10简单回归分析

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SPSS教程-简单回归分析-案例及结果解释

案例：
10学生中考和末考成绩如下，请问以中考成绩来预测末考成绩的回归分析如何？输入数据，点分析-回归-线性
结果：
模型汇总
模型R R 方调整R 方标准估计的误
差
1 .822a.676 .635 2.729
a. 预测变量: (常量), 中考成绩。

Anova b
模型平方和df 均方 F Sig.
1 回归124.038 1 124.038 16.660 .004a
残差59.562 8 7.445
总计183.600 9
R平方的F检验为16.660，达显著水平。

系数估计：个别变量，B，beta及显著性检验。

中考变量beta为0.822，达显著水平。

结果分析：
以中考成绩预测末考成绩，为单一回归分析，由于数学基础相同，简单回归与相关分析的主要结果相同。

Pearson相关系数、Multiple R与Beta皆为0.822，这几个系数的检验值均相同，达显著水平。

R平方则提供回归变异量，显示中考成绩预测末考成绩有63.5%的解释力，F（1，8）=16.66，p=0.004，显示该解释力具有统计上的意义。

系数估计的结果指出，中考成绩能够有效预测末考成绩，beta系数达0.822(t=4.082, p=0.004), 表示中考成绩越高，末考成绩越好。

简单回归分析

一、线性回归分析若是自变数与依变数都是一个，且Y 和X 呈线性关系，这就称为一元线性回归。

例如，以X 表示小麦每667m 2有效穗数，Y 表示小麦每667m 2的产量，有效穗数即属于自变数，产量即属于依变数。

在这种情形下，可求出产量依有效穗数而变更的线性回归方程。

在另一种情形下，两类变数是平行关系很难分出哪个是自变数，哪个是依变数。

例如，大豆脂肪含量与蛋白质含量的关系，依照需要确信求脂肪含量依蛋白质含量而变更的回归方程，或求蛋白质含量依脂肪含量而变更的回归方程。

回归分析要解决的问题要紧有四个方面：一是依如实验观看值成立适当的回归方程；二是查验回归方程是不是适用，或对回归方程中的回归系数的进行估量；三是对未知参数进行假设考试；四是利用成立起的方程进行预测和操纵。

（一）成立线性回归方程用来归纳两类变数互变关系的线性方程称为线性回归方程。

若是两个变数在散点图上呈线性，其数量关系可能用一个线性方程来表示。

这一方程的通式为：上式叫做y 依x 的直线回归。

其中x 是自变数，y ˆ是依变数y 的估量值，a 是x =0时的y ˆ值，即回归直线在y 轴上的截距，称为回归截距，b 是x 每增加一个单位时，y 将平均地增加（b ＞0时）或减少(b <0时) b 个单位数，称为回归系数或斜率（regression coefficient or slope ）。

要使能够最好地代表Y 和X 在数量上的互变关系，依照最小平方式原理，必需使将Q 看成两个变数a 与b 的函数，应该选择a 与b ，使Q 取得最小值，必需求Q 对a ，b 的一阶偏导数，且令其等于零，即得：()()⎩⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+212xyx b x a yx b an ()()∑∑=--=-=nn Q bx a y yy Q 1min212ˆbx a y +=ˆ()1.7ˆbx a y+=由上述（1）解得：将（）代入（2），那么得：（）的分子是x 的离均差与y 的离均差乘积总和，简称乘积和（sum of products ），可记为SP ，分母是x 的离均差平方和，也可记为SS x 。

