第一章晶体的概念、对称和分类

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《结晶学基础》

在离子晶体结构中，每个正离子周围都形成一个负离子配位多面体；正负离子间距离取决于离子半径之和，正离子配位数取决于正负离子半径之比，与离子电价无关。
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数它一的般配为位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八面体堆积，正、负离子彼此都能相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括：三斜、单斜、正交晶系
第一章结晶学基础
.
1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的

结晶学基础

晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必
然两两反向平行而且相等。用它可以作为判断晶体有无对称中心的依据。
4、旋转反伸轴（Lin）

旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等部分重复。相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和对此直线上一个点反伸的复合操作。
只有晶体才能称为真正的固体。
5、准晶体

1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探索之中，但从其对称性可见，其质点的排列应是长程有序，但不体现周期重复，不存在格子构造，人们把它称为准晶体。
二、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性质，称为晶体的基本性质。

晶体中对称轴举例
横截面形状
晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。因为不符合空间格子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布满整个平面。
在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有
一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一或多个。
表示方法为3L4、4L3、6L2等。对称轴在晶体中可能出露的位置： ⑴通过晶面的中心； ⑵通过晶棱的中点；
⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。

行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等；不同方向的行列，其结点间距一般不等。
行
列

⑶ 面网：结点在平面上的分布构成面网。面网上单位面积内结点的数目称为网面密度。互相平行的面网，网面密度相同；不平行的面网，网面密度一般不等。相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称为面网间距。

固体物理_第一至第七章总复习详解

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总复习
第二章晶体结合一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能）电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
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格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动
总复习
第一章晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子）基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子晶体结构＝基元＋空间点阵布拉伐格子（B格子）＝空间点阵复式格子＝晶体结构复式格子≠B格子
2.原胞初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
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3. 一维双原子链总复习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。

材料科学基础-第1章

晶面指数及晶面间距
现在广泛使用的用来表示晶面指数的密勒指数是由英国晶体学家ler于1939年提出的。
z
确定晶面指数的具体步骤如下： 1.以各晶轴点阵常数为度量单位,求出晶面与三晶轴的截距m,n,p； 2.取上述截距的倒数1/m,1/n,1/p； 3. 将以上三数值简为比值相同的三个最小简单整数,即 1 1 1 h k l (553) : : : : h:k :l x m n p e e e 其中e为m,n,p三数的最小公倍数,h,k,l为简单整数； 4.将所得指数括以圆括号, (hkl)即为密勒指数。
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
§ 1.5 晶体结构的对称性
一、对称：对称是指物体相同部分作有规律的重复。对称操作所依据的几何元素，亦即在对称操作中保持不动的点、线、面等几何元素称为对称元素。二、对称性
1．晶体的宏观对称性 2. 晶体的32种点群 3. 晶体的微观对称性 4．230种空间群
晶体结构＝空间点阵+基元
注意：上式并不是一个数学关系式，而只是用来表示这三者之间的关系。
二、晶体的点阵理论
1 、点阵(Lattice):
将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元，用一个数学上的点来代表 , 称为点阵点，整个晶体就被抽象成一组点,称为点阵。 1 点阵点必须无穷多；点阵必须具备的三个条件 2 每个点阵点必须处于相同的环境； 3 点阵在平移方向的周期必须相同。
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。

固体物理知识点总结

一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。

原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。

每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。

晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。

WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。

4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。

六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。

固体物理各章节知识点详细总结

3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为
a，原子质量为m。
模型运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···

固体物理第一章1

晶格物理性质周期性（平移对称性）：
Γ (x+na) = Γ (x)
上式表示原胞中任一处x的物理性质，同另一原胞相应处的物理性质相同。
原子
一维的喇菲格子
例：一维复式格子
定义：晶格中含有n(n≥2)类原子，其周围情况不一样，它们组成一维无
限周期性点列，周期为a。原胞：长为a的一根直线段，一类原子在其两端点，其余原子在线段上。每个原胞含n个原子。周期性： Γ (x+na) = Γ (x)
晶体分单晶体和多晶体
单晶体( Single Crystal ) 原子排列的周期性是在整个固体内部存在的；无限大的严格的单晶体可以看成是完美晶体。多晶体( Multiple Crystal ) 由很多不同取向的单晶体的晶粒组成的固体；仅在各晶粒内原子才有序排列，不同晶粒内的原子排列是不同的。
单晶体是个凸多面体，围成这个凸多面体的面是光滑的，称为晶面。晶面的大小和形状受晶体生长条件的影响，它们不是晶体品种的特征因素。
1 a 1 ( a b c ) 2 1 a 2 (a b c ) 2 1 a 3 (a b c ) 2

a a1 ( i j k) 2 a a 2 (i - j k) 2 a a 3 (i j k) 2
四、各向异性
晶带：单晶体的晶面排列成带状，晶面的交线（称为晶棱）互相平行，这些晶面的组合称为晶带。晶棱的方向称为带轴。晶轴：重要的带轴，互相平行的晶棱（晶面的交线）的共同方向。
各向异性：晶体的物理性质，常随方向不同而有量的差异，晶体所具有的这种性质——各向异性。
如介电常数、压电常数、弹性常数等。

