变量与函数

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数学变量与函数关系

数学变量与函数关系在数学中，变量和函数是两个重要的概念。

变量是一个可以改变的量，而函数则是用来描述变量之间关系的工具。

变量和函数之间的关系是数学中的核心内容之一，它们的研究和应用不仅在数学领域中有重要意义，也在其他学科中发挥着重要作用。

一、变量的概念与分类变量是数学中一个基本的概念，它表示一个可以改变的量。

在数学中，变量可以分为自变量和因变量。

自变量是一个独立的变量，它的取值不受其他变量的影响；而因变量则是一个依赖于其他变量的变量，它的取值由自变量决定。

例如，在一次数学实验中，我们可以将自变量设定为时间，而因变量则是实验结果。

通过改变时间的取值，我们可以观察到实验结果的变化。

这个过程中，时间是自变量，实验结果是因变量。

二、函数的概念与表示函数是数学中描述变量之间关系的工具。

它可以将自变量的取值映射到因变量的取值。

函数通常用符号表示，例如f(x)或者y=f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，f是函数的名称。

函数可以用不同的方式表示，常见的表示方法有图表法、符号法和文字描述法。

图表法是通过绘制函数的图像来表示变量之间的关系。

符号法则是通过使用数学符号和公式来表示函数。

文字描述法则是通过使用自然语言来描述函数的性质和变化规律。

三、变量与函数的关系变量和函数之间存在着密切的关系。

变量是函数的构成要素之一，函数的定义中必然涉及到变量。

变量的取值不同，函数的取值也会有所不同。

例如，考虑一个简单的线性函数f(x) = 2x + 1。

在这个函数中，x是自变量，2x + 1是因变量。

当x取不同的值时，函数的取值也会有所不同。

当x为0时，函数的取值为1；当x为1时，函数的取值为3；当x为2时，函数的取值为5，依此类推。

这个例子说明了变量和函数之间的关系，即变量的取值决定了函数的取值。

四、变量与函数的应用变量和函数的研究和应用在数学中有着广泛的应用。

它们不仅在代数、几何等数学学科中发挥着重要作用，也在物理、经济等其他学科中得到了广泛的应用。

变量与函数

变量与函数数学是一门抽象的科学，在数学里变量的概念是一个基本概念，具有统一属性且可以变化的量可称为变量，变量来源于字母代替数参加数学运算；现代数学中变量是一个可以变化（取不同数值）的量，只不过这个数值的概念不仅仅是某个数，也可以是一个数组，甚至是一个函数等等；变量的特征应该具备可计算性，即计算的结果是唯一的；本文讨论数学变量，进而讨论变量与变量间的关系；一、度量形成变量数学中研究的变量已经抽象了变量的自然属性，是实数集合上的变量，这样的变量可以反映具有各种背景的客观现实，数学具有超自然性，数学理论可以使用于各门学科中数量与数量关系的研究，数学不仅提供工具，更重要的是科学思想和文化；客观事物的发展变化都有其原因，数据化的客观现象更容易控制和复制，信息可以用数据刻画，搜集、整理、分析数据都需要数学思想和方法；数据来源于对客观事物的观察与度量，从而形成对客观现实的认识，对事物的度量认识可以分成四个层次；第一个层次是分类，这类层次也是最粗的度量方式，分类的结果形成了对客观现实的定性认识，不同类别间的事物有着质的区别，这一层次现在也采用了数字编码，便于数量汇总、事物识别和管理，如超市里商品的管理采用商品编码，人口的身份管理采用省份证号码等；第二个层次是排序，这一层次的度量结果不仅可以将事物分成不同的类别，而且可以按照某种顺序的结构排列先后次序，这种度量方式显然比起第一种精细，不仅可以区分事物的类别，还可以区别事物的先后；第三个层次式是定距尺度，这个尺度中就引入了数量关系，利用数量来衡量不同类别的距离，这个尺度中没有负数地概念，零也不代表着没有（如纪年的起始），如温度的度量，可以测距，不能做比较（除法运算）；第四个尺度是定比尺度，这一尺度是最精确的尺度，利用这一尺度度量出的数，不仅可以度量出距离，而且还可以进行数据的比较，由此需要引入零（代表着不存在）和负数（时光的倒流），数学家引入零和负数则使得人类对数的认识更加完善；这四个层次的信息量是由低到高，不断的精确。

