （＞ ＞ ）
设 Ｍ （ ） ， ，
时，踢 ｌ ｌ ｌ ｌ 与 Ｐ 仅与 “
有关 ， 符合“ 下＋上一” 规律．
．
・
．
＋ 一 １…￣３一 ５ ， １
．
故选 Ｂ ． （ 责任编辑 金 铃）
二、 曲线和抛物线的焦半径公 式 双
对 于 双 曲 线 的 两 种情 况 而 言 ， 半 径 公 式 的得 到 有 焦 方 法 ： 看方 程 定 焦点 ； 一 二看 动 点 在 哪 支 ； 依 动 点 判 长 三 短； 四依 口诀 得 公 式 ． 式 符 合 “ ＋ 右 一 ； ＋上 一 ； 公 左 下 长 正短 负 ” 律 ． 表 示 左 焦 点 ， 表 示 右 焦 点 ， 表 示 下 规 左 右 下 焦点 ， 表示 上焦 点 ； 后 依动点 ， 断 ｌ Ｆ ｌ ｌ Ｆ ｌ 上 然 判 与 Ｐ Ｐ
・ ．
一
ｆ Ｆｌ Ａ 一一（ －ｅ ） ｊ Ｆｊ ａ ｙ ，Ｂ 一一 （ 一ｅ。 ， Ｃ 一～ 口 ｙ ） Ｉ Ｆｌ
（ ｅ ） ｎ ｙ３ ．
‘。 ，而Ｐ Ｉ等 ｚＩ Ｉ等 ｚ ＜ ｌｌ Ｃ因 Ｉ 一 ＋。Ｐ 一 一。 Ｍ ，Ｎ ． ）等 詈 ｅ＝＋ 一 × ＋ｘ ａｅ； ｏ 。
程 》 及 三 类 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ， 圆 锥 曲 线 第 二 定 涉 即 义 ： 面 内与 一 定 点 Ｆ 和 它 到 定 直 线 的 距 离 的 比是 常 数 平
＋右一 ，右焦点 ；
下 表不 下 焦点 ； 表示 上 焦点 ． 上
Ｉ Ｆ Ｉ ｌ ｌ 长短 添 正或 负 号． Ｐ 与 Ｐ 的 对 于 抛 物 线 的 四 种 情 况 而 言 ， 半 径 公 式 的 得 到 有 焦
个 非 常有 用 的 “ 半 径 公 式 ” 本 文 将 通 过 推 导 焦 半 径 公 焦 ．
式， 总结 出一套记 忆公式 的 口诀 ， 并在 应用 中体现 公式 的价值． 注 ： （ 焦半径实际是圆锥 曲线上任一 点 Ｐ与焦 点 Ｆ的距离 ， ｌ ＦＩ） 即 Ｐ ．
一
方法 ： 看方 程得焦 点 ； 准线写公 式． 式符合 “ ＋右 依 公 左
一 ； ＋上 一 ” 律 ． 下 规
、
推导椭 圆的焦半径公式
以上两组 口诀请读 者 自行证 明．
归 纳 三类 圆锥 曲线 的焦 半 径 公 式 ， 得 到 统 一 记 忆 可 的 口诀 ：左 ＋ 右 一 ； ＋上 一 ； 见 双 曲 ， 正 短 负 ” “ 下 遇 长 ．
复 习指津 § 嚣
蓦 ｉ 麟
三 类 圆锥 曲线 “ 半 径 公 式 ” 一 套 记 忆 口诀 焦 的
甘 肃会 宁县 第五 中学 （ ３ ７ ０ 王彩 云 ７ ００ ）
人教版高 中数 学第 二 册 （ ） 八 章 《 上 第 圆锥 曲线 方
． …
结 合 椭 圆 的几 何 性 质 及 第
二定 义 ， 动 点 Ｐ（ ， 。 ． 设 。 ｙ ） 设
Ⅳ
椭 圆 标 准 方 设 为 程 十 一 １
（ ＞ ｂ＞ ０） Ｆ （ ｆ ０）， （ ， ｎ ， 一 ， Ｆ Ｃ
ｒ Ｆ
ｌ ０
有 Ｊ上 述 记 忆 口诀 ， 应 用 中 就 口 以 灵 沽 而 准 确 地 ， 在 Ｊ
左 准 线 ｚ： 一 一 ； ｚ
离成等 差数列 ， ｙ ＋ 的值． 求
右 准 线 ｚ： 一 了 。 一 ａ ２
．
解双 线 程 肴 ｌ（） ： 方 为 一 一，０ ， 曲 Ｆ， ５
又 Ｂ（ ６ 、 Ｃ在 同一 支 ， 上 支上 ． ｘ ， ）Ａ、 即
ＩＦ ［ １ Ｐ 丽 丽 一 丽
不难发现 ： Ｐ 与 ｌ Ｆ 』 Ｉ Ｆ ｛ ｚ 仅与 “ ｅ 有 关 ， Ｐ 、、 。 符合
“ ＋右 一” 律 ． 左 规
【 ２ 抛物线 ｙ ｘ 上一点 Ｍ 到焦点 的距 离为 例 】 ４ 。 １则点 Ｍ 的纵坐标是 （ ， ） ．
Ａ Ｂ ｃ Ｄ ． ． ． ． 舌 ｏ
又 。Ａ、 Ｃ到 Ｆ 的 距 离 成 等 差 数 列 ，’ ２ ｅ。 ． Ｂ、 ‘ ． 一 （ｙ 一 ．
ｎ） ＝～ （ － ｅ ） ａ－ ｅ ），。Ｙ１ 弘 ＝ ２ ２ １ ． ＝ ＝ ａ－ ｙ１ （ － ｙ３ ． ． ＋ ｙ ＝ ２
