对偶理论与灵敏度分析(1)
合集下载
运筹学 03 对偶理论及灵敏度分析
尝试求解上述两个线性规划问题，你会发现 目标函数值一致 两个问题的解都出现在单纯形法表格中 其他规律 结论 原问题与其对偶问题实质上一样 两个问题互为对方的另一种表达形式
原问题与对偶问题的对应关系
对称数学模型 原问题 max z=CX AX≤b X≥0 max z X=(x1,x2,…,xn)T C=(c1,…,cn) b=(b1,…,bn)T A=(aij)m×n 变量(n,≥0,≤0,任意) 约束(m,≤,≥,=) 对偶问题 min f=bTY ATY≥CT Y≥0 min f Y=(y1,y2,…,ym)T bT =(b1,…,bn) CT=(c1,…,cn)T AT=(aij)n×m 约束(n,≥,≤,=) 变量(m,≥0,≤0,任意)
CX*=bTY*
从弱对偶性可得到以下重要结论： (1)极大化问题(原问题)的任一可行解所对应的目 标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。 (2)极小化问题(对偶问题)的任一可行解所对应的 目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。 (3)若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶 问题无可行解。 (4)若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原 问题无可行解。 (5)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则 原问题目标函数值无界。 (6)对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对 偶问题的目标函数值无界。
对偶理论及灵敏度分析 Dual Theory and Sensitivity Analysis
运筹学第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
一、对偶问题的提出 例1 首先回顾上一章例1中的线性规划 max z 2 x1 4 x 2 5 x3
x1 4 x 2 2 x3 4500 5 x 4 x 2 x 6300 （2.1） 1 2 3 2 x 2 5 x3 3800 x1 , x 2 , x3 0 其中x1，x2，x3分别表示生产三种产品的数 量，目标函数表示销售收入，三个技术约束 不等式反映了三种资源的限制条件。这是一 个使收益最大化的最优计划模型。
原问题（对偶问题） 目标函数maxZ 约束条件： m个
第i个约束类型为“≤” 第i个约束类型为“≥” 第i个约束类型为“＝”
对偶问题（原问题） 目标函数minZ 变量数： m个
第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
变量数：n个
第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
约束条件：n个
max z CX AX b X 0
这个性质说明，原问题与对偶问题是 相互对偶的。
定理2（弱对偶定理） 设
X ( x1 , x2 ,, xn )T
与 Y ( y1 , y2 ,, ym ) 分别是（ 2.3）与（2.4） 的可行解，则
C X Yb
。
推论1 极大化问题的任意一个可行解所 对应的目标函数值是其对偶问题最优目标 函数值的一个下界。 推论2 极小化问题的任意一个可行解所对 应的目标函数值是其对偶问题最优目标函 数值的一个上界。
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
min W 12 y1 16 y2 15 y3
s.t 2 y1 4 y2 2 2y1 5y3 3 y1, y2, y3 0
2023/2/22
8
原问题
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
4
x1
16 5x2 15
x1, x2 0
对偶问题
min W 12 y1 16 y2 15 y3
2023/2/22
29
例 书P59 例3 max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 x3
4x1
5x 2
x4 x5
x1,...,x5 0
12 y1 16 y2 15 y3
2
3
0
0
0
CB
XB
b
2
x1
3
0
x4
4
3
x2
5
j
2023/2/22
x1
x2 x3
x4
x5
1 0 1/2 0 -1/5
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
s.t 2 y1 4 y2 2 2y1 5y3 3 y1, y2, y3 0
2023/2/22
8
原问题
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
4
x1
16 5x2 15
x1, x2 0
对偶问题
min W 12 y1 16 y2 15 y3
