2018届四川省高三2月诊断性测试数学(理)试题(解析版)

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【高三数学试题精选】2018年高考数学二诊试卷(成都市理科附答案和解释)

2018年高考数学二诊试卷（成都市理科附答案和解释）
5 2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分
1．已知复数z= ，则z的共轭复数是（）
A．1﹣iB．1+ic．iD．﹣i
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）A．﹣2B．0c．3D．6
3．已知向量， =（3，），∈R，则“=﹣6”是“ ”的（）
A．充要条B．充分不必要条
c．必要不充分条D．既不充分也不必要条
4．设函数f（x）=lg2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）
A． B． c． D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）
A． B． c．20D．40
6．已知x，满足条（为常数），若目标函数z=x+3的最大值为8，则=（）
A．﹣16B．﹣6c． D．6
7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）
A． B． c．4D．6
8．如图，在正四棱锥S﹣ABcD中，E，，N分别是Bc，cD，Sc的中点，动点P在线段N上运动时，下列四个结论
①EP⊥Ac；
②EP∥BD；。

四川成都市2018级高中毕业班第二次诊断性检测理科试题(解析版)

四川成都市2018级高中毕业班第二次诊断性检测理科试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}lg 1A x x =<，{}3B x x =>，则AB =（） A ．()∞+，0B ．()3,10C ．(),-∞+∞D ．()3,+∞ 【答案】A【详解】由题设，{|010}A x x =<<，而{}3B x x =>， ∴{|0}A B x x ⋃=>.故选：A.2．已知i 为虚数单位．则复数()()12z i i =+-的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】D【详解】 ()()12=3z i i i =+-+，所以虚部为1.故选：D3．命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤B ．0x ∀≤，210x x ++≤C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．4．袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．则摸出的两个球颜色相同的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【详解】从中不放回地依次随机摸出两个球，基本事件总数2520n A ==，两个球同色的包含的基本事件个数22328n A A =+=，∴两个球同色的概率为82205m p n ===，故选：B. 5．已知()2sin 3αβ+=，()1sin 3αβ-=，则tan tan αβ的值为（） A ．13- B ．13 C ．3- D ．3【答案】D【详解】由题意可得，2sin cos cos sin 3αβαβ+=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，所以1sin cos 2αβ=，1cos sin 6αβ=，所以tan sin cos 3tan cos sin ααββαβ==. 故选：D.6．在ABC 中，已知AB AC =，D 为BC 边中点，点O 在直线AD 上，且3BC BO ⋅=，则BC 边的长度为（）AB ．C ．D ．6【答案】A【分析】由等腰三角形的性质知AD BC ⊥、2BC BD =，有cos 2BC BO OBD =⋅∠，根据向量数量积的几何意义可得232BC =，即可求BC 边的长度. 【详解】在ABC 中，AB AC =，D 为BC 边中点，∴AD BC ⊥，即Rt BDO △中有cos BD BO OBD =⋅∠，且2BC BD =，∴,BC BO 的夹角为OBD ∠，即||||cos 3BC BO BC BO OBD ⋅=⋅⋅∠=，∴232BC =，可得BC . 故选：A.7．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为32π3的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】B【分析】先求出球的半径，再设出圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，最后求出最大值．【详解】设球的半径为R ，由球体的体积公式有3432=33ππR ，得=2R .设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则2cos r α=，圆柱的高为4sin α，∴圆柱的侧面积为4cos 4sin 8sin 2πααπα⨯=，当且仅当4πα=时，sin 21α=时，圆柱的侧面积最大，∴圆柱的侧面积的最大值为8π．故选：B ．8. 已知P 是曲线3πsin cos 0,4y x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭上的动点，点Q 在直线60x y +-=上运动，则当PQ 取最小值时，点P 的横坐标为（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【答案】C【分析】先表示出PQ 最小值，利用导数判断单调性，求出取最小值时对应的x .【详解】设(),sin cos P x x x +，点Q 在直线60x y +-=上，当PQ 取最小值时，PQ 垂直于直线60x y +-=.此时6sin cos 30,4x x x PQ x π-++⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦记()()36sin cos ,0,4f x x x x x π⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 最小时，PQ 最小. ()1cos sin 14f x x x x π⎛⎫'=--+-- ⎪⎝⎭ 当30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,442x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ ∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有()0f x '≤，∴()f x 单减；324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，,442x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，有()0f x '≥，∴()f x 单增； ∴当2x π=时，()f x 最小时，PQ 最小.故选：C9．