变量与函数

变量与函数一、知识回顾1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量，函数中用x表示。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量，往往用c来表示。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数的表示方法（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

二、典型例题例1：骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（）A．沙漠B．体温 C．时间D．骆驼分析：因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．解答：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间；故选C．______________________________________________________________________例2：在圆的周长公式C=2r中，变量是________,________,常量是________.分析：根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．解答：∵在圆的周长公式C=2r中，C与r是改变的，是不变的；∴变量是C，r，常量是2．例3．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）分析：根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．解答：在A、B、D、选项的图上任意取一点，做垂直于x的直线，发现只有一个交点，故正确。

数学中的变量与函数关系

数学中的变量与函数关系数学中的变量与函数关系是一项基础而重要的概念。

变量和函数是数学中常见的概念，它们用于描述事物之间的关系以及数值的变化规律。

在本文中，将详细探讨数学中的变量与函数关系的基本概念、性质和应用。

一、变量变量是数学中用来表示不确定或可变值的符号。

通常用字母表示，比如x、y或者其他字母。

变量可以代表不同的数值，并且可以随着问题的不同而改变。

例如，当我们要描述一辆汽车的速度时，可以用v表示变量，因为不同的汽车会有不同的速度。

变量可以分为独立变量和因变量。

独立变量是研究中独立选择或设定的变量，它不依赖于其他变量。

而因变量是依赖于其他变量的变量，它的值根据独立变量的取值而改变。

例如，在研究中，以一个人的年龄为独立变量，体重为因变量，我们可以观察到随着年龄的增加，体重也会有相应的变化。

二、函数函数是数学中常见的关系类型，它描述了变量之间的映射关系。

对于给定的输入（自变量），函数会给出相应的输出（因变量）。

函数通常用f(x)来表示，其中，f表示函数名称，x表示自变量的取值。

函数有许多不同的类型，包括线性函数、二次函数、指数函数等。

不同类型的函数具有不同的性质和特点，它们可以用来描述不同类型的变量与变量之间的关系。

函数可以通过图像、表格或者公式来表示，这些表示方式都能够清晰地展示出变量与函数的关系。

三、变量与函数关系的性质在数学中，变量与函数关系具有许多重要的性质，其中包括：1. 单调性：变量与函数关系可以是单调递增的或单调递减的。

当自变量增大时，函数值也增大，则称其为单调递增；当自变量增大时，函数值减小，则称其为单调递减。

2. 奇偶性：变量与函数关系可以是奇函数或偶函数。

当函数满足f(-x) = -f(x)时，称其为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，称其为偶函数。

3. 周期性：变量与函数关系可以是周期函数。

周期函数在一定区间内重复出现相同的值。

例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们在一定范围内以一定的周期重复出现。

变量与函数

变量与函数知识要点：1.常量和变量的概念在某一变化过程中，我们称数值可以发生变化的量（即可以取不同数值的量）叫变量，数值保持不变的量叫常量。

2.常量和变量的关系常量与常量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：①看它是否在一个变化过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

常量是相对于某一个过程或另一个变量而言，绝对的常量是不存在的。

3.函数的概念在一变化过程中，如果有x和y两个变量，并且对于x的每一个确的值，y都有惟一确定与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

4.自变量的取值范围（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在一下几个方面：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开放式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解。

（2）当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。

5.函数值（1）对于自变量在取值范围的一个值。

如当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值；（2）求函数值的一般步骤：①代入；②计算求值。

注意：函数值是惟一确定的，但对应的自变量可以是多个。

6.函数图像对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，在坐标平面内就有一个点。

由这样的点的集合组成的图形叫作函数的图像。

7.画函数图像的步骤（1）列表：根据函数的解析式列出函数对应值表；（2）描点：用这些对应值作为点的坐标，在坐标平面内描点；（3）连线：把这些点用平滑的曲线连结起来，可得函数图像。

8.函数的三种表示方法（1）解析式法：优点是简明扼要、规范准确，便于分析推导函数的性质，不足之处是不能把一个函数在自变量取值范围内的所有函数值都列出来，所以有局部性；（2）列表法：优点是能够清晰地呈现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；（3）图像法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，不足之处是求得的函数值是近似的。

