宜宾专中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形第14讲全等三角形精讲练习

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(宜宾专版)2020年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形阶段测评(四)试题

阶段测评(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟总分：100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.(2018·邵阳中考)如图,直线AB、CD相交于点O,已知∠AOD＝160°,则∠BOC的大小为( D)A.20°B.60°C.70°D.160°,(第1题图) ,(第2题图)2.(2018·宁夏中考)将一个矩形纸片按如图所示折叠,若∠1＝40°,则∠2的度数是( D)A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,D、E分别是AB、BC的中点,F在CA延长线上,∠FDA＝∠B,AC＝3,AB＝4,则四边形AEDF的周长为( A)A.8B.9C.10D.11,(第3题图) ,(第4题图)4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC＝10,DE＝2,AC＝6,则AB的长是( B)A.5B.4C.3D.25.将一副三角板按如图放置,则下列结论：①如果∠2＝30°,则有AC∥DE；②∠BAE＋∠CA D＝180°；③如果BC∥AD,则有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°,必有∠4＝∠C,其中正确的是( D)A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④,(第5题图) ,(第6题图)6.(2018·绵阳中考)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA＝CB,CE＝CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE＝2,AD＝6,则两个三角形重叠部分的面积为( D)A. 2B.3－ 2C.3－1D.3－ 3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)7.如图,已知直线AB与CD相交于点O,OA平分∠COE,若∠DOE＝70°,则∠BOD＝__55°__.,(第7题图) ,(第9题图)8.一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm,则它的周长为__22__cm.9.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝106°,EF 、MN 分别是AB 、AC 的垂直平分线,点E 、N 在BC 上,则∠EAN＝__32°__.10.如图,在△ABC 中,AB ＝a,AC ＝b,∠BAC ＝150°,则S △ABC ＝__14ab__.,(第10题图) ,(第11题图)11.如图,已知l 1∥l 2∥l 3,相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在l 1上,另两个顶点A 、B 分别在l 3、l 2上,则tan α的值是__13__. 12.(2018·河南中考)如图,∠MAN ＝90°,点C 在边AM 上,AC ＝4,点B 为边AN 上一动点,连结BC,△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称.点D 、E 分别为AC 、BC 的中点,连结DE 并延长交A′B 所在直线于点F,连结A′E.当△A′EF 为直角三角形时,AB 的长为三、解答题(本大题共4小题,共40分)13.(8分)(2018·重庆中考B 卷)如图,AB ∥CD ,△EFG 的顶点F ,G 分别落在直线AB 、CD 上,GE 交AB 于点H ,GE 平分∠FGD .若∠EFG ＝90°,∠E ＝35°,求∠EFB 的度数.解：∵∠EFG ＝90°,∠E ＝35°,∴∠FGH ＝55°.∵GE 平分∠FGD ,AB ∥CD ,∴∠FHG ＝∠HGD ＝∠FGH ＝55°.∵∠FHG 是△EFH 的外角,∴∠EFB ＝∠FHG －∠E ＝55°－35°＝20°.14.(10分)如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D 、E.F 是OC 上另一点,连结DF 、EF.求证：DF ＝EF.证明：∵OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,∴∠DOP ＝∠EOP ,PD ＝PE.在Rt △POD 和Rt △POE 中,∵PD ＝PE,OP ＝OP,∴Rt △POD ≌Rt △POE(H .L .),∴OD ＝OE.在△ODF 和△OEF 中,∵OD ＝OE,∠DOF ＝∠EOF ,OF ＝OF,∴△ODF ≌△OEF(S .A .S .),∴DF ＝EF.15.(10分)(2018·贵阳中考)如图,在平行四边形ABCD 中,AE 是BC 边上的高,点F 是DE 的中点,AB 与AG 关于AE 对称,AE 与AF 关于AG 对称.(1)求证：△AEF 是等边三角形；(2)若AB ＝2,求△AFD 的面积.(1)证明：∵AE 是BC 边上的高,∴AE ⊥BC.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,∴AE ⊥AD,即∠DAE＝90°.∵点F 是DE 的中点,即AF 是Rt △ADE 的中线,∴AF ＝EF ＝DF.∵AE 与AF 关于AG 对称,∴AE ＝AF,则AE ＝AF ＝EF,∴△AEF 是等边三角形； (2)解：设AG 与EF 的交点为H.∵△AEF 是等边三角形,且AE 与AF 关于AG 对称,∴∠EAG ＝30°,AG ⊥EF.∵AB 与AG 关于AE 对称,∴∠BAE ＝∠GAE＝30°,∠AEB ＝90°.∵AB ＝2,∴BE ＝1,DF ＝AF ＝AE ＝3,∴EH ＝12AE ＝32,AH ＝32,∴S △AFD ＝12×3×32＝334.16.(12分)(2018·滨州中考)已知,在△ABC 中,∠A ＝90°,AB ＝AC,点D 为BC 的中点.(1)如图①,若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且DE⊥DF ,求证：BE ＝AF ；(2)若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点,且DE⊥DF ,那么BE ＝AF 吗？请利用图②说明理由.(1)证明：连结AD.∵∠A ＝90°,AB ＝AC,∴△ABC 为等腰直角三角形,∠EBD ＝45°.∵点D 为BC 的中点,∴AD ＝12BC ＝BD,∠FAD ＝45°＝∠EBD. ∵∠BDE ＋∠EDA＝90°,∠EDA ＋∠ADF＝90°, ∴∠BDE ＝∠ADF ,∴△BDE ≌△ADF(A .S .A .),∴BE ＝AF ；(2)BE ＝AF.理由：如图②,连结AD. ∵∠ABD ＝∠BAD＝45°,∴∠EBD ＝∠FAD＝135°.∵∠EDB ＋∠BDF＝90°,∠BDF ＋∠FDA＝90°, ∴∠EDB ＝∠FD A .又∵BD＝AD,∴△EDB ≌△FDA(A .S .A .),∴BE ＝AF.。