2023/2/22
29
例 书P59 例3 max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 x3
4x1
5x 2
x4 x5
x1,...,x5 0
12 y1 16 y2 15 y3
2
3
0
0
0
CB
XB
b
2
x1
3
0
x4
4
3
x2
5
j
2023/2/22
x1
x2 x3
x4
x5
1 0 1/2 0 -1/5
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
第二章 对偶理论和灵敏度分析
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
Slide 10
第二章 对偶理论和灵敏度分析
标准(max,)型的对偶变换 1、求目标函数最大值的线性规划问题中有n个变量m个 约束条件，它的约束条件都是小于等于不等式。而其对偶则 是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束 条件，其约束条件都为大于等于不等式。 2、原问题的目标函数中的变量系数为对偶问题中的约束 条件的右边常数项，并且原问题的目标函数中的第i个变量的 系数就等于对偶问题中的第i个约束条件的右边常数项。 3、原问题的约束条件的右边常数项为对偶问题的目标函 数中的变量的系数。并且原问题的第i个约束条件的右边常数 项就等于对偶问题的目标函数中的第i个变量的系数。 4、对偶问题的约束条件的系数矩阵A是原问题约束条件 的系数矩阵的转置AT。 P59 例1.18
《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 Slide 17
五、对偶单纯形法
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原问题线性规划的一 种方法，采用的技术是在原问题的单纯形表格上进行对偶处 理。 注意：对偶单纯形法不是求解对偶问题的单纯形法。 对偶单纯形法的基本思想：当一个原始问题从可行但不 最优开始，并继续保持可行直到取得最优解的时候，也就是 它的对偶问题从不可行但比最优还好开始并继续保持最优直 到取得可行最优解。 当原问题在寻找最优性的时候，对偶问题相应地寻找可 行性。P56图1.12
对偶理论及灵敏度分析
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
max Z CX
对 偶 问 题 的 定 义
AX b s.t. X 0
minW b Y
T
T
T T T A Y C s.t. T Y 0
或 min Yb
YA C s.t. Y 0
对 称 形 式 的 对 偶 问 题
4 y1 8 y 2 12 y 3 4 5 y 9 y 13y 2 1 2 3 3 6 y1 10 y 2 y1符号不限, y 2 0, y 3 0
例
对 偶 问 题 的 写 出
max Ζ=2x1+x2+3x3+x4 s.t. x1+x2+x3+x4≤5 2x1-x2+3x3 =-4 x1 -x3+x4 ≥1 x1≥0,x2,x4无约束,x3 ≤0 其对偶问题为 min ω=5y1-4y2+y3 s.t. y1+2y2+y3 ≥2 y1-y2 =1 y1+3y2-y3 ≤3 y1 +y3 =1 y1≥0，y2无约束， y3 ≤0
Fra Baidu bibliotek
y1 min W (3,9) y 2
1 1 2 y1 1 4 2 1 7 y 2 3 s.t. y 1 0 y2
对偶理论与灵敏度分析
§2
改进的单纯形算法
主要是计算 B −1的差别
已知 Bi ，Bi-1 ，Bi +1 ，求 Bi−+11
Bi = ( Pi1 , Pi 2 , …, Pi ( s −1) , Pis , Pi ( s +1) , …, Pin ) Bi +1 = ( Pi1 , Pi 2 , …, Pi ( s −1) , Pik , Pi ( s +1) ,…, Pin )
XB X = X N
, X B = ( x B1 , x B 21 , ⋯ , x B m 1 ) T
对应目标系数
CB C = C N
原线性规划可改写为：
XB Max z = (C B , C N ) X = CB X B + CN X N N XB 约束条件 ( B , N ) X = BX B + NX N = b N X B, X N ≥ 0
Bi−1 Bi = ( Bi−1 Pi1 , Bi−1 Pi 2 , … , Bi−1 Pi ( s −1) , Bi−1 Pis , Bi−1 Pi ( s +1) , … , Bi−1 Pin ) =I
Bi−1 Bi +1 = ( Bi−1 Pi1 , Bi−1 Pi 2 ,…, Bi−1 Pi ( s −1) , Bi−1 Pik , Bi−1 Pi ( s +1) ,…, Bi−1 Pin ) 1 … y1k 0 … y 2k = ⋮ ⋮ 0 … y mk =E … 0 … 0 ⋮ … 1
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析1总结
第三章线性规划的对偶理论及灵敏度分析
