质点和质点系的动能定理
第八章 动能定理
式中：d(BA)——矢量BA的改变。
目录
第八章 动能定理\功的概念和计算 一般F·d(BA)不等于零，即质点系内力的功之和一般不为零。 当质点系为刚体时，A、B两点间的距离始终保持不变，则由式
如果作用于刚体上的是力偶,且力偶作用在垂直于转轴的平面 内，此时力偶的功仍可按该式计算，只是式 中力矩应为力偶矩。
4. 摩擦力的功 摩擦力的功等于摩擦力与其作用点滑动距离的乘积。当摩擦力 方向与其作用点的运动方向相反时，摩擦力作负功，反之作正功。
5. 约束力的功 一般常见的约束，其约束力的功等于零。 现举例如下：
的代数和。
目录
第八章 动能定理\功的概念和计算
8.1.2 几种常见力的功
1.重力的功
设质点的质量为m，在重力 的作用下，从M1运动到M2（如 图），则质点的重力在坐标轴上
的投影为X=0，Y=0，Z=－mg， 重力在M1M2一段路程上所作的功 为
W =
z2 z1
(mg)dz
=
mgz1
z2
目录
第八章 动能定理\动能的概念和计算 【例8.2】不可伸长的绳索绕过滑轮O，并在其两端分别系着质
量为m1和m2的物块A、B（如图），物块A沿铅垂导杆滑动，导杆与 滑轮O之间的距离为d，绳索总长为l。不计绳索和滑轮的质量，试 用物块A下降到某一高度时所具有的速度v1表示质点和计算
式中:m——质点系的总质量； zC1、zC2——质点系在位置M1和位置M2时重心(质心)坐标。 可见，重力的功等于质点系的重量与其重心始末位置高度差的
乘积，而与质点运动的路径无关。
理论力学13—动能定理
13.3 动能定理
3. 理想约束及内力作功
• 对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力 都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。
• 光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。
• 光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳 作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。
• 滑动摩擦力作负功。
• 当轮子在固定面上只滚不滑时，滑动摩擦力不作功。
O
力F在刚体从角j1转到j2所作的功为
W12
j2 j1
M
zdj
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
常见力的功
2) 弹力的功
物体受到弹性力
的作用, 作用点的轨 A1
迹 为 图 示 曲 线 A1A2,
在弹簧的弹性极限内,
r1
弹性力的大小与其变
形量d 成正比。设弹
l0
簧原长为l0 , 则弹性 力为
F k(r l0 )r0
W12
A2 F dr =
A1
A2 A1
k
(r
l0
)r0
l 2 2
1 ml2 3
TAB
1 2
I
I
2 AB
mv2
6 sin2
1 mv2 3
T总
1 12
9M
4m v2
例3 长为l，重为P的均质杆OA由球铰链
O固定，并以等角速度 绕铅直线转动， 如图所示，如杆与铅直线的交角为a，
质点系的动能及动能定理
质点系的动能及动能定理摘要：本文主要探讨质点系的动能及动能定理。
首先介绍了质点系的定义和运动状态，然后阐述了动能的概念及其计算方法。
接下来，通过动能定理解释了外力对质点系动能的影响和相关定理的推导。
最后，结合实例分析了动能的应用和意义。
关键词：质点系；动能；动能定理；外力；定量分析。
正文：一、质点系的定义和运动状态质点系是指由若干质点组成的物体系统，其中每个质点的质量和运动状态都可以不同。
在研究质点系的过程中，可以通过考虑整体质心的运动状态来简化问题，同时也需要考虑各个质点之间的相互作用力。
二、动能的概念及其计算方法动能指的是物体由于运动而具有的能量，它的大小与物体的质量和速度有关。
对于单个质点，其动能可以表示为：$K=\frac{1}{2}mv^2$其中，$m$表示质点的质量，$v$表示质点的速度。
对于质点系，其总动能可以表示为各个质点动能之和：$K=\sum\frac{1}{2}mv_i^2$其中，$v_i$表示第$i$个质点的速度。
三、动能定理的概念和推导动能定理指的是外力对质点系动能的影响，其表述为：$\Delta K=W$其中，$\Delta K$表示质点系动能的变化量，$W$表示外力对质点系所做的功。
动能定理的推导过程如下：考虑质点系在外力$F$作用下的运动过程，根据牛顿第二定律，可以得到质点系所受的合力为：$F=\sum F_i=ma$其中，$F_i$表示第$i$个质点所受的力，$a$表示质点系的加速度。