第一章晶体结构(Crystal Structure)

§1.3 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。定义: 各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式 R n a n a n a n 1 n 2 n 3 、、 a1 a2 。其中，、、取整数， n 1 1 2 2 3 3 a Rn 为基矢，为布拉菲格子的格矢，或称正格矢。 3 能用上式表示的空间点阵称为布拉菲点阵，相应的空间格子称为布拉菲格子．
§1.2 空间点阵
空间点阵定义：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这些点子的总体称为点阵。 X射线衍射技术从实验上证明。
1、格点与基元如果晶体是由完全相同的一种原子所组成的，则格点代表原子或原子周围相应点的位置, 如铜的晶体结构。点阵（lattice）在空间任何方向上均为周期排列的无限个全同点的集合。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。基元是化学组成、空间结构、排列取向、周围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集合。可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基元包含多达10000 个以上的原子。
复式晶格：
如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原子。显然,每一种等价原子各构成与晶体基元代表点的空间格子相同的网格 , 称为晶体的子晶格 . 每一种等价原子的子晶格具有相同的几何结构，整个晶格可视为，子晶格相互位移套构而成。该晶体晶格称为复式晶格．例如：氯化钠晶体

晶体的结构及其对称性

配位数：8
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc

a
3
Body centered cubic lattice
原子数：堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V

bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量��1 、��2 、��3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
�� =��1 �� +��2 �� +��3 �� =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数：堆积密度：
sc

a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2

第一章晶体的对称性

第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。

不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。

因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。

这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。

这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。

§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。

实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。

应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。

在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。

1．晶体的宏观对称性。

晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。

如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。

这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。

通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。

描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。

为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。

如花瓣。

●等同图形。

如左右手。

相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。

●对称图形。

由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。

2．对称性。

对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。

固体物理复习01-02

第一章晶体结构
晶体：是由离子，原子或分子（统称为粒子）有规律的排列而成的，具有周期性和对称性
非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性
格点：布拉伐格子晶格：晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称为晶格晶体的周期性和对称性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质称为晶体结构的周期性。晶体的对称性指晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。（有轴对称，面对称，体心对称即点对称）
33
3
4
6· 判断此原胞为fcc格子的最小周期性单元 3 a 原胞 a1 a2 a3 ∵ fcc 格子的一个立方单元体积中含的原子数： 4 4 a 1 又∵ 原胞 fcc 4 a a ∴原胞中只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元注： fcc 晶格方式是一种最紧密的排列方式 — 立方密排晶格！
∵bcc 的一个立方单元体积中，包含两个原子,
∴此原胞中只含有一个原子 → 其为最小周期性单元!
A B
a1
a3
a2
体心立方晶格的典型单元
A B 体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的原胞
四、六角密排晶格
1· 配位数：理想情况 — 所有相邻原子之间的距离相等 → 轴比 c / a 8 / 3 1.633 配位数为12 实际值在1.57~1.64之间波动 2· 堆积方式：AB AB AB……，上、下两个底面为A 层，中间的三个原子为 B 层
a ai a aj a 为晶格常数 a ak
1 2 3
a3
a1
a2
简单立方晶格原胞
二、面心立方晶格（face-centered cubic — fcc）

第一章晶体

第四节晶体的形成（第八章）
一、形成晶体的方式
晶体是在物相转变的情况下形成的。物相有三种，即气体、液体和固体。 1．由液相结晶析出晶体 2．由气相转变为晶体 3．由固态再结晶为新晶体
1. 由液相结晶析出晶体熔体
晶体
溶液
1）从熔体中结晶当温度低于熔点时，晶体开始析出，即过冷却条件下晶体才能发生。如岩浆岩中的橄
行列(row)：质点在一条直线上的排列结点间距：同一行列中相邻两质点间的距离行列是无限多的。在相互平行的行列中，结点间距相等；不平行的行列中结点间距一般不相等。
面网：结点在平面上的分布即构成面网
任意两个相交的行列就可决定一个面网。面网上单位面积内的结点数称为面网密度。相互平行的面网，其面网密度相同，且任二相邻面网间的垂直距离——面网间距也必定相等；互不平行的面网，其面网密度一般不同。
a 立方格子
b 四方格子
c 六方格子
d 三方格子
e 斜方格子
f 单斜格子
g 三斜格子
同平行六面体中结点的分布情况也不相同，按分布方式又划分出格子基本类型：原始格子P：结点分布于角顶，三方菱面体格子用R 表示；底心格子C：结点分布于角顶和一对面的面心；体心格子I：结点分布于角顶和体中心；面心格子F：结点分布于角顶和各面的中心。
远程规律：构成晶体的原子在整个空间（或者至少在长距离的宏观范围内）的排列是有规则的、周期性的。整个晶体可看作是一个小单位——原胞的周期性重复。近程规律：在非晶体中一个宏观范围内，原子在空间排列是不规则的，但每个局部，在几或十几个原子间距的范围内，却常常有一定程度的规则排列，在液体中，原子的空间排列同样是长程无序，短程有序的。
晶面、晶棱、角顶与面网、行列、结点的关系示意图