主要内容：1、对偶问题及其性质；
2、 对偶单纯形法；
3、 灵敏度分析。
重点与难点：对偶问题与原问题的对应关系，对偶问题的基本性质，对偶单纯形法的求解步骤，灵敏度分析的方 法。 要
求：理解线性规划对偶问题的性质，熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧，能够
用这些数学方法解决实际问题。
§ 1对偶问题的对称形式
一、对偶问题
弓侧，某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及 A 、B 两种原材料
的消耗，该工厂每生产一件产品甲可获利 2元，每生产一件产品乙可获利 3元，问应如何安排计划才能使该工厂获利
最多？
解：设
X i 、
X 2
分别为甲、乙两种产品的产量
作一比较：若用一个单位台时和 4个单位原材料 A 生产一件产品甲，可获利 2元，那么生产每件产品甲的设备台 y^ 4y^ 2
同理，将生产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。即:
2力 4y 3
3
将工厂所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为
则目标函数
maxz 二
2x 「
3x 2
x 「
2x 2 岂
8
i
4x 1 - 16 i
4x 2 兰
12
约束条件
-x 1,x^ 0
(1)
不再生产甲、乙产品，而将其出租或出售 3分别为出租
单位设备台时的租金和出让单位原材料
这时要考虑每种资源的定价问题，设
A 、
B 的附加额。
时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。即:
。
=8y 〔
+ 16y 2 + 12y 3
对工厂来说，••越大越好；但对接受者来说，支付的愈少愈好，所以工厂只能在满足》所有产品的利润前提下, 使其总收入尽可能小，才能实现其愿望。为此，得到如下模型：
第三章 对偶理论及灵敏度分析
对 偶 问 题
特点： 特点：
↔m in 2．限定向量 ↔ 价值向量C ．限定向量b 价值向量
1． m ． ax （资源向量） 资源向量） 3．一个约束 ↔ ． 一个变量。 一个变量。
其它形式 的对偶
?
上页 下页 返回
↔ in 4． m z的LP约束“ ． ax 约束“ 约束 ≤ ” m
LP是“≥ ”的约束。 是 的约束。 5．变量都是非负限制。 ．变量都是非负限制。
上页 下页 返回
对 偶 问 题
400 — 300 —
2x1 + x2 = 400
最优解 (60,250)
C D x2 = 250 x1 + x2 = 310
| E | | | 100 200 300 400
上页 下页 返回
B
Z=28000
200 — 100 — 0
A
x1
对 偶 问 题
增加10个单位的第一种资源，能让利润增加 28000-27500=500个单位，也就是增加一个 单位的第一种资源，利润增加50个单位。 我们称第一种资源的对偶价格为50.
5y1 + 2y2 ≥ 0 y1 + 4y2 ≥ 3 s.t. y1 + 3y2 = 2 8y1 + 2y2 = 4 y1 ≥ 0, y2无 束 约
上页 下页 返回
对偶理论与灵敏度分析(1)
1
4.1对偶问题的提出
现从另一个角度来讨论，假定工厂考虑不 安排生产，而是出售原材料，出租工时或转产 新产品等。问如何定价，可使工厂获利不低于 安排生产所获得的收益，且又能使这些定价具 有竞争力？
设出售原料的定价为毎公斤y1元，出租工时 的定价为毎工时y2元.从工厂考虑，这些定价下 的获利不应低于安排生产所获得的收益。否则 工厂宁可生产，而不出售或出租或转产等,由此 考虑出售或出租或转产的数学模型.
min W 1500 y1 800 y2 2000 y3 2 y1 3y3 3
s.t. 3y1 2 y2 2 y3 5
4 y2 5 y3 4 y1, y2 , y3 0
定义 2.4.1：称上述的两问题之一 为原问题，则另一问题称为对偶问题， 两者互为对偶。
9
原问题与对偶问题的关系
0 J
1/6 -1/6 0
[-2/3] -1/3 1
1 40
0 -1/4 1/4
1 1/2 -3/2
w
-17/2 15/2 0
0 2/7 3/2 25
原问题的最优解为(0,1/4,1/2),最优值为17/2
由上例得结论：
（1）当约束条件为“≥”时，不必引进人工变量， 使计算简化。
（2）由对偶问题的性质知道：用单纯形法求解L.P 问题时，每一次迭代可得一个基解，这时检验数 行的数是对偶问题的一个基解。原问题的松驰变 量对应着对偶问题的决策变量，对偶问题的松驰 变量对应着原问题的决策变量。在一个问题中是 基变量，则在另一个问题中就是非基变量 ，反之 亦然。
4.1对偶问题的提出
现从另一个角度来讨论，假定工厂考虑不 安排生产，而是出售原材料，出租工时或转产 新产品等。问如何定价，可使工厂获利不低于 安排生产所获得的收益，且又能使这些定价具 有竞争力？
设出售原料的定价为毎公斤y1元，出租工时 的定价为毎工时y2元.从工厂考虑，这些定价下 的获利不应低于安排生产所获得的收益。否则 工厂宁可生产，而不出售或出租或转产等,由此 考虑出售或出租或转产的数学模型.
