2015江西公务员考试行测备考：均值不等式的巧妙应用

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行测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题

⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题做了许多⾏测模拟题还是没有有效的提升⾃⼰的分数？那是你没有掌握⼀些技巧和重点，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：均值不等式巧解极值问题极值问题在⾏测数学运算中被考察的⼏率很⼤，这类题⽬的解答⽅法⽐较多，对这类知识的考查也有可能会成为近⼏年的重点。

下⾯就讲解⼀下均值不等式解极值问题的应⽤。

⼀、什么是均值不等式⼆、均值不等式的应⽤ 1、和⼀定，求积最⼤。

由上述推论可知，当正实数a、b的和为定值时，a与b的乘积可取到最⼤值，当且仅当a=b时取到。

【试题再现】某苗⽊公司准备出售⼀批苗⽊，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗⽊单价每提⾼0.4元，就会少卖10000株。

问在最佳定价的情况下，该公司最⼤收⼊是多少万元?A.60B.80C.90D.100 【答案】C。

解析：总收⼊=售价×销量。

设最佳定价在4元每株的基础上提⾼0.4x元，则销量会在20万株的基础上少卖x万株故。

收⼊=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)。

求收⼊的最⼤值，即求(10+x)×(20-x)的最⼤值。

因为(10+x)+(20-x)=30，即(10+x)与(20-x)的和⼀定，当且仅当10+x=20-x，x=5时，(10+x)×(20-x)取到最⼤值(10+5)×(20-5)=225，故公司最⼤收⼊为0.4×225=90万元，选C。

2、积⼀定，求和最⼩。

由上述推论可知，当正实数a、b的乘积为定值时，a与b的和可取到最⼩值，当且仅当a=b时取到。

【试题再现】某村民要在屋顶建造⼀个长⽅体⽆盖贮⽔池，如果池底每平⽅⽶的造价为150元，池壁每平⽅⽶的造价为120元，那么要造⼀个深为3⽶容积为48⽴⽅⽶的⽆盖贮⽔池最低造价是多少元?A.6460B.7200C.8160D.9600 【答案】C。

2015江西公务员考试行测数学运算秒杀方法

2015江西公务员考试行测数学运算秒杀方法数学运算在行测考试当中属于比较难的一部分，所占的分值也比较高，在行测考试中能否取得一个很高的分数，数学部分是非常关键的。

众所周知，行测考试全部都是选择题，因此在考试当中不需要按照常规来做题目，如果按常规，做题时间肯定来不及。

中公教育专家在这里给大家简单介绍几种常见的秒杀方法。

一、利用整除进行秒杀例1：某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折，付款时满4 00元再减100元，已知某鞋柜全场8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了384.5元，问这双鞋的原价为多少钱?A.550B.600C.650D.700【中公解析】常规解法：假设原价为a，根据题目条件列方程：0.95×0.85a=384.5+10 0=484.5，解得x=600。

(计算过程较复杂)秒杀方法：观察484.5这个数，分析484.5，4+8+4+5=21，是可以被3整除的，而0.95和0.85都不能被3整除，所以a一定能被3整除，秒杀B。

这个题就利用了整除的思想快速得到答案。

例2：铺设一条自来水管道，甲队单独铺设8天可以完成，而乙队每天可铺设50米。

如果甲、乙两队同时铺设，4天可以完成全长的2/3，这条管道全长是多少米?A.1000米B.1100米C.1200米D.1300米【中公解析】方法1：假设总长为s，则2/3×s=s/8×4+ 50×4 则s=1200方法2：4天可以完成全长的2/3，说明完成共需要6天。

甲乙6天完成，1/6-1/8=1/2 4 说明乙需要24天完成，24×50=1200。

秒杀方法：利用比例法：完成全长的2/3说明全长是3的倍数，直接选C。

10秒就选出答案。

公考很多数学题目，甚至难题，都可以直接利用简单的数的整除特性，快速解出答案，稍难的题则需要做个简单的转化，就可以运用到整除，提高运算速度。

二、利用数字敏感进行秒杀例3：1 ，3， 11 ，67 ，629，( )A.2350B.3130C. 4783D. 7781【中公解析】常规方法：数字上升幅度比较快，从平方，相乘，立方着手。

2015江西公务员考试行测资料分析得分第一步：灵活列式子

2015江西公务员考试行测资料分析得分第一步：灵活列式子在江西公务员行测考试中，资料分析无论是题量还是分数都占相当大的比重，并且资料分析易学，好掌握，题型变化不大，这对于数学基础相对比较差的同学来说，学好资料分析很关键。

