第五讲数列总复习一
高考数学一轮复习 第六章 第5讲 数列的综合应用配套课件 理 新人教A版
考点自测
1．若数列{an}为等比数列，则下面四个命题：
①{a2n}是等比数列； ②{a2n}是等比数列； ③a1n是等比数列； ④{lg|an|}是等比数列．其中正确的个数是________．
答案 3
2．(2012·南京一模)若数列{an}满足：lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)， a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为________．
答案 (－∞，7]
5．(2012·盐城第一学期摸底考试)设等差数列{an}满足：公差 d∈N*，an∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的 一项．若a1＝35，则d的所有可能取值之和为________．
解析 由题意知，an＝35＋(n－1)d.对数列{an}中的任意两 项ar，as其和为ar＋as＝35＋35＋(r＋s－2)d，设at＝35＋(t －1)d，则35＋(r＋s－2)d＝(t－1)d，即35＝(t－r－s＋1)d. 因为r，s，t，d∈N*，所以35是d的整数倍，即d所有可能 取值为1,3,9,27,81,243，和为364. 答案 364
∴{an}是以 a4 为首项，a2 为公比的等比数列．
(2)解 bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2. 当 a＝ 2时，bn＝(2n＋2)( 2)2n＋2＝(n＋1)2n＋2. Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，① 2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，② ①－②得 －Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2411－－22n－1－(n＋1)·2n＋3 ＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3. ∴Sn＝n·2n＋3.
第五讲暑假班-等比等差数列求和(教师版) - 副本
第五讲数列求和方法课前准备【旧知识复习】复习1：等差数列等比数列的通项公式是什么？它们的通项公式都有什么特征呢？复习2：等差等比数列的求和公式是什么？新课导学一、学习探究：1．公式法与分组转化法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减．2．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．二、 自主学习：(1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于________．答案：n 2＋1－12n(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝________. 答案：9(3)(2018·枣庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为________．答案：100101(4)若a n ＝2n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n ＝________.答案：n2n ＋1三、精讲精练：【考点一】分组转化求和[例1] (2018·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)∵{a n }为等差数列，∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2a n ＋a n ＝22n ＋1＋(2n ＋1)＝2×4n ＋(2n ＋1)， ∴T n ＝2×(4＋42＋…＋4n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝2×4(1－4n )1－4＋n (3＋2n ＋1)2＝83(4n －1)＋n 2＋2n . [方法技巧]分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．【考点二】错位相减求和[例2] (2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②由①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ， 由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1， 得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8. 故T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.[方法技巧]错位相减法求和的策略(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．(2)在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【考点三】裂项相消求和[例3] (2018·沈阳质检)已知数列{}a n 是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2， 故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，n ∈N *.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n－1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n ∈N *. [方法技巧]用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．几种常见的裂项方式四、能力展示1. (2018·福州质检)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n项和为S n ，则S 2 017＝( )A. 2 016－1 B ． 2 017－1 C. 2 018－1D ． 2 018＋12. (2018·信阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 1243. (2018·安徽合肥模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1＋3n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n －3n (n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .4. (2018·山东省实验中学诊断性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n，求{b n }的前n 项和T n .第5节课后答案 第一部分1. 解析：选C 由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－2 017)＝ 2 018－1.2. 解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.由 ②÷① 得 q 3=18，解得 q =12．3. 