min W 1500 y1 800 y2 2000 y3 2 y1 3y3 3
s.t. 3y1 2 y2 2 y3 5
4 y2 5 y3 4 y1, y2 , y3 0
定义 2.4.1：称上述的两问题之一 为原问题，则另一问题称为对偶问题， 两者互为对偶。
9
原问题与对偶问题的关系
0 J
1/6 -1/6 0
[-2/3] -1/3 1
1 40
0 -1/4 1/4
1 1/2 -3/2
w
-17/2 15/2 0
0 2/7 3/2 25
原问题的最优解为(0,1/4,1/2),最优值为17/2
由上例得结论：
（1）当约束条件为“≥”时，不必引进人工变量， 使计算简化。
（2）由对偶问题的性质知道：用单纯形法求解L.P 问题时，每一次迭代可得一个基解，这时检验数 行的数是对偶问题的一个基解。原问题的松驰变 量对应着对偶问题的决策变量，对偶问题的松驰 变量对应着原问题的决策变量。在一个问题中是 基变量，则在另一个问题中就是非基变量 ，反之 亦然。
第二章 对偶问题和灵敏度分析1
1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B各生产多少, 可获最大利润?
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
标签 原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
பைடு நூலகம்
Max Z （或者W）
第i个约束方程
Min W (或者Z）
变量yi(或者变量xi)
大部分（S）
小部分（O）
＜＝的形式
＝的形式
yi＞＝0
无约束
极个别（B）
＞＝的形式
变量xi(或者变量yi)
yi＜＝0
第j个约束方程 >＝的形式
大部分（S）
xi＞＝0
小部分（O）
C 0 CB B A I C CB B1 A CB B
1
Max Z CX 0 X s AX IX s b s.t X , X s 0
令
* X * ˆ X X s
1
0
CB B 1 0 C CB B 1 A 0
0 1 2 3
8 y1 6 y2 2 y3 5 x 2 6 y 2 y 5 x 8y y1 0, y2 不受限, y3 0 y 0, y 不受限, y 0
(1) 对偶问题的提出
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B各生产多少, 可获最大利润?
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
标签 原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
பைடு நூலகம்
Max Z （或者W）
第i个约束方程
Min W (或者Z）
变量yi(或者变量xi)
大部分（S）
小部分（O）
＜＝的形式
＝的形式
yi＞＝0
无约束
极个别（B）
＞＝的形式
变量xi(或者变量yi)
yi＜＝0
第j个约束方程 >＝的形式
大部分（S）
xi＞＝0
小部分（O）
C 0 CB B A I C CB B1 A CB B
1
Max Z CX 0 X s AX IX s b s.t X , X s 0
令
* X * ˆ X X s
1
0
CB B 1 0 C CB B 1 A 0
0 1 2 3
8 y1 6 y2 2 y3 5 x 2 6 y 2 y 5 x 8y y1 0, y2 不受限, y3 0 y 0, y 不受限, y 0
管理运筹学-03-对偶问题与灵敏度分析(1)课件
11
2020/12/5
cj
3
2
2
CB
基
b
x1
x2
x3
0
x4
(b)
1
1
1
0
x5
15
(a)
1
2
0
x6
20
2
(c)
1
cj-zj
3
2
2
……
0
x4
5/4
0
0
(d)
3
x1
25/4
1
0
(e)
2
x2
5/2