中公教育专家认为，想学好资料分析，必须首先把式子列好。

资料分析的列式子，不是随意列出来就完事，而是列出的式子要便于计算，要为计算去做铺垫，所以列式子必须在充分理解概念的基础上，只有这样计算才会快速、准确。

从近几年公务员考试的真题分析来看，资料分析一般都是围绕着增长、比重、倍数、平均数这些基本概念，所以重点要将这几个概念弄明白，那么列式子就会简单快速。

例如增长这个概念，增长可以分为量的增长，也可以分为率的增长，而量的增长可以用增长量或增长率来描述，率只能用量来描述，如图1所示：在做题时，究竟要用哪个式子，要根据题意而定，所列的式子不光要对，更重要的是要利于计算。

例1.从项目隶属关系看，1-5月份，中央项目投资5670亿元，同比增长0.3%;地方项目投资84584亿元，增长28.0%。

在注册类型中，1-5月份，内资企业投资83700亿元，同比增长26.7%;港澳台商投资3053亿元，增长25.6%;外商投资3141亿元，增长15.7%。

问题 2011年1-5月份，港澳台商投资额比上年同期增长了?A.584亿元B.622亿元C.658亿元D.702亿元中公解析：此题可由两种方法求出增长量，一种是2011年的量减去2010年的量，用式问题：2004年人均国内生产总值比2002年增长了百分之几?中公解析：设02年的为1，则03年的国内生产总值为1+8.4%，04年为(1+8.4%)(1+9. 3%)，则04年比02年增长了(1+8.4%)(1+9.3%)-1，很多考生也都能列出这样的式子，可是对此式子进行计算的时候，却是拿1.084×1.093-1，这样的乘积计算起来并不简单，其实对于(1+8.4%)(1+9.3%)-1完全还可以继续向下化简。

行测数量关系难点：均值不等式的应用

行测数量关系难点：均值不等式的应用中公教育研究与辅导专家金增赤同学们，我相信大家在做题的时候一定遇到过一些题目，明明自己当年在上学的时候会做，但是由于时间太过久远，导致自己忘记了具体的理论知识。

遇到这种情况，我们会感到非常的可惜，明明可以做出来的，但就是怎么也想不起来。

那么今天就让中公教育专家用几分钟的时间，回顾一下我们在中学时代学习过的一个知识点——均值不等式的应用。

首先我们来回顾一下什么是均值不等式，均值不等式又称之为平均值不等式，在中学时那好，这个公式是如何得到的呢？我们来推导一下！由一个数的平方大于等于0，可知()02≥-b a ，然后我们将括号展开，可以得到0222≥-+ab b a ，即ab b a 222≥+。

我们再在等号左右两端同时加上ab 2，得到ab ab b a 4222≥++，即()ab b a 42≥+。

当a 、b 都为正数时，在等式左右两端同时开平方，可以得到ab b a 2≥+，相等。

由此我们可以得出：当两个数a 、b 的和一定时，当b a =时，a 、b 的乘积取最大值。

当两个数a 、b 的乘积一定时，当b a =时，a 、b 的加和取最小值。

那好，我们来看一道例题：【例1】某农户要用篱笆将自己的菜园围起来，已知篱笆的总长度为48米。

请问农户的菜园面积最大为多少平方米？A .100 B.120 C.144 D.156中公解析：本题已知篱笆的总长度，问菜园面积的最大值，即篱笆可以围成面积的最大值。

设篱笆的长、宽分别为a 、b ，则()482=+b a 米，可得24=+b a 米，想求ab 得最大值为多少。

即当12==b a 米时，ab 取得最大值，1441212=⨯=ab 平方米。

菜园面积最大为144平方米，正确选项为C 。

同学们你学会了吗？我们来试一下吧！【例2】某报刊以每本2元的价格发行，可发行10万份。

若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元？A.24B.23.5C.23D.22.5 中公解析：设单价提高了x 2.0元，则发行量减少x 5.0万份，则销售收入为()()()()x x x x -+=-+20101.05.0102.02，在这里面将()x +10看作a ，()x -20看作b 。

