变量与函数

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数学变量与函数关系

在数学中，变量和函数是两个重要的概念。变量是一个可以改变的量，而函数

则是用来描述变量之间关系的工具。变量和函数之间的关系是数学中的核心内容之一，它们的研究和应用不仅在数学领域中有重要意义，也在其他学科中发挥着重要作用。

一、变量的概念与分类

变量是数学中一个基本的概念，它表示一个可以改变的量。在数学中，变量可

以分为自变量和因变量。自变量是一个独立的变量，它的取值不受其他变量的影响；而因变量则是一个依赖于其他变量的变量，它的取值由自变量决定。

例如，在一次数学实验中，我们可以将自变量设定为时间，而因变量则是实验

结果。通过改变时间的取值，我们可以观察到实验结果的变化。这个过程中，时间是自变量，实验结果是因变量。

二、函数的概念与表示

函数是数学中描述变量之间关系的工具。它可以将自变量的取值映射到因变量

的取值。函数通常用符号表示，例如f(x)或者y=f(x)。其中，x是自变量，y是因变量，f是函数的名称。

函数可以用不同的方式表示，常见的表示方法有图表法、符号法和文字描述法。图表法是通过绘制函数的图像来表示变量之间的关系。符号法则是通过使用数学符号和公式来表示函数。文字描述法则是通过使用自然语言来描述函数的性质和变化规律。

三、变量与函数的关系

变量和函数之间存在着密切的关系。变量是函数的构成要素之一，函数的定义

中必然涉及到变量。变量的取值不同，函数的取值也会有所不同。

例如，考虑一个简单的线性函数f(x) = 2x + 1。在这个函数中，x是自变量，2x + 1是因变量。当x取不同的值时，函数的取值也会有所不同。当x为0时，函数的取值为1；当x为1时，函数的取值为3；当x为2时，函数的取值为5，依此类推。这个例子说明了变量和函数之间的关系，即变量的取值决定了函数的取值。

数学中的变量与函数关系

数学中的变量与函数关系是一项基础而重要的概念。变量和函数是

数学中常见的概念，它们用于描述事物之间的关系以及数值的变化规律。在本文中，将详细探讨数学中的变量与函数关系的基本概念、性

质和应用。

一、变量

变量是数学中用来表示不确定或可变值的符号。通常用字母表示，

比如x、y或者其他字母。变量可以代表不同的数值，并且可以随着问

题的不同而改变。例如，当我们要描述一辆汽车的速度时，可以用v

表示变量，因为不同的汽车会有不同的速度。

变量可以分为独立变量和因变量。独立变量是研究中独立选择或设

定的变量，它不依赖于其他变量。而因变量是依赖于其他变量的变量，它的值根据独立变量的取值而改变。例如，在研究中，以一个人的年

龄为独立变量，体重为因变量，我们可以观察到随着年龄的增加，体

重也会有相应的变化。

二、函数

函数是数学中常见的关系类型，它描述了变量之间的映射关系。对

于给定的输入（自变量），函数会给出相应的输出（因变量）。函数

通常用f(x)来表示，其中，f表示函数名称，x表示自变量的取值。

函数有许多不同的类型，包括线性函数、二次函数、指数函数等。

不同类型的函数具有不同的性质和特点，它们可以用来描述不同类型

的变量与变量之间的关系。函数可以通过图像、表格或者公式来表示，这些表示方式都能够清晰地展示出变量与函数的关系。

三、变量与函数关系的性质

在数学中，变量与函数关系具有许多重要的性质，其中包括：

1. 单调性：变量与函数关系可以是单调递增的或单调递减的。当自

变量增大时，函数值也增大，则称其为单调递增；当自变量增大时，

八年级上册数学培优函数(一)-变量与函数

第十讲函数

【知识梳理】 1、函数的有关定义

（1）函数的定义、在一个变化过程中，数值发生变化的量叫 ,数值始终保持不变的量叫做，如果有两个变量x 与y ，并且对于每一个x 确定的值，y 都有值与其对应，则x 是自变量，y 是x 的函数。如果当x=a 时，y=b ，那么叫做当自变量的值为时的函数值