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得4120<n T 的值为（） A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】C【分析】根据1n n n a S S -=-求{}n a 通项公式，注意讨论1n =、2n ≥并判断是否可合并，再应用裂项法求n T ，可得选项.【详解】当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；而12111a =⨯-=也符合21n a n =-，∴21n a n =-，*n N ∈.又11111()22121n n a a n n +=--+， ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-+++，若4120<n T ，则412012<+n n ，解得20<n ，因为*n N ∈，所以n 的最大值为19. 故选：C.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2= （3）指数型()11n n n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n a a n a n na a a a ++=-. 10．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量()mg /L P 与时间()h t 之间的关系为0e kt P P -=．如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈，ln 5 1.61≈）（）A ．4hB ．6hC ．8hD ．10h 【答案】B【分析】由题意知，污染物的初始含量为0P ，由前2小时消除了20%的污染物建立关系式求解参数k ，将参数代入解析式中计算污染物减少50%大约需要的时间即可.【详解】前2小时消除了20%的污染物，则2000e.8k P P -= 故l 2n 0.8k =-，ln 0.82k =- ()ln0.82200e 0.8t t P P P ==污染物减少50%，则()2000.80.5t P P =可得0.81lnln 0.5ln 22log 0.542ln 0.82ln 2ln 5ln 5t -====-ln 20.693ln 52ln 2 1.6120.69===--⨯ 故6t =故选：B【点睛】本题考查指数型函数模型的实际运用. 先由具体数据把参数求出来，再利用换底公式计算污染物减少50%大约需要的时间，熟悉对数的运算法则是得分的关键.11．已知F 为抛物线22y x =的焦点，A 为抛物线上的动点，点1,02B ⎛⎫-⎪⎝⎭．则当122+AF AB 取最大值时，AB 的值为（） A ．2B ．5C ．6D ．22【答案】C【详解】方法一：抛物线x y 22=的焦点⎪⎭⎫⎝⎛0,21F ，准线方程为21-=x ，作F A '垂直于直线1-=x ，垂足为F '，由抛物线定义知，21+='AF F A ，设θ='∠F AB , 所以='=+=+AF AB AF ABAF AB21122θsin 1，若122+AF AB 最大，则θsin 最小，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20πθ，，所以θ最小，当直线AB 与抛物线相切时，θ最小.设直线()1+=x k y AB ：，由()⎩⎨⎧=+=x y x k y 212得，()0222222=+-+k x k x k ()*，由()0422422=--=∆k k ，解得212=k ，代入()*式，得0122=+-x x ，解得1=x ，代入x y 22=，得()2,1A 或()2,1-A ，当()2,1A 时，()()220211-++=AB 6=，由抛物线的对称性知，当()2,1-A 时，6=AB ，故选C. 方法二：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t A ,22，()0,1-B ，48211224222++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t AB ，由抛物线定义知2122+=t AF ，所以44482481222424224++++=+++=+t t t t t t t AF AB222422424444144414448tt t t t t t t t +++=+++=++++=234424122=+⋅+≤tt ，当且仅当224t t =，即2±=t 时等号成立，所以()2,1A 或()2,1-A ，当()2,1A 时，()()220211-++=AB 6=，由抛物线的对称性知，当()2,1-A 时，6=AB . 故选：C.12．已知四面体ABCD M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论：∴线段MN 的长度为1；∴若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；∴MFN ∠的余弦值的取值范围为⎡⎢⎣⎭；∴FMN 1．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】将正四面体放在正方体中观察对于∴，可根据,M N 分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；对于∴，F 取为AB 的中点，G 取为MN 的中点，此时FG 与CD 相交；对于∴，计算可得cos 35MBN ∠=>对于∴，空间问题平面化的技巧，将三角形ABC与ABD放在同一平面上，可计算出NF+FM≥2【详解】在棱长为1M N分别为正方体前后两个面的中心，故线段MN的长度为正方体棱长1，ABCD，显然，,故∴对；对于∴：如图，F取为AB的中点，G取为MN的中点，I取为CD的中点，则由正方体的性质易知，该三点在一条直线上，故此时FG与CD相交于I，故∴错；对于∴，22BC BN ==BM ===，又有1MN =故131cos MBN +-∠==> 故F 点无限接近B 点时，cos MFN ∠会无限接近3，故MFN ∠的余弦值的取值范围不为⎡⎢⎣⎭，∴错误；对于∴，如图将等边三角形ABC 与ABD 铺平，放在同一平面上，故有N M M F F N ''≥'+'2=，当且仅当F 为AB 中点时取最小值故在正方体中2≥+FM NF故FMN1 故∴对故选：B 【点睛】把空间中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离最短的问题，从而使问题得到解决，这是求空间中最短路线的一种常用方法.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数()2,121,1x x x x f x x ⎧-<=⎨+≥⎩，若()2f a =，则a 的值为______．【答案】1-；【分析】根据函数的解析式，分类讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()2,121,1a x x x f x x ⎧-<=⎨+≥⎩，当1a <时，由()2f a =，可得22a a -=，解得1a =-或2a =（舍去）；当1a ≥时，由()2f a =，可得212a +=，即21a =，解得0a =（舍去），综上可得，实数a 的值为1-. 故答案为：1-.14.正项数列{}n a 满足212++=n n n a a a ，若519a =，241a a =，则2a 的值为______．【答案】3 【详解】由题意112n n nn a a a a +++=，所以可得数列{}n a 是正项的等比数列，又因为22431a a a ==，得31a =，由519a =，可得53211,93a q q a ===，所以323aa q==. 