2015江西公务员考试行测高分技巧：十字交叉法的的妙用

2015江西公务员考试行测高分技巧：十字交叉法的的妙用数量关系是大家公认的江西公务员考试行测难点，因此如何运用技巧快速解题是行测数量关系备考的重点。

中公教育专家将结合例题给大家讲解十字交叉法的应用，帮助各位考生有效备考。

原理：十字交叉法可以代替求和公式的简捷算法，实际上是一种图示法，特别适合于两总量、两关系的混合物的计算，用来计算混合物中两种组成成分的比值。

如：X%的溶液和Y%的溶液(X%〉Y%)混合为浓度为Z%的溶液，那么这两种溶液的质量之比为多少?
假设X%的溶液质量为A，Y%的溶液质量为B，则AX%+BY%=(A+B)Z%
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均值不等式,巧解高考题(高二、高三)

均值不等式,巧解高考题(高二、高三)
均值不等式是数学中一个重要的定理，在高考数学考试中，也常常出现均值不等式这类题目，值得深入了解。

均值不等式是指大于等于算术平均数的等式：有n个实数的算术平均数为x1, x2, x3,…, xn 的时候，可得:x1+x2+x3+…+xn≥n*x。

在高考中，经常出现均值不等式的题目。

比如有个简单的题目：若给定的三个数a,b,c的和为6，则a,b,c的算术平均数不大于多少呢？解题方法
1.设三个数为a,b,c，因为这三个数的和为6，所以，有a+b+c=6；
2.现在要求a,b,c的平均数不大于多少，即求a,b,c的算术平均数x，即x=（a+b+c）/3；
3.由于a,b,c三个数的和为6，代入上式可以得x=2；
4.最后，通过均值不等式可以得：a+b+c≥3*2，也就是a,b,c的算术平均数不大于2。

以上就是均值不等式的一般求解方法，解题的思路是先明确问题的类型，然后再利用均值不等式的条件来解决问题。

同时也可以利用均值不等式解答一些常见的数学题目。

总之，均值不等式是一个重要的数学定理，在高考数学考试中，也经常出现，要想在考试中取得好成绩，就要熟悉均值不等式相关的试题，并掌握它的解题思路。

均值不等式的应用(习题标准答案)

均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高考数学重难点分析：均值不等式及其应用(题型战法)(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）知识梳理1．算术平均值与几何平均值给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。