回归分析方法

回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。

回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。

在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。

首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。

自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。

回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。

常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。

线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。

多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。

进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。

在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。

建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。

进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。

总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。

通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。

回归分析

回归分析的模型
按是否线性分：线性回归模型和非线性回归模型按自变量个数分：简单的一元回归，多元回归基本的步骤：利用SPSS得到模型关系式，是否是我们所要的，要看回归方程的显著性检验（F 检验）和回归系数b的显著性检验(T检验)，还要看拟合程度R2 (相关系数的平方,一元回归用R Square，多元回归用Adjusted R Square)
(Prob(event) <0.5 预测事件将不会发生， > 0.5 预测事件将会发生）
补充：回归分析
以下的讲义是吴喜之教授有关回归分析的讲义，很简单，但很实用
定量变量的线性回归分析
对例1(highschoo.sav)的两个变量的数据进行线性回归，就是要找到一条直线来最好地代表散点图中的那些点。
b0为常数项 b1、b2、…、称为y对应于x1、x2、…、xn的偏回归系数用Adjusted R2调整判定系数判定一个多元线性回归方程的拟合程度：
用来说明用自变量解释因变量变异的程度（所占比例）
一元线性回归模型的确定:一般先做散点图(Graphs ->Scatter>Simple),以便进行简单地观测（如：Salary与Salbegin的关系) 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性方程，若不呈线性分布，可建立其它方程模型，并比较R2 (-->1)来确定一种最佳方程式（曲线估计）
关系是否有线性特点
Graphs ->Scatter->Simple X Axis： Salbegin Y Axis： Salary
2. 若散点图的趋势大概呈线性关系，可以建立线性回归模型
Analyze->Regression->Linear Dependent: Salary Independents: Salbegin,prevexp,jobtime,jobcat,edcu等变量 Method: Stepwise

第十章-回归分析

x
2
i1
)b1
n
(
i 1
xi1 xip )bp
n i 1
xi1 yi
n
( i1
xip )b0
n
(
i 1
xip xi1 )b1
n
(
i 1
x
2
ip
)bp
n i 1
xip yi
正规方程
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引入矩阵
1
X
1
x11 x21
x12 x22
x1p x2p
,Y
y1
x,y的相关关系可表示为 yab x ,~N (0 ,2)
或y~N (ab, x2)
其中a, b, 2为不依赖于x的未知参数，上式称为一元
线性回归模型，简称一元线性模型。当y与x间满足这种关系时，y与x间有线性相关关系。上一页下一页返回
用最小二乘法确定未知参数a及b。考虑试验点关于回
归直线的偏差平方和
上一页下一页返回
一元回归分析与最小二乘法
取定x时随机变量y的数学期望E(y|x)作为x时随机变量 y的估计值，即
yE(yx)
显然，当x变化时E(Y|X=x)是x的函数，记作
(x)E(yx)
可以用一个确定的函数关系式
y (x)
大致地描述y与x之间的相关关系。
函数 (x)称为y关于x的回归函数，简称回归；
第十章回归分析
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情古代诗词美好作品篇1：绮怀朝代：清代作者：黄景仁原文：

高考回归分析知识点

高考回归分析知识点回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于研究变量之间的关系和预测。

在高考数学中，回归分析也是一个重要的知识点。

本文将介绍高考中常见的回归分析知识点，并结合具体例子进行解析。

一、简单线性回归1. 定义：简单线性回归是指在研究两个变量之间关系时，其中一个变量为自变量，另一个变量为因变量，且二者之间存在线性关系的情况。

2. 公式：简单线性回归模型的数学表示为：Y = α + βX + ε，其中Y为因变量，X为自变量，α和β为常数，ε为误差项。

3. 参数估计：通过最小二乘法可以估计出回归系数α和β的值，从而建立回归方程。

示例：假设我们想研究学生的学习时间与考试分数之间的关系。

我们收集了一组数据，学习时间（自变量X）和考试分数（因变量Y）的数值如下：学习时间（小时）：[5, 10, 15, 20, 25, 30]考试分数（分数）：[60, 70, 75, 80, 85, 90]通过简单线性回归分析，我们可以建立回归方程为：Y = 55 + 0.75X，说明学习时间对考试分数有正向影响。