故答案为：3.15．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以12FF 为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，直线1PF 与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q ．若点Q 恰好为线段1PF 的中点，则直线1PF 的斜率的值为______．【答案】12；【分析】由题意得到122F PF π∠=，且2tan bQOF a∠=-，求得2||2F P a =，1||2F P b =，结合双曲线的定义求得2b a =，即可求得直线1PF 的斜率. 【详解】如图所示，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，可得122F PF π∠=，又因为Q 为1F P 的中点，O 为12F F 的中点，所以1//OQ PF ，2tan bQOF a ∠=-，21tan b PF F a∠=，所以2121sin ,cos b aPF F PF F c c∠=∠=，又12122F F OF c ==，得22F P a =，12F P b =，由双曲线的定义可得12222F P F P b a a -=-=，所以2b a =，所以1212121tan 22PF PF a k PF F PF b =∠===，即直线1PF 的斜率为12. 故答案为：12.16. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，且对任意的1x ，[)21x ∈+∞,，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+成立．若()ln 2a f =，()0.2log 0.03b f =，()0.72c f =，则a ，b ，c 的大小关系为______．（用符号“<”连接）【答案】b c a<<．【分析】转化条件为函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，结合指数函数、对数函数的性质可得0.70.23log 0.032222ln 21->>>>>，即可得解. 【详解】因为()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，所以()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，因为函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()()ln22ln2a f f ==-因为12ln ln 2ln e e <<即1ln 212<<，所以312ln 22<-<，又30.7532222>=>=>，0.20.2log 0.03log 0.042>=，所以0.70.23log 0.032222ln 21->>>>>，所以()()()0.20.7log 0.0n 2232l f f f -<<即b c a <<.故答案为：b c a <<. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数单调性及对称性，将函数值的大小比较转化为自变量的大小比较.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)cos cos a C c A -=．（1）求角C 的大小；（2）若a =()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．【答案】（1）4π；（2）12.【详解】解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+． ∴πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=．cos sin B C B =．又∴sin 0B ≠，∴cos C =． ∴()0,πC ∈，∴π4C =．（2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--=化简，得222a b =．又∴a =∴1b =．∴ABC 的面积111sin 1222ABC ab C S ===△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18．（本题满分12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示：（∴）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（∴）求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式：相关系数()()niix x y y r--=∑线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．参考数据：()71()14.00i i i x x y y =--=∑，()7217.08i i y y =-=∑14.10≈．【答案】（∴）答案见解析；（∴）ˆ0.5 2.3yx =+，7.3万元. 【分析】（∴）根据统计数据求x 、y 、()721ii x x =-∑，结合参考数据及相关系数公式，求相关系数r ，进而判断y 与x 的相关程度；（∴）利用最小二乘法公式估计ˆb、ˆa ，写出线性回归方程，进而将10x =代入估算求值. 【详解】（∴）由题意，知123456747x ++++++==，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428ii x x =-=-+-+-+-+-+-+-=∑．∴结合参考数据知：14.000.9914.10r ==≈≈．因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（∴）∴()()()7172114ˆ0.528iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑， ∴ˆˆ 4.30.54 2.3a y bx=-=-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3y x =+，将10x =代入线性回归方程，得ˆ0.510 2.37.3y=⨯+=． ∴估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元．19．（本题满分12分）如图∴，在等腰三角形PBC中，PB PC ==6BC =，D ，E 满足2BD DP =，2CE EP =．将PDE △沿直线DE 折起到ADE 的位置，连接AB ，AC ，得到如图∴所示的四棱锥A BCED -，点F 满足2BF FA =．（∴）证明：//DF 平面ACE ；（∴）当AB =ACE 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．【答案】（∴）证明见解析；（∴ 【分析】（∴）在AC 上取点G 满足2CG AG =，连接EG ，FG ，根据平行四边形的判定有DEGF 为平行四边形，由线面平行的判定证//DF 平面ACE ；（∴）取DE ，BC 的中点M ，N ，连接AM ，MN ，BM ，根据勾股定理、线面垂直的判定证明AM ⊥平面BCED ，进而构建以M 为坐标原点，MN ，ME ，MA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系，确定相关点坐标进而得到EC 、EA 、DE 、DF 的坐标，求面ACE 与面DEF 的法向量，应用向量数量积的坐标表示求二面角的余弦值．