二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定三等：必须验证等号成立的条件。

4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误；对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误；对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式判断．【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y=+且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y 【答案】D 【解析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，由基本不等式可得2x y+≥A 错；对于B 选项，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，所以，22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2+x y，B 错；对于C 选项，因为0x >，0y >，由基本不等式可得x y+≥=，2xyx y≥+，C 错；对于D 选项，因为222x y xy +≥，()()2222x y x y +≥+，由不等式的性质可得()()2222x y xy x y ≥++，则(22x y x y +≥+22≥+x y，D 对. 故选：D.变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（） A ．11s t+≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，令a ＝－1s ， b ＝－1t，则1s ＋1t＝－a －b ＝－(a ＋b )≤－s t =取等号，不成立；对于B ，st >0,t s >0，所以s t ＋ts≥2，当且仅当s t =取等号，成立；对于C ，st ＝(－s )(－t )≤2222s t s t --+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立；对于D ，22222222124422s t s t st s t s t st +++++⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立．故选：A变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（）A ．2a b +B 2a b +C 2a b +D 2a b + 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ， ∴a +b＞2a b+，而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B题型战法二均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】【分析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为0a >，0b >且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时取等号；故选：A变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（） A ．2 B ．5 C ．32D ．52【答案】D 【解析】【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52. 故选：D变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（） A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lg lg lg lg 2a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭. 【详解】∵0a >，0b >，2a b +=，∴2lg lg lg lg 02a b a b ab +⎛⎫+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号. 故选：A.变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（） A．1 B ．2C ．4D ．【答案】B 【解析】【分析】根据已知求出1ab =，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg lg lg()0,1a b ab ab +==∴=，所以2a b +≥=，当且仅当1a b ==时取等号. 所以a b +的最小值为2. 故选：B变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（）A ．27B ．C ．12D ．【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为0x >，0y >，23x y +=，则29333x y x y +=+≥=当且仅当232x y ==时，等号成立，因此，93x y +的最小值为故选：D.题型战法三均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤C 2D ．112ab+≤【答案】D 【解析】【分析】A 、B 、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误. 【详解】A ：222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，又因为222a b +=，所以22ab ≥，即1ab ≤，故A 正确；B ：()2222224a b a b ab ab +=++=+≤，当且仅当a b =时，等号成立，因为0,0a b >>，所以2a b +≤，故B 正确；C 2224a b =++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，2，故C 正确；D ：若1,2a b ==，则112a b +>，故D 错误；故选：D.变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A ．112ab > B ．228a b +≥ C 2 D ．111a b+≤【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意0,0a b >>，且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，所以114ab ≥，所以A 选项错误. ()22221628a b a b ab ab +=+-=-≥，所以B 选项正确.2=，所以C 选项错误1141a b a b ab ab++==≥，所以D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可【详解】因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12，当且仅当12a b ==时取等号，所以B 错误，12，得14ab ≤，所以14ab ≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以C 正确，所以22211()212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=，当且仅当12a b ==时取等号，所以A 错误，由0a >，0b >，且1a b +=，得()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以D 错误，故选：C 变式3-3．已知 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由0,0a b ≥≥,且2a b +=，∴222224()22()a b a b ab a b =+=++≤+，∴ 222a b +≥．变式3-4．已知0a >，0b >，4a +=，则下列各式中正确的是（）A ．11ab+≤14B ．11a b+>1C ≤2D ．1ab≥1 【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项. 【详解】当2a b ==时，111a b+=，所以AB 选项错误，同时1114ab =<，所以D 选项错误.对于C 4222a b +==，当且仅当2a b ==时等号成立.所以C 选项正确. 故选：C题型战法四均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（）A．3+B ．12 C ．8+D ．6【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()112233y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2y xx y =，即1,x y ==. 故选：A.变式4-1．已知正数a ，b 满足1b +=，则19ab+的最小值为（） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20【答案】C 【解析】【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】由已知条件得()1919910b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=，当且仅当9b a a b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立. 故选：C .变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x，则4x y+的最小值是（） A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B 【解析】【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为x ，y 是正实数，所以0xy >故有(41141419552222x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4xy xy =，即32x =，43y =时取到等号. 故选：B.变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（）A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+【答案】A 【解析】【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（） A ．134B ．94C ．74D ．95【答案】B 【解析】将2m n +=拼凑为11144m n +++=，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】 ∵2m n +=，∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++54≥94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .题型战法五对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b +【答案】C 【解析】【分析】A 选项：取特值，当1ex =时，ln 1x =-，∴1ln 2ln x x+=-，由此可判断； B 选项：当sin 1x =时，4sin 5sin x x+=，由此可判断；C 12x⋅D 选项：取特值1a =，1b =-计算可判断.解：A 选项：当1ex =时，ln 1x =-，∴1ln 2ln x x+=-，故A 错误； B 选项：当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin (0,1]x ∈，∴当sin 1x =时，4sin 5sin x x +=，故B 错误；C选项：当0x >0>，122x⋅=，1=时，取等号，故C 正确；D 选项：当1a =，1b =-时，0ab ≠，2b a a b+=-，故D 错误. 故选：C.变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x -+≥【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，取2x =-，则444x x+=-<，故A 错. 对于B ，取1x e -=，则1ln 22ln x x+=-<，故B 错..对于C ，取1a b ==-112a b+=>-=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x -+≥，当且仅当0x =时等号成立，故选：D.变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4-D ．()f x 有最大值4- 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出．【详解】解：0x <，0x ∴->，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+⎢⎥-⎣⎦4≤--，当且仅当()4x x-=-，即2x =-时取等号， ()f x ∴有最大值4-.故选：D ．变式5-3．若12x -<<，则12x x +-的（） A ．最小值为0 B ．最大值为4 C ．最小值为4 D ．最大值为0【答案】D 【解析】【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为12x -<<，所以20x -<，则11222022x x x x ⎛⎫+=--+≤- ⎪--⎝⎭，当且仅当122x x-=-，即1x =时取等号，此时取得最大值0，故选：D ．变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当1≥x 时，44y x x =+≥，当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立. 故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x -+=-有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】【详解】依题意()122f x x x =-+-，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x -=-，即3x =时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x 的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1y x x=+在区间()0,1上递减，在()1,+∞上递增，而函数()122f x x x =-+-是由1y x x=+函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x =时，函数取得最小值为2.变式6-1．若0x <，则231x x +-的最大值是（）A ．2B ．2-C ．4D ．4-【答案】B 【解析】【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111x x x x x x x +-+-+==-++---，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x <，所以10x ->()()2212143412111x x x x x x x -+-++==-++--- 412221x x ⎛⎫=--++≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当411x x-=-，即1x =-时，等号成立，故选：B.变式6-2．若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（） A ．0 B ．2C ．1D ．3【答案】C 【解析】【分析】计算得出143xy x y z y x=+-，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz-的最小值是（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】由2221x y z ++=可得出22212z x y xy -=+≥，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz-的最小值. 【详解】2221x y z ++=，22212z x y xy ∴-=+≥，()225854254141xy xy z z ∴-=-⨯≥--=+，由于x 、y 、z均为正数，则25841144xy z z z z z -+≥=+≥=，当且仅当0140x y z z =>⎧⎪⎨=>⎪⎩时，即当12x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，58xyz-的最小值是4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +-=>过圆()()22122022x y -+-=的圆心，则11a b+的最小值为（） A．3+B ．3- C ．6 D ．9【答案】A 【解析】【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +-=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），11a b∴+的最小值为3+故选：A.变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =-，当角A取最大值时，则sin C =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()22234a b c =-，结合余弦定理可得cos A =时,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +-=答案. 【详解】由题意得，()22234a b c =-，故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +--+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈=,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +-+-=== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ．变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定【答案】B 【解析】【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解. 【详解】因为数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，所以3813,,a a a 成等比数列，所以31382+≥a a a ，又数列{}n b 是等差数列，所以6912,,b b b 成等差数列，所以61292+=b b b ，又因为98b a =，所以313612a a b b +≥+，故选：B 变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1【答案】B【解析】【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值．【详解】∵22211cos22cos 1112cos 2cos y x x x x =+=+-≥=，当且仅当2212cos 2cos x x=，即21cos 2x =时取等号﹒故选：B ．变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ-的最小值是（）A ．21B ．4C ．4D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,λμ的关系，即31144λμ+=，可得134λλμλ-=+-，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， ∵,,0,0AM AB AN AC λμλμ==>>， ∴3144AD AM AN λμ=+，因为,,M D N 三点共线，∴311 44λμ+=，∴134μλ=-，∵130,0,40λμμλ>>=->，∴34λ>，则133444λλλμλλ⎛⎫-=--=+-≥⎪⎝⎭；当且仅当3λλ=，即λ=故1λμ-的最小值是4；故选：C．。

