第19讲方程与方程组2

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中考数学复习《二元一次方程组》

中考考点精讲精练
考点1 解二元一次方程组［5年1考：2013年(解答题)］
典型例题
1. 解方程组： x+y=5, 2x+3y=11.
解： x+y=5, ① 2x+3y=11. ②
①×3-②,得x=4. 把x=4代入①，得y=1. 则方程组的解为 x=4,
y=1.
2x+3y=12, 2. 解方程组：
y= -1.
4. 解方程组： x+3y=-1, 3x-2y=8.
解： x+3y=-1, ①
3x-2y=8. ②
由①得x=-1-3y. ③
把③代入②,得3(-1-3y)-2y=8.
解得y=-1.
则x=-1-3×(-1)=2. 故二元一次方程组的解为
x=2, y=-1.
考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为计算题，难度简单. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握消元法和代入法解二元一次方程组. 注意以下要点： (1)用代入消元法解二元一次方程组的步骤； (2)用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
பைடு நூலகம்
方法规律
1. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(概括为“变，代，解，回代，联”五步) (1)从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中
的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. (2)将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的
3. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤(概括为“审，找，列，解，答”五步) (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数. (2)找：找出能够表示题意的两个相等关系. (3)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组. (4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值. (5)答：在对求出的方程组的解做出是否合理的判断的基础上，写出答案.

六年级下册数学试题-小升初数学思维拓展第19讲方程(含答案解析)

小升初数学思维拓展第19讲方程一、知识地图⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一元一次方程一元一次方程的解法二元一次方程一元一次方程的应用不定方程等式基本性质（基本数量关系）一元一次方程的解法一元一次方程的应用方程今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。

——《九章算术》这是我国历史上一道三元一次方程组的经典名题，具有传统意义的方程概念及解法，由此可见前人在方程领域的研究和造诣。

百鸡问题今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。

凡百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十，鸡母十八，值钱五十四，鸡雏七十八，值钱二十六；又答：鸡翁八，值钱四十，鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七；又答：鸡翁十二，值钱六十，鸡母四，值钱十二，鸡雏八十四，值钱二十八。

术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三即得。

——《张丘建算经》百鸡问题是我国历史上的一道数学名题，百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

我国著名数学家陈景润在1978年所著的《初等数论》中也给出了百鸡问题的解法，实际上就是一个二元一次不定方程。

二、基础知识（一）等式的基本性质（1）等式：表示相等关系的式子；如：2+3=5，A B B A ⨯=⨯，…（2）等式基本性质1：等式两边同时加上同一个数或减去同一个数，等式性质不变；即如果A ＝B ，那么A ±m ＝B ±m 。

（3）等式基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不等于零的数，等式性质不变；即如果A ＝B ，那么Am ＝Bm 或A B n n =（m 、n 为两个数，n ≠0）。

（二）一元一次方程（1）方程：含有未知数的等式；如：37x +=，2113a b +=，326255p q +=，… （2）一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，214682m +=，… （3）一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解， 247q =是方程71539q +=的解，… （4）解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。

考点19 直线和圆的方程(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

所以，即，
所以，则，
因为，
所以，
即，
所以，
则，
所以，，
所以 .
故选：C.
二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知、分别是双曲线的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是（）
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．
A． B． C． D．
【答案】C

方程与方程组

第二讲方程与方程组一、学习指引1．知识要点（1）一元一次方程（2）二元一次方程组（3）一元二次方程（4）分式方程（5）方程的整数根（6）方程应用问题2．方法指导（1）一元一次方程经变形总可以化成ax=b的形式，此时需注意对字母系数的讨论．（2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元．（3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax2+bx+c=0(a ≠0)， b2-4ac称为该方程的根的判别式．（4）解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是：①审－－理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系，列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。