数学中的变量与函数关系

数学中的变量与函数关系在数学中，变量和函数是两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

变量是指在数学问题中可以改变的数值，而函数则是将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。

本文将探讨变量与函数之间的关系，并介绍在数学中常见的变量与函数的应用。

一、变量的概念与特点变量是数学中常见的概念，它表示可以改变的数值。

在数学问题中，我们经常需要考虑各种不同的情况，而这些情况中的数值就可以用变量来表示。

例如，我们可以用字母x表示一个未知的数值，这样就可以通过改变x的值来研究不同的数学关系。

变量的特点主要有以下几个方面：1. 可变性：变量的值可以根据需要进行改变，从而反映不同的情况或条件。

2. 未知性：变量通常代表一个未知的数值，我们需要通过运算或实验来确定其具体的取值。

3. 表示方式：变量通常用字母表示，如x、y、z等，但也可以使用其他符号或字母组合。

二、函数的定义与表示方式函数是一种将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。

它描述了输入和输出之间的关系，并可以用数学方式来表示。

通常，一个函数由以下几个要素组成：1. 自变量：函数的自变量是指输入的变量，也就是函数的参数。

它可以是一个或多个变量。

2. 因变量：函数的因变量是指函数的输出，也就是函数的值。

它通常用f(x)来表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。

3. 函数表达式：函数表达式是用来描述函数的数学式子，它由自变量和因变量之间的关系构成。

例如，f(x) = 2x表示一个线性函数，表示自变量x经过乘以2的运算后得到因变量f(x)。

函数可以用不同的表示方式来进行表达，常见的有以下几种形式：1. 显式表达式：函数表达式中直接给出了因变量与自变量之间的关系，如f(x)= 2x。

2. 隐式表达式：函数表达式中未直接给出因变量与自变量之间的关系，而是通过方程或不等式来描述，如x^2 + y^2 = 1表示一个圆的方程。

3. 参数方程：函数表达式中通过参数来描述因变量与自变量之间的关系，如x= cos(t), y = sin(t)表示一个单位圆的参数方程。

变量与函数的概念

变量与函数的概念知识点一函数的概念1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．知识点二函数相等一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.无穷大区间的表示：取遍数轴上所有的值3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号． ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．1．集合A ＝{}正方形可以作为某个函数的定义域．( ) 2．若1∈A ，则对于f ：A →B ，f (1)可能不存在．( )3．对于函数f ：A →B ，当x 1，x 2∈A 且x 1>x 2时，可能有f (x 1)＝f (x 2)．( ) 4．区间不可能是空集．( )类型一函数关系的判断例1 (1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x； ④r ：把x 对应到x .跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ ①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1. 类型二已知函数的解析式，求其定义域例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ； (3)y ＝2x ＋3－12－x＋1x.跟踪训练2 函数f (x )＝xx －1的定义域为________．类型三求函数的值域例3 求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝2x －x －1.跟踪训练3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x21＋x 2.类型四对于f (x )，f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )＝x ＋2，若f (a )＝4，则实数a ＝________. (2)已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f (g (2))的值； ③求f (a ＋1)，g (a －1)．跟踪训练4 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．(1)求f (0)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求f (1－x )及f (f (x ))．1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1} D ．{x |0≤x ≤1}3．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35D ．－355．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③D ．②③课时对点练一、选择题1．下列各式中是函数的个数为( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )23．已知f (x )＝π(x ∈R)，则f (π2)的值是( ) A ．π2B ．π C.π D ．不确定4．已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．0或15．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16二、填空题7．函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为________．8．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 9．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是________． 10．已知f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ＋3，则f (1)＝________. 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (a )； (2)若f (a )＝11，求a 的值．12．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)； (2)求f (－1)，f (12)的值．13．已知A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，求A ∩B .四、探究与拓展14．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3qD ．p 3＋q 215．已知函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018的值．。

变量与函数说课稿5篇

变量与函数说课稿5篇变量与函数说课稿5篇作为一名教职工，时常需要用到说课稿，借助说课稿可以更好地组织教学活动。

下面是小编为大家整理的变量与函数说课稿，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。

变量与函数说课稿（篇1）一、教材分析1、教材的地位和作用（1）本节课主要对函数单调性的`学习；（2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写）（3）它是历年高考的热点、难点问题（根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题就删掉）2、教材重、难点重点：函数单调性的定义难点：函数单调性的证明重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。

（这个必须要有）二、教学目标知识目标：（1）函数单调性的定义（2）函数单调性的证明能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识（这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化）三、教法学法分析1、教法分析“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。