假设质点系从时间$t_1$运动到$t_2$，则外力对质点系所做的功可以表示为：$W=F\cdot s$其中，$s$表示质点系在$t_1$到$t_2$时间内所经历的位移。
又因为动能的定义为$K=\frac{1}{2}mv^2$，则质点系的动能变化量可以表示为：$\Delta K=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$将$t_1$时刻的速度$v_1$视为初始速度，$t_2$时刻的速度$v_2$视为末速度，则根据加速度公式$a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$，可以将动能变化量表示为：$\Delta K=\frac{1}{2}m(v_2-v_1)\cdot(v_2+v_1)$结合外力对质点系所做的功的表达式，可以得到动能定理的表述形式。
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
质点和质点系动能定理
x dr2 dr dr1
y
dr
dr1
F
dr2
er
上页 下页 返回 结束
第四章 动能和势能 2.说明 (1)内力的总功一般不为零. (2)内力的总功与参考系无关
F只与1、2质点相对距离变化有关， 而二质点距离变化与参照系的选择无关. (3)一对内力所做的功, 只决定于两质点的相 对路径.对非惯性系同样成立.
第四章 动能和势能
定义
Ek
1 2
m v2
单位和量纲与功同.
——物体的动能
则：
A
1 2
mv
2
1 2
mv
2 0
或：
A Ek Ek0 ——动能定理
即：合力 F 对质点所做的功等于质点动能的增
量，是动力学基本定理之一.
上页 下页 返回 结束
第四章 动能和势能 2.说明: (1)质点的动能定理中的功永远是合力的功. (2)Ek是状态量Ek ,A > 0 ; Ek ,A < 0，
动能是物体因具有速度而具有的作功的本领 与过程无关. 而功与过程有关. (3)动能定理只适用于惯性系. (4) 动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛 顿运动定律少.
上页 下页 返回 结束
第四章 动能和势能
[例题1]如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于
墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现
上页 下页 返回 结束
上页 下页 返回 结束
第四章 动能和势能
§4.3.3质点系的动能定理
n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理
Ai外 Ai内 Eki Eki0
n个质点
Ai外 Ai内 Eki Eki0
第4.3节质点和质点系的动能定理
第4.3节 质点和质点系的动能定理4.3.1 质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动．木块与一不可伸长的轻绳相连．绳跨过一固定的光滑小环．绳端作用着大小不变的力T=50N ．木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ．求力T 将木块自A 拉至B 点时的速度．解：如图所示，取ox 轴，原点在A 点。
解法1：力T 对线作的功即为线的拉力对物体所作的功。
由图：5342222=+=+=BC AB CA m物体由A 点被拉到B 点，线沿T 方向移动了AC-BC = 2m T 对线所作的功：A = T ⋅2m = 50 ⨯ 2 = 100 N ⋅m 设物体在B 点的速率为v ，则由动能定理：2021221mv mv A -= 88.205.0/)65.0100(2/)(22212021≈⨯⨯+⨯=+=⇒m mv A v m/s解法2：用积分法。
线的拉力T 在x 方向的分量为：2)4(9)4(cos x x T T F x -+-==θ1002)4(9112)4(9)4()4(9)4(222142221424==-++-⋅-=-+--=-+-==⎰⎰⎰T x T x x d T x dx x T dx F A x2021221mv mv A -=88.205.0/)65.0100(2/)(22212021≈⨯⨯+⨯=+=⇒m mv A v m/s （同上）4.3.2 质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上．不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环, 孔的直径远小于它到杆的距离．绳端作用以恒力F ，F=60N ．木块在A 处有向上的速度v 0=2m/s ，求木块被拉至B 时的速度．解：物体受重力和线的拉力的作用。