解：(1)∵a n ＝2a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，∴a n －3n ＝2(a n －1－3n －1)，∴b n ＝2b n －1(n ∈N *，n ≥2)．∵b 1＝a 1－3＝2≠0，∴b n ≠0(n ≥2)，∴b nb n －1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．∴b n ＝2·2n －1＝2n .(2)由(1)知a n ＝b n ＋3n ＝2n ＋3n ，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(3＋32＋…＋3n )＝2(1－2n )1－2＋3(1－3n )1－3＝2n ＋1＋3n ＋12－72.4. 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2＝2a 2－2，① S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2， 所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2，代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n . (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n .。
第五讲 数与数列
第五讲数与数列（1）1 一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入500立方厘米空气.问：他在一昼夜里吸人（）方米空气?解： 11.52立方米2填空题（本题3分）自1至97.5的全体自然数中，数字1共出现了（）次。
解：20次。
3填空题（本题3分）用1,2,2,3能组成不同的四位数有( )个.解：124填空题（本题3分）有面值为1分，2分，5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有（）种不同的支付方法?解： 5种5填空题（本题5分）用数字0、1、2、3、4、5可以组成（）个不同的没有重复数字四位偶数。
解：0在个位上的有5×4×3=60（个），2或4在个位上的都有4×4×3=48（个）。
60+48×2=156（个）。
6填空题（本题5分）电视台要播放一部30集电视连续剧。
如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播（）天。
解：1+2+3+4+5+6+7=28，而1+2+3+4+5+6+7+8=36，可以看出30集电视连续剧每天安排播出的集数互不相等，则最多播7天。
7填空题（本题5分）将4枚棋子摆放到右图的方格中，要求每行、每列最多摆一个棋子，共有( )种不同的摆法。
解：按照第1、第4、第3、第2列的顺序摆棋子，分别有3、2、2、3种放法，因此共有3×2×2×3=36（种）。
8填空题（本题5分）数一数下图中有（）个三角形。
解：48个。
三角形的一边为第1根线时，有三角形2个；三角形的一边为第2根线时，有三角形6个；三角形的一边为第3根线时，有三角形11个；三角形的一边为第4根线时，有三角形14个；三角形的一边为第5根线时，有三角形15个；合计48个三角形9填空题（本题5分）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。
问其中最轻的箱子重( )公斤.解：三个箱子的重量为（83+85+86）/2=127。
数列知识点
数列知识点数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定顺序排列的数组成。
数列的知识点包括数列的定义、分类、性质以及数列的求和等。
以下是数列知识点的总结：1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一列数，通常用小写字母表示，如数列{a_n}。
2. 数列的分类：- 有穷数列：项数有限的数列。
- 无穷数列：项数无限的数列。
- 等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
- 等比数列：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列。
3. 数列的性质：- 单调性：数列的项按照大小顺序单调递增或递减。
- 有界性：数列的项值在一定的范围内变动，即存在上下界。
- 收敛性：数列的项值随着项数的增加趋向于一个固定值。
4. 数列的通项公式：数列的通项公式是表示数列中第n项的公式，如等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。
5. 数列的求和：- 等差数列求和公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)，其中S_n 是前n项和。
- 等比数列求和公式：S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r 是公比，且|r| < 1。
6. 数列的极限：数列的极限是指数列的项值随着项数的增加趋向于某个值的性质，记作lim (n→∞) a_n = L。
7. 数列的递推关系：数列的递推关系是指通过数列中前一项或几项来确定下一项的公式，如斐波那契数列的递推关系为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)。
8. 数列的应用：数列在数学分析、概率论、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
9. 数列的收敛判别法：- 比较判别法：通过比较数列与已知收敛性数列的项来确定数列的收敛性。
- 比值判别法：通过计算数列项的比值来判断数列的收敛性。
- 根值判别法：通过计算数列项的n次方根来判断数列的收敛性。
10. 数列的级数：数列的级数是指将数列的项相加形成的无穷和，如级数∑a_n。
数列知识点复习
(2)d>0时,数列单调递增. (3)d=0时,数列为常数列.
3.一等等比差数列前n项和为30，前项2n和为100，
则它的前3n项和为 ____2_17_09_0____
知识点:
3
若数列 {an } 是等差数列, 则
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
an n (n N *)
由an Sn Sn1(n 2)得到
6、已知Sn为数列an的前n项和,且Sn 2 2an 求: 数列an的通项公式
解
:
S S
n1 n 2
2 2an1 2an
(n
N
*
)
Sn1
Sn
2an
2an1
3an1 2an an1 2 (n N *)
注:
q 1时
Sn
a1(1 qn ) 1 q
Sn
a1 1 q
a1 1 q
qn
Sn= A _ A qn
例、在等比数列{ an }中，它的前项和是sn ，
当s3 = 3a3时，求公比 q 的值
注意特别考虑
解：（1）当q = 1 时
q=1的情况
{ an }为常数列，∴ s3 =3a3=3a1恒成立
n
1 qn q5 qn
1 当0 q 1时
原式＝ 1 q5
2当 q 1时
原式＝lim n
1 qn q5 qn
lim
1 qn
1
n
q5
1 qn
1
必修5数列复习课件ppt
an amqnm
中项
A ab 2
G2 ab
性质
an am ap aq an am 2ap
an am ap aq an am ap2
Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等差 Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等比
求和 公式
Sn
n(a1 an ) 2
若TSnn＝7nn＋＋32，求ab55.
