马尔可夫预测法
马尔可夫预测
4.6 马尔可夫预测4.6.1 马尔可夫预测法分析概述马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。
马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。
众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。
对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。
但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。
例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。
这种与过去的取值无关，称为无后效性。
这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。
1.一步转移概率与转移概率矩阵如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。
将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：转移概率矩阵具有下述性质;(1)矩阵每个元素均非负；(2)矩阵每行元素之各等于1.2.多步转移概率与转移概率矩阵在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。
若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。
n步转移概率矩阵记为经过计算，可以得到一个有用的结论：同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质;2.4.2市场占有率预测分析1.市场占有率预测分析概述在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。
因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。
市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。
2.市场占有率预测分析的基本市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。
马尔科夫预测课件.ppt
以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：
p11
7 15 1
50%
??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
7 p21 9 78% 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出
现滞销的次数。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度
销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
一、基本概念
它可能跳到第一张或者第三张荷叶，也可能在原地不动。 我们把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态， 这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状 态有关，与它以前所处的状态无关，这种性质就是所谓 的“无后效性”。 上例中，青蛙所处的那张荷叶，称为青蛙所处的状态， 在经济系统的研究中，一种经济现象，在某一时刻 t 所 出现的某种结果，就是该系统在该时间t 所处的状态。
第三节 马尔可夫决策
一、基本概念
经济学中把这种现象称为“无后效性”，即 “系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态”。 例如，池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假 设有个青蛙在荷叶上随机地跳来跳去，在初始 时刻 t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，
2
3 1
马尔科夫链预测方法
一、几个基本概念
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
9月
10月
0.1 0.2 0.7 p( 2) p(0) P 2 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88
2
11月
0.1 0.2 0.7 (0.2512 ,0.1816 ,0.5672) p( 3) p(0) P 3 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88 (0.2319 ,0.1698 ,0.5983 )
3
1 0.7 1 0.1 2 0.08 3 2 0.1 1 0.7 2 0.04 3 由 得 (0.219,0.156,0.625) 3 0.2 1 0.2 2 0.88 3 1 2 3 1
率及极限分布.
解：频数转移矩阵为
得转移概率矩阵为
336 48 96 N 32 224 64 64 32 704
0.7 P 0.1 0.08
0.1 0.7 0.04
0.2 0.2 0.88
n个月的市场占有率为 p(n)= p(0) Pn
二、马尔可夫预测法
表2-19 某地区1990—2000年农业收成状态概率预测值
二、马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可夫预测法
（二)终极状态概率预测
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域，例如物理、经济、生物等。
下面将详细介绍马尔可夫预测法的原理和应用。
原理马尔可夫预测法是基于马尔可夫过程的。
马尔可夫过程是一个具有无记忆性的随机过程，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个过程可以用一个状态转移矩阵来描述。