取如图所示的oy 坐标轴，原点在A 点。
物体从A 到B 重力做的功为： 88.55.08.92.1-=⨯⨯-=⋅-=AB mg A W N ⋅m拉力F 所作的功，计算方法同4.3.1题：AF = 12.426 N ⋅m 由动能定理：2021221mv mv A A F W -=+ v ≈3.86 m/s4.3.3 质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初，m 处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v 0向右运动．弹簧的劲度系数为k ，物体与支承面间的滑动摩擦系数为μ. 求证物体能达到的最远距离l 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=112220mg kv k mg l μμ解：物体在运动过程中受到弹簧的弹性力f 和摩擦力f '的作用，两者都对物体作负功。
质点系的动能 动能定理
质点系的动能动能定理背景在物理学中，质点系指的是由多个质点组成的系统。
每个质点都具有自身的质量和速度，因此具有动能。
动能是物体运动过程中所具有的能量，它是物体的运动状态的量度。
动能的定义动能被定义为物体的质量乘以其速度的平方的一半。
用公式表示为：动能 = 1/2 * m * v^2其中，动能（K）以焦耳（J）为单位，质量（m）以千克（kg）为单位，速度（v）以米/秒（m/s）为单位。
质点系的动能质点系的动能是指一个由多个质点组成的系统中，所有质点的动能之和。
假设质点系中有n个质点，质点i的质量为mi，速度为vi，那么质点系的动能表示为：动能 = K1 + K2 + K3 + ... + Kn = 1/2 * m1 * v1^ 2 + 1/2 * m2 * v2^2 + 1/2 * m3 * v3^2 + ... + 1/2 * mn * vn^2动能定理动能定理是物理学中一个重要的原理，它描述了动能和功之间的关系。
根据动能定理，物体的动能的变化等于物体所受的净外力所做的功。
表达式如下：物体的动能的变化 = 功ΔK = W其中，ΔK表示物体的动能的变化，W表示物体所受的净外力所做的功。
动能定理的应用动能定理可以用于解释各种现象和问题。
下面是一些动能定理的应用示例：1.物体的加速度与动能定理之间的关系：根据动能定理，物体所受的净外力所做的功等于物体的动能的变化。
如果物体的速度增加，那么物体的动能将增加，从而其动能的变化将是正的。
因此，物体所受的净外力所做的功必须是正的，即物体受到的力的方向与物体的运动方向相同。
这可以解释为什么物体的加速度与动能定理之间有关系。
2.动能转化：动能定理还可以用于描述动能的转化过程。
例如，当一个物体从较高位置自由落下时，由于重力对其所做的功，物体的动能将转化为势能，并且物体的动能将随着高度的减小而减小。
3.实际应用：动能定理在实际应用中也非常重要，例如在工程领域中，可以使用动能定理计算机械系统的动能，从而可以评估和优化机械系统的设计。
质点和质点系的动能定理
W f1 dr12 f2 dr21
4 – 3 质点和质点系的动能定理
例如： A板相对B板滑动
A板对B板旳摩擦力为 f
B板对A板旳摩擦力为 f
求：当B板从一端移到另 一端时，摩擦力所作功 .
解：
b
f B A
a
v f
摩擦力是一对力，据对力作功旳一般体现式，应有：
A f (a b)
a b 是相对位移量
4 – 3 质点和质点系的动能定理
二 . 成对力旳功
dA f1 dr1 f2 dr2
B1
dr1
f1
B2
f2 r
dr2
21
A1
A2
f2 d (r2 r1) f2 dr21
f1 d (r1 r2 ) f1 dr12
一对内力（internal force）
做旳功与参照系选择无关 ， 只决定于两质点旳相互作用力 及其相对位移.
例：炸弹爆炸过程，内力和为零，但内力所做 旳功转化为弹片旳动能。
4 – 3 质点和质点系的动能定理
例：摩擦力做功 从地面看摩擦力对物体作功
W f s
在物体参照系（也是惯性系），物
体没有移动，
v
摩擦力对物体作功 W ? W 0
摩擦力是一对力，成对摩擦力作旳功： f
W物,地 f S
一对摩擦力所做旳功与参照系旳选择无关 = 运动中放出热能
4.3.4 ， 4.3.7.