【详解】解：（∴）如图，在棱AC 上取点G 满足2CG AG =，连接EG ，FG ．∴2BF FA =，∴//FG BC 且13FG BC =．由题意，知：//DE BC 且13DE BC =． ∴DE FG =且//DE FG ，即四边形DEGF 为平行四边形． ∴//DF EG ，又DF ⊂平面ACE ，EG ⊂平面ACE ， ∴//DF 平面ACE ．（∴）如图，分别取DE ，BC 的中点M ，N ，连接AM ，MN ，BM ．由题意，知MN BC ⊥，2AM =，4MN =，3BN =．在Rt BMN 中，5BM ==．在ABM 中，AB =222222529AM BM AB +=+==．∴AM BM ⊥，又AM DE ⊥，BM DE M ⋂=，BM ，DE ⊂平面BCED ， ∴AM ⊥平面BCED ．以M 为坐标原点，MN ，ME ，MA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -．则()0,0,0M ，()0,0,2A，()4,3,0B -，()4,3,0C ，()0,1,0D -，()0,1,0E ，44,1,33F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴()4,2,0EC =，()0,1,2EA =-，()0,2,0DE =，44,0,33DF ⎛⎫=⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为()111,,m x y z =，由00m EC m EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111142020x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令11z =，得()1,2,1m =-．设平面DEF 的一个法向量为()222,,n x y z =，由00n DE n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222044033y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21z =，得()1,0,1n =-．∴2cos ,6m n m n m n ⋅===⨯．∴平面ACE 与平面DEF ．【点睛】关键点点睛：（∴）平行四边形的判定证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行；（∴）首先证明线面垂直，再构建空间直角坐标系，求二面角对应半平面的法向量，最后应用向量法求二面角的余弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（∴）求椭圆C 的方程；（∴）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求∴DEG 的面积S 的取值范围．【答案】（∴）2214x y +=；（∴）⎛ ⎝⎭. 【分析】（∴）由长轴长知2a =，结合椭圆过A 点，求a 、b ，写出椭圆方程；（∴）由题意设直线l 的方程为()10x ty t =-≠，()11,D x y ，()22,E x y ，联立椭圆方程结合韦达定理得12y y +，12y y ，进而写出直线DF 的方程并求G 坐标，而∴DEG 的面积1212S BG y y =⋅-得到关于参数t 的函数，再应用换元法、对勾函数求其范围. 【详解】（∴）由已知，2a =即椭圆C 的方程为22214x y b+=．∴椭圆C 经过点1,2A ⎛ ⎝⎭，∴213144b+=，解得21b =．∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（∴）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()10x ty t =-≠，()11,D x y ，()22,E x y ．由22144x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x ，得()224230t y ty +--=． ∴()222412416480t t t ∆=++=+>，∴12224t y y t +=+，12234y y t =-+． ∴F 为点E 关于x 轴的对称点， ∴()22,F x y -．∴直线DF 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，即()()121112y y y y x x t y y +-=--．令0y =，则()()22112112112112121ty y y ty ty y ty ty y x x y y y y -+-+-+=+=++()121212232142ty y y y t y y t -+⎛⎫==⋅--=- ⎪+⎝⎭．∴()4,0G -．∴∴DEG 的面积1212S BG y y =⋅-===．令m)m ∈+∞．∴26611m S m m m==++．∴1m m ⎫+∈+∞⎪⎪⎝⎭，∴0,2S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．∴∴DEG 的面积S的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：（∴）根据椭圆过定点及长轴长，求椭圆标准方程；（∴）设直线方程、D 、E ，联立椭圆方程结合韦达定理求D 、E 纵坐标数量关系：12y y +，12y y ，应用对称性得F 坐标进而求G 点，写出∴DEG 的面积关于参数的函数，应用对勾函数求面积的范围.21．（本题满分12分）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中a ∈R ．（∴）若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值；（∴）讨论()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的零点个数．【答案】（∴）1a =或e a =；（∴）答案见解析. 【分析】（∴）求出()f x '，分0a ≤、0a >两种情况讨论()f x 的单调性，然后可得答案；（∴）分1a ≤、21e a <<、2e a ≥三种情况讨论()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的单调性，每种情况下结合()f x 的函数值的符号判断其零点个数.【详解】（∴）由已知，可得()()()()221110x x a a a x x x xf x +--=--=>'． ∴若0a ≤，则当()0,x ∈+∞时，()0f x '>恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增，与()f x 存在极值点矛盾； ∴若0a >，则由()0f x '=得x a =．∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>． ∴()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． ∴()f x 存在唯一极小值点x a =．