（2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。 2、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以（1）使分母不为零；

（2）开平方时被开方数为非负数；（3）为整式时其自变量的范围是全体实数；

另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。【自我检测】

【知识点1】变量与常量

1、2x-3y=4中，变量是____________，常量是__________，把它写成用x 的式子表y 的形式是____________。球的体积公式可以表示为V= 3

r π，其中常量是_________，变量是__________。

2、每盒圆珠笔有12支，每盒售价18元，那么圆珠笔的销售总价y (元)与圆珠笔的支数x （支）之间的函数关系式为____________

3、若等腰三角的顶角是x 度，底角是y 度，则y 与x 的关系式是___________，其中常量是_________,变量是____________。

4、有一个边长为15的正方形铁皮，在四个角上分别截取边长为x （x ＜7.5）的小正方形后，就可以做成一个无盖的盒子，则盒子的体积V 与x 之间的关系是V=________________

变量与函数的概念

Function（函数）传统定义
欧拉瑞士数学家、自然科学家. 是18世纪数学界最杰出的人物之一 .
波恩哈德·黎曼，德国数学家、物理学家.
情境体验
问题2：在汽车加油的过程中，加油金额与加油量之间是函数关系吗？
y 5.14x
问题3: y =1 (x R) 是函数吗?
康托尔（1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人
维布伦(Veblen, Oswald, 1880-1960)美国数学家.
很多数学家也发现函数的传统定义用变量的观点来描述
函数，虽然可以形象生动地描述事物的变化规律，但有一定
的局限性。等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之
后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了函数近代定
义—“对应说”
探索新知
通常 f (a)表示当自变量 x a 时函数 f (x)的值，
是常量， f (a) 是 f (x) 的一个特殊值.
例如函数 y f (x)当 x 3 时的函数值为 f (3) .
概念理解
f
对应法则
x f y f (x)
函数本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.
函数实例
问题8：你能举出一个函数实例吗？想一想，试一试.
（第一课时）
问题1: 初中学过哪些函数?
(2)反比例函数 y k (k 0) x

八年级下册数学-变量与函数

第15讲变量与函数

知识导航

1.函数概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量；

2.确定函数自变量取值范围；

3.描点法画函数图象的一般步骤与方法：(1)列表；(2)描点；(3)连线；

4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

板块一确定常量与变量，列函数解析式

方法技巧

判断变量之间是否存在函数关系：主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.

题型一判定常量与变量，列函数解析式

例1如图，将一个边长为1的正方形纸片，剪成四个大小一样的正方形，再将其中一个小正方形按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察图形和所给表格中的数据后先填空再解答：

(1)填空：

操作次数 1 2 3 4 5 6 …

正方形总个数(互不重叠交叉) 4 7 10 13 …

(2)设操作次数为n，写出正方形总个数s(个)与n(次)之间的关系式,并指出其中的常量和变量. 例2如图，在△ABC中，AC的长为8cm，AC边上的高为BD，当点P在线段BD上从点B

向点D运动时，△APC的面积发生了变化.

(1)当高PD从6cm变化到2cm时, △APC的面积S的变化范围；

(2) 若BD = 6cm，动点P沿射线匀速运动，速度为l cm/s,指出△P AC的面积y(cm2)与点P

运动时间t之间的关系，并求出当S△P AC =1

S△ABC时的t值.

针对练习1

1. （2017威海）某物体从上午7时至下午4时的温度m(℃)是时间t(h)的函数，m=t2-5t+100(其中t = 0 表示中午12时，t =- l表示上午11时，t = l表示13时），则上午10时此物体的温度为℃.