2
dA F dr 称为元功， 描述了力旳空间累积效应。
物理上，称
Ek
1 mv2 P2
2
2m
为质点旳动能.
于是有：
dEk
d(1 2
mv2 )
F
dr
第十二章 动能定理
2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2
1 2
m vC2
1 2
JC2
3 4
m(R
r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P
W
F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功
F FW k
W12
M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W
F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。
理论力学课件：动能定理
动能定理
【例12-8】 C618车床的主轴转速n=42r/min时,其切削力
P=14.3kN,若工件直径d=115mm,电动机到主轴的机械效率
η=0.76。求此时电动机的功率为多少?
解 由式(12-12)得切削力P 的功率:
动能定理
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
动能定理
动能定理
12.4 功率 功率方程
1.功率
在单位时间内力所做的功称为功率。它是衡量机器工作
能力的一个重要指标。
δW 是dt时间内力的元功,则功率为
动能定理
由于元功为δW =Ft·ds,因此
即,力的功率等于切向力与力作用点速度的乘积
力矩的元功为δW =M·dφ,则
即,力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。
动能定理
动能定理
12.1 力的功
12.2 质点 质点系的动能
12.3 质点与质点系的动能定理
12.4 功率 功率方程
12.5 势力场 势能及机械能守恒定理
12.6 动力学普遍定理及综合应用
思考题
动能定理
12.1 力 的 功
工程实际中,一物体受力的作用所引起运动状态的变化,
不仅取决于力的大小和方向,而且与物体在力的作用下经过
的功。
动能定理
图12-15
动能定理பைடு நூலகம்
【例12-4】 在图12-16中,为测定摩擦系数f,把矿车置于
斜坡上的A 点处,让其无初速下滑。当它达到B 点时,靠惯性
又往前滑行一段路程,在C 点处停止。求摩擦系数f0,已知S1、
S2 和h。
图12-16
动能定理
第十二章 第三节 动能定理
例(P263例12-4) 绞车，已知力偶M、重物质量m；主动轴I和从 动轴II的转动惯量J1和J2，传动比i12=w1/w2；鼓轮半径R。。绞 车初始时静止，试求当重物上升距离h时的速度v及加速度a。 M 解 (1)整个质点系 I (2)运动分析 Ek1=0
1 1 m 2 2 2 Ek 2 J1w1 J 2w2 v 2 2 2 w1 iw 2 iv / R w2 v / R
将作用力分成外力和内力 注意：内力作功的和一般不等于零。
A rA
O FA BA rB FB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
FA的元功FA · A； dr FB的元功FB · B。 dr 元功之和 d'W = FA · A + FB · B dr dr = FA · A - FA · B dr dr = FA · A-rB) d(r = FA · d(BA) = - FA d(BA)
第三节 动能定理
一、质点的动能定理 M1
M
a
F
M2
质点动能定理的微分形式：质点动能的微分，等于作用在质 点上的力的元功。
ma=F mat=Ft mdv/dt=Ft (mdv/dt) ds=Ftds mvdv=Ftds d(mv2/2) = d'W dEk = d'W
dEk = M Ftds
v2 v1
当质点系内质点间的距离发生变化时，内力功的总和一般不等 于零。 可变质点系： BA可变化，内力功之和不等于零 刚 体： BA不可变(刚体上任意两点的距离保持不变) 内力功之和等于零
内力作功举例： (1)汽车发动机的气缸内气体压力 (膨胀气体对活塞、气缸的作用力) ——内力功使汽车的动能增加 (2)机器中轴与轴承间的摩擦力，它们作负功，总和为负。 (3)人体活动 三、理想约束 理想约束：约束反力作功等于零的约束。 光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索、光滑铰 链、二力杆、不可伸长的细绳等 滑动摩擦力：摩擦力作负功，不是理想约束，但可将摩擦力作 为主动力，仍能应用动能定理 纯滚动：接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点位移为零，滑动摩 擦力不作功。 ——纯滚动的接触点是理想约束。 在理想约束条件下应用动能定理求解速度、加速度非常方便。