状态转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率，它的每个元素都代表了从一个状态到另一个状态的概率。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测系统在未来的状态。
应用马尔可夫预测法在各种领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于预测粒子的运动状态；在经济学中，它可以用于预测股市的走势；在生物学中，它可以用于预测疾病的传播。
下面将分别介绍这些应用。
物理学中的应用在物理学中，马尔可夫预测法可以用于预测粒子的运动状态。
例如，在原子的轨道运动中，电子的运动状态可以用一个状态向量来描述。
通过对状态向量的分析，可以预测电子在未来的位置。
经济学中的应用在经济学中，马尔可夫预测法可以用于预测股市的走势。
例如，在股市中，每一天的股价可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测未来股价的走势。
这种方法已经被证明是一种有效的预测股市走势的方法。
生物学中的应用在生物学中，马尔可夫预测法可以用于预测疾病的传播。
例如，在流行病学中，每个人的健康状态可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测疾病的传播。
这种方法已经被证明是一种有效的预测疾病传播的方法。
总结马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域。
在物理、经济、生物等领域中，马尔可夫预测法已经成为一种重要的预测方法。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。
马尔可夫过程是在给定当前状态下，下一个状态的概率只与当前状态有关的随机过程。
其本质是利用概率论中的马尔可夫性质，通过已知状态的条件概率预测未来的状态。
马尔可夫预测法广泛应用于各种领域中的预测问题。
马尔可夫预测法的基本思想是利用过去的信息预测未来的状态。
在马尔可夫模型中，当前状态只与前一状态有关，与更早的历史状态无关，这种性质称为“无记忆性”。
因此，在预测未来状态时，只需知道当前状态及其概率分布即可，而无需考虑过去的状态。
这种方法不仅大大降低了计算复杂度，而且在实际应用中也具有很高的准确性。
马尔可夫预测法的应用范围非常广泛，例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等。
其中，天气预报是一个典型的马尔可夫过程应用。
在天气预报中，当前的天气状态只与前一天的天气状态有关，而与更早的天气状态无关。
因此，可以利用马尔可夫预测法预测未来的天气状态。
马尔可夫预测法的实现方法有很多，其中比较常见的是利用马尔可夫链进行预测。
马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间是有限的。
在马尔可夫链中，当前状态的转移概率只与前一状态有关。
因此，在利用马尔可夫链进行预测时，只需知道当前状态及其转移矩阵即可。
根据转移矩阵，可以预测未来的状态概率分布。
马尔可夫预测法的优点是计算简单，预测准确性高。
但其缺点也比较明显，即需要满足无记忆性的假设，而实际应用中，往往存在着各种各样的因素影响状态的转移。
因此，在实际应用中，需要对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，具有计算简单、预测准确性高等优点。
其在天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等领域中得到了广泛应用。
在实际应用中，需要充分考虑各种因素的影响，对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
第4章 马尔科夫预测方法
4.3.3“规划求解”求稳态市场占有率
4.4马尔科夫分析在管理决策中的应用
【例4.6】 达众出租车公司在甲 （旅店）、乙（机场）、丙（度假 村）三个地点附近设有停车场。顾 客可由甲、乙、丙三处租车，汽车 送走旅客后，也回到甲、乙、丙三 租 车 处候客。根据以往统计资料，汽车 在三处往返关系的概率如表，若公 司想要选择一处附设保养场，应设 何处比较好？ 即确定公司在经过长期经营之后， 集结在何处的汽车较多？ 返 甲 甲 乙 丙 0.8 0.2 0.2 回 乙 0.2 0 0.2 丙 0 0.8 0.6
电力消费量年平均增长 速度 国民经济年平均增长速 度
电力消费弹性系数 =
弹性系数
1.80 1.60 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
电力消费弹性系数
1985 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
第四步：预测2010年的上海电力消费弹性系数最大可能的状态， 求转移概率矩阵的平方P2ij： 鼠标先预留P2ij 输出的区域 “$H$17:$K$20”，→编辑栏点击插入函数fx→选择数学计算中矩 阵乘积函数“MMULT”→两相乘的矩阵分别点取输入转移概率矩 阵“$H$100:$K$13”，见图中矩阵乘积的参数设置，→编辑栏中 等号前键入“Ctri+Shift+Enter”，出现 {=MMULT(H10:K13,H10:K13)}，表示对整个数组的运算。 第五步：按“确定”，可见转移概率矩阵的平方P2的输出单元格 “$H$17:$K$20” 从2008年上海电力消费弹性系 2008 数所处的第二状态出发，经过 二步转移之后，在P2中可以看 出， P222=0.4994为最大概率 值，下一步最有可能处于第二 状态： 0.6＜电力消费弹性系数≤0.9。
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
9.马尔可夫预测方法
（8.3）
8
例 1 ：不可越壁（反 弹壁）的随机游动
1
2
3
4
5
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，状态空间I={1，2， 3，4，5}，每秒钟发生一次随机游动，移动的规则是： 1 （1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左 或向右移动一单位，或停留在原处；3 （2）若移动前在1处，则以概率1移到2处； （3）若移动前在5处，则以概率1移到4处。