∴()()()()11ln 211ln 0f a a a a a a =+---=--=． ∴1a =或e a =．（∴）∴当1a ≤时，()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，∴()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增．∴()110f a =-≤，()222ee2eaf a =+-，（∴）当0a ≤时，()222221ee2e 20e e a f a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭；（∴）当01a <≤时，()222ee 2210eaf a a =+->=≥． ∴()2e 0f >．∴由零点存在性定理，知()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；∴当21e a <<时，∴当[)1,x a ∈时，()0f x '<；当(2,e x a ⎤∈⎦时，()0f x '>，∴()f x 在[)1,a 上单调递减，在(2,e a ⎤⎦上单调递增．∴()()()()min 11ln f x f a a a ==--．（∴）当e a =时，()min 0f x =，此时()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；（∴）当1e a <<时，()min 0f x >，此时()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上无零点；（∴）当2e e a <<时，()min 0f x <，()110f a =->．（a ）当()222e e 20e a f a =+-<，即422e e 2e 1a <<-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；（b ）当()222e e 20e a f a =+-≥，即42e e 2e 1a <≤-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有2个零点； ∴当2e a ≥时，()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减．∴()110f a =->，()222222211ee2e 2e e 10e e f a ⎛⎫⎛⎫=+-≤+-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点，综上，当1e a <<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上无零点；当1a ≤或e a =或42e 2e 1a >-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有1个零点；当42e e 2e 1a <≤-时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有2个零点．关键点睛：解答本题的关键是要掌握分类讨论的思想，利用函数的单调性和函数值的符号讨论函数的零点个数.(二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），直线l 的方程为60x -=．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）若点(),P x y 在直线l 上且0y >，射线OP 与曲线C 相交于异于O 点的点Q ，求OP OQ的最小值．【答案】（1）2:cos C ρθ=，:sin 36l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）2. 【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，再由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C 的极坐标方程，直接利用普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线l 的极坐标方程；（2）设点P 的极坐标为()1,ρθ，点Q 的极坐标为()2,ρθ，02πθ<<，求得1OP ρ==，22cos OQ ρθ==，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可求得OP OQ的最小值.（1）由曲线C 的参数方程，得曲线C 的普通方程为()22221cos sin 1x y ϕϕ-+=+=．即222x y x +=，由极坐标与直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的极坐标方程为cos sin 60ρθθ-=，即sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）设点P 的极坐标为()1,ρθ，点Q 的极坐标为()2,ρθ，其中π02θ<<．由（1）知1OP ρ==，22cos OQ ρθ==．12612sin 26OP OQρπρθ∴====⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 02πθ<<，72666πππθ∴<+<．1sin 2126πθ⎛⎫∴-<+≤ ⎪⎝⎭．当sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即6πθ=时，OP OQ 取得最小值2．【点睛】方法点睛：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．23. 【选修4—5：不等式选讲】（10分）设函数()3121f x x x =++-的最小值为m ．（∴）求m 的值；（∴）若a ，()0,b ∈+∞，证明：2221111b a m aa b b ⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（∴）3m =；（∴）证明见解析. 【分析】（∴）应用零点分段法，讨论1x <-、112x ≤≤-、12x >时()f x 的取值范围，进而确定其最小值即为所求m 的值.（∴）结合（∴），利用三元基本不等式证明不等式即可，注意等号成立的条件. 【详解】（∴）当1x <-时，()3321523f x x x x =---+=-->；当112x ≤≤-时，()9332143,2f x x x x ⎡⎤=+-+=+∈⎢⎥⎣⎦；当12x >时，()93321522f x x x x =++-=+>．综上，当1x =-时，()min 3f x =， ∴3m =．（∴）由（∴）知，求证2211119b a a a bb ⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴a ，()0,b ∈+∞，∴211b a a ++≥，211a b b ++≥．∴2211119b a aa b b ⎛⎫⎛⎫++++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当2211,11b a a abb ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩即1a b ==时，等号成立．【点睛】关键点点睛：（1）根据零点，应用分类讨论，求绝对值函数的值域，进而确定最值；（2）三元基本不等式的应用，注意等号成立的条件.。

