九年级数学上册23.4中位线课件(新版)华东师大版
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华师大版九年级数学上册课件：23.4 中位线 (共11张PPT)
解：∵DE，EF，FD分别为△ABC三边的中位线，△ABC的 周长为112cm, ∴DE+EF+FD= (AB+BC+AC)= ×112=56cm. 又∵DE∶EF∶FD=3∶5∶6， ∴DE=12cm，EF=20cm，DF=24cm．
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的 中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线 交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点， 且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm， 求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F， 易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm， 又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.
谢谢观看
第二十三章 图形的相似
23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形 两边中点 的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于 第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的 中线 交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练
跟踪训练
8.在△ABC中，AB=10cm，AC=7cm，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂
跟踪训练
6.如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的 中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线 交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP= 12 .
跟踪训练
7.已知△ABC中，D，E，F分别是△ABC三边中点， 且DE∶EF∶FD=3∶5∶6，若△ABC的周长为112cm， 求DE，EF，FD的长．
足为点D，点E为BC的中点.求DE的长. 解：如图，延长CD交AB于F， 易证△ACD≌△AFD，∴AF=AC，DF=CD. ∵AB=10cm，AC=7cm， ∴BF=AB-AF=10-7=3cm， 又∵E为BC中点， ∴DE= BF= ×3=1.5cm.
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第二十三章 图形的相似
23.4 中位线
轻松预习
1.三角形的中位线
（1）定义：连结三角形 两边中点 的线段叫做三角形
的中位线;
（2）定理：三角形的中位线 平行 于第三边，并且 等于 第三边的一半 .
2.三角形的重心
三角形三边上的 中线 交于一点，这个点就是三角
形的重心，重心与一边中点连线的长是对应中线长的 .
∴F为AD的中点，又∵AE=EB，∴E为AB中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF= BD．
跟踪训练
23.4 中位线 (课件)2024-2025-华东师大版数学九年级上册
长是对应中线长的13. 注意：经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个
顶点的对边 .
课堂新授
知2－讲
特别解读 ●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的
2倍. ●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点 .
课堂新授
知2－练
例 4 如图23.4-5，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，
知1－练
证明：延长 AE 交 BC 于点 H，∵CD 平分∠ACB，AE⊥CD，
∴∠ACE＝∠HCE，∠AEC＝∠HEC＝90°，又∵CE＝CE，
∴△ACE≌△HCE，∴AE＝EH＝12AH.∵EF∥BC， ∴△AEF∽△AHC，∴AAFC＝AAHE＝12，∴AC＝2AF，∴F 是 AC 的中点．又∵G 是 BC 的中点，
课堂新授
知1－练
证明：连结EF.
由▱ABCD可得AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝BF，∴ED＝FC.
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴EG＝
BG，EH＝CH.
∴GH是△EBC的中位线．∴GH∥BC.
课堂新授
知1－练
例 3 如图23.4-4，在△中，中线BE，CD相交于点O，
∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点.
又易知点O是AC的中点，
∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF.
课堂新授
知1－练
1-1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足
为E， 过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，
连结FG．
求证：FG＝12AB．
课堂新授
课堂新授
知2－练
5-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE交对
华师大版九年级上册数学 23.4 中位线 教学课件
设疑：如果连结两边中点的线段呢？ A
中位线
E.
. F
.
B
C
D
DE是三角形ABC的 中位线. A
D
E
什么叫三 角形的中 位线呢？
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
画出△ABC中所有的中位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线 A
和中线的区别.
D
F
B
C
E
A
理解三角形的中位线定义的两层含义:
同理 EF∥AC, EF= 1 AC,
2
∴HG∥EF ,HG=EF.
G D
H
C F
A
E
B
∴四边形EFGH是平行四边形.
课堂小结
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并 且等于它的一半.
3.三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的关系， 而且给出了它们的数量关系，在三角形中给出一边的中点 时，可转化为中位线.
平行且相等
A
E
F
O
M
N
B
C
3.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四 边形.
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G
D
F H
B
A
E
证明：连结AC.