9a1＋a9
an S2n1 bn T2n1
解： ab55＝22ab55＝ab11＋ ＋ab99＝9b12＋b9 ＝TS99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
2
7.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( A )
分析:
如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由 正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：
１．当a1＜0,d＞0时,
aann100 Sn是最小值
２．当a1＞0,d＜0时, 思路1：寻求通项
aann100 Sn是最大值
即：3a1
9a1
30d
1 9 (9 1) d
2
d
1 10
a1
12a1
是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
思路2：从函数的角度来分析数列问题.
9设a1等 差12 数9列(9｛1a)n｝d 的 1公2a差1 为12d,1则2由 (1题2 意1)得 d:
即： 3a1 30d a1 10d ∵a1<0, ∴ d>0,
2014暑期高中数学系列辅导第五讲：数列
第一讲 数列基本概念重要性质1、 函数性质 等差数列 等比数列通项公式：前n 项和公式：2、 项的性质3、 前n 项和的性质4、n S 与n a 的关系4、 数列求和例题分析1、已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30 B ．45 C ．90 D ．1862、等差数列{a n }中，a 1=1,d=2,依次抽取这个数列的第1，3，32，┄，3n-1 项组成数列{b n }，则数列{b n }的通项是 。
3、设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝为等比数列，公比q ≠1, 且b i ＞0(i=1、2、3 …n) 若a 1=b 1,a 11=b 11则 ( )A. a 6=b 6B. a 6＞b 6 C . a 6＜b 6 D. a 6＞b 6或 a 6＜b 64、数列{}n a 中，1015=a ，9045=a ，若{}n a 是等差数列，则=60a ；5、设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若1020S S =，则30S 的值是 。
6、在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-31a 11的值为 ( )A. 14B. 15C. 16D. 177、若｛a n ｝是等差数列，首项a 1＞0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 ( )A.4005 B ．4006 C.4007 D.40088、等差数列｛a n ｝的前n 项和S n ，且S 15 >0,S 16<0,则离0最近的项为 （ ）A. a 8B. a 9C. a 8或a 9D. 不能确定9、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 11、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为12、设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T 。
四年级奥数教程 第五讲利用等差数列计算(一)
第五讲等差数列（一）解题方法若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。
解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。
引申1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
答：这个数列共有27项2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?答:这个数列共有32项3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。
例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
引申1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
数列知识点复习
单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必定收敛。即如果一个数列单调递增且有上界，或者单调递减且 有下界，则该数列必定收敛。这个定理可以用来证明某些数列极限的存在性。
03 数列的收敛与发散
收敛数列的定义与性质
定义：如果数列的极限存在，则称该数列为收敛数列。 性质 唯一性：收敛数列的极限值是唯一的。
根值判别法
计算数列项的n次方根，并根据该n次方根的极限值判断数列的收敛性。若n次方根极限小 于1，则数列收敛；若大于1，则数列发散。这些方法在判断数列收敛性时具有一定的适 用条件和局限性，需要综合运用其他知识和技巧来进行判断和证明。
04 数列的应用
数列在日常生活中的应用
01
02
03
存款利息计算
在银行存款时，利用等比 数列计算复利，从而得到 更准确的利息收益。
数列极限的几何意义
数列极限的几何意义在于，当n无限增大时，数列的项越来越接近一个常数，这 个常数就是数列的极限。
数列极限的性质
唯一性
如果数列$a_n$的极限存在，则极限值是唯一的。
有界性
如果数列$a_n$收敛于A，则数列$a_n$必有界，即存在 正数M，使得$|a_n| \leq M$对一切n成立。
保序性
如果$\lim_{n \to \infty} a_n = A$，且A大于0（或小于 0），则存在正整数N，当$n>N$时，$a_n$大于0（或 小于0）。
保号性
如果$\lim_{n \to \infty} a_n = A$，且存在正整数N， 当$n>N$时，$a_n \geq 0$（或$a_n \leq 0$），那么 A也大于等于0（或小于等于0）。
数列知识点复习
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【冀教版】四年级奥数上册讲义-第五讲 数列数表规律
第五讲数列数表规律◆温故知新：1. 找规律填空：8、15、22、29、36、、、572.找规律填空：1、2、4、8、、32、643.一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，首项为23，末项是。