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第十四讲全等三角形(时间：45分钟)一、选择题1.(2018·安顺中考)如图,点D 、E 分别在线段AB 、AC 上,CD 与BE 相交于O 点,已知AB ＝AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A .∠B ＝∠C B .AD ＝AEC .BD ＝CE D .BE ＝CD,(第1题图) ,(第2题图)2.如图,点A 、E 、F 、D 在同一直线上,若AB∥CD ,AB ＝CD,AE ＝FD,则图中的全等三角形有( C )A .1对B .2对C .3对D .4对3.(2018·临沂中考)如图,∠ACB ＝90°,AC ＝BC.AD⊥CE ,BE ⊥CE,垂足分别是点D 、E,AD ＝3,BE ＝1,则DE 的长是( B )A .32B .2C .2 2D .10,(第3题图) ,(第4题图)4.如图,△ABC 中,AB ＝AC,BD ＝CE,BE ＝CF,若∠A＝50°,则∠DEF 的度数是( C )A .75°B .70°C .65°D .60°5.如图,在方格纸中,以AB 为一边作△ABP ,使之与△ABC 全等,从P 1、P 2、P 3、P 4四个点中找出符合条件的点P,则点P 有( C )A .1个B .2个C .3个D .4个,(第5题图) ,(第6题图)6.如图,点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点,且∠MPN 与∠AOB 互补,若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中,其两边分别与OA 、OB 相交于M 、N 两点,则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM ＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变,其中正确的个数为( B )A .4B .3C .2D .1二、填空题7.(2018·衢州中考)如图,在△ABC 和△DEF 中,点B 、F 、C 、E 在同一直线上,BF ＝CE,AB ∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF ,这个添加的条件可以是__AB ＝DE__(只需写一个,不添加辅助线).,(第7题图) ,(第8题图)8.如图,已知△ABC≌△BAD ,若∠DAC＝20°,∠C ＝88°,则∠DBA＝__36°__.9.△ABC 中,AB ＝5,AC ＝3,AD 是△ABC 的中线,设AD 长为m,则m 的取值范围是__1＜m ＜4__.10.如图,Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,分别过点B 、C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE,垂足分别为D 、E,若BD ＝3,CE ＝2,则DE ＝__5__.,(第10题图) ,(第11题图)11.如图,在四边形ABCD 中,AB ＝AD,CB ＝CD,对角线AC 、BD 相交于点O,下列结论：①∠ABC＝∠ADC；②AC 与BD 相互平分；③AC、BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；④四边形ABCD 的面积S ＝12AC·BD.其中正确的是__①④__.(写出正确结论的序号)12.如图,AC 平分∠BAD ,∠B ＋∠D＝180°,CE ⊥AD 于点E,AD ＝12 cm ,AB ＝7 cm ,那么DE 的长度为__2.5__cm .三、解答题13.(2018·恩施中考)如图,点B 、F 、C 、E 在一条直线上,FB ＝CE,AB ∥ED,AC ∥FD,AD 交BE 于O.求证：AD 与BE 互相平分.证明：连结BD 、AE.∵FB ＝CE,∴BC ＝EF.∵AB ∥ED,AC ∥FD,∴∠ABC ＝∠DEF ,∠ACB ＝∠DFE.