公务员行测数量关系备考：均值不等式

公务员⾏测数量关系备考：均值不等式均值不等式作为常考题型之⼀，备考好此知识点⾮常重要，下⾯由店铺⼩编为你准备了“公务员⾏测数量关系备考：均值不等式”，仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容资讯！公务员⾏测数量关系备考：均值不等式在每年的各类考试中，极值问题都是常考的⼀类题⽬，极值问题其实是⾮常简单的⼀类题⽬，只要掌握基本公式和结论。

就能快速解题，下⾯⼩编就来带⼤家了解极值问题当中的⼀类问题—均值不等式。

什么是均值不等式定理1：若a、b是实数，则，等号当且仅当a=b时取得。

推论1：若a、b是正实数，，等号当且仅当a=b时取得。

定理2：若a、b、c是正实数，则，等号当且仅当a=b=c时取得。

推论2：若a、b、c是正实数，则，等号当且仅当a=b=c时取得。

均值不等式的应⽤（1）和⼀定，求积的最⼤值。

例1：3个⾃然数之和为14，它们的乘积的最⼤值是多少？A.42B.84C.100D.120 【答案】C。

解析：三个数的和⼀定，要想使积最⼤，则需要使这⼏个数尽量接近，取5、5、4，所以积最⼤为100。

C选项正确。

（2）积⼀定，求和的最⼩值。

例2：若两个⾃然数的积为100，则这两个⾃然数和的最⼩值为多少？A.10B.20C.30D.40 【答案】B。

根据，可得这两个⾃然数的和。

所以，这两个⾃然数和的最⼩值为20。

B选项正确。

例3：⽤18⽶长的警戒线围成各种长⽅形，要求长和宽的长度都是整数⽶。

围成的长⽅形⾯积最⼤是多少？A.18平⽅⽶B.20平⽅⽶C.25平⽅⽶D.40平⽅⽶【答案】B。

长⽅形的周长为18⽶，长⽅形⾯积为长×宽，则长+宽为定值9，两个数和为定值，要想使两个数积最⼤，则需使两个数尽量接近，⼜因长和宽都是整数⽶，则长和宽分别为4和5，⾯积最⼤为4×5=20。

