一次函数与反比例4课时

一次函数与反比例函数
第一课时 考点分析
一、专题内容：解答题第22题 二、复习建议：
1、本题要进行专题强化训练,熟练掌握如下基础知识；
（1）若反比例函数k
y x
=
（k ≠0）图像过P 11(,)x y ，22(,)P x y ，则1122x y x y k ⋅=⋅= （2）一次函数(0)y kx b k =+≠与反比例函数(0)m
y m x
=≠的交点横坐标求解方程
m kx b x +=的解，交点个数需要通过方程m
kx b x
+=的判别式来探究。

（3）不等式m kx b x +≤与m
kx b x
+≥解集要通过数形结合思想解决问题。

（4）一次函数(0)y kx k =≠与反比例函数(0)m
y m x
=≠交于点A 、B ，则OA=OB 。

2、教学时应引导学生分析图中的基本图形，并运用图形的特征迅速找到解题突破口；
3、建议安排4课时，注意规范答题.
重难点：能熟练运用全等、相似、勾股定理、三角函数及面积等多种手段解决一次函数与反比例函数中线段的比，线段的长度等相关计算问题． 突破点：一次函数与反比例函数中常见辅助线及基本的分析方法． 三、 中考链接：
例1、（2017四调变式题）直线OA: y=-2x 与双曲线
x k
y =
的交点A 的横坐标为-2
(1) 求k 的值 (2) 如图，过点P(m ，4)（m ＞0）作x 轴的垂线交双曲线
x
k y =
（x<0）于点N ，交直线OA 于点M
① 连接OM ，当OM ＝OA 时，直接写出N 的坐标. ② 试比较PM 与PN 的大小，并证明你的结论.
例2.如图，已知一次函数23y x =-+的图象与 x 轴交于点 A ，与反比例函数y= -5/x 的图象交于 B 、C 两点，点 P 是线段 AB 上的一个动点.
(1)当 x 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值；(2)过点 P 作x 轴的平行线与反比例函数y= -5/x 的图象相交于点 D.求△PAD 的面积的最大值；
(3)在反比例函数y= -5/x 的图象上找点 E ，使∠BCE 为直角，直接写出点E 的坐标.
练习：
1、如图，一次函数y=kx+b 的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数m y x
=
的图象在第二象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB=2，OD=4，△AOB 的面积为1． （1）求一次函数与反比例的解析式； （2）直接写出当x ＜0时，kx+b ﹣m
x
＞0的解集．
2.如图，四边形ABCD 为正方形．点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=的图象经过点C ，一次函数y=ax+b 的图象经过点C ，一次函数y=ax+b 的图象经过点A ，
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点的坐标．
一次函数与反比例函数
第二课时
例1、已知反比例函数y ＝8
m x
-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6）． （1）求m 的值；
（2）如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝
8
m x
-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ， 且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．
例2、如图 1，已知点 A(8，1)、B( n ，8)都在反比例函数m
y x
=
（ x ＞0）的图象上，过点 A 作 AC ⊥ x 轴于点 C ，过点 B 作 BD ⊥ y 轴于点 D. (1)求 m 的值和直线 AB 的函数关系式；
(2)动点 P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 OD —DB 向 B 点运动，同时动点 Q 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 OC 向 C 点运动．当动点 P 运动到B 时，点 Q 也停止运动，设运动的时间为 t 秒.
①设△OPQ 的面积为 S ，请直接写出 S 与 t 的函数关系式；
②如图 2，当的 P 在线段 OD 上运动时，如果作△OPQ 关于直线 PQ 的对称图形△O ′PQ ，是否存在某时刻 t ，使得点 O ′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求 O ′的坐标和 t 的值；若不存在，请说明理由.
练习：
1、如图，一次函数1+y k x b =的图象经过A （0，﹣2），B （2，0）两点，与反比例函数
2
k y x
=
的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM ⊥MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
2、如图，反比例函数k
y x
=
的图象经过点(－1，)，点 A 是该图象第一象限分支上的动点，连结 AO 并延长交另一支于点 B ，以 AB 为斜边作等腰 Rt △ABC ，顶点 C 在第四象限，AC 与 x 轴交于点 P ，连结 BP
(1) k 的值为____________；
(2)在点 A 运动过程中，当 BP 平分∠ABC 时， 直接写出点 C 的坐标是____________；
(3)在点 A 运动过程中，当 P 为 AC 中点时，直接写出 tan ∠ ABP 的值.
一次函数与反比例函数
第三课时
例1、如图，正方形AOCB 的边长为4 ，反比例函数k
y x
=（k ≠0，且k 为常数）的图像过点E ，且S △AOE ＝3S △OBE . ⑴ 求k 的值； ⑵ 反比例函数图像与线段BC 交于点D ，直线1
2
y x b =+过点D 与线段AB 交于点F ，延长
OF 交反比例函数(k
y x x
=
＜0 )的图像于点N ，求N 点坐标 ； ⑶ 在⑵的条件下，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明.
例2 （2015•泸州）如图，一次函数y=kx+b （k ＜0）的图象经过点C （3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3． （1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y=的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，且AC=2BC ，求m 的值．
练习： 1．（2015•山西）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=3x+2的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y=（k ≠0）在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1．过点A 作AC ⊥y 轴交反比例函数y=（k ≠0）的图象于点C ，连接BC ． （1）求反比例函数的表达式． （2）求△ABC 的面积．
2、如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数的图象交于A B ，两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知，点B 的坐标为(2)m -，
． （1
）求反比例函数的解析式． （2）求一次函数的解析式．
（3）在y 轴上存在一点P ，使得PDC △与ODC △相似，请你求出P 点的坐标．
一次函数与反比例函数
第四课时
例1：如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF，求△BEF的面积．
(3) 若点P是EF之间的曲线上一点，三角形的面积为S，当S最大时，求P的坐标.
例2：如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．
练习：
1、如图，反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y=在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．
（1）求k的值；
（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．
2．（2015•苏州）如图，已知函数y=（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E
（1）若AC=OD，求a、b的值；
（2）若BC∥AE，求BC的长．
3．（2015•舟山）如图，直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，tanα=．
（1）求k的值．
（2）求点B的坐标．
（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值．。