找等量关系的方法是—用两种方式表达同一个量！二、典型例题例1．解关于x 的方程：(1)4x+b=ax-8； (2) 0232=+-x x ；(3) 6,234()5() 2.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩ (4)21124x x x -=--例2．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，求k 的值．例3．关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．例4. 符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值：2111111xx =-- ．例5．设a 是方程0120062=+-x x 的一个根，求代数式20061200722++-a a a 的值．例6．求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解．例7．小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，•结果他的压岁钱还余30%，于是小明又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10%．（1）问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%，•问小明最多可比原计划多买几个玩具例8．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元例9．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游图1如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降如果人数不超过25例10．为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷顶；（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人．．．．的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷第二讲方程与方程组同步练习班级姓名【基础巩固】1.若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为__________．2.如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .3.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为____________. 4.已知x ay b=⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨+=⎩的解，则a+b 的值等于．5. 若x 与y 互为相反数，且532=-y x ，则=+332y x _________．6.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本为元.7.已知方程组325(1)7x ykx k y-=⎧⎨+-=⎩的解x，y，其和x+y=1，则k＝_____8.篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么姚明两分球投中球，罚球投中球.9. 用换元法解分式方程13101x xx x--+=-时，如果设1xyx-=，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．230y y+-= B．2310y y-+= C．2310y y-+= D．2310y y--= 10.一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍，则船在静水中航速与水的流速之比为（）A．3:1 :1 :1 :211.方程(3)(1)3x x x-+=-的解是（）A．0x= B．3x= C．3x=或1x=-D．3x=或0x=12．08年省政府提出确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知08年我省森林覆盖率为%，设从08年起我省森林覆盖率年平均增长率为x，则可列方程（）A．()60.051263%x+= B．()60.051263x+=C．()260.05163%x+= D．()260.05163x+=13．方程4x+y=20的正整数解有（）组.A．2 B.3142()x y=+，则x－y的值为（）A．－1 B．1 C．2 D．315．两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的4倍，这样的两位数共有（）个B.416.方程12x ⨯+23x ⨯+…+19951996x⨯=1995的解是( ) .1996 C【能力拓展】17.解下列关于x 的方程:(1)ax-1=bx (2) x 2－6x+9=（5－2x ）2（3）271132x y y x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩ (4)3215122=-+-x x x18．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+12by ax y x 与⎩⎨⎧=-=-452by ax y x 的解相同，求a ，b的值．19. 已知等腰三角形两边长分别是方程28150x x -+=的两根，求此等腰三角形的周长．20．已知a,b 是一元二次方程x 2－x －1=0的两个根,求代数式3a 2+2b 2－3a－2b的值．21.已知：关于x的方程0+kxx.（1）求证：方程有两个不相等的-122=实数根；（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.22.某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了7min30s，而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了1min30s，那么此人不走，•乘着扶梯从底部到顶部需用几分钟若停电，此人沿扶梯从底部走到顶部需几分钟（假定此人上，下扶梯的行走速度相同）路段为普通公路，其余路段为高速公23. 一辆汽车从A地驶往B地，前13路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．24.通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天（2）已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用若不够用，需要追加预算多少万元请说明理由．25．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．点P 、Q 同时由A 、B 两点出发，分别沿AC 、BC 方向都以1cm/s 的速度匀速移动，几秒后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半QCBA第二讲方程（典型例题）例1.(1) 当a ≠4时,•方程有惟一解x=84b a +-；当a=4且b=-8时,方程有无数个解；当a=4且b ≠-8时,方程无解；(2)x=1或2；(3) ⎩⎨⎧==17y x ；(4) x=23-．例2．k=103．例3. ∵原方程有两个不相等的实数根，224(4(12)(1)480b ac k k -=---⋅-=-+∴．> ，∴2k <．又∵原方程中，21≠-k ，10k +≥，∴112k k -≠≥且 ∴1122k k -≠≤且<．例=4．例．例6.⎩⎨⎧==010y x ，⎩⎨⎧==27y x ，⎩⎨⎧==44y x ，⎩⎨⎧==61y x 例7.（1）由小明原计划买x 个小熊玩具，压岁钱共有y 元由题意，得1030%,10(6)10%.y x y y x y -=⎧⎨-+=⎩ 解这个方程组，得21300x y =⎧⎨=⎩答：小明原计划买21个小熊玩具，压岁钱共有300元．（2）设小明比原计划多买z 个小熊玩具，由题意得300－10（21+z ）≥20%×300，解得z≤3．例8. （1）小李第一次购物付款198元．①当小李购买的物品不超过200元时，不予优惠，此时实际购买198元的物品；②当小李购买的物品超过200元时，设小李购买x 元的物品，依题意可得：x ×90%=198，解之，得x=220即小李实际购买220元的物品．（2）小李第二次购物付款554元，因为554>500，故第二次小李购物超过500元，•设第二次小李购物y 元，依题意可得：（y －500）×80%+500×90%=554，解之得y=630，即小李实际购买630元的物品．当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，•小张应购买的物品为：198+630=828（元）或者220+630=850（元），此时应付款为：500×90%+（828－500）×80%=（元）或者：500×90%+（850－500）×80%=730（元）答：小张应付款元或730元．例9. 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得[1000－20(x －25)]x ＝27000.整理，得x 2－75x +1350＝0，解这个方程，得x 1＝45，x 2＝30. 当x ＝45时，1000－20(x －25)＝600＜700，故舍去x 1；当x 2＝30时，1000－20(x －25)＝900＞700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例10.（1）2000（2）设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷，则由题意得：20002000022000(125)(1022)(50)x x -⨯+=--+％，5163(50)x x ∴=+． ∴解这个方程，得750x =．经检验，750x =是所列方程的根，且符合题意．答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．第二讲方程（同步练习）【基础巩固】1．-2 2．k ＞14-且0k ≠ 3．m ＞-6 且m ≠-4 4．1或5 5．-1 6．1257．533 8．8，3 9．A 10．B 11．D 12．D 13．C 14．C 15．B 16．B 【能力拓展】17．(1)当a ≠b 时,方程有惟一解x=1a b-；当a=b 时,方程无解；(2)x=38或2；(3) ⎩⎨⎧-==31y x ； (4) x=21-18． ⎩⎨⎧-==13y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2365b a 19．11或13. 20.∵ a ，b 是方程x 2－x －1=0的两个根 ∴ a= a 2－1 ，b= b 2－1∴ 3a 2+2b 2－3a －2b=3a 2+2b 2－3（a 2－1）－2（b 2－1）=5．21.（1）略；（2）另一根为21；k=1．22．设此不走，乘着扶梯从底部到顶部需要xmin ，停电时此人从底部走到顶部需用ymin ，依题意得 1111.51117.5x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 3.752.5x y =⎧⎨=⎩ 故乘着扶梯从底部到顶部需要用3min45s ；•停电时此人从底部走到顶部需要用2min30s ． 23．答案不唯一，略。

第19讲数学学习的基本理论

第十九讲数学学习的基本理论[学习目标]1、理解布鲁纳、奥苏伯尔等学习理论。

2、理解数学学习的基本过程。

3、掌握数学学习理论的有关概念和数学学习的心理规律。

4、理解迁移的概念和产生迁移的本质。

5、掌握概念学习、命题学习、技能学习和问题解决学习的内容和方式。

数学教育的对象是学生，他们是数学教育活动的主体。

学生获得数学知识、掌握数学技能、发展数学能力，以及养成良好的数学素养，都是在不断的数学学习过程中逐步完成的。

现代数学教育理论的最大突破点就在于它认识到：在讨论“教的规律”之前，首先必须了解“学的规律”，即研究学生是“如何学习数学”的问题。

揭示数学学习的内在规律，有利于教师采取积极有效的教学方法，提高数学教学的质量。

第一节有关学习理论对数学学习的启示对于学习的过程，有两种基本的见解：一种是以桑代克、斯金纳为代表的刺激——反应联结的学说，这种学说认为学习的过程是盲目的、渐进的、尝试错误直至最后取得成功的过程。

学习的实质就是形成刺激与反应之间的联结；另一种是以布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学说，这种学说认为学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。

其实质是，有内在逻辑意义的学习材料与学生原有的认知结构关联起来，新旧知识相互作用，从而新材料在学习者头脑中获得了新的意义。

本节主要介绍布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学习理论，并在此理论的基础上研究数学学习的过程，通过对学生数学学习过程中的心理分析，揭示数学学习过程的基本规律。