在△ABC 和△DEF 中,∵∠ABC ＝∠BEF ,BC ＝FE,∠ACB ＝∠DFE ,∴△ABC ≌△DEF(A .S .A .),∴AB ＝DE.又∵AB∥DE ,∴四边形ABDE 是平行四边形,∴AD 与BE 互相平分.14.(2018·聊城中考)如图,正方形ABCD 中,E 是BC 上的一点,连结AE,过B 点作BH⊥AE ,垂足为点H,延长BH 交CD 于点F,连结AF.(1)求证：AE＝BF；(2)若正方形边长是5,BE＝2,求AF的长.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,∠ABE＝∠BCF＝90°,∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵BH⊥AE,∴∠BHE＝90°,∴∠AEB＋∠EBH＝90°,∴∠BAE＝∠EBH.在△ABE和△BCF中,∵∠BAE＝∠CBF,AB＝BC,∠ABE＝∠B CF,∴△ABE≌△BCF(A.S.A.),∴AE＝BF；(2)解：∵AB＝BC＝5,△ABE≌△BCF,∴CF＝BE＝2,∴DF＝5－2＝3.∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD＝5,∠ADF＝90°,∴由勾股定理得AF＝AD2＋DF2＝34.15.在等腰直角△ABC中,∠ACB＝90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连结AP,延长BC至点Q,使得CQ＝CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M.(1)若∠PAC＝α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.解：(1)∠AMQ＝45°＋α.理由：∵∠PAC＝α,△ACB是等腰直角三角形,∴∠BAC＝∠B＝45°,∠PAB＝45°－α.∵QH⊥AP,∴∠AHM＝90°,∴∠AMQ＝90°－∠PAB＝45°＋α；(2)PQ＝2MB.理由：连结AQ,过点M作ME⊥QB于点E,则△MEB为等腰直角三角形,MB＝2ME.∵AC⊥QP,CQ＝CP,∴AQ＝AP,∴∠QAC＝∠PAC＝α,∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ ,∴AP ＝AQ ＝QM.∵∠MQN ＋∠APQ＝∠PAC＋∠APQ＝90°,∴∠MQN ＝∠PAC.又∵∠ACP＝∠QEM＝90°,∴△APC ≌△QME(A .A .S .),∴PC ＝ME,∴PQ ＝2PC ＝2ME ＝2MB.16.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ＝23,∠BAC ＝120°,点D 、E 都在边BC 上,∠DAE ＝60°.若BD ＝2CE,求DE 的长.解：如图,将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACF ,连结EF,过点E 作EM⊥CF 于点M,过点A 作AN⊥BC 于点N.∵AB ＝AC ＝23,∠BAC ＝120°,∴BN ＝CN,∠B ＝∠ACB＝30°.在Rt △BAN 中,∠B ＝30°,AB ＝23,∴AN ＝12AB ＝3,BN ＝AB 2－AN 2＝3,BC ＝6. ∵∠BAC ＝120°,∠DAE ＝60°,∴∠BAD ＋∠CAE＝60°,∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60°.在△ADE 和△AFE 中,∵AD ＝AF,∠DAE ＝∠FAE＝60°,AE ＝AE,∴△ADE ≌△AFE(S .A .S .),∴DE ＝FE.∵BD ＝2CE,BD ＝CF,∠ACF ＝∠B＝30°,∴设CE ＝2x,则CM ＝x ,EM ＝3x,FM ＝4x －x ＝3x,EF ＝ED ＝6－6x.在Rt △EFM 中,EF 2＝FM 2＋EM 2,即(6－6x)2＝(3x)2＋(3x)2,解得x 1＝3－32,x 2＝3＋32(不合题意,舍去), ∴DE ＝6－6x ＝33－3.。