0
1
(f)
cj-zj
0
(k)
(g)
0
0
0
x4
x5
x6
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
(l) -1/4 -1/4
0
3/4
原问题：
AX b YTAXYTb
对偶问题：
ATYCT
YTAC YTAXCX
2020/12/5
管理运筹学-03-对偶问题与灵敏度分析(1)
14
四、对偶问题的基本性质
[3. 最优性]
若 X 为原问题的可行解，Y 为对偶问题的可行解，如CXbTY ，此时两个可
运筹学-对偶理论及灵敏度分析
0
30
0
X5
9
0
0
-3/2
1/2
1
18
80
x2
15/2
0
1
3/4
-1/4
0
-
0
0
-50
10
0
因为存在检验数＞0且b值均为正数，直接使用单纯形法继续迭代
如果A的利润不变，则产品B的利润在什么范围内变化？
灵敏度分析
工艺系数aij的变化
计划生产如下所示：
产品
资源
产品A
产品B
资源总量
煤
1
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
30
劳动日
3
2
50
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
40
X1
15
1
0
-1/2
1/2
0
0
X5
9
0
0
-3/2
1/2
1
50
x2
15/2
0
1
3/4
-1/4
0
b的变化只会引起b列数字的变化，不会引起检验数的变化。
因而变化结果只会导致原问题不可行，不会引起对偶问题的变化
−1
′
10
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 J
1/6 -1/6 0
[-2/3] -1/3 1
1 40
0 -1/4 1/4
1 1/2 -3/2
w
-17/2 15/2 0
0 2/7 3/2 25
原问题的最优解为(0,1/4,1/2),最优值为17/2
由上例得结论：
（1）当约束条件为“≥”时，不必引进人工变量， 使计算简化。
（2）由对偶问题的性质知道：用单纯形法求解L.P 问题时，每一次迭代可得一个基解，这时检验数 行的数是对偶问题的一个基解。原问题的松驰变 量对应着对偶问题的决策变量，对偶问题的松驰 变量对应着原问题的决策变量。在一个问题中是 基变量，则在另一个问题中就是非基变量 ，反之 亦然。
例 生产计划问题 某工厂用三种原料生产三种产品，已知 的条件如表2.1.1所示，试制订总利润最大 的生产计划。
单位产品所需原料数量 （公斤）
原料P1
产品 Q1
2
产品Q2 产品 Q3
3
0
原料可用量 （公斤/日）
1500
原料P2 原料P3
02
4 800
32
5 2000
单位产品的利润（千元） 3
5
4
7
（原问题）
,2xx22
26
0
目标函数 约束条件
“s.t.”:Subject to
线性规划
5
新问题—简单的生产计划问题
设出售原料的定价为毎公斤y1元，出租工时的 定价为毎工时 y元2 .
min w 24 y1 26 y2
s.t. 2 y1 3y2 4
3y1 2 y2 3 y1, y2 0.
6
CB YB b
0 y4 -2
0 y5 -1
w
0
-24 y2 1/3 0 y5 -1/3
w -8
-24 y2 1/4 -5 y3 1/2
-15 y1 0 -5 15
0 -5 15 -5/4 15/2
-24 y2 [-6]
-2 24
1 0 0 1 0
-5 0 y3 y4
0
y5
-1 1 0
-1 0 1
5
0
4、对偶定理：若两个互为对偶问题之一有最优解，则 另一个必有最优解，且目标函数值相等。
5、互补松弛性定理： X* 、Y*分别是原问题和对偶问题的
可行解，则 和Y*XL=0
X*
、Y*是最优解的充分必要条件是X*YS
=0
6、解的对应定理：原问题的单纯形表的检验数行对应
其对偶问题的一个基解.