一、认知——发现理论和数学学习布鲁纳是西方认知心理学的主要代表人物之一，他的认知—发现理论起源于完形说。

他继承了完形说的观点，否认刺激与反应之间的直接联系，认为学习是通过认知，获得意义和意象，从而形成认知结构的过程。

布鲁纳认为学习包含三种几乎同时发生的过程：(1)新知的获得；(2)知识的改造；(3)检查知识是否恰当和充足。

他主要关心的是人们借以主动选择知识，记住知识和改造知识的手段，认为这就是学习的实质。

中考一轮复习第19讲《直角三角形》讲学案

中考数学一轮复习第19讲《直角三角形》【考点解析】知识点一：直角三角形的性质【例题】（·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．【变式】（·泰安，23，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是．【解析】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．根据同角的余角相等、等腰△ABE 的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠∠ACB＝∠FDB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA＝30°．知识点二：直角三角形的判定【例题】（·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．海里/小时 B． 30海里/小时C．海里/小时 D．海里/小时答案：D考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理．点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键．【变式】（3分）（•桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．解答：解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选A．点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．知识点三勾股定理及其逆定理的应用【例题】（·山东省东营市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【解析】勾股定理、分类讨论思想，在图①中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.【变式】（·陕西·3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．知识点四：直角三角形的综合应用【例题】（·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A． B．6 C． D．【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．【解答】解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中，AC′==3，∴B′C=3﹣3，在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．【变式】（四川巴中，29，10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵▱ABCD ，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF ∽△DEC ， ∴，∴DE===12．在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE===6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．【典例解析】【例题1】（·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A ．32 B ．332C ．32D ．不能确定[答案]B[考点]勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。

微分方程

3 2 y d x + ( x − 3 x y )d y = 0 *(2)
例 5 写出下列方程在极坐标系下的形式，并由此求其通解
y d x = ( x + x 2 + y 2 )d y
[19讲一2(2)]
例 6
f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上有定义，且对一切正实数 x 、 y 有
f ( x ) = yf ( x ) + xf ( y ) 。若 f ( x ) 在 x = 1点处可导，且 f ′(1) = 1 ，
(1) 特征值方法求解常系数线性齐次方程 (2) 待定系数法求常系数非齐次方程的一个特解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积
n 阶常系数齐次线性方程的通解情况表：
特征方程 λn + pn−1λn−1 + L + p1λ
+ p0 = 0
n 阶常系数齐次线性方程
y ( n ) + pn−1 y ( n−1) + L + p1 y′ + p0 y = 0
y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = 0
如果已知一个特解为
y1 ( x ), 则另一特解可设为
代入原方程可得到 u(x)
y2 ( x ) = y1 ( x )u( x )
从而 y2 ( x ) = y1 ∫
1 − ∫ a1 ( x )dx e dx 2 y1
例 19
以
u = ye
u′ + P ( x )u = Q( x )
(6)可化为齐次型的方程
c1 = c2 = 0 时,
dy a1 x + y + c2

C-高中数学二轮_三轮复习_专题7_数学思想方法课件_人教版

专题 7 │ 考情分析预测
纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见．预测 2011 年数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答题中以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方法，对数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加重视．
第 19 讲 │ 要点热点探究
(1){2}
【解析】由 logax＋logay＝c，
ac－ 1 ac － 1 得 y＝ (x∈[a,2a])，则当 x∈[a,2a]时，y∈ ，ac . x 2 2 又对于任意的 x∈[a,2a]，都有 y∈[a，a ]，
－ ac 1 ≥a， 2 因此 ac－ 1≤a2，
第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题 → → → 例 2 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，向量OA，OB，OC 探究点二
→ → → 满足：OA－[y＋2f′(1)]OB＋ln(x＋1)OC＝0. (1)求函数 y＝f(x)的表达式； 2x (2)若 x>0，证明：f(x)> ； x＋2 1 2 (3)若不等式 x ≤f(x2)＋m2－2bm－3 时，x∈[－1,1]及 b 2 ∈[－1,1]都恒成立，求实数 m 的取值范围．
2
第 19 讲 │ 要点热点探究
3 1 B 【解析】原问题⇔a＝－ 3有且仅有一个正实数解． x x 1 令＝t(t≠0)，则 a＝－t3＋3t. x 令 f(t)＝－t3＋3t(t≠0)，f′(t)＝－3t2＋3，由 f′(t)＝0，得 t＝1 或 t＝－1.又 t∈(－1,1)且 t≠0 时， f′(t)>0；t∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f′(t)<0. 所以 f(t)极大值＝f(1)＝2.又 t→－∞，f(t)→＋∞； t→＋∞，f(t)→－∞. 结合三次函数图象即可得到答案．

人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(2)一次函数与二元一次方程组

24
知识点三：二元一次方程组与一次函数的关系
学以致用
3.已知坐标平面上有两直线相交于一点(2，a)，且两直线的方
程式分别为2x+3y=7，3x-2y=b，其中a，b为两数，求a+b之值
为何?( C)A.1 B.-1 C.5 D.-5
4.若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象没有交点，则关于x
∴OA=3,OB=1,∴AB=4.∴S△ABC=
1 2
×4×1=2.
27
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
典例讲评
解：(3)能，理由如下：设点P的横坐标为x， y
则
S△APB=
1 2
×4×|x|=6，
A C
解得x=±3.
O
x
B
把x=3代入y=-2x-1，得y=-7；
把x=-3代入y=-2x-1，得y=5；
情景引入
大家观察一次函数的解析式y=x+1，是否有过这样的疑问:为什么一次函数的解析式与二元一次方程非常相似呢? 是的，你没有猜错，如果我们将一次函数的解析式看作为一个元一次方程，那么，一次函数y=x+1上的每一个点坐标就对应二元一次方程x-y+1=0上的一个解.一次函数图象上有无数个点，二元一次方程也有无数个解.本节课，我们就来看看一次函数与二元一次方程的关系.
y y=kx-1
A
O Bx C
31
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
学以致用
2.（3）①当点A运动到什么位置时， △AOB的面积是？ ②在①成立的情况下，在两条坐标轴上是
否存在一定P，使△POA是等腰直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

第四章n阶线性微分方程

因为
和
,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组
的满足初始条件
的解。另外，在n阶微分方程
（1.12）
中,令
就可以把它化成等价的一阶微分方程组
注意，这是一个含n个未知函数的一阶微分方程组。
第四章线性微分方程
第17讲 n 阶线性微分方程的一般理论第18讲 n 阶常系数线性齐次方程的解法第19讲 n 阶常系数线性非齐次方程的解法第20讲二阶常系数线性方程与振动现象
6．常数 4.2 n 阶常系数线性齐次方程解法本节只讨论常系数线性齐次方程（4.21） y^n+a_1y^(n-1)+…＋a_n-1y′+a_ny = 0 的求解问题，这里a_11，a_2，…，a_n为实常数.由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可.虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决.其中，一个自然的作法是把 (4.21)化成与之等价的一阶线性常系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组.但是这样的推导过程并不十分简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用下面的待定指数函数法求解. 首先，研究一个简单的一阶方程 y′+ ay = 0 （4.22）其中a是常数，不难求出它有特解 y = e-ax. 比较(4.21)与(4.22)，我们可以猜想方程(4.21)也有形如 y = eλx （4.23）的解，其中λ是待定常数.将(4.23)代入(4.21)中得到
式中比例常数c(>0)叫作弹性系数，根据所取的坐标系，恢复力f1的方向与位移x的方向相反，所以上式右端添一负号．