新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。

本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法2、学法分析“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的只是。

学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。

在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法。

（前三部分用时控制在三分钟以内，可适当删减）四、教学过程1、以旧引新，导入新知通过课前小研究让学生自行绘制出一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x^2的图像，并观察函数图象的特点，总结归纳。

变量与函数-PPT课件全文

(2)在求自变量的取值范围时,要从两个方面来考虑: ①代数式要有意义；②要符合实际.
1、下列关系中，y不是x函数的是（ D ）
A. y x B. y x2 C. y x D. y x
2
2、求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=x-3 （2） y 1 x （3） y 3 2 x
（4）
大千世界万物皆变
行星在宇宙中的位置随时间而变化; 人体细胞的个数随年龄而变化; 气温随海拔而变化; 汽车行驶里程随行驶时间而变化;
……
这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时y的函数值。
t
1 2 3 4 ……
S
60 120 180 240 ……
思考下列问题？
（1）y 2x 中的y是x的函数吗是
（2）一天中的气温是时刻的函数吗？是
（3） y x 不是
判断是不是函数，我们可以看它的两个变量之间是否满足函数的定义
例1求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=2x
（2）
y 3 x2
（3）m n 1 （4）y 3 x 1
（5） h 1 k
k 1
(7) y x 1 x 1
(6) y x2 1
确定函数自变量取值范围的条件：
（1）分母不等于0；【1a（a≠ 0】
（2）开偶数次方中的被开方数必须大
于等于0。【 a（a≥0】
（2）若教室座位共安排15排，座位总数
将达到多少个？
（1）m=25+n-1=n+24， p 25 24 n • n 1 n(n 49)