4.一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，末项为125，首项是。
5.等差数列通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差；项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：和＝（首项＋末项）×项数÷26.寻找数列、数表中的数排列的规律，利用周期性计算。
7.在数列中需要关注所求的是第几个数，在数表中则要考虑所求的数在第几行、第几列◆练一练1. 一个等差数列的首项是为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？2.计算：（1）3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30（2）41＋37＋33＋29＋25＋21＋17＋13＋9＋5＋13.有9个连续的自然数的和是126，其中最小的数是多少？4.已知一个等差数列的前13项之和为533，前15项之和为690.请问：这个等差数列的首项是多少？◆例题展示例题1观察数列的规律1、1、4、2、7、3、10、1、13、2、16、3、19、1、22、2、25、3、…、100。
这个数列一共有多少项？练习1观察数列的规律3、1、6、2、9、3、12、1、15、2、18、3、21、1、24、2、27、3、…、102。
这个数列一共有多少项？例题21、100、2、98、3、96、2、94、1、92、2、90、3、88、2、86、1、84、 0请观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？练习210、2、10、4、10、6、10、8、10、10、10、12、 (100)观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列所有项的总和是多少？例题31、2、3、4、4、5、6、7、7、8、9、10、……、97、98、99、100请观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列一共有多少个数？（2）50在数列中是第几个数？练习3 1、2、3、2、3、4、3、4、5、……9、10、11请观察数列的规律并回答以下问题：（1）这个数列中一共有多少个数？（2）数字8出现了几次？例题4观察数组（1、2、3）、（3、4、5）、（5、6、7）、（7、8、9）……的规律，求：（1）第20组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和。
数列知识点归纳总结复习
数列知识点归纳总结复习一、数列的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数的集合，通常用表示为{an}，其中an表示数列的第n个项。
例如，1, 2, 3, 4, 5,… 就是一个简单的递增数列。
2. 数列的常见表示方式数列可以用公式、递推关系或者图形等方式来表示。
比如，斐波那契数列可以用递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)来表示，而调和数列可以用公式表示为{1, 1/2, 1/3, 1/4, …}。
3. 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、等差-等比数列、递归数列、调和数列等多种类型。
在实际问题中，我们需要根据数列的特点来选择合适的方法进行求解。
二、数列的常用公式与性质1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质包括递推公式、前n项和公式、通项求和公式等，在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列同样具有递推公式、前n项和公式、通项求和公式等性质，其在金融、生物学、物理学等领域都有着重要的应用。
3. 通项公式对于一些特定的数列，我们可以通过观察数列的规律得到其通项公式，这样就能方便地计算数列中任意一项的值。
通项公式的求解是数列问题中的常见技巧，需要灵活运用代数方法和数学归纳法进行推导。
4. 前n项和对于一个数列{an}，其前n项和S(n)可以用数学方法得到一个通用的公式。
对于等差数列和等比数列，其前n项和公式分别为Sn = n/2(a1+an) 和 Sn = (a1(q^n-1))/(q-1)，这些公式在实际问题中有着重要的应用。
5. 数列的极限当n趋向无穷大时，数列{an}的极限值称为数列的极限。
数列的极限可以用来判断数列的趋势和发散性，以及在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
第5讲 数列求和
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
训练1 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1 ＝2.
(1)若{bn}是公差为3 的等差数列，求证：{abn}也是等差数列； (2)若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和． 解：(1)证明：因为数列{bn}是首项为b1＝2，公差为3的等差数列， 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1， 所以abn＝2bn＋4＝2(3n－1)＋4＝6n＋2， 所以abn＋1－abn＝6(n＋1)＋2－(6n＋2)＝6， 所以数列{abn}是以6为公差的等差数列．
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝ a11－－aqn＋1.( √ )
(2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.( √ ) (3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即 可根据错位相减法求得．( × ) (4)若数列 a1，a2－a1，…，an－an－1 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 则数列{an}的通项公式是 an＝3n－2 1.( √ )
答案：22·220－2
02
突破核心命题
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 分组(并项)法求和
例1 (2024·菏泽模拟)已知数列{an}中，a1＝1，它的前n项和Sn满足 2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.