二、多元线性回归1. 定义：多元线性回归是指在研究多个自变量与一个因变量之间关系时的回归分析方法。

它可以用来探究多个因素对因变量的影响程度，并进行预测和解释。

2. 公式：多元线性回归模型的数学表示为：Y = α + β₁X₁ + β₂X₂+ ... + βₚXₚ + ε，其中Y为因变量，X₁、X₂、...、Xₚ为自变量，α和β₁、β₂、...、βₚ为常数，ε为误差项。

3. 参数估计：同样通过最小二乘法可以估计出回归系数α和β₁、β₂、...、βₚ的值，从而建立回归方程。

示例：我们想研究学生的考试分数与学习时间、家庭收入、家庭教育水平等因素之间的关系。

我们收集了一组数据，学习时间（自变量X₁）、家庭收入（自变量X₂）、家庭教育水平（自变量X₃）和考试分数（因变量Y）的数值如下：学习时间（小时）：[5, 10, 15, 20, 25, 30]家庭收入（万元）：[8, 10, 12, 15, 18, 20]家庭教育水平（年）：[10, 12, 14, 16, 18, 20]考试分数（分数）：[60, 70, 75, 80, 85, 90]通过多元线性回归分析，我们可以建立回归方程为：Y = 50 +0.7X₁ + 1.2X₂ + 1.5X₃，说明学习时间、家庭收入和家庭教育水平都对考试分数有正向影响。

回归分析方法

回归分析方法回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究建模问题是一种常用的有效方法.什么是回归分析呢？大家知道：数学分析（或高等数学）是研究连续变量之间的关系，泛函分析是研究函数集之间的关系，而回归分析是研究随机变量之间的关系. 回归分析方法一般与实际联系比较密切，因为随机变量的取值是随机的，大多数是通过试验得到的，这种来自于实际中与随机变量相关的数学模型的准确度（可信度）如何，需通过进一步的统计试验来判断其模型中随机变量（回归变量）的显著性，而且，往往需要经过反复地进行检验和修改模型，直到得到最佳的结果，最后应用于实际中去。

回归分析的主要内容是：（1）从一组数据出发，确定这些变量（参数）间的定量关系（回归模型）；（2）对模型的可信度进行统计检验；（3）从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）；（4）应用结果是对实际问题作出的判断.多元线性回归模型的一般形式为01122n n y x x x ββββε=+++++ (1) 其中ε为随机误差，且()2~0,.,1,2,,i N x i n εσ= 均为实际问题的解释变量，是已知函数. 实证分析例1 模型与假设我们将以某地区消费者对当地某品牌电子手表的销售量随价格与平均收入变动的资料进行回归分析，并对估计模型进行检验。

解释变量：商品价格x 1（单位：元/件），人均月收入x 2 （单位：元），被解释变量：商品销售量y （单位：件）。

我们仅利用x 1 和x 2来建立y 的预测模型。

数据如下表：基本模型为了大致分析y 与x 1 和x 2的关系，先作出y 对x 1 和x 2的散点图（见图1和图2中的圆点）。

图1 y 对x 1的散点图图2 y 对x 2的散点图从图1可以看出，随着x 1 的增加，y 的值有比较明显的线性减少趋势，因此考虑如下线性模型：011y x ββε=++ （1）来拟合，ε是随机误差，而在图2中，当x 2增大时，y 有向下弯曲减少的趋势，故考虑如下模型来拟合：201222y x x βββε=+++ （2）综合上述的分析，结合模型（1）和（2）简历如下回归模型20112232y x x x ββββε=++++ （3）（3）式右端的x 1和x 2称为回归变量，20112232x x x ββββ+++是给定商品价格 x 1，人均月收入x 2时，手表销售量y 的平均值，其中0123ββββ、、、称为回归系数,运用SPSS 计算得他们的估计值如表1，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果模型选择得合适，ε应大致服从均值为零的正态分布。

