初二数学(提高班) 第1-2讲

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学而思初二数学秋季班第4讲.全等三角形的经典模型(二).提高班.教师版

1初二秋季·第4讲·提高班·教师版等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级勾股定理与逆定理三角形9级全等三角形的经典模型（二）2初二秋季·第4讲·提高班·教师版OFEC B A A F COBEDHABCDO EOGFE CBA“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型3初二秋季·第4讲·提高班·教师版NMCBABNC【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数. 【解析】同引例，先证明ABD AFC △≌△∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=︒DOH CAD【例2】如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论．【分析】这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）；需要画图分析、判断、猜想、推理论证．【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形∴AC CM =，BC CN =60ACM BCN ∠=∠=°典题精练OHGDF ECBA4初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCMNDNM CBA∴∠=∠ACN MCB 在ACN △和MCB △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC MC ACN MCB CN CB ∴ACN MCB △≌△（SAS ） ∴AN BM =⑵ 将ACM △绕点C 旋转如图：⑶ 在⑵的情况，结论AN BM =仍然成立．证明：∵60BCM NCA ∠=∠=°，CA CM =，CN CB =． ∴CAN CMB △≌△（SAS ），∴AN MB =．⑷ 如图，延长MA 交BN 于D ，则ABD △为等边三角形．证明：∵60CAM BAD ABD ∠=∠=∠=°． ∴ABD △是等边三角形．【例3】在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【解析】 90∠=BAC °，390∴∠+∠=DAC °90⊥∴∠=︒AD BC ADC 90∴∠+∠=︒C DAC 3∴∠=∠C43152∠=∠+∠∠=∠+∠C ，BF 是ABC ∠的角平分线 12∴∠=∠典题精练题型二：双垂+角平分线模型5初二秋季·第4讲·提高班·教师版EN MDCBA NMD CBA 45∴∠=∠∴=AE AF【例4】如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ．求证：AF CG =．【分析】要证AF CG =，一般想到证明这两条线段所在的三角形全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形．【解析】作EH AB ⊥于H∵12∠=∠，90ACB ∠=° ∴EC EH =（角平分线定理）又∵CD AB ⊥ ∴3A ∠=∠∵431∠=∠+∠，52A ∠=∠+∠ ∴45∠=∠ ∴CE CG = ∴CG EH =又∵GF AB ∥，90∠=∠=AHE FGC ° ∴A CFG ∠=∠∴CFG EAH △≌△（AAS ） ∴=CF EA ，∴-=-CF EF EA EF ， ∴CE AF = ∴AF CG =【例5】已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.【解析】延长ND 到E 使DE BM = 典题精练题型三：半角模型54321HG FEDC BA54321GFE DC BA6初二秋季·第4讲·提高班·教师版DHFECBA∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =AB在ADE △和ABM △ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AD AB ADE B DE BM ∴ADE ABM △≌△∴AM =AE ∠=∠BAM DAE∵45MAN ∠=︒ ∴45∠+∠=︒BAM NAD ∴45∠=∠=︒MAN EAN在AMN △和AEN △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩MA EA MAN EAN AN AN ∴AMN AEN △≌△ ∴MN =EN∴DE +DN =BM +DN=MN【例6】如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【解析】延长FD 到H ，使DH =BE ，易证ABE ADH △≌△，再证AEF AHF △≌△1122∴∠=∠=∠=∠EAF FAH EAH BAD【例7】在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移7初二秋季·第4讲·提高班·教师版动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.【解析】 ⑴如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC=MN ． ⑵猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．BD=CD 且120BDC ∠=．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又△ABC 是等边三角形，∴90MBD NCD ECD ∠=∠=∠=．在MBD △与ECD △中：BM CEMBD ECD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MBD △≌ECD △(SAS ) ． ∴DM=DE , BDM CDE ∠=∠ ∴60EDN BDC MDN ∠=∠-∠=在△MDN 与△EDN 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ENMDC BA8初二秋季·第4讲·提高班·教师版∴MDN EDN △≌△(SAS) ∴MN NE NC BM ==+第04讲精讲：典型的旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究；【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1，若ABC ∆与ADE ∆旋转全等，则必有ABD ∆与ACE ∆为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形ABD ∆与ACE ∆共顶角顶点，则必有ABC ∆与ADE ∆旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；图1EDC BA图2EDC BA【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；图3DCB图4E D CB A FG 图5ED CB A如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，ABC ∆与ADE ∆仍然旋转全等，并且有两个共同的结论；结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：BC 与DE 所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）9初二秋季·第4讲·提高班·教师版图6图7图8【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立；如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；图9E图10图11【探究四】深化探究二中图3的结论；如图12，可得结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：︒=∠=∠=∠=∠60CAE BAD COE BOD ；结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（ABC ∆≌ADE ∆；AHD ∆≌AGB ∆；AGC ∆≌AHE ∆）图12图13图14结论4：如图15，连接GH ，可得AGH ∆为等边三角形；（由结论3可得AH AG =）图15NM O 图16EDC BA10 初二秋季·第4讲·提高班·教师版结论5：BE GH ∥；（由结论4可得︒=∠=∠60BAD AGH ）结论6：连接AO ，可得AO 平分BOE ∠；（如图16，分别作BC AM ⊥、DE AN ⊥，AM 与AN 分别是全等三角形ABC ∆与ADE ∆对应边BC 和DE 上的高，故相等）11初二秋季·第4讲·提高班·教师版SFEDCBA MPNMH GFEDCBANM DCBA题型一手拉手模型巩固练习【练习1】如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD=AB ，AE=AC ，则下列正确的是（）A. ABD ACE △≌△B. ADF AES △≌△C. BMF CMS △≌△D. ADC ABE △≌△【解析】 D【练习2】如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数．【解析】先证ABG AFC △≌△可得BG =CF ，∠=∠ACF AGB ∵∠=∠NPG APC∴108∠=∠=︒GNC GAC题型二双垂+角平分线模型巩固练习【练习3】已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC , 垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对【解析】 A题型三半角模型巩固练习【练习4】如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为．【解析】 6【练习5】如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且复习巩固F E DCBAFEDC BA12 初二秋季·第4讲·提高班·教师版EHGDCBAFDEGCBA12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【解析】证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．∵180B ADC +=︒∠∠，180ADF ADC +=︒∠∠，∴B ADF =∠∠． ∵AB AD =，∴ABG ADF △≌△．∴BAG DAF =∠∠，AG AF =．∴12BAG EAD DAF EAD EAF BAD +=+==∠∠∠∠∠∠．∴GAE EAF =∠∠． ∵AE AE =， ∴AEG AEF △≌△． ∴EG EF =∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．训练1. 如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在AB 同侧作等边ACD △和等边BCE △，AE 交DC 于G 点，DB 交CE 于H 点，求证：GH AB ∥．思维拓展训练(选讲)13初二秋季·第4讲·提高班·教师版A B C DH QNM【分析】本题中，ACD △与BCE △是等边三角形，因此AC CD =，BC CE =，60ACD ECB ∠=∠=°，因为A 、C 、B 在同一条直线上，故60DCE ∠=°．这样可以得到ACE DCB △≌△，AEC DBC ∠=∠，故可以得到CEG CBH △≌△，则GC HC =，60CGH CHG ∠=∠=°，所以60ACG CGH ∠=∠=°，故GH AB ∥．【解析】 ∵ACD △和BCE △是等边三角形（已知）∴AC CD =，BC CE =（等边三角形的各边都相等）60ACD BCE ∠=∠=°（等边三角形的每个角都等于60°）∵180ACD DCE BCE ∠+∠+∠=° ∴60DCE ∠=°，120ACE DCB ∠=∠=°．在ACE △和DCB △中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC DCACE DCB CE CB∴ACE DCB △≌△（SAS ）∴AEC DBC ∠=∠（全等三角形的对应角相等）在BCH △和ECG △中，60∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCH ECG BC CE CBH CEG °∴BCH ECG △≌△（ASA ）∴CH CG =（全等三角形的对应边相等） ∴CGH CHG ∠=∠（等边对等角）∵180GCH GHC CGH ∠+∠+∠=°（三角形内角和定理） ∴60GHC CGH ∠=∠=°．∴60ACG CGH ∠=∠=°（等量代换） ∴GH AB ∥（内错角相等，两直线平行）训练2. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.A B M C H ND14 初二秋季·第4讲·提高班·教师版【解析】 ⑴在CD 上取一点Q ，使DQ =BM先证AMB AQD △≌△ 可得AM =AQ再证AMN AQN △≌△∴MN =NQ∴DN DQ DN BM NQ MN -=-==⑵可证△ANH ≌△AND ，∴AH=AD=AB训练3. 如图，在Rt ABC △中，锐角ACB ∠的平分线交对边于E ，又交斜边的高AD 于O ，过O引OF BC ∥，交AB 于F ，请问AE 与BF 相等吗？理由是什么？OO 12ABCD E F FEDCBA21543G O54321G FE DC BA【解析】相等．理由如下：如图，过E 作EG BC ⊥于G ∵EC 平分ACB ∠，∴12∠=∠ ∵90EAC ∠=°，AD BC ⊥ ∴1490∠+∠=°，2390∠+∠=° ∴34∠=∠ ∵35∠=∠， ∴45∠=∠∴AE AO =∵EC 平分ACB ∠，EA AC ⊥，EG BC ⊥ ∴EA EG =，∴AO EG =，∵FO BC ∥∴AFO B ∠=∠，90BDA FOA ∠=∠=° ∴BEG FAO ∠=∠∴AFO EBG △≌△（AAS ） ∴AF BE =∴AF EF BE EF -=- ∴AE BF =．N M DBA15初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCDO E训练4. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△，再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.测试1. 如图，等腰直角△ADB 与等腰直角△AEC 共点于A ，连接BE 、CD ，则线段BE 、CD具有什么样的数量关系和位置关系【解析】先证明ABE ADC △≌△∴BE =CD ，再类似例1倒角即可得到BE ⊥CD测试2. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△，再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.课后测N M DA初二秋季·第4讲·提高班·教师版第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。

八年级数学第2讲.判别式与求根公式.提高班.教师版.docx

2一元二次方程的判别式与求根公式满分晋级阶梯方程 10 级判别式与求根公式方程 11 级解特殊复杂方程方程 12 级特殊根问题漫画释义知识互联网寒假班第二讲春季班第七讲春季班第八讲判断风波1题型切片题型切片（两个）对应题目公式法解一元二次方程例 1；例 2；演练 1；演练 2；题型例 3；例 4；演练 3；例 5；例 6；演练 4；演练 5；目标一元二次方程的判别式例 7．编写思路本讲内容的思路把公式法和判别式放在一起，目的是让学生认识到这部分知识的联系，能快速掌握判别式和求根公式。

接下来例题首先要训练用公式法解方程，还补充了一些题目，同学们要自己判断用那种方法简单，训练学生学到知识的同时还要灵活运用，因为中考所有题不可能指出来每道题的方法，同学们要自己判断。