∵AH=HD，CG=GD ,
∴HG∥AC, HG= 1 AC. 2
第23章 图形的相似
23.4 中位线
导入新课
讲授新课
当堂练习
华东师大《234中位线》新课标PPT课件优质课
华师大版九（上）
学 习 目 标：
1、了解三角形的中位线概念,掌握并证 明三角形的中位线定理. 2、能利用三角形的中位线定理进行计 算与证明。
自主学习，独立思考：
读一读：
图中线段DE 是连接ΔABC两边 的中点D、E所得的线段，称此 线段DE为ΔAB角形中位线的概念
B
FC
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
(1) F
C
❖2．如图（2）RtΔABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿
D
A E
B
C
（2） F
小结：
本节课主要学习了三角形中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。重点是利用中位 线定理进行证明和计算。
拓展练习： 三角形中位线定理的应用
1、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
并思考如何证明？（讨论）
A
已知：在ΔABC中AD＝DB
D
E
AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC B
C
已知：在ΔABC中AD＝DB,AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC
证明提示：
A
我们知道 AD= ½AB
D
E
AE= ½AC，证明ΔADE与
ΔABC相似就可以得到。
B
C
D B
.. 证明
∵DE为ΔABC的中位线(AD=BD,AE=CE)
∴①DE∥BC，②DE=½BC
A
↓
↓
位置关系 数量关系
2、三角形中有三条中位线， D
E
可构成三个平行四边形
B
FC
知识应用
1.如图（1）ΔABC中，
学 习 目 标：
1、了解三角形的中位线概念,掌握并证 明三角形的中位线定理. 2、能利用三角形的中位线定理进行计 算与证明。
自主学习，独立思考：
读一读：
图中线段DE 是连接ΔABC两边 的中点D、E所得的线段，称此 线段DE为ΔAB角形中位线的概念
B
FC
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
(1) F
C
❖2．如图（2）RtΔABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿
D
A E
B
C
（2） F
小结：
本节课主要学习了三角形中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。重点是利用中位 线定理进行证明和计算。
拓展练习： 三角形中位线定理的应用
1、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
并思考如何证明？（讨论）
A
已知：在ΔABC中AD＝DB
D
E
AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC B
C
已知：在ΔABC中AD＝DB,AE=EC.
求证：DE//BC, DE= ½BC
证明提示：
A
我们知道 AD= ½AB
D
E
AE= ½AC，证明ΔADE与
ΔABC相似就可以得到。
B
C
D B
.. 证明
∵DE为ΔABC的中位线(AD=BD,AE=CE)
∴①DE∥BC，②DE=½BC
A
↓
↓
位置关系 数量关系
2、三角形中有三条中位线， D
E
可构成三个平行四边形
B
FC
知识应用
1.如图（1）ΔABC中，
华师大版九年级上23.4中位线课件(共13张PPT)
第23章 图形的相似
23.4. 中位线
驶向胜利 的彼岸
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点， 那么DE∥BC，∴DE= 12BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
3
巩固练习
73 10 33
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯
23.4. 中位线
驶向胜利 的彼岸
复习导入
如图，在△ABC中，DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 1.如果D是AB的中点，那么E是AC的 中点吗？DE与BC的比是多少？ 2.上述问题的逆命题是什么？
探索新知
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点， 那么DE∥BC，∴DE= 12BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
归纳
（1）我们把连结三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形的中位线平行于第三 边，并且等于第三边的一半。
ห้องสมุดไป่ตู้
应用
应用拓展
在例2中，作另外两条三角形的中 线，是否也有这个结论？
（学生讨论，总结如下）
三角形三边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心 与线一长边的中1 点？的连线的长是对应中
3
巩固练习
73 10 33
答案:1.3 90°.
归纳小结
1.三角形中位线与中线的区别。 2.中点四边形一定是平行四边形，判断他 是不是某一特殊平行四边形，只需要看原 四边形对角线是否垂直或相等。
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性：它们极易从事实中归纳 出来，但证明却隐藏的极深。
——高斯
九年级数学上册23.4中位线教学课件新版华东师大版
例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G． 求证： GE GD 1
CE AD
A E
G
3
B D
C
例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G． GE GD 1 求证： CE AD 3 证明 :连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点，
GD G D 1 所以有： AD AD 3
图 ．23.4.4
AD
BF
3
即两图中的点G与G′是重合的．
三角形三条边上的中线交 于一点，这个点就是三角形的 重心，重心与一边中点的连线 1 的长是对应中线长的 3 。
图 23.4.5
1 求证：DE∥BC，DE＝ BC 2
．
三角形中位线平行于第三边，并且等于第 三边的一半。
应用时要具体分析， 需要哪一个就用哪一 个.