四川省成都市2018届高三数学二诊试卷理科含解析

2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．24．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．407．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．12．的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤4}，故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.18+0.18）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.18+0.18）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE ⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，即3（3x+1）+1＜12x+4+1，即9x+4＜12x+5，得x＞﹣，此时不等式无解，当x≥﹣时，当x≥0时，f（x）=3x≥1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得＜4•3x+1，设t=3x，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2，得0≤x＜log32，当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，则f（f（x））=33x+1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1，设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜，此时﹣＜x＜0，综上所述，﹣＜x＜log32．即不等式的解集为（﹣，log32），故选：D10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用=2，求出b，可得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1y2=b2，∵=2，∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2∵b＞0，∴b=2∴△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．12．的展开式中，x2项的系数为﹣20．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T r+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣1，19] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，0≤（x﹣1）2+y2≤20，∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，故答案为：[﹣1，19]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan•tan…tan的值．由于：S=•tan•tan…tan tan=•tan•tan…cot•cot=tan=．故答案为：．15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①用特殊值的方法即可；②③根据函数图象判断；④可用反代的方法判断成立．【解答】解：①当x=时，显然f（x）＞2x，故错误；②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；④f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sina l+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可得a n=••…×××a1=，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，﹣1∴=，∴=，…，==，==，∴a n=••…×××a1=，又n=1时a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=，（Ⅱ）∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）＜2，问题得以证明．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，X∴EX==55（元）．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1=h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴①∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=②，由①②得z=h，x=，或F作FT⊥AB，则==，则∴AF=AB1，∵=．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos＜，＞|==，得h2=2，即h=，则AA1的长度为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，∵h（1）=0，∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，令x=t2，可得t＞1，lnt＞，0＜t＜1，lnt＜，∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2aa=，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a，＜a＜，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．2018年9月20日。

[K12学习]四川省成都市2018届高三数学第二次诊断性检测试题理

四川省成都市2018届高三数学第二次诊断性检测试题理第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（）A ．2 B ．32 C ．2 D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x-的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（）A ．B ．2-C ．D ．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.x ≤≤”是“223x x+≤≤”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．3B ．CD ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++C ．2[,1]1e +D ．[1,1]2e +12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（） A ．329 B ．169 C ．89 D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ；（2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆的面积的最大值为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQMN的最小值. 21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测数学(理)试题(解析版)