动能定理概述
(2m
6M 9m1)l 2
注意：轮Ⅰ、Ⅱ接触点C不是 理想约束，其摩擦力Fs尽管 在空间是移动的，但作用于 速度瞬心，故不作功。
例12-5：均质杆OB=AB=l, m在铅垂面内；M=常
量，初始静止，不计摩擦。
求：当A运动到O点时，A ？
解：W
M
2mg(1
cos
)
l 2
T1 0
C
ABCC
3 2
T1 0,
T2
1 2
( ml 2 3
) 2
1 2
m1012
1 2
( m1r12 2
) 2
1 ( m 3m1 )l 2 2
23 2
(01
l,1
01
r1
l )
r1
W M
T2 T1 W
M 1 ( m 3m1 )l 2 2
(a)
23 2
12M
(2m 9m1)l 2
式(a)对任何φ均成立，是函数关系，求导得
l
AB
AB
B
l
,OB
B
l
AB OB
A AB·2l
T2
TAB
TOB
1 2
mC2
1 2
J
C
2 AB
1 2
J
0
2 OB
4 3
ml
2
2 AB
W T2 T1
AB
1 2l
3 M mgl(1 cos )
m
A AB·2l
解： T1 0,T2 0
0 0 mgl(1 cos1) mgl(1 cos2 ) Wk
得冲断试件需要的能量为 Wk 78.92J
例12-4：已知：r1 ， m1 均质；杆m均质，O1O2=l , M=常量，纯滚动，处于水平面内，初始静止。
质点系及质点系的运动定律.
gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处，
流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个
常量。在工程上，上式常写成
a1 b1
p
g
v2 2g
h
常量
p1 S1
v1
h1
a2 b2
h2
v2 p2 S2
系统的功能原理
p
g
、v 2
2
g
、h
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。
42.4J
2
负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦 力作功42.4J
系统的功能原理
例题3-4 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它 说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某 点的压强p、流速v和高度h三个量之间的关系为
p v2 h 常量
g 2g
式中是流体的密度，g是重力加速度。试用功能原
gs
gstg
1 2
v02
（3）
系统的功能原理
或
s
v02
2g( tg )
代入已知数字得
102
s
m 85 m
2 9.8(0.05 0.010)
解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系
统内只有汽车受到 功能原理，有
f和r
两N个力的作用，运用系统的
fr
s＝
（0
Gs
)
dA外 dA内 dEk
A外 A内 Ekb Eka Ek
d(
N i1
1 2
mi
v
2 i
)
第九章_动能定理
Plane motion
？
质点系的动能与刚体的动能
柯希尼定理 (Konig’s theorem)：质点系的动能(绝对运动
动能)，等于系统跟随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对 于质心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。
1 1 2 2 T ( mi )vC mi vir Te Tr 2 i i 2
T1＋V1＝T2＋V2
T + V = E = 常数
力场: 质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方 向完全确定的力作用，该空间称为力场(例:重力场)。 势力场: 质点运动时，力对质点所做的功仅与质点起 点与终点位置有关，而与质点运动路径无关，该力场 为势力场(保守力场)。质点所受的力称为有势力或保 守力(如重力、弹性力及万有引力)。
O
2、运动分析与速度分析
l B 滑块直线运动，速度为 vA 质点B作平面运动。
m2
解：1、广义坐标: x 和 θ 质点B作平面运动: 以A为基点， 2、运动分析与速度分析 其牵连速度与相对速度分别为
滑块直线运动，速度为 vA
y´
m1 O A
vr x
vA
x´
ve v A x vr l AB l 。 l cos , vr y l sin
C2
x´
T Te Tr 1 1 2 2 2 ( 2d 2πr )v0 ( 2d 2πr )v0 2 v0 (d πr ) 2 2
