初三数学圆章节给力讲解

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北师大版九年级数学下册第三章圆专题课讲义圆章节复习(解析版)

圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。

初三数学第七章圆知识精讲人教版

初三数学第七章圆知识精讲人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第七章圆（二）直线和圆的位置关系［学习目标］1. 理解直线和圆相交、相切、相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；2. 掌握切线的判定定理、性质定理和两个推论，并能应用它们证明有关问题；3. 会用尺规作三角形的内切圆，掌握三角形和多边形的内切圆，圆的外切三角形和圆的外切多边形，三角形内心的概念。

［知识回顾］1.2. 切线判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线叫圆的切线。

定理告诉我们：证明圆的切线必须满足2个条件：一是经过半径的外端，也就是直线与圆的那个唯一的交点；二是垂直于这条半径，这就保证了圆心到直线的距离恰好等于圆的半径。

3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

这里让我们抓住一条与切线有关的直线的特征：（1）垂直于切线，（2）经过切点，（3）经过圆心。

简称“两点一垂直”，只要满足其中两个条件必满足另一条件，这就告诉我们：已知圆心、切点只须连结这两点即得到与切线垂直的半径，这是我们常用的辅助线；若没给出切点，我们只要过圆心作切线的垂线，垂足就是切点；若没给出圆心，只须过切点，作切线的垂线则必过圆心，这样我们又学到了给残圆找圆心的一种方法。

4. 三角形的内心是它的内切圆的圆心，它是三个内角平分线的交点。

内心一定在三角形内部，等边三角形的内心与外心重合，等腰三角形的顶点、底边中点和内心、外心四点共线。

【典型例题】例1. 已知等腰△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，在△ABC外有一点D，DE⊥AB于E，且E为AB中点，DE＝1.5，现以D为圆心6为半径画圆，则直线AC、BC、AB与⊙D 的位置关系如何？解：连CE∵∴∵∵∴=+=CD51565..过D作DF⊥AC于F∠=∠∴A C E D C F Rt ACE Rt DCF，∆∆~∴==⋅=⨯==DF AE CDACDFAE CDACr ，1265136.AC⊥OP于C，AC⊥OP AC OP C CAB OBA⊥∴∠+∠=︒于，90＝∠D，代换出例3. 已知：⊙O求证：AB 分析：证明：∵OC ⊥ ∴∠OCB ＝∠ ∵∠B ＝∠ ∴△OCB ∽△ ∴=OC BC ACOC∴OC ＝8＝r ，OC 为半径AB 经过半径OC 外端，且OC ⊥AB ∴AB 为⊙O 的切线此题也可先证明∠BOA ＝90°利用射影定理求OC 。

九年级数学考点大串讲(人教版)：第24章圆(知识清单)(解析版)

第24章圆（知识清单）（20个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）【知识导图】【知识清单】考点1.圆（重点）(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.【变式】（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期中）在一张长12厘米，宽6厘米的长方形纸中，最多可以剪（）个直径为3厘米的圆．A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B【分析】沿长方形的长可以剪出1234 个，沿宽可以剪出632 个，据此解答【详解】 12363 42=8故选B【点睛】此题考查长方形，圆，抓住在长方形内剪切圆的方法是解题关键考点2.圆的有关概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.2.直径：经过圆心的弦叫做直径.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB ≥CD.3.弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A 、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.5.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.④面积相等的两个圆是等圆．【答案】①③④【分析】根据圆的基本定义判断即可．【详解】解：①直径是圆中最大的弦，故正确；②同圆或等圆中，长度相等的两条弧一定是等弧，故错误；③半径相等的两个圆是等圆，故正确；④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题考查了圆的基本定义的掌握，正确理解圆的基本定义是解题的关键．考点3.垂直于弦的直径（难点）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的逆定理1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的逆定理2平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

人教版九年级数学圆及其基本性质讲义 (含解析)

第8讲圆及其基本性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习圆及其基本性质，重点掌握圆的有关概念，能够对相关概念进行辨析，其次理解与圆有关的性质、定理及其推论，着重学习圆心角与弧、弦的关系以及圆周角定理，能够利用相关定理及推论进行解题，本章是中考重点内容之一，也是历年常考难点知识点之一，希望同学们认真学习，为后面的学习奠定良好的基础。

知识梳理讲解用时：25分钟圆的相关概念（1）圆的定义①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O点为圆心的圆，记作“①O”，读作“圆O”；①圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）半径：联结圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径；（3）直径：经过圆心，并与圆两端相交的线段叫做圆的直径；（4）圆心角：以圆心为顶点并且两边都和圆相交的角叫做圆心角；（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；（6）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；（7）半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（8）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；课堂精讲精练【例题1】下列说法错误的是（）。

A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】本题考查了与圆有关的概念，A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断。