接下来的例题中针对不同的题型进行练习，探究总结了判别式的用法，基本上包含了所有的出题类型。

本讲的最后一部分是2017 年东城区的期中统考原题，此题不仅练习到判别式的用法，还用到了因式分解法解含参方程，综合性较强，难度不算大，适合提高班使用．2模块一公式法解一元二次方程知识导航定义示例剖析公式法的一般步骤：解方程： x23x10①把一元二次方程化为一般式；解： a 1 ，b3，c1②确定 a，b ，c 的值； b 24ac324 1 150③代入 b24ac 中计算其值，判断方程是否有实x b b24ac3 5 3 5数根；2a212④若 b 24ac ≥0 ，代入求根公式求值；否则，原∴ x135，x235方程无实数根．22（先计算 b24ac 减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）夯实基础【例 1】用公式法解方程：⑴ x22x 2 0 ；⑵ 3x2 6 x 1 ；⑶ 3x 1 2 x2；⑷ x 1 x 1 2 2 x ；⑸ x 26x140；⑹323 x+2=0⑺x222x bx+2b +1=0【解析】⑴ a1，b 2 ，c 2 ， b 24ac2412120 ，2∴x1，221213．22⑵ a 3 ，b 6 ，c 1 ， b 24ac6431180 ，∴ x16 3 2，x2 6 3 2 ．6262⑶ a 2 ，b 3 ，c 1 ， b4ac 3421170 ，∴x1317， x231744．1 ， b22⑷ a 1，b 2 2 ，c4ac22411120 ，∴ x12 3 ，x223⑸ =200 ，无实根3⑹ = 15 0 ，无实根⑺ = 7b 2 4 0 ，无实根能力提升【例 2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．2； ② (x －1) 222 －2x=4．① x －3x+1=0 =3； ③ x －3x=0；④ x【解析】 ① 适合公式法， x 2－3x+1=0 ，∵ a=1， b=－3， c=1， ∴ b 2－4ac=9－4=5 ＞ 0，3+ 5x 2 352 =∴ x 1 =，2② 适合直接开平方法，(x －1) 2－± 3 ，x 1 =1+ 3 ， x 2 =1 3=3 ，x 1=③ 适合因式分解法， x 2-3x=0 ，因式分解得： x(x-3)=0，解得： x 1=0，x 2=3； ④ 适合配方法， x 2－2x=4， x 2－2x+1=4+1=5 ，即 (x －1)2 －±5，=5，开方得： x 1= x 1 =1+ 5 ， x 2 =1 5模块二一元二次方程根的判别式知识导航定义示例剖析设一元二次方程为 ax 2 bx c 0(a0) ，其根的解方程： x 23x 3 0判别式为：b 2 4ac ，则解：b 22方程 ax 2bx c 0(a 0) 有两个不①4ac34 1 3 3 0 ，相等的实数根 x 1,2bb 2 4ac所以原方程无实数根．2a ．② 0 方程 ax 2bx c 0( a 0) 有两个相等的实数根x 1 x 2b ．22 a③ 0bx c0( a 0) 没有实数方程 ax根．4夯实基础【例 3】不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 7 x 2x 1 0⑵ 9 x 2 4 3x 1⑶ x 2 7 x 15 0⑷ 2 x 23x 2 0⑸ x 2 2 3x 3⑹ x 2m 1 xm 0 （ m 为常数）2【解析】 ⑴0 ，有两个不等实根⑵ 强调先将方程化为一般形式，再运用，0 ，有两个相等实根⑶0 ，无实根⑷0 ，有两个不等实根，当 a ,b, c 中存在带根号题目时学生化简易出错⑸0 ，有两个相等实根⑹m 2 1 0 ，方程有两个不等实根，化简结果出现参数，学生难点在判断其与0 的关系．能力提升【例 4】 ⑴已知关于 x 的一元二次方程k 2x 22k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值1 范围为；⑵ 若关于 x 的方程 k 1 x2x1 0 有实根，则 k 的取值范围为 __________.4【解析】 ⑴ k1且 k ≠ 1 ，易错点：二次项系数不为零4⑵ k ≥ 0 ，易错点：二次项系数可以为零【例 5】 ⑴ 已知 a 、 b 、 c 为 △ ABC 的三边，请判断关于x 的方程 ab x 22cxa b 0 根的情况．2⑵ 已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 的三边，且方程2 b c xa b ca0 有两个相等的实数x 根，试判断这个三角形的形状．【解析】 ⑴ ∵ a b ≠ 0∴ 方程为一元二次方程24 c a b c a b4c 2 4 a b ∵ a 0 ，b 0，c 0，a b c∴ c a b0 ，c a b 0∴0 ， ∴ 方程无实根 .24 a b c a 4 a 2 b 2c 2 ab bc ac⑵4 b c2222a b b ca c∵ 方程有两个相等实根，∴22a c20 ，即 2 a b b c5∴ a b b c a c 0 ，即 a b c∴△ ABC 为等边三角形【探究对象】学生一般会求出根的判别式，但不会比较其与0 的大小关系，故引导学生探索如何确定一元二次方程根的判别式的符号.【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法 .【探究方式】采用增加试题层次探究，所谓增加问题层次的探究，就是抓住一个问题的条件，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.【探究 1】根的判别式为常数24.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x22x 5 0 的根的情况 .分析：=22 4 1524 0 ，方程有两个不相等的实数根.【探究 2】根的判别式为 8m28.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x22mx m2 2 0 的根的情况 .分析： = 2 m 2m2 2 8m280 ，方程有两个不相等的实数根 .4 1【探究 3】根的判别式为 m2 +4m+7 .通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x2mx m 70 的根的情况 .分析：m2 4 1m 7 =m2 +4m+7=m+220 ，+3∴方程有两个不相等的实数根.【探究 4】根的判别式为 m2 +12m+4 .若 m 满足不等式10m 3 0，试讨论关于x 的方程 x2mx3m 1 0 的根的情况．分析：m2413m 1 =m2 +12m+4=m+120 ，+10 m+3∵ 10m 30 ，∴0 ，方程有两个不相等的实数根.【探究 5】根的判别式为 4 a24c2 . b已知 a ，b，c 是△ABC的三边，判断方程cx 2a b x c0 的根的情况 .2分析： 4 a b24c2 4 a b c a b c 6∵ a ，b，c 分别是三角形的三边，∴a b c，a c b∴ a b c 0 ，a b c0∴<0 ，方程无实数根.【探究 6】根的判别式为 4c2 4 ab .已知 a ，b 为直角三角形 ABC 的直角边， c 为斜边，请判断关于 x 的一元二次方程ax22cx b0根的情况．分析：2c 24c24ab 4ab直角三角形满足勾股定理 a 2b2c2∴4a24b 28ab4ab2a22b4ab 0∴方程有两个不相等的实数根.【探究 7】根的判别式什么时候需要分类讨论 .已知 a0，b a c ，判断关于 x 的一元二次方程ax 2bx c0的根的情况 .分析：①当 c0 时， a0 ， b a c ，从而b2a c 222， b4ac a c0 ，b24ac a20 c ≥ 0 ，即②当 c0时，由 a0， b a c a ，得 b0，0③当 c0时，由 a0，得 ac0 ，b24ac0 .综上可知，方程总有两个不等实根.注：其中探究 6 和探究 7 海淀统考中涉及过 .【例 6】已知关于 x 的方程 x2k 1 x2k20⑴求证：无论 k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ ABC 一边 a 3 ，另两边 b、 c 恰好是此方程的两根，求△ ABC 的周长．【解析】⑴k1222≥ 04 2k k 3∴无论 k 为何值，方程总有实根.⑵当 a 3 为底，b，c为腰时， b c∴ 方程有两个相等的实根∴0 ，即k320 ，k3此时方程为 x2 4 x 40，解得： x1x22∴△ ABC 的周长为3227当 a 3 为腰，则方程有一根为3将 x 3 代入方程，得k 4 ，方程为x25x60解得 x12，x2 3 ，∴△ ABC 的周长为2338 ，综上所述，△ ABC的周长为7 或 8．7真题赏析【例 7】已知：关于 x 的方程 kx22k 3 x k 3 0⑴求证：方程总有实数根；⑵当 k 取哪些整数时，关于x 的方程 kx22k 3 x k 3 0 的两个实数根均为负整数？（ 2017 东城期中）【解析】⑴2k 32，∵ 90 ，∴0 ，故此方程总有实根；4k k 3 9⑵方程可用因式分解法求解为：x 1 kx k 3 0 ,故x1 1 ， x 3 k312k k ∴ k 1 或 k38思维拓展训练（选讲）训练 1.选择合适的方法解下列方程．⑴ 3x212x12；⑵x23x40 0 ；⑶x 1x 51【解析】⑴ x1x2 2；⑵x18， x2 5 ；⑶ x13 5 ，x2 3 5训练 2.已知关于 x 的方程 x23x3m0 .4⑴如果此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；⑵在⑴中，若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.（西城期末）【解析】⑴ a 1，b 3 ，c 3m . 4b2 4 ac 32 4 13m9 3m .4∵该方程有两个不相等的实数根，∴9 3m 0 .解得 m 3 .∴m 的取值范围是m 3 .⑵ ∵ m 3 ，∴符合条件的最大整数是m 2 .此时方程为 x23x30 ，9 3m302解得x 33. 2∴方程的根为 x133， x233. 22训练 3.等腰△ ABC中， A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、b 、c ，已知a 3 ， b 和c是关于x的方程x2mx2 1 m0 的两个实数根，求△ABC的周长．2【解析】当 b c 时，方程有两个相等的实数根，则m2 4 2 1 m0 ，∴ m1 4 ，m2 2 ．2若 m4，原方程化为x24x40 ，则 x1x2 2 ，即b c 2 ，∴△ ABC 的周长为2237．若 m 2 ，原方程化为x2 2 x 1 0，则 x1x21，不合题意．当 a b 或a c 时，x3是方程的一个根，则 9 3m 2 1 m0 ，则 m22 ，25原方程化为 x222x210 ，解得 x1 3 ，x27 ，55737 ．5∴△ ABC 的周长为3355 937综上所述，△ ABC的周长为7或．训练 4. 已知a、b、c是三角形的边长，求证：方程【解析】∵ a、 b、 c 是三角形的边长，∴a 0，b ∴该方程是关于x 的一元二次方程，b2c2 a 22b2c2a2∵4b2c2b c 2b c2a2a2b2 x2b2c2a2 x c20 没有实数根．0 ，c 0 ， a b c ，a c b ，b c a ，2bc b2c2a22bcb c a b c a b c a b c a∴0 ，故原方程没有实数根．10实战演练知识模块一公式法解一元二次方程课后演练【演练 1】用公式法解方程：⑴ 5x 27 x 2 0⑵ 2 x 2 3x 3 0【解析】 ⑴ x2， x 2 1 ．⑵ x 1333 ， x 2 3 33 ．1544【演练 2】选择适当的方法解方程：⑴ x x 2x 0 ；⑵ x 2x 132 ；⑶ x x 12 1x ；【解析】 ⑴ x 11 ，x2 0 ；⑵ x 1 12 ，x 211；⑶ x 11，x 22 ；知识模块二一元二次方程根的判别式课后演练【演练 3】 ⑴若关于 x 的方程 x 22x m 0 有两个相等的实数根，则m= __________ ；⑵ 若关于 x 的方程x 1 21k 无实根，则 k 的取值为 __________ ；【解析】 ⑴ m 1 ； ⑵ k1【演练 4】如果关于 x 的一元二次方程a 1x 2 2bx c 1 x 2有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【解析】将方程化成一般形式：a c x 22bx a c∵ a c ≠ 0 ，方程有两个相等实根， ∴ 4b 2 4 a 2 c 2即 a 2b 2c 2 ， ∴ 为直角三角形，选C.【演练 5】已知关于 x 的一元二次方程3a 1 x 2 ax 1 0 有两个相等的实数根，求代数式4a 22a11的值 .a（海淀期中）【解析】由已知，一元二次方程3a 1 x 2ax 1 0 的判别式为 0.4即 a 23a 1 0 .所以有 a 2 1 3a .代入 a 2 2a11 22a11 a1 a 21 3a3 .，得 aaaaaa11第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。

学而思初二数学秋季班第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.教师版

1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．【解析】延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ．【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ．【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是．【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =．在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是．NM ED CBAEDCBA【解析】点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形，又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=．【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=．方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ．在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

初二数学学习方法(15篇)

初二数学学习方法(15篇)初二数学学习方法1一、初中生数学学习存在的主要障碍1.依赖心理。

2.急躁心理。

3.定势心理。

4.偏重结论。

二、初中生课前的数学学习方法1.课前的预习方法：一看、二读、三做。

2.不同的知识预习方法有所不同。

(1)数学概念的学习方法：①读概论，记住名称或符号;②阅读背诵定义，掌握特性;③举出正反实例，体会概念反映的范围;④进行练习，准确地判断;⑤与其他概念相比较，弄清概念间的关系。

(2)数学公式的学习方法：①正确书写公式，记住公式中字母间的关系;②懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程;③用数字验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律;④将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式;⑤变化公式中的字母所蕴含的内容，达到自如地应用公式。

(3)数学定理的学习方法：①背诵定理;②分清定理的条件和结论;③理解定理的证明过程;④应用定理证明有关问题;⑤体会定理与有关定理和概念的内在关系。

要想学好数学，必须多做练习，但有的同学多做练习能学好，有的同学做了很多练习仍旧学不好，究其因，是“多做练习”是否得法的问题。

我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。

后者只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广，等等，还要真正掌握方法，切实做到以下三点，才能使“多做练习”真正发挥它的作用。