材料科学基础第一章晶体结构(一结晶学基础知识)

说明： a 指数意义：代表一组平行的晶面； b 0的意义：面与对应的轴平行； c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相
同），空间位向不同的各组晶面。用{hkl}表示。 e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0; f 立方晶系若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
（2）晶面指数的标定 a 建立坐标系：确定原点（非阵点）、坐标轴和度量单位。 b 量截距：x,y,z。 c 取倒数：h’,k’,l’。 d 化整数：h,k,k。 e 加圆括号：(hkl)。（最小整数？）
（2）晶面指数的标定
例：标定下列A,B,C面的指数。
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
平移坐标原点：为了标定方便。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶胞如图1-4所示，是边长为a，高为c的六方棱柱体。
四轴定向：晶面符号一般写为（hkil），指数的排列顺序依次与a轴、b轴、d轴、c轴相对应，其中a、b、d 三轴间夹角为120o，c轴与它1们垂直。它们之间的关系为： i=－（h＋k）。
晶面指数：结晶学中经常用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶面指数。数字hkl是晶面在三个坐标轴（晶轴）上截距的倒数的互质整数比。
晶向：点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组，结点等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶向。同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任何一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其质点分布不尽相同。任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结点也可以处于所有晶向上。

《结晶学与矿物学》-第一章-三-晶体的基本性质

下面的晶体形态是对称的：
思考：对称性与异向性有什么联系？晶体的对称同种物质的非晶体相比，内能最小。
为什么？
另外，晶体具有固定的熔点：
温度
温度
熔点
时间
时间
6.稳定性：晶体比非晶体稳定。晶体的稳定性是晶体具有最小内能性的必然结果。
所有的这些基本性质都与格子构造有关，要学会用格子构造规律解释这些基本性质！
三、晶体的基本性质
晶体具有格子构造，因此也就具有由格子构造所决定的、区别于非晶体物质的特有性质。
1. 自限性：晶体能够自发地生长成规则几何多面体形态的性质。
为什么？用格子构造解释。
2. 均一性：同一晶体的不同部分，物理化学性质完全相同。但是，非晶体也有均一性，晶体是绝对均一性，而非晶体是统计
的、平均近似均一性。为什么？用格子构造解释。
3. 异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。
为什么？用格子构造解释。
思考：均一性与异向性有矛盾吗？异向性与自限性有什么联系？
蓝晶石不同方向硬度不同
4. 对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。

固体物理学：第一章第一节晶格及其平移对称性

其它晶体结构
Ruddlesden-Popper structures层状结构
Pyrochlores 烧绿石结构
Rutile 金红石结构
一维晶格
一维单原子链一维双原子链
二维？
简单晶格和复式晶格
简单晶格：只有一个不等价原子，如sc, bcc, fcc等。复式晶格：存在2个或者2个以上的不等价原子，hcp, 金刚石结构，NaCl, CsCl，ZnS, ABO3结构。
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a
a3 i j k 2
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
fcc点阵
面心立方以顶点为原点，到其近邻的三个面心为基矢。立方体的边长为a。
a1 a2
a
a1 j k 2
a
a2 i k 2
a 3 a i j 2
三种常见的元胞
初基元胞（primitive cell）
初基元胞是一个空间体积，当通过所有的平移矢量平移时，它可以正好(既无多余，有无重叠)填满整个空间。由基矢 a1,a2,a3 所确定的平行六面体就是初基元胞，其体积为：
Ω a1 a2 a3
由于基矢选择不唯一，所以初级元胞选择也不唯一。但对于每一种点阵，通常都有一个公认的基矢和初级元胞选择方法
1个原子，1个不等价原子配位数： 6 堆积效率(packing efficienty) f = 0.53
该结构中，所有原子完全等价，不管以哪个原子作为原点，其晶体结构式完全一样的。
体心立方(bcc, body-centered cubic)
在简单立方的基础上，将一个相同原子放在立方体中心，便得到体心立方晶体结构。
简单晶格中，从一个原子平移到任意另一个原子，晶格完全复原。而复式晶格中，这种任意的平移，晶格不一定能复原。

1.晶体结构

晶体结构＝空间点阵＋基元
Ci (i)、 CS (m)和 S4( 4 )
四、点群（32种） Schö nflies符号：用主轴＋脚标表示主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴 Sn : n次旋转－反映轴 Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T：四面体群 O：八面体群脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面 v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面 d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面
第一章晶体结构
§1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的
排列具有长程周期性结构非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程
周期性准晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性
规则网络
无规网络
Al65Co25Cu10合金准晶
体心立方的基矢和Wigner－Seitz原胞
面心立方基矢、原胞和Wigner－Seitz原胞
4. 晶格的分类简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子，晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完全等同的。例：Na、Cu、Al等晶格均为简单晶格
复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子或离子。简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。如：金刚石、Mg、Zn 、 C60和NaCl等晶格都是复式晶格
b3 a1 a 2 a 3 va
2 a 2 a 3
倒格矢：G n n1 b1 n2 b 2 n3 b3 ， n1、n2、n3都是整数。倒格子原胞体积：