九年级圆全章辅导讲义

九年级圆全章辅导讲义学生：科目：第单元第节第课时教师：ABCD=12×15×12×12 =45cm 2知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心外心的理解针对性练习一、选择题1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【】A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5823, B ．()13,- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-5954, D ．()31,-7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:78．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（） A ．43B ．34 C ．45D ．359．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（）A ．4 B ．8C ．43D ．8310．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度数为（）A ．35B ．45C ．60D ．70（第8题） x yO1 1BAPB AO第9第10题图ABCO P（第11题A B C EFD O11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．2212．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、填空题1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为度．2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是．4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和． 6．如图，从O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长是． 7．如图，AB 是O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB延长线于点N ．若12cm ON =，则O 的半径为 cm ．8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、解答题1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，求证：PC 是⊙O 的切线．BCA O （第1题）1o 2o 3o 4oCB D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o4o5oA BCEDABC第3题图（第4题图）A B OA DPE B C（第6题图）AOBNMABO C PMPA2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若O 的半径为3，3DE =，求AE ．5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．（1）求证ABC ADB △∽△；（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.BCPO AB DCEAOA PDBCO CPBO A D8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥．（1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若662AD AE ==，，求BC 的长．9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．．10.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，ADBOCE图ODBCF E ADCOABEC（第8题）BDAE连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是；②写出求解过程（结果用字母表示）．15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.巩固作业1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

北师大版九年级数学中考总复习九：圆的专题辅导

中考总复习九：圆一、基础知识和基本图形1．确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．圆的有关性质：（1）垂径定理及推论：落实，，构成的直角三角形．（2）圆心角、圆周角、弧、弦及弦心距之间的关系：3．直线与圆：（1）直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线和圆相交d＜r；②直线和圆相切 d ＝r；知交点，连半径，证垂直；不知交点，作垂直，证半径。

③直线和圆相离 d ＞r．（2）切线的性质定理及判定定理、切线长定理．（轴对称）4．圆和圆的位置关系：设圆的半径分别为R和r (R ＞r ) 、圆心距为d，则：两圆外离d＞R＋r；两圆外切d = R＋r；两圆相交 R–r＜d＜R＋r；两圆内切d = R–r；两圆内含d＜R一r (同心圆d = 0 )．5．有关圆的计算（1）扇形弧长和扇形面积．（2）三角形的内切圆．（3）圆锥的侧面展开．（4）有关阴影面积．（割补法）二、例题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sin B＝，则弦AC的长为______________．分析：如何利用好圆的半径，如何把角B放到一个直角三角形中去运用三角函数值，这就需要作直径，并构造直径所对的圆周角，这样就把角B转化到直角三角形中了。

解答：作直径AO，交圆O于D，连CD利用勾股定理求得： AC=32．如图，分别是的切线，为切点，是⊙O的直径，已知，的度数为（）．A．B．C．D．分析：本题利用圆心角与圆周角的关系，以及切线长定理解决解答：D3．如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____________．分析：要求扇形面积，关键是确定半径和圆心角解答：过A作AE⊥BC于E，可求得∠B为60度，AE=，所以最大扇形面积为4。

4．在中，，．如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于______________．分析：此题应分类讨论，考虑圆心O在BC上和在BC下两种情况解答：5或35．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O 的直径等于______________．分析：先解三角形，求得∠B为45度，再构造直径AO解答：作直径AO，交圆O于E，连CE可求得∠E=∠B=45度，所以直径AE=6．如图，已知大半圆⊙与小半圆⊙相内切于点B，大半圆的弦MN切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4时，则此图中的阴影部分的面积是_____________．分析：此题需用到垂径定理和整体带入解答：连接，过作⊥MN于E阴影面积为27．已知：如图，△OBC内接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC＝45°，∠OBC＝75°，A点坐标为（0，2）．则点B点的坐标为___________；BC的长=__________．解答：连AB、AC，可求得B（），BC=8．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_______s时，BP 与⊙O相切．解答：要考虑到两种情况，5或19．已知：点F在线段AB上，BF为⊙O的直径，点D在⊙O上，BC AD 于点C，BD平分．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=，AF=，求CD的长．解答：（1）连OD，证明OD//BC（2）利用方程和相似，求得CD=10．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD．已知AD=BD=4，PC＝6，求CD的长．解答：连AC，利用∽，求得CD=811．如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．解答：（1）提示：证∠IBD=∠BID（2）（6）12．如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为，，设．①求关于的函数关系式．②当时，求的值．解答：（1）连DO，证OD⊥DP；（2）①连PO，；②，提示：在三角形EBC中求13．二次函数的图象与轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，点M是它的顶点．（1）求证：以A为圆心，直径为5的圆与直线CM相离；（2）将（1）中的⊙A的圆心在轴上移动，平移多少个单位，使⊙A与直线CM相切．解答：（1），（2）个单位．。

九年级数学人教版第二十四章圆整章知识详解图文结合(同步课本结合例题精讲)

【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
九年级数学第24章圆

2020--2021学年九年级中考数学章节复习精讲：圆

圆知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例1 P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。

当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。

当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。

例2 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系．知识点三、圆的基本性质1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。