八年级数学培优——变量与函数

第7讲变量与函数

考点·方法·破译

1．函数的概念及其表示方法

⑴函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于给定的每一个x 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么,x 是自变量，y 是x 的函数．

⑵函数的表示方法

①解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法；

②列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成表格来表示函数的方法； ③图象法：用图象表示函数关系的方法．

2．自变量取值范围的确定

自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义，且必须符合实际问题的要求．

经典·考题·赏析

【例１】（兰州）函数3

12-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是（） A ． x ≤2 B ． x ＝3 C ． x ＜2且x ≠3 D ．x ≤2且x ≠3

【变式题组】

01．函数1

-=x x y 中，自变量x 的取值范围是________ 02．函数32

-+=

x x y 中自变量x 的取值范围是_________ 03．函数x x y -++=21

1中自变量x 的取值范围是_________

04．已知函数y ＝－2x ＋1中的自变量x 的取值范围是0＜x ＜10，则y 的取值范围是______

【例２】汽车由北京驶往相距850km 的沈阳，它的平均速度为80km /h ，求汽车距沈阳的路程s (km )与行驶时间t (h )的函数关系式，写出自变量的取值范围

【变式题组】

01．已知三角形的面积为20cm 2,设它的底边长为x (cm )，则底边上的高y (cm )关于x 的函数

关系式为______,自变量的取值范围是__________.

变量与函数说课稿5篇

作为一名教职工，时常需要用到说课稿，借助说课稿可以更好地组织教学活动。下面是小编为大家整理的变量与函数说课稿，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。

变量与函数说课稿（篇1）

一、教材分析

1、教材的地位和作用

（1）本节课主要对函数单调性的`学习；

（2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写）

（3）它是历年高考的热点、难点问题

（根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题就删掉）

2、教材重、难点

重点：函数单调性的定义

难点：函数单调性的证明

重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。（这个必须要有）

二、教学目标

知识目标：（1）函数单调性的定义

（2）函数单调性的证明

能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想

情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识

（这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化）

三、教法学法分析

1、教法分析

“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法

2、学法分析

“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的只是。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法。

变量与函数的概念

知识点一函数的概念

1．函数的定义

设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域与值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．

知识点二函数相等

一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．

特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．

知识点三区间

1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：

2.无穷大区间的表示：

取遍数轴上所有的值

3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号． ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．

1．集合A ＝{}正方形可以作为某个函数的定义域．( ) 2．若1∈A ，则对于f ：A →B ，f (1)可能不存在．( )

3．对于函数f ：A →B ，当x 1，x 2∈A 且x 1>x 2时，可能有f (x 1)＝f (x 2)．( ) 4．区间不可能是空集．( )

类型一函数关系的判断例1 (1)给出下列四个图形：

其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

八年级下册数学教案《变量与函数》

八年级下册数学教案

《变量与函数》

学情分析

本节课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从

数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，

这就是变量。有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下了基础。

本课从简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量

与常量的概念。而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义做了铺垫。这种从实际问题出发开始讨论的方式，出于从具体到抽象的认识事物的考量，

这些都与后续讨论的函数概念有关系，为归纳出变量间的单值对应关系进行铺垫。

教学目的

1、理解并掌握函数的概念，能根据具体问题列出函数解析式。

2、会确定实际问题中的自变量的取值范围。

教学重点

函数的概念、函数解析式与自变量取值范围的确定。

教学难点

自变量与函数的对应关系。

教学方法

讲授法、谈话法、讨论法、练习法

教学过程

一、创设情境

1、图中是一张心电图，心电图中显示了心脏部位的生物电流（y值）随时间（x）的变化，问：对于x每一个确定的值，y是否都有唯一确定的对应值。

对于x每一个确定的值，y不都有唯一确定的对应值。

2、一定质量的气体在体积不变时，假设温度降低到-273℃，则气体的压强为零，热力学温度T（k）与摄氏温度t（℃）之间有如下数量关系：

T = - t + 273，T≥0。

二、讲授新知

1、当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？

解：当t = 43时，T = -43 + 273 = 230（k）

当t = -27时，T = 27 + 273 = 300（k）

因变量与函数的关系

在数学中，因变量与函数之间有着密切的关系。函数是描述因变量如何依赖自变量而变化的规律，它们之间的联系可以帮助我们更好地理解和分析问题。在现实生活中，很多情况下我们都可以通过建立函数来描述因变量与自变量之间的关系。