1.必须熟悉各种基本题型并掌握其解法。

课本上的每一道练习题，都是针对一个知识点出的，是最基本的题目，必须熟练掌握;课外的习题，也有许多基本题型，其运用方法较多，针对性也强，应该能够迅速做出。

许多综合题只是若干个基本题的有机结合，基本题掌握了，不愁解不了它们。

2.在解题过程中有意识地注重题目所体现的出的思维方法，以形成正确的思维定势。

学而思初中数学课程规划

学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。

而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。

因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。

初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。

到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。

下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。

课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。

未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。

从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。

八年级上册数学教案人教版【优秀8篇】

八年级上册数学教案人教版【优秀8篇】篇一：人教版八年级上册数学教案篇一一、教学目标：1、加深对加权平均数的理解2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题3、会用计算器求加权平均数的值二、重点、难点和难点的突破方法：1、重点：根据频数分布表求加权平均数2、难点：根据频数分布表求加权平均数3、难点的突破方法：首先应先复习组中值的定义，在七年级下教材P72中已经介绍过组中值定义。

因为在根据频数分布表求加权平均数近似值过程中要用到组中值去代替一组数据中的每个数据的值，所以有必要在这里复习组中值定义。

应给学生介绍为什么可以利用组中值代替一组数据中的每个数据的值，以及这样代替的好处、不妨举一个例子，在一组中如果数据分布较为均匀时，比如教材P140探究问题的表格中的第三组数据，它的范围是41≤X≤61,共有20个数据，若分布较为平均，41、42、43、44…60个出现1次，那么这组数据的和为41+42+…+60=1010。

而用组中值51去乘以频数20恰好为1020≈1010，即当数据分布较为平均时组中值恰好近似等于它的平均数。

所以利用组中值X频数去代替这组数据的和还是比较合理的，而且这样做的好处是简化了计算量。

为了更好的理解这种近似计算的方法和合理性，可以让学生去读统计表，体会表格的实际意义。

三、例习题的意图分析1、教材P140探究栏目的意图。

（1）、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。

（2）、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时，频数恰好反映这组数据的轻重程度，即权。

这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容，比如组、组中值及频数在表中的具体意义。

2、教材P140的思考的意图。

（1）、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题（2）、帮助学生理解表中所表达出来的信息，培养学生分析数据的能力。

八年级数学寒假班讲义二1讲：一次函数概念及其图像学生版

，n= 时为正比例函数；
当m
，n=
时为一次函数．
12．直线 y=2x-1 与 x 轴的交点坐标是____________;与 y 轴的交点坐标是_____________.
13．已知点 A 坐标为(-1,-2),B 点坐标为(1,-1),C 点坐标为(5,1),其中在直线 y=-x+6 上的点有____________.在直线
A.y1 >y2
B.y1 =y2
C.y1 <y2
D.不能比较
【练习】 1．如果直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，
那么有（
）
A．k＞0，b＞0； B．k＞0，b＜0；
C．k < 0，b＜0； D．k ＜0，b＞0
2．已知一次函数 y 2 k x 3 的图像经过第一、二、四象限，则实数 k 的取值范围是
.
11.已知函数 y = (m－3)x－2. (1) 当 m___________时,y 随 x 的增大而增大. (2) 当 m___________时,y 随 x 的增大而减小.
12．如果一次函数 y (2 3k)x (k 1) 的函数值 y 随 x 的值的增大而减小，且这个函数的图像不经过第二象限，
那么 k 的取值范围是
13．直线 y 3 1 x 与 x 轴的交点坐标为 ________，与 y 轴的交点为 ______ 2
14．对于一次函数 y=2x+1,y 随着 x 的增大而
.
15．如果直线 y＝2x＋m 不经过第二象限，那么实数 m 的取值范围是
____
16．若一次函数 y (2 m)x m 的图象经过第一、二、四象限，则 m 的取值范围是________________

初中数学说课稿一等奖(精选5篇)

初中数学说课稿一等奖（精选5篇）学校数学说课稿一等奖【篇1】初二数学分式基本性质说课稿1、教材的地位和作用本节内容分两课时完成。

我设计的是第一课时的教学，主要内容是分式概念、把握分式有意义，值为0的条件。

由于它是在同学学习了分数、整式及因式分解的基础上，又一代数学习的基本内容，是学校所学分数的延长和扩展，而学好本节课，为今后连续学习分式、函数、方程等学问作好铺垫，特殊是对“分式有无意义的争论”为以后学习反比例函数作了铺垫。

因此它起着承上启下的作用。

2、教学目标一节课的教学目标精确与否，直接关系到这节课的整体设计，关系到同学进展的水平和教学效果的好坏，因此预设教学目标时，我力求精确。

依据新课程的要求，我将本节课的教学目标确定为以下3个方面：（1）学问与技能目标：让同学经受用分式表示现实情境中数量关系的过程，从而了解分式概念，学会判别分式何时有意义，进一步培育同学代数表达力量和分析问题、解决问题的力量、以及创新力量。

（2）过程与方法目标：经受分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。

（3）情感与态度目标：通过丰富的数学活动，使同学获得胜利的阅历，体验数学活动布满探究和制造，体会分式的模型思想，培育同学的辩证唯物主义观点。

3、教学重难点及关键：分式概念是《分式》这一章学习的起点和基础，因此我把理解分式的概念确定为本节课的教学重点。

又由于学校同学的认知结构中存在着这样的障碍：不擅长概括数学材料、缺乏对字母及其他数学符号用于运算的力量，所以判定分式有意义、分式的值为0时的条件，自然就成了本节课的教学难点。

而部分同学简单忽视分式的.分母值不能为0这个条件，因此我认为突破这个难点的关键是通过类比分数的意义，加强对分式分母值不能为0的理解。

一、教法学法分析1、学情分析由于我校八班级同学，基础比较扎实，学习力量较强。

通过学校分数的学习，同学头脑中已经形成了分数的相关学问。

暑假初一升初二数学提高班教材(16讲)之欧阳科创编

欧阳科创编 2021.02.05汇世纪教育（包含集团旗下高端个性化教育品牌——学远教育）创办于2004年，专业从事中小学生课外文化辅导教育，企业以“促进区域教育公平，共享优质教育资源”为使命，致力于将优质教育资源、先进教学模式、专业教学服务提供到中小县城，帮助三四线城市的中小学生获得更好的教育和发展机会。

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初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。

初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是分化，简单概括为好的更好，差的更差。

那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。

学而思初二数学秋季班第11讲.特殊三角形之直角三角形.提高班.教师版

1初二秋季·第11讲·提高班·教师版满分晋级漫画释义三角形12级成比例线段三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级勾股定理与逆定理 11特殊三角形之直角三角形2初二秋季·第11讲·提高班·教师版有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半．另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch =．2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．思路导航知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定3初二秋季·第11讲·提高班·教师版【引例】如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别在BC CD 、上，且3BE CF ==，AE BF 、相交于M ，求BM 的长．【解析】 ∵ABCD 是正方形，∴4AB BC ==，90ABC C ∠=∠=︒，∵3BE CF ==，∴ABE BCF △≌△， ∴BAE CBF ∠=∠，∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =，在Rt ABE △中，BM AE ⊥， ∴AB BE AE BM ⋅=⋅，∴125AB BE BM AE ⋅==．【例1】 1. 在ABC △中，若35A ∠=︒，55B ∠=︒，则这个三角形是__________三角形．2. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若28A ∠=︒，则B ∠=_______，ACD ∠=________，BCD ∠=________．3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于．（十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝．EABCDDCBA5. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则S △ABC ＝．【解析】 1. 直角典题精练例题精讲图2图1AMFDE FMDCBADCBAABC4初二秋季·第11讲·提高班·教师版2. 62︒；62︒；28︒3. 24. 833．通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决．5. ∵AB 边上的中线长为2，∴AB =4，∴AC 2+BC 2=AB 2=16 ∵AC ＋BC ＝6，∴()236AC BC +=，即AC 2+BC 2+2AC BC =36 ∴1S 52ABC AC BC ==△【例2】若直角三角形的两条直角边长为a b 、，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：⑴ 222111a b h+=；⑵ a b c h +<+．【解析】 ⑴ ∵222a b c +=，ab ch =，∴abc h=，代入得22222a b a b h +=，∴222111a b h+=． ⑵ 由222a b c +=，ab ch =，则22222a ab b c ch ++=+，∴222222a ab b c ch h ++<++，即()()22a b c h +<+， ∴a b c h +<+．特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒，，和()454590︒︒︒，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．【引例】已知，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，求BC AB 、的长．例题精讲思路导航题型二：特殊直角三角形的边角关系5初二秋季·第11讲·提高班·教师版【解析】解法一：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴12BC AB =，设BC x =，则2AB x =，那么()()22262x x +=，解得2x =（舍负）∴2BC =，22AB =．解法二：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴::1:3:2BC AC AB =， ∴6233AC BC ===，∴222AB BC ==．【例3】 ⑴ 在ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，且::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a 与c 的关系是____________．⑵ 如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置，若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为．（四中期中）⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，…，如此作下去，若1OA OB ==，则第8个等腰直角三角形的面积是．【解析】 ⑴ 2c a =；⑵ 12cm ；⑶ 64．【例4】如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。

(八下)数学提高班第一次讲义--分解因式之十字相乘法

第一讲分解因式及十字相乘法一、分解因式的基础知识和典型例题分解因式是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本块知识时，应注意：1. 分解因式的对象是多项式；2. 分解因式的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止，即分解要彻底；4. 乘法公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.分解因式时：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法（含平方项时）、换元法（有相同部分时）、十字相乘法（二次三项式时）或双十字相乘法（二次六项式）、待定系数法、拆项（添项）等方法；8. 如下两个公式：（1）立方和公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+；立方差公式：()()3322a b a b a ab b -=-++；（2）和立方公式：()()3333a b a b ab a b +=+++；差立方公式：()()3333a b a b ab a b -=---；例1. 已知:x x x x+=+=12133，则__________.例2. 分解因式：x x x x x 54321-+-+-.例3. 求证：n n 35+是6的倍数（其中n 为整数）.例4. 若多项式x x x a 3257+++有一个因式是x +1，求a ，并将原式分解因式.相关练习：若多项式21332x x x k --+有一个因式是21x +.求k 的值，并将原式分解因式.二、十字相乘法的基础知识及典型例题对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式()()x a b x ab x a x b 2+++=++()进行因式分解.掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数.对于二次三项ax bx c 2++（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax bx c 2++即()a a x a c a c x c c 122122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++.这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定.例5.分解因式：(1) a b ab 221639++； (2)22224954y y x y x --； (3)()()x x x x 222322372+-++.练习. 已知：x y x y +=+=05312..，，求312922x xy y ++的值.例6.（1）解方程：26750x x --=；（2）解不等式：x x 211240-+>.例7. 分解因式：3529422x xy y x y +-++-.练习. 1.分解因式：2226773x xy y x y --+++2.已知多项式6823222-+--+y x y xy x 的值恒等于两个因式 )2)(2(B y x A y x +-++乘积的值，你们B A += .例8. 因式分解：22243x y x y ----例9. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--24，. 求证：a b b c -=-.相关练习：1.分解因式：(x y)(x y 2xy)(xy 1)(xy 1)+++++-2.求证多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负的.3.分解因式：（1）x(x 1)(x 2)(x 3)1++++；（2）2(x 1)(x 2)(x 3)(x 6)x +++++；（3）222(a 1)(a 6a 1)12a a ++-++。

学而思初二数学秋季班第3讲.全等三角形的经典模型(一).提高班.教师版

作弊？三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义3全等三角形的经典模型（一）DCBA45°45°CBA等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型ABCOMN AB COMN【例1】已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，又∵∠COM -∠AOM =90°，典题精练A BCOMNFE DCB AN M 12A BCDEF3∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =，∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ．求证：ADB CDF ∠=∠．【解析】证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°． ∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠． ∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =．在ADM △和CDF △中，M EDCBA MEDCBAM12A BCDEF 3P C B A PCBAD AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△． ∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =．在CMF △和CDF △中， 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ，∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。

八年级数学春季提高班第21讲射影定理

射影定理知识点汇总：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90º，则 2+ 2= 2（3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC =22=③射影定理：CD 2= · AC 2= · BC 2= ·典型例题例1、如图，Rt ABC ∆中,,,90D AB CD ACB 于⊥︒=∠BD=6cm,AD=4cm,则AC ，BC ，CD 的长。