变量与函数要点全析

变量与函数·要点全析1．变量与常量（1）变量（variable）在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）．如在汽车以80千米/时的速度匀速行驶的过程中，汽车行驶的路程s与行驶时间t之间有如下关系：s＝80t，其中的时间t、s都是变量．再如正方形的周长l与边长a之间有以下关系：l＝4a，其中a、l也是变量．类似的例子很多，不再多举例．（2）常量（constant）在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，这样的量我们称它们为常量（constant）．如上面两个问题中的速度80（千米/时）与周长公式中的4都是不变的量，都是常量．再如半径为R的圆的周长公式l＝2πR与面积公式S＝πR2，其中周长公式中的2π、面积公式中的π都是常量．（3）变量与常量是相对的．变量与常量是相对于某一变化过程而言的，是相对的．同一个量在某一个变化过程中是变量，而在另一个变化过程中可能是常量．因此，变量与常量是由问题变化过程中的条件来确定的．如在公式s＝vt中，s为汽车以v千米/时的速度行驶t小时的路程．若汽车匀速行驶，则速度v是常量，s、t是变量；若汽车行驶的路程s一定，则v、t是变量，而s则是常量，等等．2．函数（function）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应．那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（function）．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．例如：汽车在高速公路上以100千米/时的速度行驶．它走过的路程s（千米）随时间t（时）变化的关系是s＝100t路程s的数值是由时间t的数值来确定的．s与t之间的对应关系可用下表表示：t（时）0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …s（千50 100 150 200 250 300 350 …米）由上表可知，s和t具有一定的对应关系，对于变量t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，因此，我们说t是自变量，s是t的函数，并且当t＝2时，s＝200，即t＝2时，函数值s＝200．【说明】在函数的意义中包含三个要素：（1）自变量的取值范围；（2）两个变量之间的对应法则；（3）一个变量被唯一确定而形成的变化范围，如在上例中（1）自变量t的取值范围是t≥0（或非负）；（2）两个变量之间的对应法则是s ＝100t；（3）当t确定后，s的取值范围也随之而确定，即t≥0时，s≥0，因此s是t的函数．3．函数中自变量取值范围的确定函数中自变量取值范围的确定必须首先考虑两个方面：一是自变量的取值必须使含自变量的式子有意义；二是自变量的取值还应使实际问题有意义．这两个方面缺一不可，特别是后者，在学习中尤其更加注意．在求函数的自变量取值范围时大致可分以下几种情况：（1）函数关系式中是含有自变量的一个整式，自变量取值范围为全体实数，如函数y ＝3x ＋1，y ＝2x 2－3中，x 的取值范围是全体实数．（2）函数关系式是分式时，自变量的取值范围应使分式的分母不为0．如函数y ＝x 1中，x ≠0，再如y ＝21－x 中，x －2≠0即x ≠2等等．（3）函数关系式是二次根式时，自变量的取值范围应使二次根式有意义，被开方数不为负（或非负）．如函数y ＝2－x 中，x －2≥0，即x ≥2．（4）在实际问题中，自变量的取值应使实际问题有意义．如上述式子s ＝100t 中，t 的取值范围是t ≥0，再如某中学有x 名学生在校就餐，若每人每天消费3元钱，那么该校学生就餐消费总数y （元）与学生数x （人）之间的函数关系式y ＝3x ，在这个问题中既要考虑式子有意义，还要考虑实际问题有意义．从式子的本身应该是x ≥0就可以了，但x 为学生人数只能取整数，因此x 的取值范围便是全体自然数．（5）自变量的取值范围可以是有限的也可以是无限的．也可以是单独的一个数、一个式子或几个数等等．（6）若函数式子中，同时有分式、二次根式和涉及实际问题，应该使分式、二次根式和实际问题都有意义才行．可适当建立不等式组，不等式组的解集就是自变量的取值范围．4．函数的图象（1）函数的图象就是把自变量与函数值的每对对应值分别作为点的横、纵坐标．那么由这些点组成的图形就是函数的图象．如图1l-1-1为某地一天的气温图，图11-1-2为函数 y ＝x 2（x ＞0）的图象．（2）画函数图象的方法：分为三步．第一步：列表（表中给出自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，描出表格中各对数值的对应点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序依次把各点用平滑曲线连接起来）．（3）根据函数关系式中自变量及函数值的取值范围可以大体估计函数图象的位置．如函数y＝2x中，当x＞0时，y＞0；当x＝0时，y＝0，当x＜0时，y ＜0．那么此函数的图象经过坐标原点和第一、三象限．5．函数的表示方法函数的表示方法常见的有以下三种：（1）解析法将函数y用自变量x的各种数学运算构成的式子来表示函数的方法．如y＝100x，y＝3x－2，S＝4a等等都是用解析法表示的函数关系，这时的函数关系式有时也称做函数的解析式．解析法简洁明了、全面、准确地反映函数中两个变量之间的变化规律．但在求值时，往往要经过比较复杂的计算，而在实际问题中，有的函数关系不一定就能用解析法表达出来．（2）列表法把自变量x的值和与之对应的函数值y列成一个表格来表示函数的方法叫列表法．列表法一目了然，表格中的每一个自变量、函数的对应值．不用计算就能直接查出，使用起来方便、快捷．但列表法的局限性较大．因为能够列出的函数值是有限的，并且在表中也不容易看出自变量与函数之间的关系．（3）图象法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观．通过图象可以把函数的某些特征直观的表达出来．如函数的最大值、最小值，何时函数值随自变量的增大而增大．何时随自变量的增大而减小等等．但是，通过观察图象只能得到近似的数量关系．（4）以上三种表示法的优缺点比较方法优点缺点解析法全面、准确抽象、难算、计算量较大列表法一目了然、实用数据有限，规律不明显图象法直观形象、规律明显数据往往不精确在解决实际问题时，常常综合这三种方法，有选择地使用．6．函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系由函数图象的意义可知，图象上任一点P（x，y）中的x、y解析式所在方程的一个解．反之，以解析式所在方程的任意一个解为坐标的点都一定在函数的图象上．如函数y＝x＋3中，点（1，4），（2，5），（4，7）的坐标都是方程y＝x＋3的解，因此这些点都在函数y＝x＋3的图象上．通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足解析式，这个点就在函数的图象上，如果不能满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上，反之亦然．7．函数的应用函数关系在我们的日常生活中，随处可见，学好和用好函数，有时能帮助我们解决一些实际问题，甚至为我们进行科学决策提供理论上的支持．例如：某单位急需用车，但临时又不能够买车，他们准备和一个个体车主或一国有出租车公司签订月租合同，设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租公司的月费用是y2元，y1、y2与x之间的函数关系如图11-1-3所示，观察函数图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程，在什么范围内时，租国有公司的车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家的车费相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2 300 km，那么租哪一家的车合算？分析：本题属于函数的图象信息类问题，题目的条件在图象中表现得比较清楚、直观．因此，在做题前应认真细致地观察图象、充分挖掘图象中所提供的各种信息．解：由图象可知（1）当x＞1 500时，y l＞y2，这时租国有公司的车合算．（2）当x＝1 500时，y l＝y2，这时月行驶1 500 km，两家费用一样．（3）因2 300＞1 500，则y1＞y2，这时租国有公司的车合算．。