2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3. 若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6. 若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为令，解得，，解得故选B.7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知的振幅，周期则，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8. 若为实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．...........................则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.12. 已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13. 已知，，则__________．【答案】【解析】由题即答案为.14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________．【答案】24【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为即答案为24人.15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，16. 已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为__________．【答案】1176【解析】由题，，是函数的极值点，即又故这七项中必有2项取1,5项取-1，，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为.，即或，（或-4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1），故满足条件的数列共有（或中方法，所以方法总数为个即答案为1176.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.试题解析;（1）.由，，得，.∴函数的单调递减区间为，.（2）∵，，∴.∵，∴由正弦定理，得.又由余弦定理，，得.解得.18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.19. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面平面，可证平面.即可证明平面；2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面的法向量，.。

成都市2018级高三二诊数学(理)答案

→
４x１＋２y１＝０
m EC ＝０
,得
令z１＝１,得 m ＝ (
２,
１)．
－１,
→
z１＝０
－y１＋２
m EA ＝０
ìï２y２＝０
→
ï
nDE ＝０
,得 í４
由
令z２＝１,得 n ＝ (
０,
１)．
－１,
４
→
ï x２＋ z２＝０
nDF ＝０
３
î３
由
{
{
{
数学(理科)“二诊”考试题参考答案第
５分
在 Rt△ BMN 中,BM ＝ BN２＋ MN２＝３２＋４２＝５

在 △ ABM 中,∵AB ＝２９ ,∴AM２＋BM２＝２２＋５２＝２９＝AB２
∴AM ⊥ BM
又 AM ⊥ DE ,BM ∩ DE ＝ M ,BM ,
DE ⊂ 平面
BCED ,
７分
∴AM ⊥ 平面 BCED
二、填空题:(每小题５分,共２０分)
１３．－１;
１４．３;
三、解答题:(共７０分)
１
１５． ;
２
１６．
b ＜c ＜ a ．
１７．解:(Ⅰ )由已知及正弦定理,得２s
i
nBc
o
s
C －s
i
nAc
os
C ＝s
i
nCc
osA ．
∴ ２s
i
nBc
o
s
C ＝s
i
nAc
o
s
C ＋cosAs
f(
e
e
∴f(
x )在 [

四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试卷(含答案)

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q =I （） A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，(,2)c k =r .若(3)//a b c -r r r，则实数的值为（）A ．8-B ．6-C ．1-D ． 3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（）A ．2 B ．32 C ．2 D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x-的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（）A ．B ．2-C ．D ．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2222x ≤≤”是“22223x x+≤≤”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．863B ．6πC 6πD ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++C ．2[,1]1e +D ．[1,1]2e +12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =u u u r u u u r时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（）A ．329 B ．169 C ．89 D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()3cos 22x x f x =21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，3a =sin 2sin B C =，求. 18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意40 30 70 合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：2()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=o ，AB BC ⊥，2AB BC ==.（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ；（2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为22，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆21-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQMN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数k 的值为（）A ．8-B ．6-C ．1-D ．6 3.若复数z 满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（）A ．2．32C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x-的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（）A ．2B ．2-C ．．-7.已知函数()sin ()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()2sin (2)4g x x π=+B ．3()2s in (2)4g x x π=+C ．()2c o s 2g x x =D ．()2sin (2)4g x x π=-8.若x 为实数，则“2x ≤≤”是“223x x+≤≤”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A 3B ．CD ．24π10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x=--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（） A ．22[,1]12e ee e ++++ B ．2[,1]12ee ++C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e +12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12A P PB =时，A O B ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（） A ．329B ．169C ．89D ．49二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2lo g ()a b = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为．15.已知抛物线C ：22(0)y p x p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且P F x ⊥轴.若以A F 为直径的圆截直线A P 所得的弦长为2，则实数p 的值为．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于x 的函数321()3n n f x x a x=-2(1)n a x+-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()inc o s22x x f x =21c o s22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若A B C ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求c .18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方A P P 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过A P P 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用A P P 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：22()()()()()n a d b c Ka b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是A C 的中点，四边形B D E F 是菱形，平面B D E F ⊥平面A B C ，60F B D ∠=，A B B C ⊥，A B B C ==（1）若点M 是线段B F 的中点，证明：B F ⊥平面A M C ；（2）求平面A E F 与平面B C F 所成的锐二面角的余弦值. 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1A B F ∆的面积的最大值为12-.（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段M N 的中垂线为'l .若直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求P Q M N的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x a x =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln242n n <++21ln1n n nn ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题有答案