第19讲一次函数与方程、不等式(解析版)

第19讲一次函数与方程、不等式一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．四、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，y kx b =+k b y 0kx b +=x kx b +y kx b =+k b x 24y x =-+31322y x =-2431322y x y x =-+ìïí=-ïî35y x =-31y x =+ax b +ax b +ax b +ax b +a b a y ax b =+x ax b +a x函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.五、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.六、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．A ．13x y =ìí=îB 2．如图，直线153l x y -=：A ．12x y =ìí=îB ．3．直线2y ax =+与直线A ．3a =y axb =+y ax b =+x y ax b cx d +>+ac 0ac ¹Ûy ax b =+y cxd =+x Ûy ax b =+y cx d =+A ．12x =题型2：一次函数与一元一次方程6．若关于x 的方程2x A ．()1,0-．．．．．已知方程0ax b +=的解为，则一次函数y ax b =+的图象与A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =10．如图，直线5y x =+和直线y ax b =+相交于点(2025)P ，，则方程5x ax b +=+的解是（）A ．25x =B ．20x =C ．15x =D ．5x =题型3：一次函数与一元一次不等式(组)11．如图，直线()0y ax b a =+¹过点()0,3A ，()4,0B ，则不等式0ax b +>的解集是（）A ．4x >B ．4x <C ．3x >D ．3x <12．如图，已知一次函数y kx b =+的图像经过点()2,1，则不等式10kx b +->的解集为（）A ．2x <B ．2x >C ．1x >D ．1x <13．直线y kx b =+经过点()1,2--A 和点()2,0B -，则不等式20x kx b <+<的解集为（）A ．<2x -B ．2<<1x --C ．20x -<<D ．10x -<<14．如图，已知直线1y x m =+与21y kx =-相交于点()1,1P -，关于x 的不等式1x m kx +>-的解集是（）A ．1x >-B ．1x ³-C ．1x £-D ．1x <-15．如图，在平面直角坐标系中，若直线1y x a =-+与直线24y bx =-相交于点P ，则下列结论错误的是（）A ．方程4x a bx -+=-的解是1x =B ．不等式3x a -+<-和不等式43bx ->-的解集相同C ．不等式组40bx x a -<-+<的解集是2<<1x -D ．方程组4y x a y bx +=ìí-=î，的解是13x y =ìí=-î16．一次函数1y ax b =+与2y cx d =+的图象如图所示，下列说法：①对于函数1y ax b =+来说，y 随x 的增大而减小；②函数y ax d =+的图象不经过第一象限；③不等式ax b cx d +>+的解集是3x >；④()23a b a c -=-．其中正确的有（）A ．①②B ．②③④C ．①②④D ．②③一、单选题1．如图，若一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1A -，()1,1B ，则不等式1kx b +>的解集为（）A ．1x >B ．1x <C ．0x >D ．0x <【答案】A【分析】利用图象得出答案即可．【解析】解：如图：不等式1kx b +>的解集为：1x >．故选：A ．【点睛】此题主要考查用函数的观点看方程（组）或不等式，利用数形结合思想解题是关键．2．如图，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点P ，则关于x ，y 的方程组0y mx ny kx =+ìí-=î的解是（）A ．23x y =ìí=îB ．23x y =-ìí=-îC ．32x y =-ìí=-îD ．32x y =-ìí=î【答案】C【分析】根据两图象的交点坐标满足方程组，方程组的解就是交点坐标进行求解即可．【解析】解：由函数图象可知，一次函数y mx n =+和y kx =的图象交于点()32P --，，∴关于x ，y 的方程组0y mx n y kx =+ìí-=î的解是32x y =-ìí=-î．故选C ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3．如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过点()1,2--A 和点()2,0B -，一次函数2y x =的图像过点A ，则不等式2x kx b £+的解集为（）A ．1x £-B ．2x £-C ．1x ³D ．21x -£<-【答案】A【分析】根据图像知正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点，即可得出不等式2x kx b £+的解集．【解析】解：∵由图像可知：正比例函数2y x =和一次函数()0y kx b k =+¹的图像的交点是()1,2--A ，∴不等式2x kx b £+的解集是1x £-，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．4．已知方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，则直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为（）A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(3,-5)-D ．(3,5)-【答案】D【分析】由二元一次方程组的解对应两个方程所表示的一次函数的交点坐标，从而可得答案．【解析】解：Q 方程组1122y k x b y k x b =+ìí=+î的解为35x y =ìí=-î，\直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为(3,5)-，故选：D ．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与两个一次函数的交点坐标之间的联系，掌握“二元一次方程组的解是这两个方程对应的一次函数的交点坐标”是解题的关键．5．在直角坐标平面内，一次函数y ax b =+的图像如图所示，那么下列说法正确的是（）A ．当0x <时，20y -<<B ．方程 0ax b +=的解是2x =-C ．当2y >-时，0x >D ．不等式 0ax b +<的解集是0x <【答案】C【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．【解析】解：由函数y ax b =+的图象可知，当0x <时，2y <-，A 选项错误，不符合题意；方程 0ax b +=的解是1x =，B 选项错误，不符合题意；当2y >-时，0x >，故C 正确，符合题意；不等式 0ax b +<的解集是1x <，故D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．6．如图所示，已知一次函数y 1=kx +b 的图象经过A （1，2）、B （-1，0）两点，y 2=mx +n 的图象经过A 、C （3，0）两点，则不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是（）A ．01x <<B ．13x -<<C ．11x -<<D ．13x <<【答案】C【分析】由函数图象可知，当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，故可得出结论．