我们来看一下因变量的概念。因变量是指在函数中所要求的输出值，它是由自变量的取值所决定的。在函数中，因变量的取值取决于自变量的取值，因此因变量可以看作是函数中的结果或输出。例如，在一个简单的线性函数中，因变量的取值就是自变量的取值与系数的乘积再加上常数项的和。

接下来，我们来看一下函数的概念。函数是一种特殊的关系，它将自变量映射到因变量，即给定一个自变量，函数会返回一个对应的因变量。函数可以用来描述各种不同的变化规律，比如线性函数、二次函数、指数函数等。在函数中，自变量的取值范围会影响因变量的取值，不同的自变量对应着不同的因变量。

因变量与函数之间的关系可以用一个简单的例子来说明。假设有一个函数 f(x) = 2x + 3，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。当自变量 x 取不同的值时，可以通过函数f(x) 计算得到相应的因变量的取值。比如当 x = 1 时，f(x) = 2*1 + 3 = 5；当 x = 2 时，f(x) = 2*2 + 3 = 7。这样，我们就可以通过函数来描述自变量和因变量之间的关系。

在实际问题中，我们经常需要通过建立函数来分析和解决问题。例如，在经济学中，我们可以通过建立需求函数和供给函数来研究价格和数量之间的关系；在物理学中，我们可以通过建立运动函数来描述物体的运动规律；在生物学中，我们可以通过建立生长函数来研究生物体的生长过程。

变量与函数-PPT课件全文

如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时y的函数值。
t
1 2 3 4 ……
S
60 120 180 240 ……
思考下列问题？
（1）y 2x 中的y是x的函数吗是
（2）一天中的气温是时刻的函数吗？是
（3） y x 不是
判断是不是函数，我们可以看它的两个变量之间是否满足函数的定义
（2）若教室座位共安排15排，座位总数
将达到多少个？
（1）m=25+n-1=n+24， p 25 24 n • n 1 n(n 49)
2
2
（2）当n=15时，p=480
随堂练习
4.夏季高山上温度从山脚起每升高 100米降低 0.7℃，已知山脚下温度是 23℃，写出温度y与上升高度 x之间的关系式，并指出其中的常量与变量。
解： y =23 -0.007x
变量是 x 、y
常量是 23、-0.007
函数概念：
一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程S千米与行使时间t小时的关
系是： S=60t
t
1 2 3 4 ……
S
60 120 180 240 ……
每当行驶时间t取定一个值时，行驶里程s就随之确定一个值。
函数概念：
在一个变化过程中，如果有两个变
量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量。 y是x的函数。

变量与函数

1 变量

变量是指存储和描述数据的一个名字或标志，是一种程序设计语言中的重要概念。变量是用来占位符，用来储存和表示特定的值或者数据。它们的值可以在程序的执行过程中发生变化，可以存储不同类型的值，比如数字、字符串、对象等。变量名由数字和字母组成，以字母开头，不能有特殊符号，以防止编程出错。

2 函数

函数是程序中的一个关键概念，它可以简化程序的编写，使代码更加模块化、可复用，提高程序的可读性。函数一般由参数、函数体和返回值组成。参数是用来让函数进行不同的计算和操作；函数体是函数的主体语句，定义函数的执行流程及操作的语句；返回值则定义函数的执行结果，用来返回执行结果给调用者。函数包含一个或多个函数体，这些函数可以多次被调用，以提高程序的可重用性。

12.1.1变量与函数

课堂小结：
1.函数概念包含：(1)两个变量； (2)两个变量之间的对应关系．
2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x 和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．

作业：
概括
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。
概括
一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称 y是x的函数。日常生活和自然界中函数的事例很多：如: 当矩形的长一定时，矩形的面积依赖宽的变化而变化,他们之间是否存在函数关系呢？
试一试：看谁的眼光准
1.判断下列变量关系是不是函数？
(1)等腰三角形的底边长与面积
(2)关系式y x中, y是x的函数吗?
判断是不是函数，我们可以看它的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义
2.写出下列各问题中的关系式, 并指出其中的常量与变量
(1)圆的周长C与半径r的关系式;
C=2πr
变量与函数
变量与函数
大千世界处在不停的运动变化之中 ,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.