由解的对应定理可知，当在检验数行得到对偶问题的 解可行时，原问题已达到最优解。
每迭代一次，就使目标函数值增大一次， 当问题取得最优解时，目标函数达到最大 值。
对偶单纯形法特点：将单纯形法应用于对偶 问题的计算，在保持对偶问题有可行解的 基础上，每迭代一次，就使目标函数值减 少一次，当问题得到最优解时，目标函数 取到最小值。
20
2、对偶单纯形法的计算步骤 （1）把对偶问题化为标准形，但允许主约束条件右
显然：对称形式的对偶问题，若已知其中 一个问题，立即就可以写出相应的对偶问 题。
11
表2.13 对偶变换的规则
原问题 (max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
s.t5 y1 2 y2 y3 y5 1
y1,
y2，y3 ,
y4 ,
y5
0
23
约束条件两端乘以“-1”得
max w 15y1 24y2 5y3 0y4 0y5
6 y2 y3 y4 2
s.t 5y1 2 y2 y3 y5 1
y1,
y2，y3
,
y4
,
y5
0
24
cj
s.t. 3y1 2 y2 2 y3 5 4y2 5y3 4
y1, y2 , y3 0
10
1、一个问题中的约束条件个数等于它的对偶 问题中的变量数。
2、一个问题中目标函数的系数是其对偶问题 中约束条件的右端项。
3、约束条件在一个问题中为“≤ ”，则在其 对偶问题中为“≥”.
4、目标函数在一个问题中求最大值，在其对 偶问题中则为求最小值。
16
2.4.3 对偶问题的基本性质定理
1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
2、弱对偶定理：若X(0)是原问题的可行解, Y(0)是对偶问 题的可行解,则有CX(0) ≤ Y(0)b.
3、最优性定理：若X(0)是原问题的可行解, Y(0)是对偶问 题的可行解,且有CX(0) = Y(0)b则 X(0) 、Y(0)分别是原问题和 对偶问题的最优解。
2、影子价格是一种边际价格。（随着资源量的改变而改变）
在 min w
i
bi
yi中对bi
求
偏
导
得
w bi
yi
当bi每改变一个单位，w将改变若干单位（yi ),即增量.
如2.3.2的引例(P.15)中，当把2x1 3x2 24变为
2x1 3x2 25时最优解由（6，4，0，0），Z1 36
• （一）对称形式的对偶问题 • 比较上述的两个互为对偶问题：
max Z 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500 s.t. 2x2 4x3 800
3x1 2x2 5x3 2000 x1, x2 , x3 0
min W 1500y1 800y2 2000y3 2 y1 3y3 3
17
对偶定理
是揭示原始问题的解与对偶问 题的解之间重要关系的一系列定理。
18
2.4.4 对偶单纯形法
什麽是对偶单纯形法？ 对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。 注意：不是解对偶问题的单纯形法！
19
2.4.4 对偶单纯形法
1、两种方法的特点 单纯形法特点：在保持基可行解的情况下，
变为（5.6，4.6，0，0），Z2 36.2
Z2 Z1 0.2,说明第一种资源的边际价格是0.2。
28
3、没有最优决策，就没有影子价格。影子价格真实反映了 资源在最优决策下对总收益（目标函数值）的影响和贡献 大小。由松紧定理知，影子价格为正数，表明该种资源在 最优决策下已充分利用耗尽，并成为进一步增加总收益的 紧缺资源（短线资源），影子价格为零，表明该种资源在 最优决策下尚有剩余（长线资源）。
（原问题中：若主元列都是负元素，可以证明问题有无数可行解， 无最优解。）
否则，按最小比值原则确定进基变量 ：
min j
j aij
| aij
0
s ars
称ars为主元素，
ys为进基变量
。
对原问题，min
bi ais
| ais
0
br ars
,
xr为出基变量。
（5）用进基变量替换出基变量得到新基，继续迭代。
（6）重复3—5步。
22
例：用对偶单纯形法求解如下L.P问题
min w 15y1 24 y2 5 y3
6 y2 y3 2
s.t
5y1
2
y2
y3
1
y1, y2 , y3 0
解：引进松驰变量y4，y5，化为标准型
max w 15y1 24 y2 5 y3 0y4 0y5
6 y2 y3 y4 2
约束条件数：n
第i个约束条件类型为“≥”
第i个约束条件类型为“≤”
第i个约束条件类型为“=”
13
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7
s.t.182x1x191x32 x2
10x3 14
11
x1 0, x2符号不限, x3 0
（3）对偶问题的解正是原问题的最优表中松驰变 量 在检验数行中的数。反之，原问题的解正是对 偶问题的最优表中松驰变量 在检验数行中的数。
（4）对偶问题的解yi称为资源的影子价格。
26
原问题
对偶问题
每次迭代，检验数行的数
基解（最优表中是最优解
------影子价格）
松馳变量
决策变量
决策变量
松馳变量
基变量
2
对偶问题?