B选项正确。

⾏测朴素逻辑备考：⽬标句法解半真半假题型在⾏测考试中，我们经常会遇到朴素逻辑题⽬，⽽其中真真假假更是令⼈头晕。

2015江西公务员考试行测解题技巧：分类分步思想之排列组合

2015江西公务员考试行测解题技巧：分类分步思想之排列组合分类分步思想是江西公务员考试行测数学运算解题的重要思想，对于分类分步思想来说，首先它们解决的都是方法数的问题，分类方法数相加，分步方法数相乘，判断一道题是分类还是分步要看分的情况能否完成这个事件，对于分类来说每一类均可以完成事件，而分步每一步均未完成事件，这也是分类和分步最核心的区别，而由分类分步思想延伸的应用主要有以下几个：一是排列组合问题，二是概率问题。

排列和组合均是研究从一些大元素中选取一些小元素的方法数，只是在选取的过程中排列强调顺序，而组合则不需要强调顺序，也就是通常说的“有序排列、无序组合”。

更直白一点就是“排列”调换顺序后产生了不同的结果，而组合不管如何调换顺序结果都一样。

中公教育专家带领考生来看几道例题：
1.要求厨师从12种主料中挑选出2种、从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴?
A.131204
B.132132
C.130468
D.133456
【答案】B。

通过以上题目可见排列组合问题一直是考试中的热门话题，考生在复习的过程中要注意把握这块知识。

最后，中公教育专家祝大家一举成“公”!
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均值不等式的应用

均值不等式的应用(习题-标准答案)(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式运用的技巧

均值不等式运用的技巧均值不等式是解决最值问题的有效工具。

运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。

多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。

掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。

该题组的设计实际上是根据“一正、二定、三相等”三个条件设计的三个题组，整个设计由浅入深，教师在教学的过程中通过有效的提问，采用小组讨论、生生合作、师生探究的方式组织教学工作。

教师课堂驾驭能力强，关注每一位学生，多数学生均有不同程度的收获。

但教学过程中，教师只为了获得问题的结论，而不关注学生的思考过程。

如（3）的变式一有学生认为最小值为，不知道为什么要拼凑为1(1)1y x x =+++，其实这个问题解决了，（4）的变式二也就解决了。

又如（5）教师只关注了答案为18的同学的思维过程，有的学生错解为82()()16y x y x y =++≥=，所以最小值为16，学生认为等号成立的条件为xy =且82x y=，显然不能同时成立。

而这部分学生恰好没有受到老师的特别关注。

1. 凑系数例1 当4x 0<<时，求)x 28(x y -=的最大值。

利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。

注意到8)x 28(x 2=-+为定值，故需将“x ”项凑上一个系数即可。

解：由4x 0<<，知82x 28x 221)]x 28(x 2[21)x 28(x y ,0x 282=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=>-，当且仅当2x ,x 28x 2=-=时取等号。

其最大值是8。

点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项例2 求)1x (1x 1x y <-+=的最值。

分析：由题意知01x <-，首先要调整符号，而1x 1·x -不是定值，需对x 进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。

公务员考试行测备考：你认识均值不等式吗

在公务员考试行测试题中，有一类考点往往会被各位考生忽略，那就是均值不等式，他在考试中出现的频率较高，但其实掌握起来非常简单，新西南教育带大家来了解一下什么叫均值不等式。

和定，差小，积大;积定，差小，和小。

而这两个结论就是我们拿均值不等式做题的关键。

那么接下来我们一起看看均值不等式到底会考什么。

考点一均值不等式解决简单计算问题例1.花农李大爷打算用24米的篱笆围成一个矩形的花坛，那么这个花坛面积最大为多少?A.30B.36C.40D.44【参考解析】根据题意，篱笆长24米，即周长为24米，这时长+宽的和是一个定值，为周长的一半，也就是12，那么我们要求的是面积最大，即长和宽的乘积最大，利用刚才得出的结论，和定，差小，积大，让长=宽=6时面积最大，此时面积为36，答案选B。

例2.某体育管计划在一个容积为144立方米水的敞口泳池四周及池底贴瓷砖，已知泳池的底面积为36平方米，每平方米瓷砖的价格为50元，则最终的花费最少为多少元?A.6000B.6300C.6600D.6900【参考解析】根据题意，游泳池的容积=底面积×高，容积为144立方米，底面积为36平方米，则高为4米，现在底面积已经是个定值了，要想使最终花费最少，则侧面积越少约好，我们知道泳池的侧面积=底面周长×高，周长越短，则侧面积越小，底面周长=2×(长+宽)，已知长×宽=36平方米，根据积定，差小，和小可知，当长宽相等时，底面周长最小此时长=宽=6米，此时侧面积为4×6×4=96平方米，因此泳池总的花费为50×(96+36)=6600元。