10回归分析

回归分析
当研究对象的一个或多个变量X1,X2…Xm 的变化会引起另一个或多个变量Y1,Y2…Yn发生变化时，我们就说它们之间存在着某种相关关系。其中诸X带有“原因”的性质,故称为自变量，诸Y带有“结果”的性质,称之为因变量。相关关系包括两种类型：确定关系和不确定关系。
回归分析
不论确定关系还是不确定关系，对具有相关关系的现象，都可以选择一适当的数学关系式，用以说明一个或几个变量变动时，另一变量或几个变量平均变动的情况，这种关系式就称为回归方程。
回归方程检验
ˆ ˆ l yy ( yi y ) 2 [( yi y ) ( y y )]2
i 1 i 1 n n
ˆ ˆ ˆ ˆ ( yi y ) 2 ( y y ) 2 2 ( yi y )( y y )
i 1 i 1 i 1
回归直线的判定
设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N )是变量x，y的一组观测数据。那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一个yi a bxi的值，yi 与xi处实际观测值yi的差：
* *
yi yi yi (a bx)
一元线性回归分析法
全国每年的技术贸易额与很多因素有关，但经过分析主要受全国GDP这一因素的影响和制约,于是我们寻求二者之间的统计规律，并进行预测。以x表示自变量---全国GDP数量，以y表示因变量---全国技术贸易额。根据国家统计局公布的数字，将15年的数据列于下表：
根据列表数据，我们可以在直角坐标系中绘出散点图
相关性检验
臵信水平和臵信度是一样的，就是变量落在臵信区间的可能性, “臵信水平”就是相信变量在设定的臵信区间的程度，是个0-1的数,用 1-α表示。臵信区间是变量的一个范围，变量落在这个范围的可能性是就是1-α。显著性水平就是变量落在臵信区间以外的可能性，“显著”就是与设想的臵信区间不一样, 用α表示，显著性水平与臵信水平的和为1。

河南财经政法大学统计学练习题相关与回归分析习题

第八章相关与回归分析一、单项选择题1、自然界和人类社会中的诸多关系基本上可归纳为两种类型，这就是（）①函数关系和相关关系②因果关系和非因果关系③随机关系和非随机关系④简单关系和复杂关系2、相关关系是指变量间的（）①严格的函数关系②简单关系和复杂关系③严格的依存关系④不严格的依存关系3、单相关也叫简单相关，所涉及变量的个数为（）①一个②两个③三个④多个4、直线相关即（）①线性相关②非线性相关③曲线相关④正相关5、多元相关关系即（）①复杂相关关系②三个或三个以上变量的相关关系③三个变量的相关④两个变量之间的相关关系6、相关系数的取值范围是（）①（0，1）②[0，1]③（-1，1）④[-1，1]7、相关系数为零时，表明两个变量间（）①无相关关系②无直线相关关系③无曲线相关关系④中度相关关系8、相关系数的绝对值为1时，表明两个变量间存在着（）①正相关关系②负相关关系③完全线性相关关系④不完全线性相关关系9、两个变量间的线性相关关系愈不密切，样本相关系数r值就愈接近（）①-1 ②+1③0 ④-1或+110、相关系数的值越接近-1，表明两个变量间（） ①正线性相关关系越弱 ②负线性相关关系越强 ③线性相关关系越弱 ④线性相关关系越强11、如果协方差02<xy σ，说明两变量之间（）①相关程度弱 ②负相关 ③不相关 ④正相关 12、样本的简单相关系数r=0.90时，说明（） ①总体相关系数ρ=0.90 ②总体相关系数90.0<ρ③总体相关系数90.0>ρ④总体的相关程度需进行统计估计和检验13、进行简单直线回归分析时，总是假定（） ①自变量是非随机变量、因变量是随机变量 ②自变量是随机变量、因变量是确定性变量③两变量都是随机变量 ④两变量都不是随机变量14、在直线回归模型i i x y10ˆˆˆββ+=中，回归系数1ˆβ的大小（） ①表明两变量线性关系密切程度的高低②表明两变量关系的独立程度 ③不能用于判断两变量的密切程度15、回归方程i i x y 5.1123ˆ+=中的回归系数数值表明：当自变量每增加一个单位时，因变量（）①增加1.5个单位 ②平均增加1.5个单位 ③增加123个单位 ④平均增加123个单位16、若回归系数1ˆβ大于0，表明回归直线是上升的，此时相关系数r 的值（） ①一定大于0 ②一定小于0 ③等于0 ④无法判断 17、下列回归方程中，肯定错误的是（）①88.0,32ˆ=+=r x y i i ②88.0,32ˆ=+-=r x yi i ③88.0,32ˆ-=+-=r x yi i ④88.0,32ˆ-=-=r x yi i 18、若根据资料计算得到的回归方程为5ˆ=y，则相关系数r 为（）①-1 ②0 ③1 ④0.519、根据回归方程ii x y10ˆˆˆββ+=（） ①只能由变量i x 去预测变量i y ②只能由变量i y 去预测变量i x ③可以由变量i x 去预测变量i y ，也可以由变量i y 去预测变量i x ④能否相互预测，取决于变量i x 和变量i y 之间的因果关系 20、下列现象的相关密切程度高的是（）。