华师版数学九年级《圆》全章知识详解

圆【三点导读】一、本章重点1．弧、弦、圆心角的关系．2．圆的对称性以及垂径定理．3．圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．4．点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系．5．三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念．6．切线与过切点的半径之间的关系，切线的识别方法．7．切线长及切线长定理．8．弧长及扇形的面积以及圆锥的侧面积和全面积的计算．二、本章难点1．弧、弦、圆心角的关系成立的条件．2．对圆锥侧面积计算方法的理解．3．垂径定理的理解与应用．三、本章考点本单元包括《圆的认识》、《与圆有关的位置关系》、《圆中的计算问题》三方面的内容，它们是初中数学中最核心的内容之一．在2005年各省市的考题中，反映出考点主要有：1．准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题．2．既会从距离与半径的数量关系，确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索相应半径与距离的数量关系．3．利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解证与角、线段相等相关的几何问题．4．会运用垂径定理、切线长定理证明或计算一类与圆有关的几何问题．5．会利用圆的周长、扇形的弧长、圆、扇形的面积公式，解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积． 6．会用T 形尺找出圆形工件的圆心，会选用作垂直平分线的方法寻找在实际背景中的圆心问题，并会以圆弧或圆的基本元素设计各种优美图案．7．充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计． 8．本单元主要考查对称作图的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法；同时，考查学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力，以及创新意识和实践的能力．【细说知识点】知识点一：点与圆的位置关系如图23.2－1所示，我们称点A 在⊙O 内，点B 在圆上，点C 在圆外。

中考数学专题23 圆(知识点串讲)(解析版)

专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

初三数学圆知识精讲北师大版

初三数学圆知识精讲北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：圆［知识体系］1. 点与圆的位置关系，r 表示半径，d 表示点到圆心距离；点在圆外则d ＞r ，点在圆上则d ＝r ，点在圆内则d ＜r 。

2. 直线与圆的位置关系：r 表示半径，d 表示圆心到直线距离，共有相切、相交、相离三种位置关系，当相交时，d ＜r ；当相切时，d ＝r ；当相离时，d ＞r 。

3. 圆与圆的位置关系，两圆半径R 、r ，圆心距为d ，外离时则d ＞R ＋r ，外切时则d ＝R ＋r ，相交时则R －r ＜d ＜R ＋r ，内切时则d ＝R －r ，内含时则d ＜R －r 。

4. 定义：（1）连结圆上任意两点间的部分叫弧；（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦；过圆心的弦叫直径；（3）顶点在圆周上，且与两边都相交的角叫圆周角；（4）三角形的三个顶点确定一个圆叫△的外接圆；外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点叫△的外心；（5）与圆有唯一一个公共点的直线叫圆的切线；（6）和三角形的三边都相切的三角形叫△内切圆，其圆心叫△内心。

5. 定理部分：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的直线；（2）①垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； ②平分弦（非直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；（4）①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等；②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中，有一组量对应相等，则其余各组量对应相等；（5）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径；（6）不在同一直线上的三个点确定一个圆；（7）圆的切线垂直于经过切点的半径；（8）过直径的一端且垂直于直径的直线是圆的切线；（9）两圆相切，连心线必过切点，两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

(完整版)初三数学圆知识精讲首师大版

初三数学圆知识精讲一. 本周教学内容:圆1。

圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆. 2。

主要定理：（1）垂径定理及其推论。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.（3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。

(4）圆内接四边形的性质定理及其推论。

（5）切线的性质及判定。

(6）切线长定理。

（7）相交弦、切割线、割线定理。

（8)两圆连心线的性质,两圆的公切线性质。

(9)圆周长、弧长;圆、扇形，弓形面积.（10)圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。

（11）正n边形的有关计算。

圆这一章中的知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点,多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。

二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三。

知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪【典型例题】例1。

初三数学圆的基本知识(一)知识精讲人教版

初三数学圆的基本知识（一）知识精讲人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：圆的基本知识（一）（一）知识要点1. 圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系。

()1点在圆外⇔>d r点在圆上⇔=d r 点在圆内⇔<d r()2直线与圆相离⇔>d r 直线与圆相切⇔=d r 直线与圆相交⇔<d r圆的切线垂直于过切点的半径，它的逆命题也成立。

()3两圆外离⇔>+d R r两圆相切或⇔=+=-d R r d R r两圆相交⇔-<<+>R r d R r R r () 两圆内含⇔<->d R r R r ()两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，两圆的外（内）公切线长相等。

2. 与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心、圆心角与它所对的弧的度数相等。

（2）圆周角：顶点在圆上，圆周角等于同弧上圆心角的一半。

（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切，弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

3. 圆与三角形、四边形、正多边形的关系（1）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫三角形的外心和内心。

（2）圆的内接四边形对角互补，外角等于其内对角。

（3）正多边形有外接圆和内切圆。

（4）圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。

4. 与圆有关的定理垂径定理、切线长定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理。

（二）思想方法总结 1. 转化思想能将复杂图形转化为简单图形，将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决。

2. 方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其它l n R=π180量，求一个量，运用方程的思想。

（三）有关辅助线的做法一些辅助线的添法概括如下：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。

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