即 Ｉ Ｆ ｌ ＋ — ‘Ｚ 。 Ｐ ａ
Ｉ ＩＰ 一Ｚ寺 一— 。 Ｐ —（一。 × 。ｎ ． 等 ）ａ ＋ Ｌ Ｌ “
ｅ 的点的轨迹 ， 叫圆锥 曲线 ， Ｆ叫做 圆锥 曲线 的焦点 ， 点
直线 Ｚ 叫做 圆锥 曲 线 相 应 于 焦 点 Ｆ 的 准 线 ； 数 ｅ 做 常 叫 离心 率 ， 里 ｅ ０ 当 Ｐ １ 轨 迹 是 双 曲线 ； ０ ｅ １ 这 ＞ ， ＞ 时 当 ＜ ＜
时轨迹是椭 圆； ｅ 当 —ｌ时轨迹 是抛 物线． 动点 Ｐ（ 。 设 ｘ，
解决问题 ， 现举 两例加 以说明．
Ｏ ，— ｃ（ ＞Ｏ （ 图 １ ）ｅ ｃ ）如 ）
．
【１ 双 线 一２一的 支 有 同 例】在 曲篙 ＝１一 上 不 的 ５＝ ￣ ＝
图 １
三 点 Ａ（ ｙ ） Ｂ（ 。 ６ ， ｘ ， 。 与 焦 点 Ｆ（ ， ） 距 ｘ ， ， ｘ ， ） Ｃ（ ｓ ｙ ） ０５ 的
ｙ ）焦 点 Ｆ， Ｐ到 相 应 于 点 Ｆ 的准 线 ￡ 距 离 为 ， 。， 点 的 则
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点 Ｐ的轨迹满 足 ｛ Ｐｌ
“
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解 ：．ｙ ４ ’－ 。一 ． 一 １
．
同理 可 得 ， 当椭 圆 标 准 方 程 为 ＋ 一 １ ｎ ６ ｏ （＞ ＞ ）
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．
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故选 Ｂ ． （ 责任编辑 金 铃）
二、 曲线和抛物线的焦半径公 式 双
对 于 双 曲 线 的 两 种情 况 而 言 ， 半 径 公 式 的得 到 有 焦 方 法 ： 看方 程 定 焦点 ； 一 二看 动 点 在 哪 支 ； 依 动 点 判 长 三 短； 四依 口诀 得 公 式 ． 式 符 合 “ ＋ 右 一 ； ＋上 一 ； 公 左 下 长 正短 负 ” 律 ． 表 示 左 焦 点 ， 表 示 右 焦 点 ， 表 示 下 规 左 右 下 焦点 ， 表示 上焦 点 ； 后 依动点 ， 断 ｌ Ｆ ｌ ｌ Ｆ ｌ 上 然 判 与 Ｐ Ｐ
・ ．
一
ｆ Ｆｌ Ａ 一一（ －ｅ ） ｊ Ｆｊ ａ ｙ ，Ｂ 一一 （ 一ｅ。 ， Ｃ 一～ 口 ｙ ） Ｉ Ｆｌ
（ ｅ ） ｎ ｙ３ ．
‘。 ，而Ｐ Ｉ等 ｚＩ Ｉ等 ｚ ＜ ｌｌ Ｃ因 Ｉ 一 ＋。Ｐ 一 一。 Ｍ ，Ｎ ． ）等 詈 ｅ＝＋ 一 × ＋ｘ ａｅ； ｏ 。
程 》 及 三 类 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ， 圆 锥 曲 线 第 二 定 涉 即 义 ： 面 内与 一 定 点 Ｆ 和 它 到 定 直 线 的 距 离 的 比是 常 数 平
＋右一 ，右焦点 ；
下 表不 下 焦点 ； 表示 上 焦点 ． 上
Ｉ Ｆ Ｉ ｌ ｌ 长短 添 正或 负 号． Ｐ 与 Ｐ 的 对 于 抛 物 线 的 四 种 情 况 而 言 ， 半 径 公 式 的 得 到 有 焦
个 非 常有 用 的 “ 半 径 公 式 ” 本 文 将 通 过 推 导 焦 半 径 公 焦 ．
式， 总结 出一套记 忆公式 的 口诀 ， 并在 应用 中体现 公式 的价值． 注 ： （ 焦半径实际是圆锥 曲线上任一 点 Ｐ与焦 点 Ｆ的距离 ， ｌ ＦＩ） 即 Ｐ ．
一
方法 ： 看方 程得焦 点 ； 准线写公 式． 式符合 “ ＋右 依 公 左
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、
推导椭 圆的焦半径公式
以上两组 口诀请读 者 自行证 明．
归 纳 三类 圆锥 曲线 的焦 半 径 公 式 ， 得 到 统 一 记 忆 可 的 口诀 ：左 ＋ 右 一 ； ＋上 一 ； 见 双 曲 ， 正 短 负 ” “ 下 遇 长 ．