简单线性回归分析思考与练习参考答案

简单线性回归分析思考与练习参考答案第10章简单线性回归分析思考与练习参考答案⼀、最佳选择题1．如果两样本的相关系数21r r =，样本量21n n =，那么（ D ）。

A. 回归系数21b b = B ．回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D ．t 统计量11r b t t = E. 以上均错2．如果相关系数r =1，则⼀定有（ C ）。

A ．总SS =残差SSB ．残差SS =回归SSC ．总SS =回归SSD ．总SS ＞回归SS E.回归MS =残差MS3．记ρ为总体相关系数，r 为样本相关系数，b 为样本回归系数，下列（ D ）正确。

A ．ρ=0时，r =0B ．|r |＞0时，b ＞0C ．r ＞0时，b ＜0D ．r ＜0时，b ＜0 E. |r |=1时，b =14．如果相关系数r =0，则⼀定有（ D ）。

A ．简单线性回归的截距等于0B ．简单线性回归的截距等于Y 或XC ．简单线性回归的残差SS 等于0D ．简单线性回归的残差SS 等于SS 总E ．简单线性回归的总SS 等于05．⽤最⼩⼆乘法确定直线回归⽅程的含义是（ B ）。

A ．各观测点距直线的纵向距离相等B ．各观测点距直线的纵向距离平⽅和最⼩C ．各观测点距直线的垂直距离相等D ．各观测点距直线的垂直距离平⽅和最⼩E ．各观测点距直线的纵向距离等于零⼆、思考题1．简述简单线性回归分析的基本步骤。

答：①绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；②估计回归系数；③对总体回归系数或回归⽅程进⾏假设检验；④列出回归⽅程，绘制回归直线；⑤统计应⽤。

2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。

答：区别：（1）资料要求上，进⾏直线回归分析的两变量，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。

直线相关分析只适⽤于双变量正态分布资料。

第10讲回归分析

记
Q Q ( 0 , 1 ) y i 0 1 xi
i 1 2 i i 1
n
n
2
最小二乘法就是选择
0
ˆ 0 和 1 的估计
0 , 1
ˆ 1 使得，
ˆ ˆ Q ( 0 , 1 ) min Q ( 0 , 1 )
2013-6-10 12
3、预测与控制（1）预测
ˆ ˆ ˆ 用 y0 的回归值 y0 0 1 x0 作为 y0 的预测值.
y0 的置信水平为1 的预测区间为 ˆ ˆ y0 ( x0 ), y0 ( x0 )
1 x0 x ˆ 其中 ( x0 ) e t (n 2) 1 1 n Lxx 2
2013-6-10 16
通常选择的六类曲线如下：
1 b （1）双曲线 a y x
（2）幂函数曲线 y=ax b , 其中 x>0,a>0
（3）指数曲线 y=ae bx 其中参数 a>0.
e （4）倒指数曲线 y=a b / x 其中 a>0，
（5）对数曲线 y=a+blogx,x>0
（6）S 型曲线 y
2、多项式回归
设变量 x、Y 的回归模型为
Y 0 1 x 2 x 2 ... p x p
其中 p 是已知的， i (i 1, 2, , p ) 是未知参数，服从正态分布
N ( 0, 2 ) .
Y 0 1 x 2 x 2 ... k x k
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是：
返回
（1）用试验值（样本值）对未知参数