变量与函数

变量与函数
1 变量
变量是指存储和描述数据的一个名字或标志，是一种程序设计语言中的重要概念。

变量是用来占位符，用来储存和表示特定的值或者数据。

它们的值可以在程序的执行过程中发生变化，可以存储不同类型的值，比如数字、字符串、对象等。

变量名由数字和字母组成，以字母开头，不能有特殊符号，以防止编程出错。

2 函数
函数是程序中的一个关键概念，它可以简化程序的编写，使代码更加模块化、可复用，提高程序的可读性。

函数一般由参数、函数体和返回值组成。

参数是用来让函数进行不同的计算和操作；函数体是函数的主体语句，定义函数的执行流程及操作的语句；返回值则定义函数的执行结果，用来返回执行结果给调用者。

函数包含一个或多个函数体，这些函数可以多次被调用，以提高程序的可重用性。

数学中的变量与函数

数学中的变量与函数数学是一门抽象而且严谨的学科，其中最核心的概念之一就是变量与函数。

变量和函数在数学中扮演着重要的角色，它们帮助我们描述和理解世界中的各种数值关系和现象。

本文将探讨数学中的变量与函数的概念、特点以及它们在实际应用中的重要性。

一、变量：在数学中，变量是指可以取不同数值的量。

变量通常用字母来表示，例如x、y、a、b等。

它们的值可以根据具体的情况而变化，因此被称为变量。

变量可以代表不同的物理量，比如时间、距离、温度等。

使用变量可以简化问题的描述和解决过程，使得数学模型更加灵活且易于理解。

变量有两种类型：自变量和因变量。

自变量是指在函数中独立变化的量，它的取值不依赖于其他变量。

而因变量则是根据自变量的取值而确定的量，取值依赖于自变量。

自变量和因变量之间通常存在某种关系，这种关系可以用函数来表示。

二、函数：函数是数学中最重要的概念之一，它描述了自变量和因变量之间的关系。

函数可以理解为一种映射关系，它将每个自变量的取值映射到一个确定的因变量的取值上。

函数通常用f(x)或者y来表示，其中x为自变量，f(x)或y为因变量。

一个函数可以表示为y = f(x)，其中x为输入，y为输出。

函数具有以下特点：1. 唯一性：对于同一个自变量，函数有且只有一个对应的因变量值。

2. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

3. 图像：函数可以用图像来表示，图像上的每个点(x, y)表示函数在自变量为x时，因变量为y的取值。

函数在数学中扮演着重要的角色，它们用来描述和解决各种实际问题。

比如，利用函数可以描述物体的运动规律、描述市场需求与价格之间的关系等。

函数还可以通过一些基本的运算进行组合，形成更复杂的函数，进而拓展数学模型的应用范围。

三、变量与函数的关系：变量和函数之间存在密切的关系。

函数可以包含一个或多个变量，而变量的值可以通过函数来确定。

变量可以作为函数的自变量，用来描述函数的输入；而函数的结果则可以用变量来表示，用来描述函数的输出。

数学中的变量与函数

数学中的变量与函数数学是一门研究数量、结构、空间以及变化规律等概念的科学学科。

在数学中，变量与函数是两个重要的概念，它们在数学理论和实际应用中扮演着重要的角色。

一、变量变量是数学中的一个基本概念，它代表着一个未知的数值或者可以改变的数值。

在数学中，我们通常用字母来表示变量，如x，y，z等。

变量可以表示不同的数值，因此在求解问题时，可以方便地代入不同的数值进行计算和推导。

在代数中，变量用于表示未知数或者可变数，同时也可以用于表示在一个范围内可取不同数值的数。

变量可以与常数进行运算，例如加法、减法、乘法和除法等。

通过变量的使用，我们可以建立方程或者不等式来解决实际问题，从而求解出未知数的值或者确定一个范围内的数。

二、函数函数是数学中的另一个基本概念，它描述了变量之间的依赖关系。

函数由一个自变量和一个因变量组成，自变量是输入的变量，而因变量是根据自变量的取值确定的输出值。

通常来说，我们用f(x)表示函数，其中f是函数的名称，x是自变量。

函数可以通过一个或多个数学表达式来定义。

例如，线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数；指数函数可以表示为f(x) =a^x，其中a是底数。