【解析】解：∵当-1＜x ＜1时一次函数y 1=kx +b 的图象在x 轴的上方且在一次函数y 2=mx +n 的图象的下方，∴不等式组0＜kx +b ＜mx +n 的解集是-1＜x ＜1．故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式组，能利用数形结合求出不等式组的取值范围是解答此A ．关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =B ．关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x >C ．当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大D ．关于,x y 的方程组 0y mx y kx b-=ìí-=î的解是 12x y =ìí=î【答案】B 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【解析】解：Q 一次函数,y kx b k b =+（是常数，0k ¹）与正比例函数y mx m =（是常数，0m ¹）的图象相交于点()1,2M ，\关于x 的方程mx kx b =+的解是1x =，选项A 判断正确，不符合题意；关于x 的不等式mx kx b ³+的解集是1x ³，选项B 判断错误，符合题意；当0x <时，函数y kx b =+的值比函数y mx =的值大，选项C 判断正确，不符合题意；关于,x y 的方程组0y mx y kx b-=ìí-=î的解是12x y =ìí=î，选项D 判断正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．9．一次函数y mx n =+与y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．根据图像有下列五个结论：①0a >；②0n <；③方程0mx n +=的解是1x =；④不等式3ax b +>的解集是0x >；⑤不等式mx n ax b +£+的解集是2x £-．其中正确的结论个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据一次函数图像所经过的象限、一次函数图像与y 轴交点的位置以及函数与一元一次不等式的关系进行一一判断即可．二、填空题x>【答案】1【分析】观察图象，根据两函数图象的交点即可得出结论．=【解析】解：Q直线1y kx<\当1x>时，不等式y y∴当12y y >时，求x 的取值范围为x ＜-2或x ＞1，故答案为：x ＜-2或x ＞1．【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与不等式，解题的关键是画出图像，利用数形结合的方法解决问题．16．已知一次函数124y kx k =+-的图象不过第二象限．（1）k 的取值范围为．（2）对于一次函数()10y ax a a =-+¹，若对任意实数x【答案】84m --≤≤【分析】解方程组求出交点C 的坐标，过点C 时，分别求出m 的值即可得到答案．【解析】解：∵直线24y x =-+与直线三、解答题19．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,3A -和点()2,3B -．(1)求出这个一次函数的解析式；(2)直接写出不等式0kx b +³的解集．【答案】(1)一次函数的解析式为：y =(2)12x £【分析】（1）根据直线y kx b =+的图象经过点解出k ，b ，即可；（2）由（1）得，函数的解析式：y =-(1)求直线AB 的表达式；(2)求点C 的坐标．【答案】(1)5y x =-+(2)()3,2C 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解．【解析】（1）解：Q 直线y kx b =+经过点(5,0)(1,4)，，A B 得504k b k b +=ìí+=î，解得：15k b =-ìí=î，直线AB 的表达式为5y x =-+；（2）解：联立245y x y x =-ìí=-+î，解得：32x y =ìí=î，故点C 的坐标为()3,2C ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组．21．如图，根据图中信息解答下列问题：(1)求关于x 的不等式1mx n +<的解集；(2)当12y y £时，求x 的取值范围；(3)当210y y <<时，求x 的取值范围．【答案】(1)0x <(2)当12y y £时， 2x £(3)当210y y <<时， 24x <<【分析】（1）利用直线y mx n =+与x 轴的交点为()0,1，然后利用函数图象可得到不等式1mx n +<的解集．（2）结合两条直线的交点坐标为()2,1.8来求得12y y £解集．（3）结合函数图象直接写出答案．【解析】（1）解：∵直线1y mx n =+与y 轴的交点是()01，，∴当0x <时，11y <，即不等式1mx n +<的解集是0x <；（2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的下面时，有2x £．∴当12y y £时， 2x £；（3）解：由图可知，两条直线的交点坐标是()2,1.8，当函数1y 的图象在2y 的上面时21y y <，则2x >，又20y =Q 时，4x =，(1)直按写出关于x 的不等式组1122k x b k x b +>ìí+>î(2)若点C 坐标为()2,3，①关于x 的不等式1122k x b k x b +>+的解集是②求ABC V 的面积为______．【答案】(1)23x -<<(1)求一次函数表达式；(2)求D 点的坐标；(3)求COP V 的面积；(4)不解关于x y 、的方程组y y kx =-ìí=î(1)求点B的坐标及b的值；V的面积；(2)求AOB∴2AD =，3OB =，∴11233S AD OB =·=´´=∵3AOB S =△，1131S S ==´=(2)以自变量x 的值为横坐标，相应的函数值线；(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：①该函数的最小值为__________；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而③若关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，则【答案】(1)1k =，6m =（3）根据图象可得，①该函数的最小值为1；②当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；③∵关于x 的方程11x b +=-有两个不同的解，∴由图象可得，b 的取值范围为1b >．故答案为：1；增大；1b >．【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一(1)求点A的坐标；V(2)若点C在第二象限，ACD①求点C的坐标；x+>②直接写出不等式组4V沿x轴平移，点③将CAD把0x =代入4y x =+得：y ∴点B 的坐标为()0,4，设直线BD 的解析式为y k =4b ¢=ìí，(1)求直线AB 的表达式；(2)由图象直接写出关于x 的不等式102x kx b <<+的解集；(3)如图②所示，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt V 90BPM Ð=°，直线MA 交y 轴于点Q ．当点P 在x 轴上运动时，线段求出线段OQ 的长度；若变化，求线段OQ 的取值范围．【答案】(1)直线AB 的表达式为6y x =-+(2)04x <<∵90BPM Ð=°，∴90BPO MPN ÐÐ+=°．∵90BPO PBO ÐÐ+=°，∴MPN PBO ÐÐ=．∵90BOP PNM ÐÐ==°，PB =∴6OQ OA ==．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．。

