全等三角形提高(含答案)-教师版

1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

解：

延长AD到E,使DE=AD,

则△ADC≌△EBD

∴BE=AC=2

在△ABE中,AB-BE

∴10-2<2AD<10+2 4

又AD是整数,

∴AD=5

2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：

连接BF和EF。

∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

∴△BCF≌△EDF(边角边)。

∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在△BEF中,BF=EF。

∴∠EBF=∠BEF。

又∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在△ABF和△AEF中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

∴△ABF≌△AEF

∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

证明：

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G

则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2

又∵CD=DE

∴△ADC≌△GDE（AAS）

∴EG=AC

∵EF∥AB

∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE

∴EF=EG

∴EF=AC

4.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）

∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD，AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C

5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，

∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，

∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA

∵AC平分∠BAD

∴∠DAC＝∠FAC

又∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD

上。求证：BC=AB+DC。

证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.

∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,

∴⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;

AB平行于CD,

∴∠A+∠D=180°;

又∵∠EFB+∠EFC=180°,

∴∠EFC=∠D;

又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,

∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

∴BC=BF+FC=AB+CD.

7.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

∵AB∥ED, AE∥BD ∴AE=BD,

又∵AF=CD, EF=BC

D

C F

E

∴△AEF≌△DCB，

∴∠C=∠F

8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．

证明：

延长AD至H交BC于H;

BD=DC;

∴∠DBC=∠DCB;

∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;

∠ABC=∠ACB;

∴AB=AC;

△ABD≌△ACD;

∠BAD=∠CAD;

AD是等腰三角形的顶角平分线

∴AD⊥BC

9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA

证明：

∵AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，

且∠MOA=∠MOB

∴MA=MB

∴∠MAB=∠MBA

∵∠OAM=∠OBM=90度

∴∠OAB=90-∠MAB，∠OBA=90-∠MBA

∴∠OAB=∠OBA

10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP

于D ．求证：AD +BC =AB ．

证明：

作BE 的延长线，与AP 相交于F 点， ∵PA ∥BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°

∴∠

AEB=90°，EAB 为直角三角形

在△ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴△FAB 为等腰三角形， AB=AF,BE=EF 在△DEF 与△BEC 中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ， ∴△DEF ≌△BEC ，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

11．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B

证明：

在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD

∴△ADE ≌△ADC 。 ∴DE=CD ，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ，

∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

P E

D

C

B

A D C

B

A