BADABC D例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADC ABC ，DF AC ⊥于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2 =AB ·AF例3、(1)已知在ABC ∆中，︒=∠90ACB ,CD AB ⊥,垂足为D,DE,DF 分别是BDC ADC ∆∆和的高,这时,CAB DEF ∆∆和是否相似?(2)已知ABC ∆中，︒=∠90ACB ,CD AB ⊥,垂足为D,点E 和点F 分别在AC 、BC 上，当︒=∠90EDF 时，CAB DEF ∆∆和相似吗？为什么？BB经典练习1、若直角三角形斜边分成的两条线的长分别为2cm 和8cm ，则两条直角边的长分别为，斜边上的高为。

2、在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ，CD ⊥AB,垂足为点D,若A D ：BD=9：4,则AC ：BC 的值为( ) A.9:4 B.3:2 C.4:9 D.2:33、如图所示,ABC ∆,︒=∠90BAC AH ⊥BC 于H,以AC 和AB 为边在Rt ABC ∆形外作等边三角形ABC ∆和 ACE ∆,求证:BDH ∆∽AEH ∆4、已知，如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP BG AP ⊥,，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2.5、如图所示，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AM 是BC 边上的中线，CN AM ⊥于N 点，连接BN ，求证：BM 2=M N ·AM 。