三角形中位线定理有两个结论： （1）表示位置关系------平行于第三边； （2）表示数量关系------等于第三边的一半。
中位线性质的常见表达形式：
1 ∴ DE∥BC，DE＝ BC 2
例1 求证：三角形的一条中位线与第三 边上的中线互相平分．
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC． 求证：AE、DF互相平分．
A
D
F
B
E
C
例1 求证：三角形的一条中位线与第三 边上的中线互相平分．
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC． 求证：AE、DF互相平分． 证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于 第三边并且等于第三边的一半）． 同理可得：EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形的 图 23.4.3 对角线互相平分）．
九级数学上册 23.4 中位线课件 (新版)华东师大版
D
E
答：三条
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B
F
5
C
三角形的中位线与三角形的中线有什么 区别？ A A
D E
B
C
B
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶
点和对边中点的连线。
精选 最新精品中小学课件 6
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且 等于第三边的一半。
A D E
数学语言 ∵DE是△ABC的中位线
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当堂训练
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
D
E C
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
B
图1
精选
最新精品中小学课件
9
B
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
D A
4 5
F
3
图2
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
第23章
23.4 中位线
精选 最新精品中小学课件 1
新课导入
A
E
C
D
B
如图，在池塘外选一点C，连结AB、AC、BC连结 AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且 连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB 的距离了。同学们知道AB是多少米吗？为什么？
精选 最新精品中小学课件 2
推进新课
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中 1 点，求证DE∥BC且DE= BC。 2
A
A
E
23.4 中位线 (课件)2024-2025学年华东师大版数学九年级上册
B
C
△ADE∽△ABC
.
DE//BC
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
（1）三角形的中位线定理简称“一线两用”；
（2）三角形的中位线定理常用于解决平行问题或线段的倍数 问题；
（3）出现了三角形的中点，常常作三角形的中位线这条辅助 线解决问题。
∵DE是△ABC的中位线 D
A
E
F
B
C
探索:请同学们在作业本上任意画一个△ABC。
（1）画出△ABC的所有中位线； （2）画出△ABC的所有中线；
（3）三角形的中线和中位线有何联系和区别？
A
D
E
B
F
C
思考
如图，已知D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线。
（1）DE和BC有什么样的位置关系？
（2）DE和BC有什么样的数量关系？
∴ DE∥BC，
B
A E C
数学活动室
1.如图1，在△ABC中，DE是中位线。
（1）若∠ADE=60°，则∠B=
度，为什么？
（2）若BC=8cm，则DE=
cm，为什么？
A
A
D
E
ED
B 图1
C
B
F
C
图2
2.如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，E为
AB的中点，连结DE，AC=15，BC=27，则DE=
求证：△DEF∽△ABC
A
A E
E
F
D M
B
DC
图1
B
F
C
图2
2.如图2，在四边形ABCD中，M是对角线AC的中点，E、F分别是AD、BC的
华师大版初三数学上册《23.4 中位线》课件
中位线
E
.
.
F
B
. D
C
DE是三角形ABC的 中位线. A 什么叫三 角形的中 位线呢？ D E
B
C
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 画出△ABC中所有的中位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线
和中线的区别. D
A
F
B E
C
A D B ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 中位线 ； E C
如图：在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有： DE∥BC, DE=
1 2
BC.
A
能说出理由吗?
E
D
B
C
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB的中点.
则有：
DE∥BC, DE=
A
1 2
BC.
用不同的 方法证明 E D
F
B
C
三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， 1 DE= 2 BC. E D
则△DEF的周长= 12 cm
二 三角形的重心
如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相
交于G．求证：
GE CE GD AD 1 3
证明:连结ED，
∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC，
DE AC 1 2
∴ △ACG∽△DEG，
∴
∴
GE GC
GD AG
1 2
D
AC.
H
F
同理 EF∥AC, EF= AC,
2
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