第19讲不定方程-举一反三

第19讲不定方程1．若一个方程中，出现了两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程．“不’定方程”是指方程的解不确定．2．若一个方程组中，未知数的个数比方程的个数多，则称该方程组为不定方程组．这个不定也指方程组的解不确定，3．形如ax+by=c(a ，b ，c 均为常数且a ，b 均不为O)的方程称为二元一次方程．4．-个不定方程若有整数解时，其整数的解有无穷多个，且它的解的表达形式不唯一．5．定理：如果⎩⎨⎧==ny m x ,是二元一次不定方程c by ax =+的一组整数解，那么),2,1,0(, ±±=⎩⎨⎧+=-=t at n y bt m x 表示方程c by ax =+的所有整数解，可称它为原方程的通解．这里⎩⎨⎧==n y m x , 是原方程的一组特殊解，题1(1)求方程1542=+y x 的整数解；（2）求方程452=-y x 的全部整数解；(3)求方程735-=-y x 的正整数解.对于(1)，可用奇偶分析去分析；对于(2)，先观察一个特解，然后写出其通解；对于(3)，在写出方程的通解后，再解不等式确定方程的正整数解．解 (1)因为(2，4)一2，2不能整除15，所以方程无整数解．(2)由2x-5y=4，得,252y x +=取一组解为⎩⎨⎧==.2,7y x 故原方程的通解为⎩⎨⎧+=+=.22,57t y t x （t 为整数） (3)由5x-3y=-7，得,573-=y x 易知,10=x 40=y 是方程的一组解，由此可得通解为t t y t x (.54,31⎩⎨⎧-=-= 为整数）．因为⎩⎨⎧>>,0,0y x 所以⎩⎨⎧>+>+,054,031t t 解得,31->t 故当t=0，1，2……时，原方程有无穷多组正整数解，求不定方程ax+by=c 的解有如下几个问题：1．若a ，b ，c ，d 为整数，(a ，b)=d ，且d 不能整除c ，则不定方程没有整数解；2．求二元一次不定方程的整数解，可按下列步聚进行：(1)确定方程有无整数解； (2)求出方程的一个特解⎩⎨⎧==;,00y y x x (3)写出通解⎩⎨⎧+=-=;,00at y y bt x x （t 为整数）(4)解不等式组⎩⎨⎧>+>-;0,000at y bt x (5)确定t 的值，从而求出全部正整数解．读一题，练3题，练就解题高手1-1．若方程36x+83y=2有一组解为⎩⎨⎧-==,26,60y x 则方程的通解可表示为1-2．若方程2x+3y=l 有一组整数解为⎩⎨⎧-==,1,2y x 则由此得方程2x+3 y=-6的通解为 1-3．求方程7x+19y= 213的所有整数解．题2 已知m 是整数且,3060-<<-m 关于x,y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=---=-my x y x 73,532有整数解；则m= =+y x 2, 。

高考数学第1轮总复习第19讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理 (广东专版)

(2)原式＝2sisni2n2xx－＋scinoxs＋x 1 cosx sinx
＝sinxcosx(2－cosx－sinx) ＝(－1225)×(2－15)＝－110285.
方法 2：(1)联立方程组sinx＋cosx＝15
①
sin2x＋cos2x＝1
②
由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，
cosx sinx
【解析】方法 1：(1)由 sinx＋cosx＝15，两边平方得 sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝215，得 2sinxcosx＝－2245，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4295，又因为－π2<x<0，所以 sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0，故 sinx－cosx＝－75.
＝－1.
【点评】(1)求任意角三角函数值的过程可以归纳为“负化正，大化小，化成锐角再查表”，求值时，一定要认真审题，选择恰当公式，找出最佳途径，完成求值．
(2)三角函数的化简是各类考试重点的内容之一，要注意灵活，准确地使用诱导公式．
素材1
已知 cos(75°＋α)＝13，其中 α 为第三象限角，求 cos(105° －α)＋sin(α－105°)的值．
所以
cos(56π－θ)＝cos[π－(π6＋θ)]＝－cos(π6＋θ)＝－
3 3.
5.cos(π＋α)＝－12，则 sin(32π＋α)＝－12 .
【解析】由 cos(π＋α)＝－cosα，得 cosα＝12，所以 sin(32π＋α)＝－cosα＝－12.
一诱导公式的应用
【例 1】(1)求 sin(－136π)的值； (2)化简：
素材2 已知tantaαn－α 1＝－1，求 sin2α＋sinαcosα＋2 的值．