第2讲.压强

2固、液、气压强知识互联网【例1】查漏补缺之固体压力压强篇1．物理学中把在物体表面上的力叫做压力.压力的方向总是于接触面且指向被压物体的内部，压力的作用效果与和有关.2．物体上受到的叫做压强.压强是表示的物理量，压强的定义式是，运算时必须统一成国际单位，即压力的单位用，接触面的面积单位用，压强的单位是 . 3．增大压强的方法是压力或受力面积；反之，可以压力或受力面积的方法来减小压强.【答案】1．垂直作用垂直压力大小受力面积大小2．单位面积压力压力作用效果 Fp S牛顿（N ）平方米（2m ）帕斯卡（Pa ） 3．增大减小减小增大【例2】分别用力的示意图画出物体A 中水平地面、B 中斜面、C 中竖直墙面、D 中天花板压力的示意图.上图中由重力产生压力的是图，压力产生与重力无关的是图，压力大小等于重力的是图 .【答案】图略AB CD A【例3】把一块砖平放在水平地面上，它对地面产生的压强为p ，若把8块同样的砖按图所示放模块一固体压强常规压强问题在水平地面上，则它们对地面产生的压强为（）A．8p B．4p C．2p D．(1/2)p【答案】C【例4】（多选）一个长方体木块放在水平桌面的边缘，O为木块的中心，如图所示，木块重力为G，底面积为S，则下列说法正确的是（）A．木块对桌面的压力为GB．木块对桌面的压强为/G SC．桌面所受压力的受力面积小于SD．沿竖直方向将木块外侧的这一半切掉，此时木块对桌面的压强比原来小【答案】ACD【例5】如图所示，甲、乙、丙是三个完全相同的圆柱体竖放在水平地面上，若把乙、丙中的阴影部分切除后，甲、乙、丙对水平地面的压强大小关系正确的是（）A．P P P==乙甲丙B．P P P<<乙甲丙C．P P P=<乙甲丙D．P P P<=乙甲丙【答案】C【例6】A、B两正方体实心金属块放在水平地面上，它们的边长之比为13∶，对地面的压强之比为23∶，则金属的密度之比是（）A．49∶B．94∶C．12∶D．21∶【答案】D【例7】如图所示，a、b两个不同的实心圆柱体放在水平地面上，它们对地面的压强相等，则下列判断正确的是（）A．a的密度大，受的重力大B．a的密度小，受的重力小C．a的密度小，受的重力大D．a的密度大，受的重力小【答案】A【例8】在窗子密闭的旅行车上备有逃生锤，遇到紧急情况时，乘客可以用逃生锤打破玻璃逃生，图中的四把铁锤，质量相同，形状不同．为了更容易打破玻璃，应该选择的铁锤是【答案】D（2013年北京市）【例9】体重60kg的张超为了估测自己双脚站立时对地面的压强，他穿上一双平底鞋站在一张方格纸上，描画出一只鞋的鞋底边缘的轮廓如图所示，已知小方格每边边长2cm．他对地面的压强大约是（）A．1.5×104Pa B．3.0×104Pa C．1.5×103Pa D．3.0×103Pa【答案】A（2013•绵阳）【例10】有一正方体放在水平地面上，对地面的压强为p，若沿图所示的虚线方向切成a、b两部分，将它们仍放在水平地面上，不发生倾倒，对地面的压a b强分别为p a、p b，则（）A．p a＝p p b＝p B．p a＜p p b＞pC．p a＜p p b＜p D．p a＞p p b＜p【答案】D(2012朝阳二模)【例11】如图所示，两个实心圆柱体放置在水平地面上，沿水平方向分别截去其上部相同的高度h后，剩余部分对水平地面的压强相等．则它们原来对水平地面的压强关系是（）A．p甲=p乙B．p甲＜p乙C．p甲＞p乙D．无法确定【答案】C【例12】如图所示，高度相等的实心圆柱体甲、乙、丙、丁竖直放置在水平地面上．其中，甲、乙、丙的组成材料相同且密度小于组成丁的材料密度，乙和丁的底面积相等．若将质量相等的物块分别放在四个圆柱体上，则甲、乙、丙三个圆柱体中对地面的压强有可能大于圆柱体丁对地面的压强的是（）A．甲B．丙C．甲和乙D．乙和丙【答案】B（2013•长宁区二模）【例13】如图所示，质量是2kg的平底水桶底面积为400cm2，放在水平地面上，桶内装有50cm 深、体积是30dm3的水．小萍同学用竖直向上的力F提水桶，但是没有提起来．这时，如果水对桶底的压强和桶对地面的压强相等．小萍同学提水桶的力F=N．（g=10N/kg）【答案】120．叠放问题解题方法：①首先要求出?A B G G =∶?A B S S =∶ ②其次确定研究受力面积图（1）中，B 对A 的压强：Bs BG p S =；A 对地的压强：A B A A G G p S +=图（2）中，A 对B 的压强：A A B G P S '=；B 对地的压强：A Bs BG G p S +'=【例14】有A 、B 两个正方体，它们的边长之比为21∶，密度之比为34∶，将它们如图所示叠放在水平地面上，此时A 对B 的压强与B 对地面的压强之比为 .【答案】67∶【例15】已知两个实心圆柱体A 、B 的底面积之比为13∶，高度之比为23∶，构成A 、B 两个圆柱体物质的密度分别为A ρ和B ρ，将B 放在水平地面上，A 叠放在B 上面（如图甲所示），B 对地面的压强为1p .若把B 叠放在A 上面（如图乙所示），B 对A 的压强为2p .若1212p p =∶∶，则A B ρρ∶为（）A ．32∶B ．94∶C ．25∶D ．13∶ 【答案】B【例16】某同学（利用小桌、砝码、海绵）在探究“压力的作用效果跟什么因素有关”时，如图所示，请仔细观察并回答下列问题：（1）该实验是通过来显示压力的作用效果；（2）分析比较图和图的实验现象可得出：受力面积一定时，压力越大，压力的作用效果越明显；（3）分析比较乙、丙的实验现象可得出：叠加问题压强实验（4）进一步综合分析实验现象可得出：压力的作用效果跟和两个因素有关．【答案】（1）海绵凹陷程度；（2）甲；乙；（3）压力一定时，受力面积越小，压力的作用效果越明显；（4）受力面积；压力大小．【例17】小明在研究“压强与压力的关系”时，记录的实验数据如下表所示，请你对表格中的数据进行分析，归纳出压强与压力之间的关系： . /N F 10 20 30 40 50 602/m S 0.20.20.20.20.20.2/Pa P50 100 150 200 250 300【答案】当受力面积为20.2m 不变时，压强与压力成正比，比例系数为25m ，或当受力面积为20.2m 不变时，压强与压力的关系式为20.2m Fp.【例18】查漏补缺之液体压力压强篇1．研究液体内部压强规律实验的仪器是，其结构如图所示.当探头的薄膜受到压强的作用时U 形管左右两侧液面产生高度差，高度差越大，薄膜受到的压强越 .2．静止液体内部压强的特点是：（1）液体内部向都有压强；（2）在液体内部的同一深度，液体向各个方向的压强大小都；（3）液体内部压强随深度的增加而；（4）液体内部的压强还跟液体的有关. 3．液体压强计算公式是 .柱形容器模块二液体压强（1）通过压强的计算公式可知，液体内部的压强只与液体的、有关，而与液体的总质量、总体积和容器形状无关；1cm 的水柱产生的压强是 Pa （g 取10N/kg ）（2）公式中的h ，指从液体的研究点到的竖直距离.4．上端、下端的容器叫做连通器，连通器里只注入一种液体，且液体时，各容器中的液面保持 .【答案】1．U 形管压强计大2．各个方向相等增大密度3．p gh ρ= （1）密度深夜度 100 （2）自由液面 4．开口连通不流动相平【例19】甲、乙、丙三个容器中分别盛有密度不同的液体，已知a 、b 、c 三点处液体的压强相等，如图所示，则各容器中液体密度的大小、液体对容器底部压强的大小排列顺序都是正确的是（）A ．ρρρ>>乙甲丙，p p p <<乙甲丙B ．ρρρ<<乙甲丙， p p p <<乙甲丙C ．ρρρ>>乙甲丙，p p p >>乙甲丙D ．ρρρ<<乙甲丙，p p p >>乙甲丙【答案】B【例20】如图所示，A 、B 、C 三个容器中分别装有盐水、清水和酒精，容器底部受到的压强分别为A p 、B p 、C p ，则（） A ．A B C p p p == B ．A B C p p p << C ．A B C p p p >> D ．无法确定【答案】C【例21】如图所示, 两支完全相同的试管中, 分别装有质量为m 甲、m 乙, 密度为ρ甲、ρ乙的液体. 甲试管竖直放置, 乙试管倾斜放置, 两试管液面相平时, 液体对试管底的压强相等, 则( ) A ．m 甲＜m 乙 B ．m 甲＝m 乙 C ．ρ甲＞ρ乙 D ．ρ甲＜ρ乙【答案】A(2012东城二模)甲乙【例22】如图所示，两支完全相同的试管分别装有质量相等的不同液体，甲竖直放置，乙倾斜放置，此时液面恰好相平，比较两种液体密度的大小，下列正确的是（）A．ρ甲＞ρ乙B．ρ甲＜ρ乙C．ρ甲=ρ乙D．无法判断【答案】A（2013•衡阳二模）【例23】如图所示，两个完全相同的圆柱形容器甲和乙放置在水平桌面上，已知距容器底部h 处A、B两点所受液体的压强p A和p B相等，则两容器底部所受液体压力F甲、F乙和压强p甲、p乙的关系是（）A．F甲＞F乙，p甲＞p乙B．F甲=F乙，p甲＞p乙C．F甲＜F乙，p甲＜p乙D．F甲＜F乙，p甲=p乙【答案】C（2008•虹口区模拟）【例24】为了探究影响液体压强大小的因素, 小明采用了图所示的实验装置. 其中微小压强计可以反映液体内部压强大小的变化.小明将微小压强计的探头放在烧杯内固定, 不断向烧杯中注入水,微小压强计U形管两侧液面高度差增大, 表明水内部压强随深度增加而增大. 小华却认为：微小压强计U形管两侧液面高度差增大, 是水的重力增加导致的, 所以水的重力大小不同, 水内部压强大小就不同.请你利用上述器材或再补充必要的辅助器材, 设计一个实验证明小华的解释是错误的. 请你写出实验步骤和实验现象.【答案】实验步骤和实验现象：将微小压强计的探头放到截面积较大的烧杯底部, 向其中倒入适量的水, 记录微小压强计U形管两侧液面差为Δh.将微小压强计的探头放到截面积较小的另一个烧杯底部, 把截面积较大的烧杯中的水一部分倒入这个截面积较小的烧杯中, 使微小压强计U形管两侧液面差也为Δh.截面积较大的烧杯中还有剩余水. 说明小华的说法是错误的. (2011年海淀一模反馈题) 非柱形容器点拨：p gh F pSρ=⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩先求压强：液体再求压力：或者：画线法(如下图)其中F 代表液体对容器底的压力；G 代表液体的重力，F 的大小在数值上等于容器底正上方阴影体积对应的液体重力.【例25】如下图所示, 容器重一样, 底面积、高相同, 都装满水, 请排序：(1)水对容器底压强 (2)水对容器底压力 (3)杯对桌面压强 (4)杯对桌面压力【答案】 (1) p p p ==甲乙丙(2) F F F ==甲乙丙(3) '''p p p >>乙丙甲(4) '''F F F >>乙丙甲【例26】将如图所示杯子装入适量水(未满), 倒置后. 问(填变大, 变小或不变)：(1) 水对容器底压强 (2) 水对容器底压力 (3) 杯对桌面压强 (4) 杯对桌面压力【答案】 (1)变大; (2)变小; (3)变大; (4)不变.【例27】如图所示的一个容器盛有水，容器下部的横戴面积是250cm ，上部的横截面积是210cm ，水深h 是40cm ，A 点到容器底的高度1h 是10cm ，再向容器中倒入0.1kg 的水且不溢出，则水对容器底部的压力增加 N.（9.8N /kg g =）【答案】4.9液体压强变化量甲乙丙【例28】将一重为8.9N 的铜块投入一装有水的圆柱形烧杯中，已知烧杯的底面积为2100cm ，则水对烧杯底部的压强变化了多少？（10N/kg g ）【答案】100Pa【例29】图所示的实例中，不属于．．．连通器应用的是（）【答案】D （2013朝阳一模）【例30】如图所示，是某栋房子供水的水路示意图，放水时水龙头与水塔构成了一个．若将水龙头（相同型号）单独打开并将开关旋至最大，则在相同时间内 (填“甲”或 “乙")水龙头出水多．【答案】连通器；甲（2013燕山一模）【例31】查漏补缺之气体压强篇1．证明大气压存在的著名实验是实验，最早测出大气压值的实验是实验.2．1标准大气压= mm 汞柱= Pa ，在粗略计算中，标准大气压还可以取作 Pa .3．活塞式抽水机和离心式水泵是利用抽水的.连通器模块三大气压强常规问题4．在流体中，流速大的位置压强越；流速越小的位置压强越 .5．机翼上方的空气流速较，压强较，下方的空气流速较，压强较，这一压强差产生差，使飞机获得竖直向上的升力.【答案】1．马德堡半球托里拆利2．760 51.01310⨯ 510 3．大气压 4．小大5．大小小大压力【例32】小岳同学家中使用的高压锅限压阀质量是0.07kg ，压力锅排气孔的横截面积是210mm ；当他使用这个压力锅烧煮食物限压阀排气时，锅内最高气压能达到多少呢？（测得当时的大气压是100kPa ，g 取10N/kg ）【答案】51.710Pa ⨯【例33】在工厂里常用圆形低压吸盘搬运距离，图中E 为一圆形吸盘，其直径为0.2m ，ABCD为一正方形平板玻璃，边长为1m ，重125.6N ，若吸盘能将该平板玻璃水平吸住并悬空，则吸盘内的气压至少应比外界大气压小 Pa ．【答案】4000．【例34】用水平风吹如图所示的四个模型中，表示空气对模型下表面的压强小于上表面的压强的是( )【答案】B （2013顺义一模）【例35】学习了“流体压强与流速的关系”后，为了解决“H”形地下通道中过道的通风问题，同学水平风模型A水平风模型水平风模型C D水平风模型B流体压强与流速们设计了如下几种方案．如图所示，黑色部分为墙面凸出部分，“M”为安装在过道顶的换气扇，其中既有效又节能的是 ( )A B C D 【答案】 C （湖北省黄冈市2013年）提高班【拓展1】某段水平公路路面所能承受的最大压强是8×105Pa ．有一辆载重汽车自重10t ，最大载15t ．汽车有10个轮子，每个轮子与路面的接触面积是400cm 2, 车厢内部尺寸为8m×2m×0.5m ．已知沙子的密度为2.4×103 kg/m 3，g =10N/kg ，则载重汽车装满沙子时（）A ．超载了4.2 tB ．没有超载，还可以再装0.5 m 3沙子C ．对路面的压强大于最大压强0.3×105 Pa ，会损坏公路D ．对路面的压强小于最大压强0.7×105 Pa ，不会损坏公路【答案】AD （2013东城一模）【拓展2】小明在研究“压强与压力的关系”时，记录的实验数据如下表所示．请你对表格中的数据进行分析，归纳出压强与压力之间的关系式：．F /N 10 20 30 40 50 60 S /m 2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 p /P a50100150200250300【答案】 5Pa/N p F =⋅（）(2012石景山一模)【拓展3】质量为1kg 的平底空水桶，底面积为600cm 2．水桶内装有一定质量的水，放在水平地面上，如图甲所示，这时水桶对地面的压强为5000Pa ．当小明用竖直向上的力F 提水桶，但没有提起来，这时水桶对地面的压强为1900Pa ，如图乙所示．则桶内水的质量为 kg ，力F 的大小为 N ．（g 取10N/kg ）【答案】29kg ；186N ．（2008•西宁）【拓展4】如图所示, 在水平桌面上放着甲、乙两杯液体, 甲杯内装有水, 乙杯内装有煤油．已知两杯底部受到的液体压强相等, 且两杯液体内A 、B 两点距底部的距离2A B h h =．A 、B 两点处的液体压强分别为A p 、B p ．(已知330.810kg/m ρ=⨯煤油)则下列说法中正确的是( )思维拓展训练A ．AB p p <, 且 1.2B A B p p ρgh -=水 B ．A B p p <, 且0.6B A B p p ρgh -=水C ．A B p p >, 且0.4A B B p p ρgh -=水D ．A B p p >, 且0.2A B B p p ρgh -=水【答案】 A【拓展5】如图所示，密闭容器中装满水，静止在水平面上，现将容器倒置，则水对容器底面的压强和压力的变化是（） A ．压强增大，压力增大 B ．压强减小，压力减小 C ．压强不变，压力增大 D ．压强增大，压力不变【答案】C【拓展6】用如图所示装置粗略测量大气压的值. 把吸盘用力压在玻璃上排出吸盘内的空气, 吸盘压在玻璃上的面积为4×10-4m 2. 轻轻向挂在吸盘下的小桶内加沙子. 吸盘刚好脱落时, 测出吸盘、小桶和沙子的总质量为 3.2kg. 则大气对吸盘的压力为 N(g 取10N/kg), 大气压的测量值为 Pa. 若吸盘内的空气不能完全排出, 则大气压的测量值比实际值偏 . 【拓展7】【答案】 32 8×104 小(2011徐州)尖子班【拓展1】如图所示是甲、乙两种物质的质量和体积的关系图像．若用质量相等的甲、乙两种物质分别制成等高的实心圆柱体A 、B ，把它们并排竖放在水平地面上，则两圆柱体A 、B 对水平地面的压强之比为 ( )A ．8︰1B ．4︰3C ．4︰1D ．1︰2【答案】A （德阳市2013年）【拓展2】如图所示的水桶，质量为2kg ，底面积为500cm 2，高为50cm ．将此水桶放在水平地面上，向水桶内倒入30kg 的水，此时水面到桶底的距离为40cm ．当小明用竖直向上的力F 提水桶，但没有提起来时，水桶对地面的压强减小了3000Pa ．则下列说法正确的是（g=10N/kg ）（） A ．F 的大小为170NB ．提水桶前，水对水桶底的压强比水桶对地面的压强小2400 PaC ．提水桶前，水对水桶底的压强比水桶对地面的压强小400 PaD ．提水桶后，水对水桶底的压强比水桶对地面的压强大600 Pa【答案】BD ．（2007•海淀区二模）【拓展3】如图所示，在水平桌面上放着甲、乙两杯液体，甲杯内装有水，乙杯内装有酒精．已知两杯底部受到的液体压强相等，且两杯液体内A 、B 两点距底部的距离h A =1.6h B ．A 、B 两点处的液体压强分别为p A 、p B ．（已知ρ酒精=0.8×103kg/m 3）则下列说法中正确的是（） A ．p A ＜p B ，且p B -p A =1.2ρ水g h B B ．p A ＜p B ，且p B -p A =0.8ρ水g h B C ．p A ＞p B ，且p A -p B =0.4ρ水g h B D ．p A ＞p B ，且p A -p B =0.8ρ水g h B【答案】B ．（2009•宣武区二模）【拓展4】如图所示，一开口的杯子，装上8cm 深的水后，放在水平桌面上．已知杯子内部底面积为50cm 2，外部底面积为60cm 2；杯子装上水后的总质量为0.6kg ．则水对杯底的压力为 N ．杯子对桌面的压强为 Pa （g 取10N/kg ），则水对杯底的压强为 Pa ，水对杯底的压力 N ．【答案】4；1000；800；4．【拓展5】如图所示一个装有水的圆柱形容器，底面积250cm S =，向水中放入底面积为2110cm S =的柱状物体后，水面上升但水未溢出，此时水深为25cm ，求水对容器底增加的压强及增加的压力各为多少？（10N/kg g =）【答案】500Pa 2.5N【拓展6】如图所示，是小明家使用的高压锅示意图．锅盖的直径为24c m，锅盖上的空心柱为横截面积是0.1c m2的排气孔，空心柱上带有限压阀．当高压锅内气压超过安全值时，锅内的气体会顶起限压阀跑出一部分，使锅内气压减小，以保证高压锅安全使用．若此高压锅工作时锅内气体压强为1.5个标准大气压．则为保证安全使用高压锅，应配备一个质量为g的限压阀．（g取10N/k g，1标准大气压取l.0×105P a）【答案】50．（2010•宣武区二模）实战演练【练习1】在给病人输液时，为了使输液过程中，药液保持匀速下滴，下列装置中最为合适的是（）【答案】B（2013年烟台）【练习2】已知两个实心圆柱体A、B的底面积之比为1：3，高度之比为2：3，构成A、B两个圆柱体物质的密度分别为ρA和ρB．将B放在水平地面上，A叠放在B上面（如图甲所示），B对地面的压强为p1．若把B叠放在A上面（如图乙所示），B对A的压强为p2．若p1：p2=1：2，则ρA：ρB为（）A．3：2 B．1：3 C．2：5 D．9：4【答案】D（2010门头沟区二模）【练习3】小华同学通过实验探究某液体内部的压强与深度的关系，根据实验数据绘出了如图所示的图像．（g取10N/kg）（1）该液体50cm深处的压强是pa．（2）该液体的密度是kg/m3．【答案】3.75×103；0.75×103（2013延庆一模）【练习4】图是实验用的锥形瓶，将锥形瓶放在面积为S0的水平桌面上，已知锥形瓶的质量为m1、底面积为S1；当往锥形瓶中倒入密度为ρ、质量为m2的液体后，液面高度为h，则下列说法正确的是（）A．液体对容器底的压强为ρg hB．锥形瓶所受的重力与水平桌面对锥形瓶的支持力是一对平衡力C．锥形瓶对水平桌面的压强为（m1＋m2）g/ S1D．液体对瓶底的压力与桌子对瓶底的支持力是一对相互作用力【答案】AC（2013昌平一模）【练习5】盛有液体的圆柱形容器置于水平桌面上，如图甲所示，容器对桌面的压强为500Pa；用细线拴一金属球，将金属球浸没在液体中，如图乙所示，容器对桌面的压强为600Pa；将细线剪断，金属球沉到容器底部，如图丙所示，容器对桌面的压强为1500Pa．已知：容器的底面积为100cm2，金属球的密度为8g/cm3，g取10N/kg．则下列判断正确的是（）A．金属球所受浮力是6N B．金属球的体积是100cm3C．液体的密度是0.8g/cm3 D．金属球对容器底部的压力是10N【答案】C（2012通州区一模）第十八种品格：坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。

2024年北师大版八年级上数学教学工作计划（五篇）

2024年北师大版八年级上数学教学工作计划为了不断提升个人素养和职业能力，本人在职业行为和教学实践中采取了以下措施：在职业道德和理论修养方面，本人致力于深入学习与提高。