第十章简单回归分析

第十章简单线性回归
在医学研究中，经常需要研究两个变量之间的相互关系和相互依存关系，如血糖与胰岛素水平、年龄与血压等，把这种统计分析方法叫做双变量关系的统计。
相关 ---- 变量间在数量上的相互关系回归 ---- 变量间在数量上的依存关系
第一节线性回归
一、基本概念 1.直线回归(linear regression) ：当一变量随另一变量有规律的依存变化时，此依存变化的数量关系称为直线回归关系。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称为简单回归或简单线性回归。
表10-1 21例肝癌病人血清胆固醇与甘油三脂相关性研究
病人序号
血清胆固醇
甘油三脂
1
3.89
1.71
2
3.41
1.01
3
5.70
0.97
4
6.84
1.78
5
2.93
1.25
6
3.98
0.70
7ห้องสมุดไป่ตู้
4.23
1.33
8
4.43
0.72
9
2.58
0.34
10
4.40
1.24
11
3.77
1.00
12
3.42
0.79
n 21
3. 计算 lXX 、lYY 及 lXY
lXX
X 2 ( X )2 363 .33 85.012 / 21 19.20 n
lYY 23.12 20.892 / 21 2.34
lXY
87.82
85.01 20.89 21
3.26
4. 求回归系数和截距a值：
b lXY 3.26 0.1698 lXX 19.20

第10章回归分析

7
解：依题意，实验次数n＝5，y～x为一元线性关系y=a+bx。根据最小二乘法原理，有：
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 8 9 28
yi 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07 18.58
x i2 4 16 25 64 81 190
yi2 4.04 8.88 12.25 25.20 25.70 76.07
xiyi 4.02 11.92 17.50 40.16 45.63 119.23
解得a＝1.155，b＝0.4573。因此关系式为：y＝1.155+0.4573x。
如果用简化算法，则有：
故关系式为：y=1.155+0.4573x，即两种计算方法结果是一致的。可见，根据实验数据建立回归方程，可采用最小二乘法，基本步骤为： ① 根据实验数据画出散点图； ② 确定经验公式的函数类型； ③ 通过最小二乘法得到正规方程组； ④ 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。其实①②两点正是第9章建立数学模型的过程，所以建立数学模型是回归分析的前提。
13
[例10-2] 试用相关系数检验法对例10-l中得到的经验公式进行显著性检验（α＝0.05）。解：
当α＝0.05，n＝5时，查得相关系数临界值 r0.05，3＝0.8783。所以r＞r, f，所得的经验公式有意义。
14
应当指出的是，相关系数r有一个明显的缺点：即它接近于1的程度与实验数据组数n有关。当n较小时，｜r｜容易接近于1；当n较大时，｜r｜容易偏小。特别是当n＝2时，因两点确定一条直线，｜r｜总等于1。所以，只有当实验次数n较多时，才能得出真正有实际意义的回归方程。
2
回归分析的主要内容: 确定回归方程，检验回归方程的可信性 10.2 一元线性回归分析 10.2.1 一元线性回归方程的建立一元线性回归分析又称直线拟合，是处理两个变量x和y之间关系的方法。所谓一元是指只有一个自变量x，因变量y在某种程度上是随x变化的。设有一组实验数据，实验值为 (xi, yi) (i=1，2，…，n)。若x，y符合线性关系，或已知经验公式为直线形式，就可拟合为直线方程，即：