齐次马尔柯夫链
如果马氏链的一步转移概率 pij (n) 与 n 无关，
即
P{X n1 j | X n i} pij
则称此马尔柯夫链为齐次马尔柯夫链（即关于时间为齐次）。
设 p0 (i) P{X 0 i} ，i I ，
初始分布
如果对一切 i I 都有
p0 (i) 0
马尔柯夫链在时刻n处于状态 i 的条件下，到时刻n+1转 移到状态 j 的条件概率，
即
P{X n1 j | X n i}
记作 pij (n)
称为在时刻n的一步转移概率，
注:
由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步 转移后，必到达状态空间中的某个状态 一步转移概率满足
（1） pij (n) 0 , i, j I
（2）
一步转移矩阵
p (n) 1 ,
jI ij
iI
如果固定时刻n T
则由一步转移概率为元素构成的矩阵 P 1 ：
称为在时刻n的一步转移矩阵
即 有
p00 ( n) p ( n) 10 P 1 pn 0 ( n )
p01 ( n) p11 ( n) pn1 ( n)
马尔可夫预测方法
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法(六)
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法随着气候变化的加剧，天气预测成为了如今人们生活中不可或缺的一部分。
而天气预测准确性的提高对于人们的生产生活有着重要的意义。
随着技术的发展，利用马尔可夫模型进行天气预测的方法逐渐受到了人们的关注。
一、马尔可夫模型简介马尔可夫模型是一种时间序列模型，其基本思想是假设未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫模型在天气预测中的运用，是基于天气的状态在短期内是相对稳定的这一特点。
通过建立天气状态之间的转移概率矩阵，可以实现对未来天气状态的预测。
二、数据收集在利用马尔可夫模型进行天气预测时，首先需要收集历史的天气数据。
这些数据包括温度、湿度、气压、风速等多种气象要素。
在收集完数据后，需要对数据进行预处理，包括去除异常值、填补缺失值等操作，以确保数据的准确性和完整性。
三、状态空间的确定在建立马尔可夫模型时，需要确定天气的状态空间。
通常情况下，可以将天气状态分为晴天、多云、阴天、小雨、中雨、大雨等几种状态。
根据实际情况和需求，也可以对状态空间进行扩展，例如考虑雾霾、大风等特殊天气情况。
四、转移概率矩阵的建立在确定了状态空间后，需要建立天气状态之间的转移概率矩阵。
这一矩阵反映了不同天气状态之间的转移概率，可以通过历史数据进行统计得到。
转移概率矩阵的建立是马尔可夫模型的核心，直接影响着模型的预测准确性。
五、模型的预测与评估建立好马尔可夫模型后，可以利用该模型对未来的天气状态进行预测。
预测的过程通常采用迭代算法，根据当前的天气状态和转移概率矩阵，计算出未来几天的天气状态。
预测结果可以与实际观测数据进行对比，评估模型的准确性和稳定性。
六、模型的改进与应用随着数据和算法的不断进步，马尔可夫模型在天气预测中也在不断改进和应用。
一些学者通过引入更多的气象要素、考虑气象要素之间的相互影响等方式，对传统的马尔可夫模型进行了改进，提高了模型的预测准确性。
此外，马尔可夫模型在气象灾害预警、农业生产等领域也有着广泛的应用。
精编第8章马尔柯夫预测法资料
N
p (k ) ij
1
j 1
i, j 1,2,, N
i
1,2,,
N
（8.1.5）
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8.1 马尔柯夫链简介
3. 状态转移矩阵
从状态转移概率矩阵的性质可知，2 步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵 求出。
N
p (2) ij
pik pkj
p22 p2N p21
pN2
p NN
pN1
p12 p1N
p22 p2N
pN2
p NN
p11 = p21 pN1
p12 p22
pN2
2
p1N p2N
＝
P2
pNN
P X mk E j X m Ei
£¨8.1.2£©
ÔÚ ¸Å ÂÊ ÂÛ ÖÐ £¬ Ìõ ¼þ ¸Å ÂÊ P( A | B) ± í ´ï ÁË ÓÉ × ´ ̬ £Â Ïò × ´ ̬ £Á × ª ÒÆ µÄ ¸Å ÂÊ £¬ ¼ò ³Æ Ϊ × ´ ̬ × ª ÒÆ ¸Å
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8章 马尔柯夫预测法
马尔柯夫预测法是应用随机过程中马尔 柯夫链的理论和方法研究分析有关经济现 象变化规律并籍此对未来进行预测的一种 方法。
在经济现象中存在一种“无后效性”。 即“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前 一时刻的状态，而与其过去的历史无关。”
第八章 马尔可夫预测与决策法
5 7
3 4 0
7 7
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
最新数学建模之马尔可夫预测
马尔可夫预测马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。
该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。
它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。
三大特点： （1）无后效性一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。
也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。
（2）遍历性不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
（3）过程的随机性。
该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。