《变量与函数》PPT课件

若每份a元，则y＝ax中的常量是是。
，变量
02 练一练
2.观察某市2月份某日的气温变化图
图 17.1.1
（1）这天的6时的气温是 ℃，10时的气温是
（2）这一天中，最高气温是
℃，最低气温是
小结：天气温度随
的变化而变化，即T随
℃，14时的气温是 ℃；
的变化而变化；
℃；
02 练一练
3.弹簧原长22cm,挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）有如下关系：
01 形成概念
数值发生变化的量
数值始终不变的量
变量常量
定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量,称为变量.
数值始终不变的量，称之为常量.
PART 02
练一练 HOMEWORK PRACTICE 授课教师：docer读秀
02 练一练
1.某种报纸每份2元，购买x份此种报纸共需y元，
则y＝2x中的常量是，变量是。
第十九章一次函数
变量与函数 VARIABLES AND FUNCTIONS
-.
授课教师：docer读秀
目录
CONTENS
教学目标
01
1.了解变量与常量的意义，体验在一个过程Байду номын сангаас常量与变量
是相对存在的；
2.在较复杂问题中辨别常量与变量；

变量与函数的概念以及函数的三种表示方法

变量与函数的概念

变量和常量：

世界是变化的，客观事物中存在大量的变量。

一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，称数值变化的量为变量。

函数：

在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，某些变量的变化会引起其他变量的变化。

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说，x是自变量，y是x的函数。如果当x=a 时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

函数的三种表示方法

(1)列表法

①若自变量的取值范围为有限的几个数值，则将自变量的所有取值和对应的函数值填写在表格中；

②若自变量的取值范围为含无限数值的一个区间，则从自变量的取值范围中选取（有代

(2)解析式法

y=… (x的取值范围，若没有则默认x的取值范围为全体实数)

(3)图像法

函数的图像：

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

描点法绘制函数图像：

①从x的取值范围中取出一些数值，并计算出y的对应值；

②在平面直角坐标系中描出点（x，y）；

③用平滑曲线连接这些点。

表示函数时，要根据情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用。

变量与函数的定义及应用

变量和函数是编程语言中最基本的概念之一，在编写代码时经常需要使用它们。本文将介绍变量和函数的定义、用途和应用。

1. 变量的定义和应用

变量是用来存储数据的容器，编写程序时必须首先定义变量，然后才能在程序中使用它们。通常在定义变量时需要为其指定名称和数据类型。

（1）变量的定义

在大多数编程语言中，变量的定义语句通常包含变量类型和名称。例如，要定义一个整数类型的变量，可以使用如下语句：

int num;

这条语句定义了一个名为num的变量，它的数据类型是整数类型。如果需要定义多个变量，可以使用逗号隔开，例如：

int num1, num2;

这条语句定义了两个整型变量num1和num2。

在有些编程语言中，定义变量时需要指定初始值。例如，要定义一个初始值为10的整型变量，可以使用如下语句：

int num = 10;

（2）变量的应用

定义变量后，可以在程序的任何地方使用它们。例如，在使用C++编写的程序中，可以在函数中使用定义的变量，例如：

int main()

{

int num = 10;

cout << "num的值为：" << num << endl;

return 0;

在这个例子中，声明了一个名为num的变量，它的数据类型是int，值为10。在main函数的第二行，输出了num的值。

2. 函数的定义和应用

函数是一组预定义好的指令，用于执行特定的操作。在编写程序时，通常需要多次调用函数，以实现不同的任务。函数中通常包含输入参数、输出参数和一组操作。

（1）函数的定义

函数的定义通常包含函数名称、输入参数、输出参数和操作。例如，要定义一个名为add的函数，用于计算两个数值的和，可以使用如下语句：