简单回归分析

简单回归分析
Simple linear regression analysis
本章内容
第一节简单线性回归第二节线性回归的应用
第一节简单线性回归
双变量计量资料：每个个体有两个变量值
总体：无限或有限对变量值
样本：从总体随机抽取的n对变量值（X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn）目的：研究X和Y的数量关系方法：回归与相关
XY
46.02 33.11 27.81 14.88 33.60
232.61 76 23.87 / 8 764 762 / 8 5.8450 0.1392 42
X SX / n 76 / 8 9.5
20.48 Y SY / n 23.87 / 8 2.9838
线性回归的概念及其统计描述
直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依存关系。特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系，不同于一般数学上的X 和Y的函数关系
回归
回归描述的是通过自变量的数值反应因变量的平均水平。因此可以通过可测或易测的变量估计难测或不可测变量的状态。
例如：通过体重估计体表面积；通过身高、体重、肺活量估计心室血输出量、体循环总血量；本章只涉及一个自变量的回归问题
b
SXY SX SY / n l XY 2 l XX SX 2 SX / n
编号 1 2 3 4 5 6
年龄X 肌酐Y
13 11 9 6 8 10 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36
X2
169 121 81 36 64 100
Y2
12.53 9.06 9.55 6.15 6.55 11.29

简单回归系数

简单回归系数
简单回归系数是一种用于描述自变量和因变量之间线性关系的统计指标。

在简单线性回归模型中，自变量$x$和因变量$y$之间的关系可以表示为$y=a+bx$，其中$a$是截距，$b$是回归系数。

回归系数$b$表示自变量$x$每增加一个单位时，因变量$y$的平均变化量。

具体来说，如果回归系数为正数，则表示当自变量增加时，因变量也会增加；如果回归系数为负数，则表示当自变量增加时，因变量会减少；如果回归系数为零，则表示自变量和因变量之间没有线性关系。

简单回归系数的计算通常基于最小二乘法，通过最小化残差平方和来确定回归系数的值。

具体计算公式为：
$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-x_0)(y_i-y_0)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-x_0)^2}$
其中，$x_i$和$y_i$分别表示第$i$个观测值的自变量和因变量的值，$x_0$和$y_0$分别表示自变量和因变量的平均值。

简单回归系数在统计分析和数据建模中具有重要的应用。

它可以用于预测和解释自变量和因变量之间的关系，评估变量的重要性，以及进行假设检验和推断。

通过了解回归系数的大小和正负，可以帮助我们更好地理解自变量对因变量的影响程度，并做出相应的决策和预测。

简单线性回归分析

注意：对于服从双变量正态分布的同样一组资料，若同时做了相关分析和回归分析，则相关系数的 t 检验与回归系数的 t 检验等价，且 t r = t b 。
3. 总体回归系数的区间估计：
b ± tα / 2,υ S b
0.1584±2.074×0.0246=（0.1074，0.2095）
（三）线性回归分析的前提条件： LINE
1.回归模型的方差分析:
总变异的分解：
Y P
ˆ Y −Y
Y −Y
ˆ Y −Y
Y
Y
X
图10-3
Y的总变异分解示意图
ˆ − Y )2 + ∑ (Y − Y )2 ˆ ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y
2
SS 总 = SS 回归 + SS 残差
ν总 = n −1
ν 回归 = 1
ν 残差 = n − 2
X1 )
X2)
22.5 21.5 28.5 26.0 35.0 20.0 23.0 24.8 23.3 27.0 26.0 28.0
X3)
69 79 59 73 92 83 57 67 83 65 58 68
X4)
2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
1. 线性（linear）：反应变量与自变量的呈线
性变化趋势。
2. 独立性（independence）：任意两个观察值
相互独立，一个个体的取值不受其他个体的影响。
前提条件（续）：
3. 正态性（normal distribution）：在给定
值X时，Y的取值服从正态分布
4. 等方差性（equal variance）: 对应于不

回归分析中的样本量确定方法(十)