(1)证明：数列an－23n为等比数列； (2)求 S1＋S2＋S3＋…＋S2n.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
数列总复习1
数列一、 教学目标：1. 理解数列的概念；2. 等差数列和等比数列的通项；3. 等差/等比数列的前N 项和。
二、 教学重点难点：等比数列和等差数列的通项和前N 项和的运算以及综合运用。
三、 基础知识要点：（一） 数列的概念1.一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2.数列的分类：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限. 3.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4.数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列. 5.递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（二）等差数列1.等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2.等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3.等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列. 4.等差数列的性质：（1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5.数列前n 项和n S ：（1） 数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2） 数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩6.等差数列前n 项和n S ：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+ 7.等差数列的和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，nS 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且 8.等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则：（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.（三）等比数列1.等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2.等比数列的通项公式： 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3.等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4.等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列； （3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列. 5.等比数列的前n 项和：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩ 由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外2个。
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第五讲等差数列与等比数列复习【知识点复习】 1.等差数列的性质：（1）等差数列递增的充要条件是其公差大于0，（2）在有穷等差数列中，与首末两端距离相等的和相等.即a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=…=a k +a n +1-k ，（3）在等差数列{a n }中，使a m +a 0=a p +a q 成立的充要条件是m +n =p +q ，（4）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项依原来顺序构成一个新数列，则此新数列仍是等差数列，（5）若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且m ，k 为常数，则{ma n +kb n }是等差数列， （6）S n =an 2+bn +c 能表示等差数列前n 项和的充要条件是c =0. 2.等比数列的性质.（1）在等比数列{a n }中，公比为q ，其单调性的考察应视a 1及q 的取值范围而定.（2）在有穷的等比数列{a n }中，与首末两项距离相等的两项之积相等.即：a 1a n =a 2·a n -1=a 3·a n -2=…=a k ·a n +1-k .（3）在等比数列{a n }中，使a m ·a n =a p ·a k 成立的充要条件是m +n =p +k .（4）在等比数列中，每隔相同的项抽出来，依原来的顺序构成一个新数列，则此新数列仍是等比数列.（5）若数列{a n }与{b n }均为等比数列，m 是不等于零的常数，则{m ·a n ·b n }与⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b ma仍为等比数列。
（6）等比数列的通项公式与前n 项和公式。
【基础训练】1.一个等比数列的第2 项是10，第3项是20，它的第1项是______;第4项是________.2. 45和80的等差中项是________;等比中项是___________.3.某种细菌在培养过程中,每半小时分裂一次(一个分裂为两个),经过4小时,这种细菌由1个可繁殖成_________个.4.(2—3×5-1)+(4—3×5-2)+…+(2n —3×5-n )=____________5.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。
6.已知a,b,c,d 成等比数列（公比为q ），如果q=—1，求证a+b, b+c c+d 成等比数列。
7.已知数列｛a n ｝是由正数组成的等比数列，k ∈N*，求证lga 2+lga 4+…+lga 2k=klga k+1【强化训练】1.在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a (a ≠0)，a 19+a 20=b ，则a 99+a 100等于 ( )A.89a bB. (a b )C. 910ab D.(a b )102.已知等差数列{a n }中，|a 3|=|a 9|,公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是 ( )A.4和5B.5或6C.6或7D.不存在3.若{a n }为一个递减等比数列，公比为q ，则该数列的首项a 1和公比q 一定为 ( )A.q <0，a 1≠0B.a 1>0，0<q <1或a 1<0，q >1C.q >1，a 1<0D.0<q <1，a 1>04.由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…，重新组成的数列a 1+a 4，a 2+a 5，a 3+a 6，…是 ( )A.公差为d 的等差数列B.