答案选C。

考点二均值不等式解决二次方程的极值问题例.某银行系统业务知识竞赛共有80道题，选手得分包括基本分和加分两部分。

每答对一道题，可以选择基本分部分增加100分，或者选择基本分部分不加分，加分部分增加总基本分的5%，最终得分为两部分合计。

均值不等式的应用(习题答案)

均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋（2）y＝x＋解：（1）y＝3x 2＋≥2＝∴值域为[，+∞）（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时，y＝x＋= －（－x－）≤－2=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。

解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设，求函数的最大值。

解：∵∴∴当且仅当即时等号成立。

技巧三：分离例3. 求的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

事业单位数量关系：均值不等式

在行测考试中，我们经常会遇到求极大值和极小值这一类的题目，我们把这类题目统称为极值问题。

当题干或者问法中出现最大或最小、最多或最少，至多或至少这样的字眼时都是求极值的问题，今天我们就来学习一种方法求解极值方法，均值不等式。

一、什么是均值不等式结论：和一定的两个数，差越小，积越大(针对两个数取不到相等的情况);积一定的两个数，差越小，和越小(针对两个数取不到相等的情况)。

二、均值不等式的应用和一定，求积的最大值【例1】某外贸公司生产运动服，每套的成本是144元，售价是200元。

一个经销商订购了120套运动服，并提出：如果每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套。

按经销商的要求，该外贸公司获得最大利润需售出的套数是：A.144B.136C.128D.142【解析】A。

最大的利润=每套利润×销售套数，现在要求的是销售的套数，题目中告诉每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套，但是具体降低了多少钱未知，可以设每套运动服的的售价降低2X元，则多订购了6X套。

原来每套的利润为200-144=56元，则所获总利润为(56-2X)(120-6X)=12(28-6X)(20 +X)，因为(28-X)与(20+X)之和为定值，可以根据均值不等式原理，当且仅当2 8-X=20+X，即x=4 时，所获利润最大，此时售出的套数是120+6×4=144 套。

【例2】一款笔记本以每本2元的价格批发，可出售10万本。

若该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，则该款笔记本可能的最大销售收入为多少万元?A.25.5B.24.5C.23.5D.22.5【解析】D。

销售收入=单价×销量，题目告诉该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，但是具体提高了多少钱未知，可以设价格提高了0.2X元，则销量为(10-0.5X)万本，销售收入=(2+0.2X)×(10-0.5X)=0.1×(10+X)×(20-X)，因为(10+X)与(20-X)(20-X)之和为定值。

高考数学命题热点名师解密：专题(32)均值不等式的灵活应用(文)(含答案)