回归分析是统计学中一种重要的分析方法，它用来探讨自变量和因变量之间的关系。

在进行回归分析时，确定合适的样本量是非常重要的，因为样本量的大小会直接影响到回归分析的结果和可靠性。

那么，如何确定回归分析中的样本量呢？本文将从不同的角度进行探讨。

一、文献综述在回归分析中确定样本量的方法有很多种，最常用的是通过进行实验或者调查来获取数据，然后根据数据的特点和回归分析的要求来确定样本量。

而在实际应用中，有一些统计学家提出了一些经验公式或者指导原则来确定样本量。

比如，有的人认为在进行线性回归分析时，每个自变量至少需要10个观测值，有时候还需要考虑到自变量之间的相关性，而有的人则提出了根据效应大小和显著性水平来确定样本量的方法，这些方法都有着各自的适用范围和局限性。

二、效应大小和显著性水平在确定回归分析的样本量时，一个重要的考虑因素就是效应大小和显著性水平。

效应大小指的是自变量对因变量的影响程度，显著性水平指的是我们对效应大小的判定标准。

一般来说，当效应大小较大时，需要的样本量相对较小，而当效应大小较小时，则需要更大的样本量。

同样地，当显著性水平较高时，需要的样本量也相对较小，而显著性水平较低时，则需要更大的样本量。

因此，在确定回归分析中的样本量时，需要综合考虑效应大小和显著性水平这两个因素，以便得到合理的样本量。

三、统计软件的辅助在确定回归分析的样本量时，可以借助一些统计软件来进行计算。

比如，有一些统计软件提供了样本量计算的模块，用户只需要输入自变量个数、显著性水平、效应大小等参数，就可以得到所需的样本量。

这种方法在实际应用中非常方便，能够快速地得到合理的样本量。

当然，使用统计软件进行样本量计算也有一些前提条件，比如需要了解所用软件的使用方法和参数设置等，否则可能会得到错误的结果。

四、模拟实验法除了以上介绍的方法外，还可以通过模拟实验来确定回归分析的样本量。

模拟实验是一种基于计算机的方法，通过编写程序来模拟实际的数据收集过程，然后根据模拟的数据进行回归分析，最终得到合理的样本量。

利用SPSS10进行多元线性回归分析

3 利用SPSS10.0进行多元线性回归分析【例】同上例。

第一步，录入或调入数据。

完全类同于一元线性回归分析，不赘述（图1）。

图1 录入或调入的数据第二步，回归操作。

多元线性分析的详细步骤的基本进程与一元线性回归分析相似，稍有不同。

⑴打开线性回归对话框。

即沿着主菜单的Analyse→Regression→Linear…路径打开Linear Regression选项框（图2）。

⑵将“运输业产值”置于因变量（Dependent）的空白栏，将“工业产值”、“农业产值”和“固定资产投资”置于自变量（Independent(s)）的空白栏（图3）。

⑶在统计（Statistics）选项框中，除了选择“Durbin-Watson”外，还应该选择“Part and partial correlations”(部分与偏相关，给出零阶相关系数、偏相关系数和部分相关系数)以及“Collinearity diagnostics（共线性诊断）”。

然后继续。

⑷在Plot选项框中，除了可以选择“Histogram”（直方图）和“Normal probability plot”(正态概率图)外，还可选择“Produce all partial plot(s)”（给出所有自变量与因变量的残差散点图）。

然后继续。

⑸修改显著性水平或置信度，可以进入Save对话框，改变Prediction intervals的Confidence intervals（置信区间）；修改逐步回归的F临界值，可以进入Option选项框，改变Stepping method criteria中的F值或者F概率。

如果对此缺乏足够的知识，可由系统默认。

然后继续。

⑹在线性回归对话框中，Method一栏由系统默认为enter（让所有的自变量都参入回归）。

完成上述设置以后，点击“OK”确定（图3），立即可以得到回归结果（Output）。

图2 线性回归对话框图3 设置变量图4 统计选项框的设置图5 图形对话框的设置在Variables Entered/Removed （变量取舍即变量的输入或剔除）表中，给出的采用的变量、剔除的变量和回归方法（enter ）,此表中没有剔除变量。

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