公差为2d 的等差数列C.公差为3d 的等差数列D.非等差5.设2a =3，2b =6，2c =12，则a 、b 、c ( )A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既不是等差数列，又不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列6.若{a n }是等比数列，a 4a 7=-512，a 3+a 8=124，且公比q 为整数，则a 10的值是 ( )A.256B.-256C.512D.-5127.设{a n }是由正数组成的等比数列，且a 5·a 6=81，那么log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10的值是( )A.5B.10C.20D.308.在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是 ( )A.1141B.1241C.1341D.14419.在等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1+a 2+…+a n =2n -1，则a 21+a 22+…+a 2n =( )A.(2n -1)2B.31(2n -1)2C.4n -1D. 31(4n -1)10.上一个n 级的台阶，若每次可上一级或两级，设上法的总数为f (n )，则下列猜想中正确的是 ( )A.f (n )=nB.f (n )=f (n -1)+f (n -2)C.f (n )=f (n -1)f (n -2)D.f (n )=⎩⎨⎧≥-+-=)3)(2()1()2,1(n n f n f n n【能力提高】11.在等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 25三个数依次成等比数列，且a 1+a 4+a 25=114,求这三个数.12.已知{a n }为等差数列，(公差d ≠0)，{a n }中的部分项组成的数列a 1k ，a 2k ，a 13k ，…，a n k ，…，恰好为等比数列，其中k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+k 3+…+k n .13.设f (x )=a 1x +a 2x 2+…+a n x n(n 为正偶数)，{a n }是等差数列，若f (1)=21n (n +1)，f (-1)=2n . (1)求a n ；(2)求证：f (21)<2.14.数列{a n }的前n 项和S n =100n -n 2(n ∈N ). (1){a n }是什么数列?(2)设b n =|a n |，求数列|b n |的前n 项和.参考答案1.A 先求a 1与公比q .2.B ∵d <0，∴a 3>a 9，∴a 3=-a 9.3.B 分别考察a 1>0与a 1<0两种情况.4.B ∵(a n +a n +3)-(a n -1+a n +2)=(a n -a n -1)+(a n +3-a n +2)=d +d =2d .5.A ∵62=3×12，∴(2b )2=2a ·2c ⇒2b =a +c 且b 2≠ac .6.C ∵a 4a 7=a 3a 8=-512，a 3+a 8=124，∴a 3，a 8是x 2-124x -512=0的两根.解之：a 3=-4，a 8=128或a 3=128，a 8=-4⇒q =-2或-21但q =-21不合题意，∴a 10=a 8·q 2=512. 7.C 其值为log 3(a 1a 2…a 10)=log 3(a 1a 10)·(a 2a 9)…(a 5a 6)=log 3(a 5a 6)5=5log 3(a 5·a 6)=5log 381=20.8.A 设这两个正数为x ，y ，由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+==427299232y x x y y x .9.D ∵S n =2n -1，∴a n +1=S n +1-S n =2n +1-1-(2n -1)=2n ，又a 1=S 1=21-1=1=21-1，∴a n =2n -1.10.D 每次可上一级或两级，故需分段考虑. 11.S m +n =-(m +n ) 运用公式求和.12.设公差d ，依题意得：⇒⎩⎨⎧=++∙=114254125124a a a a a a ⎩⎨⎧=++=+114273)24()3(11121d a d a a d a ⇒⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4203811d a d a 或⇒⎩⎨⎧==3838254a a 或⎩⎨⎧=⨯+=+==⨯+=+=9842422414432312514d a a d a a ， ∴这三个数是38，38，38或2，14，98.13.∵a 1，a 5，a 17成等比数列，∴(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒d =21a ，a n =21a 1(n +1)，a 5=a 1+4d =3a 1，∴q =15a a =3，a n k =21a 1(k n +1) ⇒a n k =a 1·q n -1=a 1×3n -1，∴21+n k a 1=a 1×3n -1，∴k n =2×3n -1-1⇒k 1+k 2+k 3+…+k n =2(1+3+9+…+3n -1)-n =nn ---)31()31(2 =3n -n -1.14.(1)设{a n }的公差为d ，则f (1)=a 1+a 2+…+a n =21n (n +1)，f (-1)=-a 1+a 2-a 3+a 4+…-a n -1+a n =2n d =2n ，∴d =1，由na 1+2)1(2)1(+=-n n n n 得a 1=1，∴a n =n .(2)f (21)=21+222+323+…+nn 2⇒(1-21)]f (21)=21+221+321+…+n 21+12+-n n两式相减：f (21)=1+21+221+…+121-n -n n 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-211211n -n n 2=2-211-n -2n n<2. 15.(1)a n =S n -S n -1=(100n -n 2)-［100(n -1)-(n -1)2］=101-2n (n ≥2)，∵a 1=S 1=100×1-12=99=101-2×1，∴数列{a n }的通项公式为a n =101-2n 又∵a n +1-a n =-2为常数. ∴数列{a n }是首项为a 1=99，公差d =-2的等差数列.(2)令a n =101-2n ≥0得n ≤50(n ∈N *)，①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n =|a n |=a n ，所以{b n }的前n 项和S n ′=100n -n 2且S 50′=100×50-502=2500，②当n ≥51时，a n <0，此时b n =|a n |=-a n 由b 51+b 52+…+b n =-(a 51+a 52+…+a n )=-(S n -S 50)=S 50-S n 得数列{b n }前n 项和为S n ′=S 50+(S 50-S n )=2S 50-S n =2×2500-(100n -n 2)=5000-100n +n 2. 由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′=。