中考数学第1编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识

第十五讲等腰三角形与直角三角形,考标完全解读),感受宜宾中考)1．(宜宾中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形．你添加的条件是__答案不唯一，如BD ＝CD__．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，BE ⊥AD ，BE 交AD 的延长线于点E ，点F 在AB 上，且EF∥AC.求证：点F 是AB 的中点．证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAE ＝∠CAE.∵EF ∥AC ，∴∠AEF ＝∠CAE ， ∴∠AEF ＝∠BAE，∴AF ＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，又∠AEF＝∠BAE，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB中点．,核心知识梳理)等腰三角形的性质和判定1．性质：(1)等腰三角形两腰__相等__(定义)．(2)等腰三角形两角底角__相等__(等边对等角)．(3)等腰三角形底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．2．判定：(1)有__两边相等__的三角形是等腰三角形．(2)有__两角相等__的三角形是等腰三角形．等边三角形的性质和判定3．等边三角形的性质：(具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊).(1)等边三角形的内角都__相等__，且为__60__°.(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．(3)等边三角形是__轴对称__图形，它有__三__条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线．4．等边三角形的判定：(首先考虑判断三角形是等腰三角形)(1)__三边__相等的三角形是等边三角形(定义)．(2)三个内角都__相等__的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的__等腰__三角形是等边三角形．直角三角形的性质和判定5．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角__互余__．(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的__一半__．(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.6．直角三角形的判定判定1：有一个角为__90°__的三角形是直角三角形．判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的__一半__，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．判定3：若__a 2＋b 2＝c 2__，则以a ，b ，c 为边的三角形，是以c 为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)．线段垂直平分线的定理及逆定理7．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__相等__．【温馨提示】它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程．8．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离__相等__的点在这条线段的垂直平分线上．【温馨提示】(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可．,重点难点解析)等腰三角形的应用【例1】阅读理解：如图①，在△ABC 的边AB 上取一点P ，连接CP ，可以把△ABC 分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P 是△ABC 的边AB 上的和谐点．解决问题：(1)如图②，△ABC 中，∠ACB ＝90°，试找出边AB 上的和谐点P ，并说明理由；(2)已知∠A＝40°，△ABC 的顶点B 在射线l 上(图③)，点P 是边AB 上的和谐点，请在图③中画出所有符合条件的B 点，并写出相应的∠B 的度数．【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出和谐点为斜边的中点；(2)由∠A 为等腰三角形的顶角和底角分类讨论得出符合条件的点B 有3个．【答案】解：(1)AB 边上的和谐点为AB 的中点．理由如下： ∵P 是AB 的中点，∴PC ＝12AB ＝PA ＝PB ，∴△ACP 和△BCP 是等腰三角形；(2)①当∠A＝∠ACP＝40°时，则∠CPB＝40°＋40°＝80°.如答图①.若CP ＝CB 1，则∠CPB 1＝∠CB 1P ＝80°. 若B 2P ＝B 2C ，则∠B 2PC ＝∠B 2CP ＝80°， ∴∠CB 2P ＝180°－80°－80°＝20°.若PC ＝B 3P ，则∠PB 3C ＝∠PB 3C ＝180°－80°2＝50°；②当∠A＝∠APC＝40°时，如答图②，∵∠CPB 4＝180°－∠APC＝180°－40°＝140°， ∴∠CB 4P ＝180°－140°2＝20°；③当∠ACP＝∠APC＝70°时，如答图③，∵∠CPB 5＝180°－∠APC＝180°－70°＝110°， ∴∠CB 5P ＝180°－110°2＝35°.综上所述，符合条件的∠CBP 的度数为35°，50°，80°，20°. 【针对训练】 1．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形，菱形都是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：如图，等腰Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°.若点C 为平面上一点，AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB ＝BC ，请画出图形并求出∠ABC 的度数．解：∵AC 是四边形A BCD 的和谐线， ∴△ACD 是等腰三角形，在等腰Rt △ABD 中， ∵AB ＝AD ，∴AB ＝AD ＝BC ，如图①，当AD ＝AC 时， ∴AB ＝AC ＝BC ，∠ACD ＝∠ADC， ∴△ABC 是正三角形， ∴∠ABC ＝60°.如图②，当AD ＝CD 时， ∴AB ＝AD ＝BC ＝CD. ∵∠BAD ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°；如图③，当AC ＝CD 时，过点C 作CE⊥AD 于E ，过点B 作BF⊥CE 于F. ∵AC ＝CD ，CE ⊥AD ， ∴AE ＝12AD ，∠ACE ＝∠DCE.∵∠BAD ＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE 是矩形． ∴BF ＝AE.