• 任何线性规划问题都有其对偶问题 • 对偶问题有其明显的经济含义
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们谈判原料 价格的模型是怎样的？
3
原问题—简单的生产计划问题
某工厂生产甲、乙两种产品，单位产品 利润、耗工耗料及工料限额为下表
产品 甲
项目
材料
2
工时
3
利润(元)/件 4
乙 限额
3
24
设生产三种产品各为x1, x2, x3公斤，总利 为Z元。于是得 max Z 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500
s.t. 2x2 4x3 800
3x1 2x2 5x3 2000 x1, x2 , x3 0
8
对偶问题
设出售材料的定价为每单位 yi 元，
* 获利为 W 元
边常数 bi为任意数。(注意到这里并不需引进人工 变量) （2）通过对约束等式两边同乘“－1”产生初始基 （单位矩阵），列出初始表。 （3）确定“出基”变量：
若bi 0(原问题则是： j CBB-1Pj - C j 0),则
问题找到了最优解，计算结束。
若bi不全为正，则考虑换基迭代(先进基后出基)。
12
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
目标函数 MinW
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
决策变量数：n个 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
min W 1500 y1 800 y2 2000 y3 2 y1 3y3 3
s.t. 3y1 2 y2 2 y3 5
4 y2 5 y3 4 y1, y2 , y3 0
定义 2.4.1：称上述的两问题之一 为原问题，则另一问题称为对偶问题， 两者互为对偶。
9
原问题与对偶问题的关系
y1符号不限, y2 0, y3 0 y1符号不限, y2 0, y3 0
பைடு நூலகம்
√
×
（原问题是极小化问题，因此应从原始对偶
表的右边往左边查！）
15
（二）非对称形式的对偶问题 （1） 如果原问题约束中包含等式约束，如AX=b 等价于
AX b AX b
(2)如果x j 0,可用xj x j 0代替。 （3）如果x j取值无约束，可用x j xj xj代替 （xj，xj 0）
非基变量
非基变量
基变量
目标函数值 =
目标函数值
练习P.30例14
27
2.4.5 对偶变量的经济意义和影子价格
1、影子价格（Shadow Pyice)：对资源在生产中做出的贡献而 做出的评价。它不是市场价格。资源的市场价格是已知的， 而影子价格有赖于资源的利用情况，是未知的。
对偶变量的经济意义就是影子价格.
21
出基原则：小于0的 bi中最小者（绝对值最大者）所对应的行变
量。即在所有bi <0中，
原b问r 题m的iin进b对基i 应原的则变：量j yr出CB基B，-1Pyj r-所C在j 中行0最为小主对元应行的。列变量。
（4）确定“进基”变量
若主元行中没有负元素，可以证明问题没有可行解，计算结束。
第4章 主要内容：
• 对偶规划 • 对偶理论 • 对偶单纯形算法
1
4.1对偶问题的提出
现从另一个角度来讨论，假定工厂考虑不 安排生产，而是出售原材料，出租工时或转产 新产品等。问如何定价，可使工厂获利不低于 安排生产所获得的收益，且又能使这些定价具 有竞争力？
设出售原料的定价为毎公斤y1元，出租工时 的定价为毎工时y2元.从工厂考虑，这些定价下 的获利不应低于安排生产所获得的收益。否则 工厂宁可生产，而不出售或出租或转产等,由此 考虑出售或出租或转产的数学模型.
14
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
MaxW 7 y1 11y2 14y3 MaxW 7 y1 11y2 14y3
4 y1 8y2 12y3 4
4 y1 8y2 12y3 4
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
对偶问题 (min)
技术系数矩阵 AT
右端项 b
价值系数 C
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 不限
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 = 型
• 约束条件的类型与非负条件对偶 • 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件 • 对偶变换是一一对应的
2
26
3
如何安排一天的生产计划，使企业利润最大？
4
解：设甲、乙产品的产量分 别为x1, x2 ,则
利润 Z 4x1 3x2
决策变量
限制条件：
2x1 3x2 24
3x1 2x2 26
x1 0, x2 0
数学模型： max Z 4x1 3x2
2x1 3x2 24
s.t.3xx11