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（）A ．2 B ．32 C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（）A ．B ．2-C ．．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.x ≤≤223x x +≤≤”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．3B ．CD ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（） A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++ C ．2[,1]1e + D ．[1,1]2e+ 12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（） A ．329 B ．169 C ．89 D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为． 16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求. 18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ；（2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围；（2）当*n N ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

2018届四川省眉山市高中第二次诊断性考试理科数学试题及答案精品

眉山市高中2018届第二次诊断性考试数学试题卷（理科） 2018.04.9注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束，将答题卡上交。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)k k n k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1、复数ii ++113的虚部是A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2、命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是A ．不存在00,20x x R ∈> B ．存在00,20x x R ∈≥C ．对任意的,20x x R ∈≤D ．对任意的,20x x R ∈> 3、已知{}n a 为等比数列.若15341a a a =,且4a 与7a 的等差中项为89,则公比qA ．2B ．4C ．12D ．144、设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是 A ．,,//a b αβαβ⊂⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,//,a b αβαβ⊥⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥5、设()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图1所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则)1(f 的值为A．23- B ．26- C ．3 D． 3-6、设点M 是半径为R 的圆周上一个定点，其中O 为圆心，连接OM ，在圆周上等可能地取任意一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过的概率为A ．14B ．12C ．23D ．347、执行图2的程序框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040图28、已知某几何体的三视图如图3所示，其中正视图、侧视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为A.132+ B.4136π+16D.2132π+ 9、某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有A ．18种 B.24种 C.36种 D.48种 10、函数()f x 的定义域为D，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M上的l 高调函数。

【数学】四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题含解析

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3. 若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6. 若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为令，解得，，解得故选B.7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知的振幅，周期则，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8. 若为实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面． ...........................则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.12. 已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13. 已知，，则__________．【答案】【解析】由题即答案为.14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________．【答案】24【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为即答案为24人.15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，16. 已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为__________．【答案】1176【解析】由题，，是函数的极值点，即又故这七项中必有2项取1,5项取-1，，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为.，即或，（或-4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1），故满足条件的数列共有（或中方法，所以方法总数为个即答案为1176.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.试题解析;（1）.由，，得，.∴函数的单调递减区间为，.（2）∵，，∴.∵，∴由正弦定理，得.又由余弦定理，，得.解得.18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.19. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面平面，可证平面.即可证明平面；2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面的法向量，.。

精品解析：四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学(理)试题(原卷版)

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q ?（）A. 1(1,)2- B. (1,2)- C. (1,2) D. (0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数k 的值为（） A. 8- B. 6- C. 1- D. 63.若复数z 满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（）A.B. 32C.D. 124.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（） A. 32- B. 12 C. 16 D. 325.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，a ，b 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若m a Ì，则m b ^B. 若m a Ì，n b Ì，则m n ^C. 若m a Ë，m b ^，则//m aD. 若m a b?，n m ^，则n a ^6.若6(x-的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（）A. 2B. 2-C. -7.已知函数()sin()f x A x w j =+(0,0,)2A pw j >><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4p个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A. ()2sin(2)4g x x p =+B. 3()2sin(2)4g x x p =+ C. ()2cos 2g x x = D. ()2sin(2)4g x x p =-8.若x x＃223x x+＃”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A.3B. D. 24p 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（）A. 7?n £B. 7?n >C. 6?n £D. 6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >＃在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（）A. 22[,1]12e e e e ++++ B. 2[,1]12e e ++ C. 2[,1]1e + D. [1,1]2e +12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB D的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（） A. 329 B. 169 C. 89 D. 49第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab =__________．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为__________人．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ^轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为__________．16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于x 的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*n N Î.若1(115)n x a n +=＃是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x 21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC D 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求c .18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22´列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.19.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF^平面ABC，60FBD?，AB BC^，AB BC=.（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF^平面AMC；（2）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为2，点B 是椭圆上的动点，1ABF的面积的最大值为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R Î.（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x ³恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N Î时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++鬃?<+. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。