∵AB ＝AD ＝BC ，∴BF ＝12BC ，∴∠BCF ＝30°.∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠BAC. ∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE， ∴∠ACB ＝∠BAC＝12∠BCF ＝15°，∴∠ABC ＝150°，综上所述，∠ABC 的度数为60°或90°或150°.等边三角形的性质和判定【例2】图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0 dm ，CE ＝CF ＝18.0 dm ，BC ＝2.0 dm .(1)求AP 长的取值范围；(2)当∠CPN＝60°时，求AP 的值．【解析】(1)根据题意，得AC ＝CN ＋PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值范围；(2)根据等边△PCN的判定和性质即可求解．【答案】解：(1)∵BC＝2.0 dm ，AC ＝CN ＋PN ＝12 dm ， ∴AB ＝12－2＝10(dm )，∴AP 的取值范围为：0 dm ≤AP ≤10 dm . (2)∵CN＝PN ，∠CPN ＝60°， ∴△PCN 等边三角形， ∴CP ＝6 dm .∴AP ＝AC －PC ＝12－6＝6(dm )．即当∠CPN＝60°时，AP ＝6 dm .【针对训练】2．(2017南充中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( D )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC，DE ∥BC.求证：(1)△ADE 是等边三角形； (2)AE ＝12AB.证明：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ABC＝60°， ∴∠ADE ＝∠ACB＝60°， ∴∠A ＝∠AED＝∠ADE， ∴△ADE 是等边三角形； (2)∵△ADE 是等边三角形， ∴AD ＝AE.∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC. ∵BD 平分∠ABC，∴D 是AC 的中点(三线合一)，AD ＝12AC ＝12AB ，∴AE ＝12AB.直角三角形的性质及应用【例3】如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，△ABC 是该装置左视图，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，为了加固斜面，在斜面AB 的中点D 处连结一条支撑杆CD ，量得CD ＝6.(1)求斜坡AB 长和∠ADC 的度数；(2)该同学想用彩纸装饰实验装置中的△ABC 的表面，请你计算△ABC 的面积．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ＝2CD ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)过C 作CE⊥AB 于E ，根据直角三角形的性质得到CE ＝12CD ＝3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，D 是AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝2×6＝12.∵CD ＝BD ，∴∠ADC ＝2∠B＝30°； (2)过C 作CE⊥AB 于E ， ∵∠ADC ＝30°，∴CE ＝12CD ＝3，∴S △ABC ＝12×12×3＝18.【针对训练】4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝15°，D 是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E. 求：(1)∠CDE 的度数； (2)CE∶EA.解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点， ∴CD ＝AD ＝BD ， ∴∠DCA ＝∠A＝15°， ∴∠BDC ＝∠A＋∠DCA＝30°. ∵ED ⊥AB ，∴∠EDB ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－30°＝60°； (2)连结BE.∵D 为AB 中点，DE ⊥AB ， ∴BE ＝AE ，∴∠EBA ＝∠A＝15°， ∴∠BEC ＝15°＋15°＝30°，∴cos ∠BEC ＝cos 30°＝33. ∵AE ＝BE ，∴CE AE ＝33.线段中垂线的定理及逆定理【例4】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ∥AC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得AE ＝ED ，则EF 是AD 的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD，即可证得．【答案】证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠EDA ＝∠E AD ，∴AE ＝ED. 又∵EF⊥AD，∴EF 是AD 的垂直平分线，∴AF ＝DF ， ∴∠FAD ＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD， ∴∠FAC ＝∠B. 【针对训练】5．(德州中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( A )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°,当堂过关检测)1.(2017荆州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为( B )A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°,(第1题图)),(第2题图))2．(2017滨州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( B )A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°3．(淮安中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是__10__．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E. (1)若BC ＝3，AC ＝4，求CD 的长； (2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5. ∵CD 是AB 边上的中线， ∴CD ＝12AB ＝2.5；(2)∵∠ACB＝90°， ∴∠A ＋∠B＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°， ∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ， ∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.。

