珍藏初中数学10朝阳24

精品初中试卷

例 2010年北京市朝阳区中考模拟第24题

已知直线y ＝kx －3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234

y x mx n =-++经过点A 和点C ，动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍．

（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；

（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；

（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．

动感体验

请打开几何画板文件名“10朝阳24”，拖动点P 由B 向A 运动，可以体验到，△PQA 可以有两个时刻成为直角三角形，分别双击按钮“∠QP A ＝90°”和“∠PQA ＝90°”可以准确显示直角三角形PQA ．拖动点D 在直线CA 上方的抛物线上运动，观察面积随点D 变化的图像，可以观察到，当点D 在OA 的垂直平分线上时，△ACD 的面积最大．

请打开超级画板文件名“10朝阳24”，

答案

（1）直线的解析式为334y x =-，抛物线解析式为2315344

y x x =-+-． （2）①如图1，当∠QP A ＝90°时，53t =

；②如图2，当∠PQA ＝90°时，136t =． （3）如图3，当点D 的坐标为(2, 32

)时，△ACD 的面积最大，最大值为6．

图1 图2 图3