专题32 均值不等式的灵活应用一．【学习目标】会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力．二．【知识要点】1.不等式建模应用问题实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题⇒假设建模⇒求解模型⇒检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.2.不等式综合应用类型类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题. 类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等.类型4：探究数列的递增(递减)性，前n 项和的最值等问题. 3．基本不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；变式：a 2＋b 22≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立；(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥ab ；变式：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab叫做正数a ，b 的几何平均数．4．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝P 24可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P 24；(2)若a >0，b >0且ab ＝S (定值)，则由a ＋b ≥2ab ＝2S 可知，当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2S . 三．题型方法规律总结1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.四．典例分析（一）基本不等式比较大小例1．若，，则下列结论：①，②③④，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D练习1．若m，n，a，b，c，d均为正数，，则p，q的大小关系为( ) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定【答案】B【解析】q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．练习2．若，，，，则A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴，且，∴，即．故选B．练习3．设f(x)＝e x,0<a<b，若，，，则下列关系式中正确的是( )A．q＝r<p B．p＝r<q C．q＝r>p D．p＝r>q【答案】C【解析】由题意得，∵，∴，又函数为增函数，∴．故选C．（二）利用基本不等式证明例2.已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】，，，上面三式相加，得：，所以，.练习1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题 B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D．否命题为假命题，逆否命题为真命题【答案】A“设a、，原命题“若，则”，【解析】原命题：是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．练习2．已知，，为不全相等的正实数，且.求证：.【答案】见解析练习3．下列条件：①，②，③，，④，，其中能使成立的条件的序号是________．【答案】①③④【解析】要使，只需成立，即，不为且同号即可，故①③④能使成立．.故答案为：①③④.（三）由基本不等式求积的最值例3. 4．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，即，解得，又由，且，联立方程组，解得.（2）由余弦定理，得因为，所以，又因为，所以三角形的面积为，此时练习1．已知，且，则的最大值是（）A． B．4 C． D．8【答案】C【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，所以的最大值是．故选C．【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是；逆用就是等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．练习2．已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1=1．圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得．故选：B．练习3．已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以，故最大值为1（四）基本不等式求和的最值例4.已知实数，满足，，则的最小值是A．10 B．9 C． D．【答案】B【解析】，，，，当且仅当时，取等号．则，当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.练习1．若正数满足，则的最小值为( )A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，∴,∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y 取等号，结合x+4y＝xy，解得x＝6，y＝3∴x+y的最小值为9，故答案为：A．练习2．已知，且，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可知，且，则，则，当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.练习3．已知，且，则的最小值为______．【答案】15（五）条件等式求最值例5．若直线过圆的圆心，则的最小值为( )A．10 B． C． D．【答案】C【解析】圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2＝0上，所以﹣2a﹣2b+2＝0，即1＝a+b，（）（a+b）＝55+2（a＞0，b＞0当且仅当a b时取等号）故选：C．练习1．已知实数，且，则的最小值为____【答案】【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，所以，，令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，所以，当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．练习2．若实数，满足，则的最小值为____.【答案】4【解析】∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2]，（4），当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．故答案为：4．练习3．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．【答案】1【解析】∵点在椭圆上运动，即，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.练习4．已知，，，则的最小值为_______．【答案】3【解析】因为，，所以=（六）基本不等式的恒成立问题例6.已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2),使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意得不等式可化为或或或解得．所以不等式的解集为．(2)，使得成立，等价于.由(1)知，当时，，当且仅当，即当时，等号成立．所以，解得，又，所以．故实数的取值范围为．【点睛】解绝对值不等式的常用方法(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．练习1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，当等号成立.故恒成，化简得，解得，故选C.练习 2．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，则对任意的正实数x，y恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m的最小值是4．故选：B．练习3．（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则x+y的最小值？（2）已知不等式的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若对任意满足条件的m，n，恒有成立，则λ的取值范围？【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]【解析】（1）∵x＞0，y＞0，∴，当且仅当x=y时取等号由x+y+xy=8，可得：8﹣（x+y）≤．令x+y=t．（t＞0）．得8﹣t≤，（t＞0）. 解得：t≥4，即x+y≥4．故x+y的最小值为4．（2）由不等式的解集为{x|a≤x＜b}，可得方程（x+2）（x+1）=0的两个根=a=﹣2，=b=﹣1．∵点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．对任意满足条件的m，n，恒有成立，则：．当且仅当n=m 时取等号．∴λ≤9．即λ的取值范围是（﹣∞，9]．练习4．若不等式＞0在满足条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(－∞，4)【解析】原不等式可化为＞.∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.∴不等式λ＜恒成立．∵＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴λ＜4.故实数λ的取值范围是(－∞，4)．（七）对勾函数求最值例7．已知。

均值不等式应用(技巧)

均值不等式应用〔技巧〕一．均值不等式1.〔1〕假设R b a ∈,，那么ab b a 222≥+ (2)假设R b a ∈,，那么222b a ab +≤〔当且仅当b a =时取“=〞〕2. (1)假设*,R b a ∈，那么ab b a ≥+2(2)假设*,R b a ∈，那么ab b a 2≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕(3)假设*,R b a ∈，那么22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=〞〕 0x >，那么12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕;假设0x <，那么12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=〞〕假设0x ≠，那么11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=〞〕3.假设0>ab ，那么2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=〞〕假设0ab ≠，那么22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕 4.假设R b a ∈,，那么2)2(222b a b a +≤+〔当且仅当b a =时取“=〞〕注：〔1〕当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大〞．〔2〕求最值的条件“一正，二定，三取等〞(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求以下函数的值域〔1〕y ＝3x 2＋12x 2 〔2〕y ＝x ＋1x解：〔1〕y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞〕〔2〕当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －〔－ x －1x 〕≤－2x ·1x=－2∴值域为〔－∞，－2]∪[2，+∞〕解题技巧：技巧一：凑项例1：54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式的应用(习题+答案)均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则abba ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。