人教版九年级数学第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理

第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形三、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。

中考数学专题复习目录

目录
第一章数与式
第一讲实数
第二讲实数的运算
第三讲整式
第四讲因式分解
第五讲分式
第六讲二次根式
第二章方程与不等式
第七讲一次方程（组）
第八讲一元二次方程及应用
第九讲分式方程
第十讲一元一次不等式（组）
第三章函数及其图象
第十一讲：平面直角坐标系与函数
第十二讲一次函数
第十三讲反比例函数
第十四讲二次函数的同象和性质
第十五讲二次函数的综合题及应用
第四章图形的认识与三角形第十六讲图形初步及相交线、平行线
第十七讲三角形与全等三角形
第十八讲等腰三角形与直角三角形
第十九讲解直角三角形
第五章四边形
第二十讲多边形与平行四边形
第二十一讲矩形菱形正方形
第二十二讲梯形
第六章圆
第二十三讲圆的有关概念及性质
第二十四讲与圆有关的位置关系
第二十五讲与圆有关的计算
第七章图形与变换第二十六讲平移、旋转与对称
第二十七讲相似图形
第二十八讲投影与视图
第八章统计与概率第二十九讲数据的收集与处理
第三十讲数据分析。

2021年中考数学沪科版教材知识梳理系统复习第四单元图形的初步认识与三角形

第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形二、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC BAFEDC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA3313知识点二：解直角三角形3.解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；：解直角三角形的应用(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；。

中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形第13讲三角形及其性质(精讲)课件

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(宜宾专版)2019年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形第