通过对教师职业道德规范的深入研究，不断地提升自身的道德水平和政治理论素养；针对新课程改革的理念与理论，积极地学习并努力应用于业务能力提升，从而为教学理念的更新和教学方法的改进奠定了坚实基础。

在遵守工作纪律方面，本人严格要求自己，始终遵循学校规章制度，确保工作秩序和效率。

在师德方面，本人关爱学生，杜绝了体罚和变相体罚的行为，建立了和谐的师生关系，并在学生中树立了良好的榜样。

进一步，为了提升课堂教学的效果，本人在教学常规的各个环节上进行了加强：课前，深入研究教材，掌握重点与难点，同时充分了解学生的学习基础，实现教材与学生的双备；课堂上，运用多样化的教学手段，调动学生的学习兴趣，注重教学质量；课后，及时批改作业，对学习有困难的学生提供额外的辅导，确保教学工作的连贯性和有效性。

本人在教研活动方面也做出了积极的努力，参与了省级和县级的教研课题，撰写了相关教学文档和论文，不断总结和提升教学实践经验，并在课堂教学中实践新的教学理念，推广有效的教学方法，致力于学生全面而持续的发展。

在自我反思与未来规划方面，本人正视存在的问题，比如在期末考试成绩与其他平行班存在差距，进行了深刻的自我反思，并分析了原因：对学生的基础知识训练不足，知识点落实不到位，对学困生的教育缺乏持续性，以及在教学中的投入不够等。

针对这些问题，本人制定了下学期的改进措施：进一步提升对新课程改革的理解，提高课堂教学效率；加强知识点掌握的检查与落实；加强学生的阅读训练和思维拓展；采取有效措施加强学生学习和知识点的训练；强化班级管理和教育，尤其加强与班主任的沟通合作，共同解决班级学风和班风问题。

通过这一系列的努力，本人将持续在教育教学的道路上不断探索和进步，为培养德才兼备的学生贡献自己的力量。

八年级上册数学同步培优：第12讲因式分解二--提高班

第12讲因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用知识点1 十字相乘法对于像这样的二次三项式来说，如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c 分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ．【方法总结】用十字相乘法对一个形如的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x 3﹣12x 2﹣15x= ．【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二2ax bx c ++a 12a a ，12c c ，1221a c a c +1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））2ax bx c ++次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y ）2+5（x+y ）﹣6= ．【方法总结】如果式子可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x 既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x 就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018春•相城区期中）若x 2+mx ﹣15=（x+3）（x+n ），则m ﹣n 的值为____．2．（2017秋•临颍县期末）仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x 2﹣4x+m 有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x 2+5x ﹣m 有一个因式是（3x ﹣1），求另一个因式以及m 的值． 3．（2017秋•阳泉期末）阅读与思考 x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）=x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）2ax bx c ++（x+q）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6=2×（﹣3），一次项系数﹣1=2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值。

学而思初二数学秋季班第1讲.构造轴对称图形.提高班.教师版

1初二秋季·第1讲·提高班·教师版对称的世界图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换2级构造轴对称图形图形变换1级轴对称初步满分晋级漫画释义1构造轴对称图形2初二秋季·第1讲·提高班·教师版1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形．例题精讲思路导航知识互联网题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）3初二秋季·第1讲·提高班·教师版图2N M O B CP A 图1A P CO MN【引例】如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．ABCED12F21DECBA【解析】如图，延长AD 交BC 于F 点．∵ABD FBD ∠=∠，BD BD =，90ADB FDB ∠=∠=︒， ∴Rt Rt ABD FBD △≌△． ∴2DFB ∠=∠． ∵1DFB C ∠=∠+∠， ∴21C ∠=∠+∠．【例1】如图1所示： OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，AC OP ⊥于C 点．则延长AC 与ON交于B 点（如图2所示），易证AC BC OA OB ==，．进而可知点C 是线段AB 的中点.请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．ABCD E123321FED CBA【解析】延长CE 、BA 相交于F ，典题精练4初二秋季·第1讲·提高班·教师版在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△（ASA ）∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠° 同理390F ∠=-∠°，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△（ASA ） ∴BD CF =∴12CE BD =【例2】阅读下面学习材料：如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 叫ABC △的中位线（如图2所示）．易证DE BC ∥且12DE BC =．图2图1BCAED C BA我们来一起证明一下：证明：过点C 作CF AB ∥交DE 的延长线于F . ∴ADE CFE △≌△∴DE EF =,FC AD DB ==. ∵,FC BD ∥FC BD =∴四边形DBCF 是平行四边形. ∴1122DE BC DF ==,DF BC ∥.若在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABP ∠、ACQ ∠的角平分线，AM BM ⊥， AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++AB CMNPQFEQPNMCBA【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证()()ASA ASA AMB EMB ANC FNC △≌△，△≌△， FED C BA5初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【例3】阅读下列学习材料：如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取OB OA =，连接BC （如图2），易证AOC BOC △≌△．图1N M OPA C图2CA PBOM N请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：⑴AD BC AB +=；⑵AE BE ⊥EDCB AFEDCBA【解析】⑴ 在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，∵在ADE △和AFE △中，DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ADE AFE ∠=∠ ∵AD BC ∥∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒ ∴EFB C ∠=∠∵在EFB △和ECB △中，EBF EBC EFB C BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△ ∴BF BC =∴AD BC AF BF AB +=+= ⑵ ∵AD BC ∥,∴22180EAB EBA ∠+∠=︒ ∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴AE BE ⊥.【例4】已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AB >，AD CD =，BD 平 A B CD6初二秋季·第1讲·提高班·教师版分ABC ∠．求证：180A C ∠+∠=°．【分析】证两个角的和等于180°，使我们联想到证这两角和等于一个平角．由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角．【解析】证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点D 作BA 、BC 的垂线，垂足分别为E 、F ．则DE DF =．在Rt ADE △和Rt CDF △中，AD DC DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE CDF △≌△，∴EAD C ∠=∠． ∵180BAD EAD ∠+∠=°,∴180A C ∠+∠=°．FEDCBAA BCDEEDCBA证法二：如图，在BC 上截取BE AB =，连结DE ，在ABD △和EBD △中AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD EBD △≌△，∴A BED ∠=∠，AD ED =． ∵AD CD =，∴ED CD =．∴C DEC ∠=∠． ∴180A C BED DEC ∠+∠=∠+∠=°．证法三：如图，延长BA 到E ，BE BC =，连结ED ．在BDE △和BDC △中，BD BD EBD CBD BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE BDC △≌△∴E C ∠=∠，ED CD =．∵AD CD =，∴AD ED =∴E DAE ∠=∠，C DAE ∠=∠．∴BAD C ∠+∠180BAD DAE =∠+∠=°．7初二秋季·第1讲·提高班·教师版探索1：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为AB .探索2：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.ABlPlB'BA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为'AB .【备选1】模型应用：⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小； ⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小； ⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．思路导航题型二：将军饮马问题探索8初二秋季·第1讲·提高班·教师版图4图3图2图1P DCAOPCBAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.ABlAPB P′l【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB .．探索4：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.9初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABllB'PBA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB '.探索5：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最小.All【解析】直线AB 的中垂线与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最小值为0.探索6：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PCD△的周长最小.BOB【分析】做点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，12P P 与直线OA 、OB 的交点为所求点C 、D .△PCD 的周长最小值为P 1P 2的长度．【备选2】已知如图所示，40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当PAB △的周长取最小值时，APB ∠的度数为．(东城期末)【解析】分别作点P 关于ON 、OM 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PAB △的周长PA AB PB P B AB P A '''++=++，由两点间线段最短，故PAB △的最小周长为P P '''，N PB M O AP''P'P B A N OM10 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∵40MON =︒∠，OP OP OP '''==，∴P OP '''△是等腰三角形，此时∠O P 'P ''=∠O P ''P '=50°∴角∠APB =∠O P 'P ''+∠O P ''P '=100°．探索7：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD CD +最小.ABPP′PDC OBA【解析】做点P 关于直线OB 的对称点'P 、过'P 向直线OA 作垂线、与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C ．PD +CD 的最小值为P ’C 的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，试求CM +MN 的最小值．【解析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM +MN的最小值，∵BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE =4，故CM +MN 的最小值为4．EN'M'ABCD NMMNDCBA探索8：如图，点C 、D 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点F ，在OA 边上求作一点E ，使四边形CEFD 周长最小.ODC BAC′D′FEODC BA111【解析】如图所示，作C 、D 两点分别关于直线OA 、OB 的对称点C D ''、，连接C D ''、分别交OA 、OB 于E F 、，点E 、F 即为所求．【备选4】在∠MON 的两边上分别找两点P 、Q ，使得AP +PQ +QB 最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）A'N NO探索9：如图，直线l 外有两点A 、B ，有一定长线段a ，在直线上找到点M 、N ,使得MN 间的距离等于定长a ，使得四边形AMNB 的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】如图所示，将点A 向右平移a 个长度到点'A ,做点B 关于直线l 的对称点'B ,连接''A B 后交直线l 于点N ,过点A 作''AM A B ∥,交直线l 于点M ，四边形AMNB 即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小． ①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF 周长的最小值．aBAl图1图2图1BGCB12 初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】⑴ ①如图1所示：②8；⑵ 如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． C CGEF GE EF FC GC MH CG EF =+++=++四边形 ∵AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点， ∴DG =AG =AM =3，∴MH=2239310+=，CG=22345+= ∴C 6310CGEF =+四边形．探索10：如图，在一组平行线l 1、l 2两侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2间找一条线段MN ,使MN ⊥l 1并且使得AM +MN +NB 之和最短．N'M'A'l 2BN MAl 1N MBA l 2l 1【备选6】如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？CABD D'C'E E'FGE'E C'D'D BA C【解析】作AF ⊥CD ，且AF =河宽，作BG ⊥CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′、D ′．作DD ′、EE ′即为桥．13初二秋季·第1讲·提高班·教师版证明：由作图法可知，AF ∥DD ′，AF =DD ′，则四边形AFD ′D 为平行四边形，于是AD =FD ′，同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD ′E ′EB 最短．距离为()()2265-5+85-552110+⨯=米．【例5】如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．NMPBAOP''P'OAB PMN【解析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长等于P P '''的长， ∵30AOB =︒∠，∴'"60P OP ∠=︒，又∵3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，即PMN △的最小周长为3．【例6】如图1，OP 是MON ∠的角平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的角平分线，AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．（北京中考）典题精练图3图2图1P NMOABCDEFFEDC BA14 初二秋季·第1讲·提高班·教师版4321图4G FE D CBA图5HGABCD E F【解析】图略．⑴ FE 与FD 之间的数量关系为FE FD = ⑵ ⑴中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连接FG ． ∵12∠=∠，AF 为公共边，∴AEF AGF △≌△， ∴AFE AFG FE FG ∠=∠=，．∵60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，∴2360∠+∠=︒，∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒． ∵34∠=∠，且FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△， ∴FG FD =，∴FE FD =．证法二：若C A ∠>∠，如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ∵60B ∠=︒，且AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线， ∴2360∠+∠=︒，FG FH =， ∴601GEF ∠=︒+∠．∵1HDF B ∠=∠+∠，∴GEF HDF ∠=∠，123 4∴EGF DHF．△≌△，∴FE FD初二秋季·第1讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第1讲·提高班·教师版训练1. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MABCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．训练2. 在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMC B AFENMCB A【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．训练3. 如图所示，AD 是内角平分线，求证：PC PB AC AB -<-图2CP D BA思维拓展训练(选讲)17初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】如图，在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB = 在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-， ∴PC PB AC AB -<-．训练4. 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的取值范围．NMD CB A【解析】当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -=≤，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2． ∴02DN MN -≤≤图6EP D CBA18 初二秋季·第1讲·提高班·教师版题型一角平分线的常见辅助线模型（二）巩固练习【练习1】如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D 点，若CD n =，AB m =，则ABD △的面积是．（北京四中期中）【解析】 2mn（提示：过D 作AB 垂线）【练习2】在ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，D 为垂足，G 为BC 的中点，求证：DGC B ∠=∠．A CDGBACD EGB【解析】延长CD 交AB 于E ，则得ADC ADE △≌△，所以D 为EC 中点，所以DG AB ∥，所以DGC B ∠=∠【练习3】 ⑴ 如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的角平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1()2MF AC AB =-.⑵ 如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BM F D CA图2CBM FDA【解析】 ⑴ 如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，复习巩固CDBA19初二秋季·第1讲·提高班·教师版AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE △的中位线，从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．⑵ 不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点 ∵M 是BC 中点,∴()()111222MF BE BA AE BA AC ==+=+．【练习4】如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+EDCAF EDCA【解析】在BC 上取一点F ，使得BF BA =易证得ABD FBD △≌△，∴DF AD =，又∵DA DE =，∴DF DE =∵100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，∴AB AC = ∵BD 平分ABC ∠，∴20ABD ∠=︒ ∴60ADB FDB ∠=∠=︒ ∵60CDE ADB ∠=∠=︒ ∴60FDC EDC ∠=∠=︒， ∴DCF DCE △≌△图3ACD EF M B 图4ADEFM BC20 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴FC EC =，∴BC BF FC AB CE =+=+题型二将军饮马问题巩固练习【练习5】已知ABC △的顶点坐标分别为A (0，2)，B (2-，0)，C (1，0)，O 是坐标原点.试在AB 和AC 边上分别找一点D 、E ，使DOE △的周长最短.画出点D 、E 两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题)y C O x B AO 2O 1EDyC O xB A【解析】作点O 关于线段AB 、AC 的对称点1O 、2O ，连接两点与AB 、AC 的交点为所求点D 、E .21初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABOP QR P′P″A B O P Q R P′P″P O B A测试1. 如图AOB ∠内有点P ，试在角的两边上找两点Q 、R (均不同于O 点)，使PQR △的周长最小，画出Q 、R 两点的位置图形，保留作图痕迹.【解析】测试2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBAF EDCBA【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ,可推出DF BE =，易证CEB CFD △≌△，∴ABC ADC ∠+∠180=︒测试3. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MA B CE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．课后测22 初二秋季·第1讲·提高班·教师版想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。