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2.4二元一次方程组的应用（1）【知识重点】1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程. 2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为： (1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)； (2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)； (3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意). 【经典例题】【例1】顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水涧的人数的2倍少1人．设到花果岭的人数为x 人，到云水涧的人数为y 人，根据题意可列方程组为（）A ．{x +y =200x =2y −1B ．{x +y =200y =2x −1C ．{x +y =200x =2y +1D ．{x +y =200y =2x +1【例2】某工厂有26名工人，一个工人每天可加工800个螺栓或1000个螺帽，1个螺栓与2个螺帽配套，现要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且没有剩余．若设安排x 个工人加工螺栓，y 个工人加工螺帽，则列出正确的二元一次方程组为（）A ．{x +y =261600x −1000y =0B ．{x +y =26800x −2000y =0C ．{x +y =263200x −1000y =0D ．{x +y =211600x −2000y =0【例3】打折前，买50件A 商品和20件B 商品用了1300元，买30件A 商品和10件B 商品用了750元．打折后，买100件A 商品和100件B 商品用了2800元，问比不打折少花了多少钱？【基础训练】1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm 和ycm ，则依题意可列方程组为（）A ．{x +2y =25y =3xB ．{x +2y =25x =3yC ．{2x −y =25x =3yD ．{2x +y =25y =3x2．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A 与玩偶B 组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A 和2个玩偶B ，已知每米布料可做1个玩偶A 或3个玩偶B ，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x 米布料做玩偶A ，用y 米布料做玩偶B ，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（）A ．{x +y =136x =3yB ．{x +y =136x =2×3yC ．{x +y =1363x =yD ．{x +y =1362x =3y3．七年级一班有x 人，分y 个学习小组，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人，求全班人数及分组数.正确的方程组为( )A ．{7x =y −38x =y +5B ．{7y =x +38x =y −5C ．{7y =x +38y =x −5D ．{7y =x −38y =x +54．某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人:若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x 人，组数为y 组，则可列方程为（）A ．{7y =x +38y =x +5B ．{7y =x +38y +5=xC ．{7y =x −38y +5=xD ．{7y =x −38y =x +55．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1、图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x 、y 的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为{3x +2y =114x +3y =26，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A ．{2x +3y =233x +4y =32B ．{2x +3y =233x +4y =37C ．{11x +3y =233x +4y =32D ．{3x +2y =234x +3y =326．一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为．7．如图，8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如图），若大长方形的宽为12cm ，则每一个小长方形的面积为 cm 2．8．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨. 9．如图，周长为68cm 的长方形ABCD 被分成7个相同的矩形，长方形ABCD 的面积为 cm 2.10．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x 个，小房间有y 个，则列出方程组为．11．某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？12．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．13．A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．14．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军89km，且第一天比第天少走1km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？15．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积.【培优训练】16．某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（17．小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说：“我也来试一试．“结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形，则每个小长方形的长和宽分别为（）A ．10mm ，18mmB ．18mm ，10mmC ．10mm ，6mmD ．6mm ，10mm18．上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中34男生与女生同桌，这些女生占全班女生的35，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x 人，女生y 人，则列方程组为（）A ．{x +4=y 34x =35yB ．{x +4=y 35x =34yC ．{x −4=y 34x =35yD ．{x −4=y 35x =34y19．玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x 天，乙种玩具零件y 天，则有（）A ．{x +y =6024x =12yB ．{x +y =6012x =24yC ．{x +y =602×24x =12yD ．{x +y =6024x =2×12y20．某纸厂要制作如图的甲、乙两种无盖的小长方体盒子．该厂利用边角材料裁出了长方形和正方形两种纸片，其中长方形纸片的宽和正方形纸片的边长相等．现用150张正方形纸片和300张长方形纸片制作这两种小盒，恰好用完．设可做成甲、乙两种盒子各x 、y 个，根据题意，可列正确的方程组为．21．一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快.20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需天.22．一艘轮船顺流航行时，每小时行32km ；逆流航行时，每小时行28km ，则轮船在静水中的速度是每小时行 km ．（轮船在静水中的速度大于水流速度） 23．某眼镜厂有工人25名，每人每天平均生产镜架9个或镜片12片.为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，设x 名工人生产镜架，y 名工人生产镜片，则可列出方程组： .24．把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm 2.25．在某工程建设中，有A、B两种卡车搬运沙土.据了解，3辆A种卡车与2辆B种卡车一次共可搬运沙土38立方米，2辆A种卡车与3辆B种卡车一次共可搬运沙土42立方米，求每辆A种卡车和每辆B种卡车分别可搬运沙土多少立方米？26．2022年5月8日是“母亲节”，小明买了一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈，以表祝福.在买花过程中，爱思考的小明发现一个数学问题：3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元，买2支百合和1支康乃馨共花费14元.如果买一束百合和康乃馨组合的鲜花共11支，且百合不少于2支，那么怎样组合，能使费用支出最少？请你帮助小明解决这个数学问题.27．甲乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了10件.甲、乙两人原来每小时各加工多少件？28．2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，如图所示是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克?29．某班为充实图书角图书，在学习委员的倡议下进行了一次给班级捐书活动，受污染区域（阴影部分）记录了在相应捐书数目为N时的人数分布情况.本以下的同学平均捐书3.5本.问捐书4本和5本的各有多少人？30．如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？31．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如下表是某省的电价标准（每月）.例如：方女士家5月份用电500度，电费＝180×0.6＋220×二档电价＋100×三档电价＝352元；李先生家5月份用电460度，交费316元.请问表中二档电价、三档电价各【直击中考】32．五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（） A ．30 B ．26 C ．24 D ．2233．“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x 场，平了y 场，根据题意可列方程组为（） A ．{x +y =7，3x +y =17. B ．{x +y =9，3x +y =17.C ．{x +y =7，x +3y =17.D ．{x +y =9，x +3y =17.34．上学期某班的学生都是双人桌，其中 14 男生与女生同桌，这些女生占全班女生的 15。

高中物理竞赛教程(超详细) 第十九讲相对论初步知识

高中物理竞赛原子物理学教程第一讲原子物理第二讲相对论初步知识第二讲相对论初步知识相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一，它标志着物理学的重大发展，使一些物理学的基本概念发生了深刻的变革。

狭义相对论提出了新的时空观，建立了高速运动物体的力学规律，揭露了质量和能量的内在联系，构成了近代物理学的两大支柱之一。

§2. 1 狭义相对论基本原理 2、1、1、伽利略相对性原理1632年，伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书，作出了如下概述：相对任何惯性系，力学规律都具有相同的形式，换言之，在描述力学的规律上，一切惯性系都是等价的。

这一原理称为伽利略相对性原理，或经典力学的相对性系原理。

其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。

2、1、2、狭义相对论的基本原理19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上，建立了完整的电磁理论，又称麦克斯韦电磁场方程组。

麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象，而且预言了电磁波的存在，确认光是波长较短的电磁波，电磁波在真空中的传播速度为一常数，秒米/100.38⨯=c ，并很快为实验所证实。

从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。

如果光波也和声波一样，是靠一种媒质（以太）传播的，那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不变的。

科学家们为了寻找以太做了大量的实验，其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验最为著名。

这个实验不但没能证明以太的存在，相反却宣判了以太的死刑，证明光速相对于地球是各向同性的。

但是这却与经典的运动学理论相矛盾。

爱因斯坦分析了物理学的发展，特别是电磁理论，摆脱了绝对时空观的束缚，科学地提出了两条假设，作为狭义相对论的两条基本原理：1、狭义相对论的相对性原理在所有的惯性系中，物理定律都具有相同的表达形式。

这条原理是力学相对性原理的推广，它不仅适用于力学定律，乃至适合电磁学，光学等所有物理定律。

狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选择无关，或者说一切惯性系都是等价的，人们不论在哪个惯性系中做实验，都不能确定该惯性系是静止的，还是在作匀速直线运动。

新课标高中数学理第一轮总复习第19讲等比数列公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

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【解析】1由S4
S8
a11 q4 1 q
a11 q8 1 q
1 ， 3
两式相除得1＋q4＝3，即q＝ 4 2.
2 a17＋a18＋a19＋a20
＝a1q16
1 q4 · 1 q
＝
a1
1 q 1 q
4
·q16＝24＝16.
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等比数列鉴定与证实
【例2】设数列{an}前n项和为Sn，数列{bn}中， b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)．若an＋Sn＝n， (1)设cn＝an－1，求证：数列{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}通项公式．
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【解析】1 设递增的正项等比数列an 的公比为q.
因为a5－a1＝a1 (q 4－1)＝15，a4－a2＝a1q (q 2－1)＝6，两式相除，得 q2 1＝ 5 ，
q2
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝1 . 2
因为数列an是递增的正项数列，所以q＝2.
将q＝2代入a1 (q 4－1)＝15，得a1＝1，
【例3】
已知递增的正项等比数列an中，a5－a1＝15，
a4－a2＝6.
1 试求an，Sn； 2 求证：S7，S14－S7，S21－S14成等比数列；
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3 若数列bn 满足：bn＝4an，在直角坐
标系中，画出bn＝f n的图象；源自4若数列cn满足：cn＝
1 an
，数列cn
的前n项和为Tn，试比较Tn与2的大小．
1 2
)n，所以S
n＝c1＋c2＋c3＋＋cn
＝1 ＋2 (1)2＋3 (1)3＋＋n (1)n，
2
2
2
2
1 2