第十五讲等腰三角形与直角三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2014·宜宾中考）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ 1.5.2.（宜宾中考）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形.你添加的条件是答案不唯一，如BD ＝CD Ｗ.宜宾中考考点梳理等腰三角形及其性质和判定1.等腰三角形（4）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；（5）面积：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（简写成“ 等角对等边2.等边三角形三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）（1）等边三角形三边相等（如（2）等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于∠B＝∠C＝（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（5）面积：＝34AB2（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于直角三角形及其性质和判定3.直角三角形4.等腰直角三角形线段的垂直平分线和角平分线5.线段的垂直平分线（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，若OP垂直平分AB，则PA＝PB.（2）判定（性质定理的逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.6.角平分线有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（1）直角三角形的两个锐角（2）直角三角形斜边上的（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.如图，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定（性质定理的逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（D）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（B）A.30°B.45°C.50°D.75°（第2题图）（第3题图）3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（B）A.40°B.36°C.30°D.25°4.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10 Ｗ.Ｗ.5.在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝5，则AB＝36.含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠1＝60°，以下三个结论中正确的是②③（写出所有正确结论的序号）.①AC＝2BC；②△BCD为正三角形；③AD＝BD.7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，ED⊥AB于点D，交AC于点E.（1）若BC＝3，AC＝4，求CD的长；（2）求证：∠1＝∠2.（1）解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.∵CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝2.5；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°.∵ED ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°，∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，交AC 于点E.（1）求证：DE ＝CE ；（2）若∠CDE＝35°，求∠A 的度数.（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ECD.∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD，∴∠EDC ＝∠ECD，∴DE ＝CE ；（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，∴∠ACB ＝2∠ECD＝70°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB＝70°，∴∠A ＝180°－70°－70°＝40°.中考典题精讲精练等腰三角形的性质和判定【典例1】如图，已知点D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD，若AC ＝6，BC ＝4，求BD 的长.【解析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE ＝AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC ＝CE ，AE ＝BE ＝2BD ，根据AC ＝6，BC ＝4，即可求出BD 的长.【解答】解：延长BD 与AC 交于点E.∵∠A ＝∠ABD，∴BE ＝AE.∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD.∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD ＝∠ECD，∴∠EBC ＝∠BEC，∴BC ＝CE.∵BE⊥CD，∴2BD ＝BE.∵AC＝6，BC ＝4，∴CE ＝4，∴AE ＝AC －EC ＝6－4＝2，∴BE ＝2，∴BD ＝1.直角三角形的性质和判定【典例2】如图1，△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点.（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM 、ME ，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC 变为钝角△ABC，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.图1 图2【解析】（1）连结DM 、EM ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DM ＝12BC ，EM ＝12BC ，从而得到DM ＝ME ，再根据等腰三角形的“三线合一”可得结论；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，再根据“等腰三角形两底角相等”表示出∠BMD＋∠CME，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，再根据“等腰三角形两底角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”表示出∠BME＋∠CMD，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解.【解答】（1）证明：连结DM 、EM.∵CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，点M 是BC 的中点，∴DM ＝12BC ，ME ＝12BC ， ∴DM ＝EM.又∵点N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE ；（2）解：在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB＝180°－∠A.∵DM ＝EM ＝BM ＝CM ，∴∠BMD ＋∠CME＝（180°－2∠ABC ）＋（180°－2∠ACB）＝360°－2（∠ABC＋∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A，∴∠DME ＝180°－2∠A；（3）解：（1）中的结论成立，（2）中的结论不成立.理由：在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB＝180°－∠BAC.∵DM＝EM ＝BM ＝CM ，∴∠BME ＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（180°－∠BAC）＝360°－2∠BAC，∴∠DME ＝180°－（360°－2∠BAC）＝2∠BAC－180°.线段中垂线定理及其逆定理【典例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC的延长线于点F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角的平分线的定义和平行线的性质，可得AE＝DE，则EF是AD的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，即可得证.【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠EDA＝∠BAD，∴AE＝ED.又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，∴∠FAC＝∠B.1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC.求证：点F是AB的中点.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∴∠AEF＝∠BAE，∴AF＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB的中点.2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，若PC＝10，则PD等于（C）A.10B.5 3C.5D.2.53.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点.求证：MN⊥BD.证明：连结BM 、DM.∵∠ABC ＝∠ADC＝90°，M 是AC 的中点，∴BM ＝DM ＝12AC. ∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD.4.在△ABC 中，MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC.（1）若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长；（2）若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；（3）在（2）中，若无“AB＝AC”的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：（1）∵MP、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴△PAO 的周长＝AP ＋PO ＋AO ＝BP ＋PO ＋CO ＝BC ，∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm ；（2）∵AB＝AC ，∠BAC ＝110°，∴∠B ＝∠C＝12（180°－110°）＝35°. ∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP ＝∠B＝35°，∠CAO ＝∠C＝35°，∴∠PAO ＝∠BAC－∠BAP－∠CAO ＝110°－35°－35°＝40°；（3）能.∵∠BAC ＝110°，∴∠B ＋∠C＝180°－110°＝70°.∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP ＝∠B，∠CAO ＝∠C，∴∠PAO ＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－（∠B＋∠C）＝110°－70°＝40°.。