第2讲导函数性质

1第2讲导函数性质利用导数判断函数的单调性的方法如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数．【教师备案】对于函数()f x ，若()()0()0f x f x ''><，则()f x 为增函数（减函数）；反之，若()f x 为增函数（减函数），则()()0()0f x f x ''≥≤恒成立，且()f x '不恒等于零．考点1：函数单调性与其导函数正负的关系【教师备案】选修2-2A 版教材引入方式1.如下图，函数图象的切线的斜率（即导数）的正负可以反映函数的单调性．导数()0f x '表示函数()f x 在点()()00x f x ，处的切线的斜率.在0x x =处，()00f x '>，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，()10f x '<，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减.2.已知导函数()f x '的下列信息：当14x <<时，()0f x '>；当1x <或4x >时，()0f x '<；当1x =或4x =时，()0f x '=．试画出函数()f x 的大致形状．【教师备案】选修2-2B 版教材引入方式函数()y f x =在区间[]x x x +∆，上的平均变化率为y x∆∆．依据函数单调性的定义：2.1利用导数分析函数的单调性经典精讲知识点睛2若0y x ∆>∆，则函数在给定区间上为增函数；若0y x∆<∆，则函数在给定区间上为减函数．从导数的角度看： ()00()()lim lim x x y f x x f x f x x x∆→∆→∆+∆-'==∆∆．若()0f x '>，则函数在给定区间上为增函数；若()0f x '<，则函数在给定区间上为减函数．因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质．【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系求下列函数的导函数，并画出导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系【解析】导函数的图象为：从导函数的图象我们可以看出，当导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零时，原函数是单调递减的.【例1】根据导函数图象判断原函数图象（2010石景山一模文理7）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）．【解析】 A由()f x '的图象知()y f x =在(2)-∞-，与(0)+∞，上单调递减，在(20)-，上单调递增．考点2：从导数角度解释函数增减的快慢【教师备案】函数图象如图1、2所示，由图3、4可知，当自变量x ∆逐次增加一个单位增量x ∆时，函数()g x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越大；函数()f x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越小．xy O xyO O yx(3)(2)(1)3图1 图2图3 图4从导数的角度来看：()0g x '>，()g x '为增函数；()0f x '>，()f x '为减函数．图象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）．如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大，那么对应的函数图象就越来越陡峭．反之，就越来越平缓．【铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．【解析】以容器⑵为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图象上，（A ）符合上述变化情况，同理可知其他三种容器的情况. ⑴→B ； ⑵→A ； ⑶→D ； ⑷→C ．【例2】函数的增长速度⑴ 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）D.C.B.A.OtOt tOOts4⑵ 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3 分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，H 是漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系用图象表示可能是右图中的（）．【解析】 ⑴A曲线的切线的斜率()s t '表示汽车的速度，由题意知，速度先增加，再保持不变，最后减小，故由曲线的斜率变化知选A ．也可根据汽车匀加速行驶2112s v t at =+()0a >，匀速行驶0s s vt =+，减速行驶2212s v t at =-()0a >，结合函数图象得到．⑵D每当t 增加一个单位增量t ∆，H 的变化开始增量H ∆越来越小，经过中截面后越来越大，故H 关于t 的函数图象是增加先变缓后变陡，因此选D ．考点3：求函数的单调区间【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法第一步：确定函数()f x 的定义域；第二步：求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；第三步：把函数()f x 在间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；第四步：确定()f x '在各个小区间的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间的增减性.【注意】①函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；②当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“∪”连接，可用“，”或“和”连接.提高班学案1【铺1】确定函数()33f x x x =-在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？【解析】 ()233f x x '=-，令2330x ->，解此不等式，得1x >或1x <-.因此，已知函数在区间()1+∞，和()1-∞-，内是增函数；令2330x -<，解此不等式，得11x -<<.因此，已知函数在区间()11-，内是减函数.尖子班学案1【铺2】已知函数()e x f x x =．求函数()f x 的单调区间．【解析】函数()f x 的定义域为R ．5()()1e x f x x '=+．由()0f x '>，解得1x >-．由()0f x '<，解得1x <-．∴()f x 的单调递增区间为()1-+∞，，单调递减区间为()1-∞-，．【例3】求单调区间求下列函数的单调区间⑴32()395f x x x x =--+；⑵()22ln f x x x =-．【解析】 ⑴2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>得3x >或1x <-，∴函数()f x 的单调递增区间为(1)-∞-，和(3)+∞，，令()0f x '<，得13x -<<，∴函数()f x 的单调递减区间为(13)-，． ⑵ 函数()f x 的定义域为()0+∞，，又()()()()22212112222x x x x f x x x x x x--+-'=-===，令()0f x '>得1x >，()f x ∴的单调递增区间为()1+∞，，令()0f x '<得01x <<，()f x ∴的单调递减区间为()01，.目标班学案1【拓3】已知函数()e 1xf x x =-，求函数()f x 的定义域及单调区间．【解析】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠．()()()()()22e 1e 1e 211x x x x xf x x x --⋅-'==--．由()0f x '>，解得2x >．由()0f x '<，解得2x <且1x ≠．∴()f x 的单调递增区间为()2+∞，，单调递减区间为()1-∞，和()12，．求函数()()2ln f x x ax a =-∈R 的单调区间．【解析】函数()y f x =的定义域为()0+∞，．∵()2ln f x x ax =-，∴()2f x a x'=-．当0a ≤时，因为0x >，所以()0f x '>，所以()y f x =在()0+∞，上单调递增；当0a >时，令()20f x a x '=->，解得20x a <<；令()20f x a x '=-<，解得2x a>．此时函数()y f x =的单调递增区间是20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．6综上所述：当0a ≤时， ()y f x =的单调递增区间为()0+∞，；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．提高班学案2【铺1】若y ax =与by x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（） A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数【解析】 C由题意知：0a <，0b <，于是230y ax b '=+<对任意x ∈R 成立，故选C ．【例4】已知函数单调性，求参数范围设函数2()ln f x x x ax =++在其定义域内为增函数，求a 的取值范围．【解析】 2121()2x ax f x x a x x++'=++=，()f x 的定义域为()0+∞，．若()f x 在其定义域内为增函数，所以221()0x ax f x x++'=≥对()0x ∈+∞，恒成立（﹡）．方法一：分离参量法（﹡）可以转化为2210x ax ++≥对()0x ∈+∞，恒成立，即12a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥，对()0x ∈+∞，恒成立．令1222x x +≥()0x ∈+∞，．故12x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为2-即22a -≥．方法二：分类讨论方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-，①当0∆≤，即2222a -≤2210x ax ++≥， ()0f x '≥在()0+∞，内恒成立，此时()f x 为增函数． ②当0∆>，即22a <-22a > 要使()f x 在定义域()0+∞，内为增函数，只需在()0+∞，内有2210x ax ++≥即可，设2()21h x x ax =++，由(0)10022h a=>⎧⎪⎨-<⎪⎩⨯，得0a >，所以22a > 由①②可知，若()f x 在其定义域内为增函数，a 的取值范围是)22⎡-+∞⎣．尖子班学案2【拓2】已知函数21()2(02]f x ax x x=-∈，，，若()f x 在(01]x ∈，上是增函数，则a 的取值范围为．7【解析】 1a ≥-．3321()22f x a a x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(01]x ∈，上是增函数，只需在(01]x ∈，上，()0f x '≥恒成立，即31a x -≥恒成立．在(01]x ∈，上，有311x-≤-，故只需1a -≥．综上，1a -≥时，函数21()2f x ax x=-，(01]x ∈，是增函数．目标班学案2【拓3】已知函数()21()ln 202f x x ax x a =--≠不存在单调递减区间，求a 的取值范围．【追问】若改为存在单调递减区间，则a 的取值范围是多少．【解析】函数()f x 的定义域为()0+∞，． 2121()2ax x f x ax x x+-'=--=-，因为函数()f x 不存在单调递减区间，所以()0f x '<在 ()0+∞，上无解，从而2210ax x +->在()0+∞，上无解． ① 当0a >时，221y ax x =+-为开口向上的抛物线，2210ax x +->总有正解，故存在单调递减区间，0a >∴不符合题意；② 当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，2102a a-=->∵，∴要使2210ax x +-> 在()0+∞，上无解，则440a ∆=+≤，解得1a -≤．综上所述，a 的取值范围为(]1-∞-，．【追问】函数()f x 的定义域为()0+∞，． 2121()2ax x f x ax x x+-'=--=-，因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()0f x '<在 ()0+∞，上有解，从而2210ax x +->有正解． ① 当0a >时，221y ax x =+-为开口向上的抛物线，2210ax x +->总有正解；② 当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，且2102a a-=->，∴要使2210ax x +-> 总有正解，只需440a ∆=+>，解得10a -<<．综上所述，a 的取值范围为(10)(0)-+∞，，．1.利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点．如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．2.2利用导数分析函数的极值与最值知识点睛8【教师备案】老师可以借助经典精讲中的【铺垫】来讲解函数的极值，先让学生自己观察，然后老师再来总结极值，并总结极值中应注意的方面. 我们可以从以下几个方面理解概念：①极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系.即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小.②函数的极值点的导数为0，但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说，若()f c '存在，()0f c '=是()f x 在x c =处取得极值的必要条件，但不是充分条件.比如()3f x x =在0x =处，()00f '=但0x =不是函数的极值点，所以一定要注意点的左右变化趋势．③若()f x 在区间()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.④如果函数()f x 在[]a b ，上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地，当函数()f x 在[]a b ，上连续且有有限个极值点时，函数()f x 在[]a b ，内的极大值点、极小值点是交替出现的.2.求函数()y f x =的极值的方法 ⑴确定函数定义域 ⑵求导数()f x '； ⑶求方程()0f x '=的根；⑷检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值【教师备案】①使()f x '无意义的点也要讨论.即可先求出()'0f x =的根和使()f x '无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.3.求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴ 求函数()y f x =在()a b ，内的极值； ⑵ 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，(f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【教师备案】老师在讲最值时，也可以继续以【铺垫】为例，问学生在一个区间上的最值，并提出需要注意的几点.在理解函数最值时，需要注意以下几点：①函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小者.②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值，比如说，某位同学在班里的成绩最好，可以认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的，即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最大值，老师也可以以此为例讲解极小值不一定是最小值.9【铺垫】如图所示，函数()y f x =在a b c d e f g h ，，，，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？【解析】以a b ，两点为例，我们可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<.其它的点老师可以自由发挥，随便问学生.考点4：与极值相关的图象问题【例5】与极值相关的图象问题⑴函数()f x 的导函数图象如图所示，则函数()f x 在图示区间上（） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 ⑵（2010朝阳二模6）函数321()2f x x x =-+的图象大致是（）．D .O xyC .O x y B .O x y A .O y x【解析】 ⑴C因为导函数的图象与x 轴的四个交点处都是穿过的，所以都是极值点，根据正负变化情况知，第一个与第三个交点对应极大值点，第二个与第四个交点对应极小值点（从左到右），故选C ． ⑵A由2()32f x x x '=-，于是()f x 在203x =，点取得极值．A ，B ，C ，D 中仅A 符合．另外此题也可以根据单调性和极值点来分析．考点5：求函数的极值与最值经典精讲O yx10【铺垫】用导数法求函数2()f x x x=+的极值．【解析】函数定义域为{}22210()1(2)(2)x x f x x x x x'≠=-=-+，．令()0f x '>，得2x >或2x <-． ∴函数()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，和(2)+∞，；令()0f x '<，得22x -<<且0x ≠，∴函数()f x 的单调递减区间是(20)-，和(02)，． ∴()f x '，()f x 的变化情况如下表：x()2-∞-，2-()20-，()02，2()2+∞，()f x ' +--+()f x↗极大值↘↘极小值↗∴()f x 在2x =-时取得极大值22-，在2x =时，取得极小值22．【例6】求函数的极值与最值已知函数()()32231f x x x x =-+∈R ．⑴求()f x 的极值；⑵求函数()f x 在闭区间[]12-，上的最值．【解析】 ⑴()266f x x x '=-．令2660f x x x '=-=，解得01x x ==，． x()0-∞，0 ()01，1()1+∞，()f x ' +- 0 +()f x↗ 极大值↘极小值↗()()()⑵由⑴知()f x 在区间()12-，上的极小值为()10f =；极大值为()01f =．计算得：()()1425f f -=-=，．所以函数()f x 在闭区间[]12-，上的最小值为4-，最大值为5．提高班学案3【拓1】已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中0a >．求()f x 在区间[]23，上的最小值．【解析】 ()()()2224221f x x x a x a '=-+-=--，()7223f a =-，()373f a =-，令()0f x '=解得21a x =，则211a <，211a >， ①当212a+，即02a <≤时，()f x 在区间[]23，上单调递增， ∴最小值为()7223f a =-； ②当213a+，即8a ≥时，()f x 在区间[]23，上单调递减， ∴最小值为()373f a =-；③当213<<，即28a <<时， ()f x在区间21⎛+ ⎝⎭，上单调递减，在区间13⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，∴最小值为513f a ⎛+=- ⎝⎭，综上所述，当02a <≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在区间[]23，上的最小值是53a -；当8a ≥时，()f x 在区间[]23，上的最小值是73a -．尖子班学案3【拓2】已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．求()f x 在区间[]23，上的最大值和最小值．【解析】 ()()()2224221f x x x a x a '=-+-=--，()7223f a =-，()373f a =-， ①当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，∴()f x 在区间[]23，上的最大值为()373f a =-，最小值为723a -；②当0a >时，令()0f x '=解得1x =，则11<，11+>， a当12，即02a <≤时，()f x 在区间[]23，上单调递增， ∴最大值为()373f a =-，最小值为()7223f a =-； b当13，即8a ≥时，()f x 在区间[]23，上单调递减， ∴最大值为()7223f a =-，最小值为()373f a =-； c当213<<，即28a <<时， ()f x在区间21⎛ ⎝⎭，上单调递减，在区间13⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，∴最小值为513f a ⎛+=-- ⎝⎭，最大值为()(){}max 23f f ，，而()()14233f f a -=-， ∴当1423a <≤时，最大值为()373f a =-，当1483a <<时，最大值为()7223f a =-；综上所述，当2a ≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是5233a a a --，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[]23，上的最小值是5233a a a --，最大值是723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[]23，上的最小值是73a -，最大值是723a -．【铺垫】设函数3()32f x ax x =++有极值，求a 的取值范围．【解析】 ()233f x ax '=+．当0a ≥时，()0f x '>，()f x 为实数集上的增函数，()f x 没有极值．当0a <时， ()0f x '=有两个不相等的实根， ()f x 有极值．所以a 的取值范围为0a <．【例7】已知函数存在极值，求参数范围设函数()f x 的导函数为()f x '，若()()32112f f x ax ax x a '⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦R ，． ⑴用a 表示()1f '；⑵若函数()f x 在R 上存在极值，求a 的范围．【追问】若函数在R 上不存在极值，则a 的取值范围是多少？【解析】 ⑴()()213212f f x ax ax ''=-+-，把1x =代入上式，得()()1112f f a ''=+-， ∴()122f a '=-． ⑵()2322f x ax ax a '=-+-当0a =时，()20f x '=-<，无极值，∴不满足假设．当0a ≠时，要满足存在极值，则()0f x '=必须有两个相异实根，故0∆>，即()244320a a a -⋅->，得03a <<．【追问】(][)03-∞+∞，∪，目标班学案3【拓3】（2010北京卷18）设函数()()3203a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4． ⑴ 当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； ⑵ 若()f x 在()-∞,+∞内无极值点，求a 的取值范围．【解析】由()323a f x x bx cx d =+++得()22f x ax bx c '=++．因为()29290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1，4，所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩ ①⑴ 当3a =时，由①式得2608120.b c b c +-=,⎧⎨++=⎩解得3b =-，12c =．又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =．故()32312f x x x x =-+． ⑵ 由于0a >，所以“()323a f x x bx cx d =+++在()-∞,+∞内无极值点”等价于 “()220f x ax bx c '=++≥在()-∞,+∞内恒成立”．由①式得295b a =-，4c a =．又()()()224919b ac a a ∆=-=--．解()()09190a a a >,⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤得[]19a ∈,，即a 的取值范围是[]19,．右图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数 ()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.【解析】根据导函数的正负，我们可以判断原函数的单调性，由此，我们可以得到，函数在2x x =处取得极大值，即2x 为极大值点；函数在4x x =处取得极小值，即4x 为极小值点.【点评】一方面，学生在看到此图时，第一反应会默认为1x 和3x 分别为极值点，但是我们要审清题意，这里给的是导函数的图象，不是原函数的图象，我们要根据导函数的图象画出原函数的图象；另一方面，学生也会误认为6x 为函数的一个极值点，我们从图象上就可以看出原函数在()5x +∞，一直是单调递增的，所以6x 不是函数的极值点.所以原函数的单调性只与导函数的正负有关，与导函数的单调性无关.【演练1】已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）【解析】 A由()f x '的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减．【演练2】向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（）．实战演练【解析】 B因为容器中总的水量（即注水量）V 关于h 的函数图象是增加越来越缓的，即每当h 增加一个单位增量h ∆，V 的相应增量V ∆越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选B ．【演练3】设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）．yxO yx O yx O DC B A O x y【解析】 D【演练4】函数214y x x=+的单调增区间为（） A ．(0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，【解析】 B令32218180x y x x x -'=-=>，得12x >．【演练5】已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-．设()f x 在[]11-，上是单调函数，求a 的取值范围．【解析】对函数()f x 求导数，得22()(2)e (22)e [2(1)2]e .x x x f x x ax x a x a x a '=-+-=+--令()0f x '=，得2[2(1)2]e 0x x a x a +--=，从而22(1)20x a x a +--=，解得2111x a a =-+2211x a a =-++12x x < x 'x()1x -∞，1x 12()x x ， 2x()2x +∞，()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↗极大值↘极小值↗1x x =处取到极大值，在2x x =处取到极小值．解法1：因为0a ≥，所以121x x <-<，所以()f x 在[11]-，上为单调函数的充要条件是21x ≥，即2111a a -+，解得34a ≥．综上，()f x 在[11]-，上为单调函数的充要条件34a ≥．即a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．解法2：因为0a ≥时，所以11x <-，且()f x 在1x x =处取到极大值，而21x >-，且()f x 在2x x =处取到极小值，因此，若()f x 在[]11-，上是单调函数，则()f x 在[]11-，上是单调减函数． ()f x 在[]11-，上是单调减函数，等价于()0f x '≤在区间[]11-，上恒成立，等价于()22120x a x a +--≤在区间[]11-，上恒成立．即1222012220a a a a -+-+--⎧⎨⎩≤≤，解得34a ≥．函数212y x x =+-的最值为（）A ．min 54y =-，max 54y =B ．无最小值，max 54y =C ．min 54y =-，无最大值 D ．既无最大值也无最小值【解析】 B解法一：函数的定义域为12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，对原函数求导得1212y x '=--，令0y '=得38x =；于是38x <时0y '>，3182x <<时0y '<；故原函数在38⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在3182⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；所以当38x =时，有max 54y =；又由于x 趋向于-∞时y 同样趋向于-∞，故原函数无最小值．解法二：换元12x t -=，则221x t =-，原函数变成21y t t =-+，其中[)0t ∈+∞，；而二次函数2251142y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，其在[)0+∞，上显然有最大值54而无最小值．大千世界。