1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测，④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。
2.步骤①确定系统状态有的系统状态很确定。
如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。
但很多预测中，状态需要人为确定。
如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。
这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。
在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。
②计算初始概率()0i S用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为()()011,2,ii i nii M S F i n M=≈==∑③计算一步转移概率矩阵令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为：111212122212n n n n nn p p p p p p P p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦④计算K 步转移概率矩阵若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。
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1 销量小于60属于滞销(M1) 2 销量大于等于60小于等于100属于一般(M2) 3 销量大于100属于畅销(M3)
M1=7
M2=5
M3=8
M11=3 M12=4 M13=0 M21=1 M31=2 M32=0 M33=5 P11=3/7 P23=3/5 P12=4/7 P31=2/7 P13=0 P32=0
已知市场上有甲乙丙三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有额 为（0.3 0.4 0.3 ），且已知概率为 求：本月及下月市场占有率
0 .6 0 .2 0 .2 0 .1 0 .7 0 .2 p= 0 .1 0 .1 0 .8
本月市场占有率：
0 .6 0 .2 0 .2 s 1 = ( 0 . 30 . 40 . 3 ) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0 .1 0 .1 0 .8 ＝（ 0 . 25 0 . 37 0 . 38 ）
对于n步的转移概率为
p ij ( n ) =
∑
N
k =1
p ik ( n − 1) p kj
市场占有率预测
设有甲乙丙三家工厂生产同种产品，他们在市场上的占有份额为
s = (p
0
(0) 1
p
(0) 2
p
(0) 3
)
p 11 p p = 21 p 31
p 12 p 22 p 32
p 13 p 23 p 33
设本月为第一个月，试预测第四个月味精市场占有率及 终极市场占有率
已知 s 0 = ( 0 .4 0 .3 0 .3 ) 及转移概率矩阵 p
0 .4 0 .3 0 .3 0 .6 0 .3 0 .1 p = 0 .6 0 .1 0 .3
p3
0 . 496 0 . 252 0 . 252 0 .4 0 .3 0 .3 = 0 . 6 0 . 3 0 . 1 = 0 . 504 0 . 252 0 . 244 0 .6 0 .1 0 .3 0 . 504 0 . 244 0 . 252
1 0 p2 = 0 .4 0 .6
0 1 p= 0.5 0.5
标准概率矩阵有如下性质
若是标准概率矩阵，则 存在非零行向量α，
α＝（x1 , x 2 ,......xn )使得 αp = α α称为p的平衡向量
东南亚各国主要销售我国大陆，日本，香港三个产地的 味精对目前市场占有情况的调查表明，购买中国大陆味精 的顾客占40％，购买日本，香港的顾客各占30％。 中国大陆 日本 中国大陆 40％ 日本 香港 60％ 60％ 30％ 30％ 10％ 香港 30％ 10％ 30％
求: 1 该企业即时期望利润 2 三个月后该企业的期望利润
(1) 即时期望利润
V i (1) = ri1 p i1 + ri 2 p i 2 =
∑r
j =1
2
ij
p ij
(2 ) 三个月后该企业的期望利润
Vi (n) =
∑[r
j =1
2
ij
+ V j ( n - 1) p ij
]
V i ( 2 ) = ( 1 (1 ) + ri 1 ) p i 1 + ( 2 (1 ) + ri 2 ) p i 2 V V =
例1:某地区有甲乙丙三家食品厂生产同一种食品, 有一千个用户,假定在研究期间没有老顾客退出 和新顾客加入,只有顾客的转移,已知2000年6月有 500户是甲厂的顾客,400户是乙厂的顾客,100户 是丙厂的顾客,7月份三家厂家所拥有的顾客数量 发生了变化(如表). 计算状态转移概率
从 到
甲 400 20 10 430
下月市场占有率：
0.6 0.2 0.2 0.1 0.7 0.2 2 s = (0.30.40.3) 0.1 0.1 0.8
2
0.4 0.26 0.32 0.15 0.53 0.32 ＝（ .3 0.4 0.3） 0 0.15 0.17 0.68 ＝（ .225 0.347 0.428 0 ）
某经济系统有三种状态E1,E2,E3,系统状态转移情况如表。 系统状态转移情况如表。 某经济系统有三种状态 系统状态转移情况如表 求系统的二步状态转移概率矩阵
状态1 E1 状态0
E2 7 8 8
E3 14 12 2
E1 E2 E3
21 16 10
P
2
P11 P12 ... P1 N P P ... P 2N = 21 22 .......... ......... P N 1 P N 2 ... P NN
3
s =s ×p
4 0
3
= ( 0 .4 0 .3 0 .3)
0 . 496 0 . 252 0 . 252 0 . 504 0 . 252 0 . 244 0 . 504 0 . 244 0 . 252
= (0Байду номын сангаас5008 0.2496 0.2496)
终极市场占有率
Xt = i
(
i = 1,2..., N t = 1,2...