第19讲--简单的递推数列

第19讲简单的递推数列竞赛热点递推数列是数列中的一类非常重要的形式，有关递推数列的试题在国内外各级各类竞赛中屡见不鲜。

有些题目技巧性较强，需要掌握与递推数列有关的知识、方法才能解决。

1．对数列}{n a 来说，若存在∈k +N 和一个把k n a +与前面k 项21,-+-+k n k n a a ，…，na 联系起来的方程)(0),,,,(21+-+-++∈=N n a a a a f n k n k n k n ，则称数列}{n a 为k 阶递推数列。

方程0),,,,(21=-+-++n k n k n k n a a a a f 是数列}{n a 的k 阶递推方程。

2．研究递推数列时，通常要求它的通项的表达式，即通项公式，求递推数列的通项公式的常用方法如下：（1）叠加法形为)(1n f a a n n +=+的递推数列的通项。

因为)1(,),3(),2(),1(1342312-=-=-=-=--n f a a f a a f a a f a a n n ，以上诸式相加得∑-=+=111).(n k n k f a a（2）叠乘法形如n n a n p a ∙=+)(1的递推数列的通项=--=-=--21)2()1()1(n n n a n p n p a n p a …=)1(-n p ·)2(-n p ·…·)1(p ·.1a（3）待定系数法形如q pa a n n +=+1（q p ,为常数，1≠p ，0≠q ）的递推数列的通项。

令)(1λλ+=++n n a p a ，则.)1(1q pa p pa a n n n +=-+=+λ 即.1-=p q λ 所以数列}1{-+p q a n 是一等比数列，公比为p ，即.1)1(11---+=-p q p p q a a n n （4）转化法形如)(1b f pa a n n +=+（1≠p 的常数）的递推数列的通项。

北师大版八年级上册数学第19讲《二元一次方程组的相关概念》知识点梳理

⎩ ⎨x - 2 y = 5 ⎨ y = b北师大版八年级上册数学第 19 讲《二元一次方程组的相关概念》知识点梳理【学习目标】1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2. 会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2） “未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：⎧x = 2,(1) 二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如： ⎨ y = 5.．(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎧3x + 1 = 0 ⎩ 也是二元一次方程组. 要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成⎧x = a 的⎩ 形式．⎩ ⎩⎧2x + y = 5(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎨2x + y = 6无解，而方程组 ⎧x + y = -1 ⎨2x + 2 y = -2 的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程 1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7；(6) x + 1 = 0 ；(7) 5x + 2 = 1 ；(8) x + 1 y = 3 ；(9) x 2 - 8 y = 0 ；(10)x + 4 y = 6 ． 2 y 2 2【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为 2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数 x 的次数为 2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】（2015 春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）A ．=y+5xB ．3x+2y=2x+2yC ．x=y 2+1D ．【答案】D ．类型二、二元一次方程的解2.（2016 春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程 x+y=7 的解的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】二元一次方程 x+y=7 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B⎨ y = 1y = 解：A 、把 x=﹣2，y=5 代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B 、把 x=3，y=4 代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C 、把 x=﹣1，y=7 代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D 、把 x=﹣2，y=﹣5 代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．故选 B ．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．举一反三：【变式】若方程ax - 2 y = 4 的一个解是⎧x = 2 ，则 a= .⎩ 【答案】33.已知二元一次方程 x + 3 y = 1 ．4 2(1)用含有 x 的代数式表示 y ；(2)用含有 y 的代数式表示 x ；⎧x = -2(3)用适当的数填空，使⎨ 是方程的解． ⎩【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为 3y ＝2 - x ，化 y 的系数为 1，得y = 2 - x ． 2 3 6(2)将方程变形为 x = 2 - 3y ，化 x 的系数为 1，得 x = 4 - 6 y ． 2(3)把 x ＝-2 代入 y = 2 - x 得， y ＝1． 3 6【总结升华】用含 x 的代数式表示 y ，其实质表示为“y ＝含 x 的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x +3y =7，用关于 y 的代数式表示 x ，用关于 x 的代数式表示 y ．⎨ y = -5 ⎩⎨ y = -5 ⎨ y = -5⎨y = -5 ⎨ y = -5 ⎩ ⎩ 解：（1）2x =7－3y ， x = 7 - 3y；（2）3y =7－2x ， y = 7 - 2x 23类型三、二元一次方程组及方程组的解4.（2015 春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】解：A 是二元二次方程组，故 A 不是二元一次方程组；B 是三元一次方程组，故 B 不是二元一次方程组；C 是二元一次方程组，故 C 是二元一次方程组；D 不是整式方程，故 D 不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是 1 的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．⎧4x + 2 y = 2 5.判断下列各组数是否是二元一次方程组⎨⎩x + y = -1 ① 的解． ②（1） ⎧x = 3 ⎩ ⎧x = -2 （2） ⎨ y = 1 【答案与解析】解：（1）把⎧x = 3 ⎩ 代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以⎧x = 3 ⎩ 是方程①的解．把 x ＝3，y ＝-5 代入方程②中，左边＝ 3 + (-5) = -2 ，右边＝ -1 ，左边≠右边，所以⎧x = 3 ⎩ 不是方程 ②的解．所以⎧x = 3⎩不是方程组的解．（2）把⎧x = -2 代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以⎧x = -2 不是方程①的解， ⎨ y = 1 ⎨ y = 1⎩ ⎩ ⎨ y = -2⎨ y = -2⎨2x - 5 y = 12再把⎧x = -2 代入方程②中，左边＝x+y ＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以⎧x = -2 是方程②的解，⎨ y = 1 但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．⎨ y = 1【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为⎧x = 1 ⎩ 的二元一次方程组．【答案】解：此题答案不唯一，可先任构造两个以⎧x = 1 ⎩为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：∵ x ＝1，y ＝-2，∴ x+y ＝1-2＝-1．2x-5y ＝2×1-5×(-2)＝12．∴ ⎧x + y = -1 ⎩ 就是所求的一个二元一次方程组．注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．。