提高班讲义一间隔问题

三（下）数学提高班讲义一：间隔问题
班级：姓名：
例1在20米长的路边种树，从一端起，每隔5米种1棵，一共要种多少棵？
例2某工厂在道路一侧插彩旗，每隔4米插1面，从起点到终点共插了8面。

问工厂这条道路长多少米？
例3在40米长的走道一侧栽树，起点和终点都要栽1棵，一共栽了5棵，相邻两棵树之间的距离都相等，求相邻两棵树之间相距多少米？
练习：
1、在10厘米长的线段上，从一端起，每隔2厘米摆1根火柴棒，一共要摆多
少根？
2、从一条线段的一端起，每隔4厘米摆1根火柴棒，从起点到终点共摆了6根。

问这条线段有多长？
3、公园的路边放了一些椅子，从起点到终点共计51把，每相邻两把椅子之间
都相距5米。

问这条路长多少米？
4、学校在校门口插彩旗，全长36米，从头至尾共插了19面。

求相邻两面彩旗
之间相距多少米？
例1有一根钢管，要锯成5小段，每锯开一处要花3分钟，全部锯完要多少时间？
例2有一个水池周长是50米，在水池周围每隔5米种1棵柳树，一共要种多少棵？
例3在一块正方形场地四周种树，每边都种15棵，并且四个顶点都种有1棵树。

问这个场地四周共种树多少棵？
练习：
1、有一根木料，要锯成4段，每锯开一处需花4分钟，全部锯完要几分钟？
2、小明和小红两人进行爬楼梯比赛，小明跑到第四层时，小红跑到第五层，照
这样计算，当小明跑到第十层时，小红跑到了第几层？
3、一块田周长32米，在它的四周围篱笆，每隔4米需打1根木桩，一共要准
备多少根木桩？
4、在正方形舞台四周站着一些少先队员，四个顶点都站有1人，这样每边上都站了6人。

这个舞台四周共站了多少名少先队员？。

初二数学二次根式的化简求值同步讲义

八年级数学提高班第二周课程第五节化整为零,化零为整——二次根式的化简【知识要点】1．二次根式的重要性质()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ．被开方数20a ≥，所以a 可以取任意实数；因为2a0≥0a ≥．2．由上述性质确定被开方数中字母的取值范围若a a =2，则0≥a ；若a a -=2，则0≤a ．3．最简二次根式被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。

被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。

4．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

判断同类二次根式时，注意以下三点都是二次根式，即根指数都是2；必须先化成最简二次根式；被开方数相同。

5．二次根式的加减二次根式的加减，与整式的加减相类似，只须对同类二次根式进行合并．月日同学们, 加油!!重难点解析1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。

如：===2．根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。

如=== 253⨯3．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。

如：a a a a a 245==、33b a =ab b a 22=ab ab4．计算：(1)x x 23- (2)2287x x +-【典型例题】例1 化简二次根式 12 48 50 5498 108 4515⨯例2 请问下列两组二次根式是同类二次根式吗?(1)2、 22、 32(2)2、 8、 185例3 若最简二次根式152++a a 与b a 34+是同类二次根式，求a 、b 的值例4、化简下列二次根式：（1）122+-a a （2）)(222b a b ab a <+-（3）)31(2132<<+-+-x x x x （4）)9()9()5(22≥---x x x例5 计算：（1）32+3－22－33 （6）★例6 如果最简根式m n +m ，n 的值。