)
状态转移概率
条件概率
P(A B)
表达了状态B向状态A转移的概率, 简称状态转移概率 对于由状态Ei转到状态Ej的概率,称为 从i到j的转移概率
P = P(Ej | Ei ) = P(Ei → Ej ) = P(xn+1 = j | xn = i) ij
p ( xn = j | x0 = i ) = pij (n)
p 11 ( n ) p 12 ( n )... p 1 N ( n ) p ( n ) p ( n )... p ( n ) 22 2N 21 p ij ( n ) = .......... .......... .......... ... p N 1 ( n ) p N 2 ( n )... p NN ( n )
n
∑P
j =1
ij
=1
在一定的条件下,系统只能在可能出现的状态 E1,E2,….En中转移,则有下列矩阵
P P P
11 21
P P
12 22
... ...
P P ... .......
1 N 2 N
..........
N 1
P
N
2
P
NN
=
P
若系统在时刻t 0 处于状态i，经过n步转，在时刻t n处于状态j 那么，对于这种转移的可能性的数量描述称为n步的转移概率。 记为
乙 50 300 10 360
丙 50 80 80 210
合计 500 400 100 1000
甲 乙 丙 合计
从
到
甲 400 20 10 430
乙 50 300 10 360
丙 50 80 80 210
合计 500 400 100 1000
甲 乙 丙 合计
400 P = = 0.8 11 500
设α = ( x1 x2 x3 )则有
0 .4 0 .3 0 .3 0 .6 0 .3 0 .1 = ( x x x ) x3 ) 1 2 3 0 .6 0 .1 0 .3
( x1 x 2
x1 = 0.5
x2 = 0.25 x3 = 0.25
马尔可夫链预测法 步骤: 1 2 划分预测对象所出现的状态 计算初始概率
马尔柯夫预测法
马尔柯夫链的简介 马尔柯夫链预测法 市场占有率预测 期望利润预测
无后效性
系统在每一时刻的状态仅仅取 决于前一时刻状态
马尔柯夫链
就是一种随机时间序列,它在将来取什么值 只与它现在的取值有关,而与它过去取什么 值无关. 具备以上这个性质的离散性随机过程, 称为马尔柯夫链
状态
在经济系统的研究中,一种经济现象,在某一时刻 t所出现的某种结果,就是该系统在该时间t所处 的状态
50 P = = 0.1 12 500
50 P = = 0.1 13 500
P23 = 0.2
20 P = = 0.05 21 400
P22 = 0.75
P = 0.1 31
P = 0.1 32
P = 0.8 33
状态转移概率矩阵
状态转移概率具有如下特征
0 ≤ Pij ≤1 i, j = 1,2,..., N i = 1,2,...., N
那么下期市场占有份额为
s = (p
1
( 0) 1
p
( 0) 2
p11 p12 p13 (0) p3 ) p21 p22 p23 p31 p32 p33
(k ) 2 (k ) 3
已知本期市场占有率，则第k期的市场占有率为
s = (p
k
(k ) 1
p
p )
p11 p12 p13 (0) (0) (0) = ( p1 p2 p3 ) p21 p22 p23 p31 p32 p33
∑[r
j =1
2
ij
+ V j ( 2 - 1) p ij
]
V i (1) = ri1 p i1 + ri 2 p i 2 =
V1 (2) = q1 + ∑ 1 j q j p
j =1 2
∑r
j =1
2
ij
p ij
= 2.6 + [0.4 × 2.6 + 0.6 × (-0.4)] = 3.4
V2 (2) = q2 + ∑ 2 j q j p = -0.4 + [0.3× 2.6 + 0.7 × (-0.4)] = 0.1