二、力的功 Work of a Force
力（力偶）在位移上的累积效应。 1、功的一般表达式 （Definition ） 元功 The differential work ：
例2. 坦克或拖拉机履带单位长度质量为 ρ ，轮的半径为 r ，轮轴之间的距离为 d，履带前进的速度为 v0 。
第十一章 动能定理
1 3
m1l
2
2
1 6
m1l 2 2
EKAB
1 2
J
I
2 AB
4 3
m1l 2 2
EKA
EKB
1 2
m2
(v
2 A
vB2 )
2m2l 2 2
EK
EKOC
EKAB
EKA
EKB
(
5 3
m1
2m2 )l 2 2
一、常力的功
1
第二节 功的概念和计算
2
W Fscos
功是标量，可为正、负或零。
功的量纲为
重物A上所有力的功的总和。摩擦力不计。
解：作出重物A的受力图；
A
重物W和弹力F作功
WF
W1 mgs sin
平衡时 F mg sin k0
FN o mg sin / k 1 o s
W2
k 2
( o2
12 )
k 2
(s2
2 o s)
ks2
W
W1
W 2
2
例11-5 重9.8N的滑块放在光滑的水平槽内，一端与刚度系数 k=50N/m的弹簧连接，另一端被一绕过定滑轮C的绳子拉住。滑
ml2
Ek
2
1 6
ml2
1 2
ml2
5 6
ml 2
例11-2 周转轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为m， 以角速度转动。定齿轮 O 的半径为R，动齿轮A 的半径 为 r，质量为 m。求系统的动能。
解: 杆OA定轴转动，轮A平面运动， I为瞬心。
O
AA
I
vA
vA= (R+r) = r A
3-6功能原理 机械能守恒定律
va mEm G =m 2 2RE (2RE )
2
v va
a
4 RE
o
RE
b
v vb
8
3-6 功能原理 机械能守恒定律
2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
已知： 已知：RE ≈ 6.4×103 km , m = 3.0×103 kg
va mEm G =m 2 2RE (2RE ) GmE Q 2 = g —重力加速度 重力加速度 RE
2
3-6 功能原理 机械能守恒定律
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二. 质点系的功能原理 系统内力可以为保守力与非保守力， 系统内力可以为保守力与非保守力，故系统内力所 作的总功为
W = W +W in 系统内保守力作功之和. 系统内保守力作功之和 W —系统内保守力作功之和 c
in in c in nc
16
内力对质点系的总功W 内力对质点系的总功 in
1 1 1 1 2 2 2 2 = ( m v1 + m2v2 ) − ( m v10 + m2v20 ) 1 1 2 2 2 2
质点系的末动能E 质点系的末动能 k2 质点系的初动能E 质点系的初动能 k1
W
ex
+W
in
= E k2 − E k1
质点系的动能定理： 质点系的动能定理：外力对质点系做的功与内力对质 点系做的功之和等于质点系动能的增量。 点系做的功之和等于质点系动能的增量。 注意：内力虽成对出现， 注意：内力虽成对出现，但内力功之和不一定为零 因各质点位移不一定相同）。 （因各质点位移不一定相同）。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
n
则有
Win = −(∑Epi − ∑Epi0 ) +Win nc
质点和质点系的动能定理
由动能定理，有
M
m2 g
sin
r
m2 g
cos
r
1 4
m1
2m2
r 22
得
2 M m2gr(sin f cos )
r
m1 2m2
将上式两边对时间t求导，并注意d/dt=ω，得鼓轮的角加速度为
2[M m2gr(sin f cos )]
r 2 (m1 2m2 )
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.6】 物块A质量为m1，挂在不可伸长的绳索上,绳索跨过定
T1=0
设物块下滑s=2m时的速度为v，其动能为
T2
1 2
mv2
51v2
在物块由静止到下滑2m 的过程中，
作用于物块上的重力的功为
W1 mg sin s 1000 N
2 2 m 1414 J 2
摩擦力的功为
W2 mg cos f s 1000 N
2 0.1 2 m -141.4 J 2
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理
【解】 取鼓轮和重物组成的
质点系为研究对象，其上作用的 外力有：重物的重力m2g，斜面 的法向反力FN，摩擦力Ff，鼓轮 上的力矩M，以及鼓轮的重力和 轴承处的约束反力（图中未画 出）。
开始时，系统处于静止，其动能为