函数可以用图像表示，通过绘制自变量和因变量的关系，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。

函数在数学中有着广泛的应用。

它可以用来描述物理现象、经济关系、自然规律等各种实际问题。

通过建立函数模型，我们可以预测未来的趋势或者进行优化和决策。

函数还可以用于求解方程和不等式，通过函数的性质和图像，我们可以找到方程或者不等式的解集。

三、变量与函数的关系变量与函数密切相关，它们在数学中起着互相支撑的作用。

变量是函数的基础，函数的定义和性质是由变量决定的。

变量可以作为函数的自变量，通过输入不同的数值来得到相应的函数值。

反过来，函数可以用来表示变量之间的关系，通过函数的定义和性质，我们可以推导出变量的特定取值条件。

在实际问题中，我们常常需要通过变量和函数来描述和解决复杂的情况。

变量与函数的概念以及函数的三种表示方法

变量与函数的概念
变量和常量：
世界是变化的，客观事物中存在大量的变量。

一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，称数值变化的量为变量。

函数：
在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，某些变量的变化会引起其他变量的变化。

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说，x是自变量，y是x的函数。

如果当x=a 时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

函数的三种表示方法
(1)列表法
①若自变量的取值范围为有限的几个数值，则将自变量的所有取值和对应的函数值填写在表格中；
②若自变量的取值范围为含无限数值的一个区间，则从自变量的取值范围中选取（有代
(2)解析式法
y=… (x的取值范围，若没有则默认x的取值范围为全体实数)
(3)图像法
函数的图像：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

描点法绘制函数图像：
①从x的取值范围中取出一些数值，并计算出y的对应值；
②在平面直角坐标系中描出点（x，y）；
③用平滑曲线连接这些点。

表示函数时，要根据情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用。

初中数学-变量与函数

14.1 变量与函数重要知识点讲解1、常量与变量在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。

2、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。

3、在一个函数关系式中，如果当x a=，那么b叫做当自变量的值为a时的=时，y b____________。

4、自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。

5、函数的图像（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。

（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。

（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。

答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。

重要知识点讲解知识点一：变量和常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。

当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。

注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不、、三者之间；相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：s v t（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。

变量与函数的定义及应用

变量与函数的定义及应用变量和函数是编程语言中最基本的概念之一，在编写代码时经常需要使用它们。

本文将介绍变量和函数的定义、用途和应用。

1. 变量的定义和应用变量是用来存储数据的容器，编写程序时必须首先定义变量，然后才能在程序中使用它们。

通常在定义变量时需要为其指定名称和数据类型。

（1）变量的定义在大多数编程语言中，变量的定义语句通常包含变量类型和名称。

例如，要定义一个整数类型的变量，可以使用如下语句：int num;这条语句定义了一个名为num的变量，它的数据类型是整数类型。

如果需要定义多个变量，可以使用逗号隔开，例如：int num1, num2;这条语句定义了两个整型变量num1和num2。

在有些编程语言中，定义变量时需要指定初始值。

例如，要定义一个初始值为10的整型变量，可以使用如下语句：int num = 10;（2）变量的应用定义变量后，可以在程序的任何地方使用它们。

例如，在使用C++编写的程序中，可以在函数中使用定义的变量，例如：int main(){int num = 10;cout << "num的值为：" << num << endl;return 0;在这个例子中，声明了一个名为num的变量，它的数据类型是int，值为10。

在main函数的第二行，输出了num的值。

2. 函数的定义和应用函数是一组预定义好的指令，用于执行特定的操作。

在编写程序时，通常需要多次调用函数，以实现不同的任务。

函数中通常包含输入参数、输出参数和一组操作。

（1）函数的定义函数的定义通常包含函数名称、输入参数、输出参数和操作。

例如，要定义一个名为add的函数，用于计算两个数值的和，可以使用如下语句：int add(int num1, int num2){return num1 + num2;在这个例子中，定义了一个名为add的函数，它接受两个整数类型的输入参数num1和num2，并返回它们的和。

变量与函数

数学变量与函数关系

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变量与函数说课稿5篇

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