(宜宾专版)2019年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形(精讲)练习

第四章图形的初步认识与三角形第十二讲相交线与平行线宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2014·宜宾中考）如图，直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1＝70°，那么∠3的度数是70°Ｗ.（第1题图）（第2题图）（第3题图）2.（2016·宜宾中考）如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝75°Ｗ.3.（2012·宜宾中考）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝121°Ｗ.4.（2018·宜宾中考）在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E，则△AED的形状是（B）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定宜宾中考考点梳理线段、直线、射线1.线段（1）线段的直观形象是拉直的一段线.（2）基本事实：两点之间，线段最短.（3）两点之间线段的长度，就是这两点之间的距离.（4）线段的和与差：如图①，已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC 就是线段a与b的和，即AC＝a＋b .如图②，在直线l上画线段AB＝a，在AB上画线段AD＝b，则线段DB就是线段a与b的差，即DB＝a－b.（5）线段的中点：如图③，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有 AM ＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2.直线（1）把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线.（2）基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线.（3）性质：两条直线相交只有一个交点.3.射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形是射线.角及角的平分线4.角（1）分类 <180°（2）周角、平角、直角之间的关系与角度换算1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°；1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′.5.角的平分线从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.6.余角、补角（1）余角：两个角的和等于 90° （直角），就说这两个角互为余角，简称互余.（2）补角：两个角的和等于 180° （平角），就说这两个角互为补角，简称互补.（3）性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.相交线7.三线八角（如图，直线a 、b 被直线c 所截）（1）同位角有：∠1与 ∠5 ，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7；（2）内错角有：∠2与 ∠8 ，∠3与∠5；（3）同旁内角有：∠3与∠8，∠2与 ∠5 ；（4）对顶角有：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝ ∠8 Ｗ.垂线及其性质8.垂线（1）定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.（2）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）性质：在连结直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段（连结直线外一点与垂足形成的线段）最短.9.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.平行线如果两1.如图，点P到直线l的距离是（B）A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度（第1题图）（第2题图）2.如图，直线a、b被c所截，则∠1与∠2是（B）A.同位角B.内错角C.同旁内角D.邻补角3.如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放.若∠1＝130°，则∠2＝20°Ｗ.（第3题图）（第4题图）4.（2018·河南中考）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为140°.5.若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角为45 度.中考典题精讲精练线段的有关概念及计算【典例1】已知线段AB ＝8 cm ，点C 是直线AB 上一点，BC ＝2 cm ，若M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度为 5 cm 或3 cm Ｗ.【解析】根据线段中点的性质，可求BM 、BN 的长，根据线段的和差，可得答案.余角和补角的概念【典例2】一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，则这个角的度数为 40° Ｗ.【解析】设这个角为x °，分别表示出它的余角和补角，根据题意列出方程，解之即可得到这个角的度数.相交线中的有关概念和计算【典例3】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC.（1）若∠EOC＝80°，则∠BOD 的度数为 40° ；（2）若∠EOC＝∠EOD，则∠BOD 的度数为 45° Ｗ.【解析】（1）根据角的平分线的定义得到∠AOC＝12∠EOC ，然后根据对顶角相等可得结果；（2）先设∠EOC＝x °，∠EOD ＝x °，根据平角的定义得x °＋x °＝180°，解得x ＝90，则∠EOC＝90°，然后与（1）的计算方法一样求得结果.平行线的判定与性质命题规律：平行线的判定与性质近几年考查频率高，考查的题型有选择题和填空题，主要考查根据平行线的性质求角度，一般多与三角形的内角和定理或内外角关系相结合考查.【典例4】（2013·宜宾中考）如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝ 115° .【解析】本题考查平行线的性质，根据三角板的已知角及“两直线平行，内错角相等”可得答案.【典例5】如图，AB ∥CD ，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，求证：BA 平分∠EBF.【解析】根据题意可以设∠1、∠2、∠3分别为x °、2x °、3x °，由同旁内角互补可得到∠1和∠2的度数，从而可求得∠EBA 的度数，由此可得结论.【解答】证明：由题意设∠1、∠2、∠3分别为x °、2x °、3x °.∵AB ∥CD ，∴2x ＋3x ＝180.解得x ＝36.∴∠1＝36°，∠2＝72°.∵∠EBG ＝180°，∴∠EBA ＝180°－（∠1＋∠2）＝72°，∴∠2＝∠EBA，∴BA 平分∠EBF.1.如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点.若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则线段DB的长等于（D）A.2 cmB.3 cmC.6 cmD.7 cm2.已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3 cm，则线段AC的长为11或5 cm.3.（2018·白银中考）若一个角为65°，则它的补角的度数为（C）A.25°B.35°C.115°D.125°4.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOD＝110°，则∠AOE的度数为125°Ｗ.5.（1）如图1，已知∠ABC，射线ED∥BA，过点E作∠DEF＝∠ABC，说明BC∥EF的理由；（2）如图2，已知∠ABC，射线ED∥BA，∠ABC＋∠DEF＝180°.判断直线BC与直线EF的位置关系，并说明理由；（3）根据以上探究，你发现了一个什么结论？请你写出来；（4）如图3，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，HF⊥AB，若∠1＝48°，试求∠2的度数.图1 图2 图3解：（1）∵ED∥BA，∴∠B＝∠DOC.∵∠DEF＝∠ABC，∴∠DOC＝∠DEF，∴BC∥EF；（2）BC∥EF.理由：∵ED∥BA，∴∠B＝∠BOE.∵∠ABC＋∠DEF＝180°，∴∠BOE＋∠DEF＝180°，∴BC∥EF；（3）由（1）（2）可得结论：若两个角相等或互补且它们的一边互相平行，则它们的另一边也互相平行；（4）∵AC⊥BC，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠DCB＝∠1＝48°.∵CD⊥AB，HF⊥AB，∴CD∥HF，∴∠2＝180°－∠DCB＝132°.。