T1=0
设当鼓轮转过角时的角速度为，则重物的速度为 v=r
目录
动能定理\质点和质点系的动能定理 【例8.5】 一不变的力矩M作用在铰车的鼓轮上，轮的半径为r，
质量为m1。缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为m2的重物，使其沿倾角
为的斜面上升（如图）。已知重物与斜面间的动摩擦因数为f，绳
子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。在开始时，此系统处于静止。
§4.2质点和质点系动能定理
dA F dr
F
s1
Ft ds mat ds O dr dset dv t s0 m ds mvt dvt dt 1 d ( mv t 2 ) d ( 1 mv 2 ) 2 2 1 E k mv 2 称为质点的动能 2
dA Nm drmM 0
Nm
drmM
m M
fr
在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况 下，一对力的功必为零。
三、质点系动能定理
质点系：n个质点组成
第i个质点
Ai外 Ai内 Eki Eki 0
所有质点
i 1
Ai外 Ai内 Eki Eki
3、分析动能改变
5、求解方程
例2
已知： m、M， μ1、μ2， v 解：（一）质点系动能定理 质点系：卡车、木箱 由质点系动能定理，得：
v
L
f2
求： l 、L
f1
l
m
f1'
2 2(m M ) gL 1mgl 0 1 ( M m ) v 2
再以木箱m为质点，应用质点动能定理：
解得：
Mv2 L 2 g[ 2(m M ) 1m]
l
v2 2 1 g
L
2 1mg( L l ) 0 1 mv 2
（二）质点动能定理
以木箱m为质点，应用质点动能定理：
1mg( L l ) 0 mv
1 2 2
f1
v
L f2
l
m
对卡车M应用质点动能定理：
f1'
2 1mgL 2(m M ) gL 0 1 Mv 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b x
2 1 k 2 2 v （b a） 2 gb m
上页 下页
返回
结束
第四章 动能和势能
§4.3.2质点系内力的功
1.内力的功 以两质点系m1 和m2 为例 一对内力元功之和：
§4.3.3质点系的动能定理
n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理
Ai外 Ai内 Eki Eki 0
n个质点
Ai外 Ai内 Eki Eki 0
省去脚标 i
A外 A内 Ek Ek0
即：所有外力对质点系做的功和内力对质点系作 的功之和等于质点系总动能的增加——质点系动 能定理.
dr m dv dt m v dv
va
a
dr
vb
F
b
1 m d(v 2 ) 1 mv 2 1 mv 2 1 m d( v v ) b a 2 2 2 2
上页 下页 返回 结束
第四章 动能和势能 定义
1 Ek mv 2 2
1 1W1 ( L l ) 0 mv 2 2
( 2)
上页
下页
返回Leabharlann 结束第四章 动能和势能
L m0v 2 / 2[2 (m0 m) 1m]g
l v 2 / 21 g L
2.用质点系动能定理求解
视卡车与木箱为一质点系
A外 2 (m0 m) gL
A内 1mgl
按质点系动能定理，有
(2)(3)联立得与上法相同结果.
1 1mgl 2 ( m0 m ) gL ( m0 m )v 2 2
( 3)
上页
下页
返回
结束
上页 下页 返回 结束
dr
第四章 动能和势能 2.说明 (1)内力的总功一般不为零. (2)内力的总功与参考系无关 F只与1、2质点相对距离变化有关，
而二质点距离变化与参照系的选择无关.
(3)一对内力所做的功, 只决定于两质点的相 对路径.对非惯性系同样成立.
上页
下页
返回
结束
第四章 动能和势能
z
dA F dr2 (F ) dr1
质点2相对质点1的元位移
x
O
F r1 F dr dr1 2 m2 r2
m1
y
dr dr2 dr1 dA F dr
dr2
dr1
dr
dr1 dr2 er F dA Fer drer Fr dr
L
上页
下页
返回
结束
第四章 动能和势能 [解] 1.用质点动能定理求解
FN
FN2
F
Ff
受力分析如图，只有力 Ff , Ff 和 F 做功
根据质点动能定理得
1 [ 1W1 2 (W1 W )] L 0 m0 v 2 2 (1)
W
FN1
W1
Ff
——物体的动能
单位和量纲与功同. 则：
1 1 2 2 A mv mv 0 2 2
或：
A Ek Ek 0
——动能定理
即：合力 F 对质点所做的功等于质点动能的增
量，是动力学基本定理之一.
上页
下页
返回
结束
第四章 动能和势能 2.说明: (1)质点的动能定理中的功永远是合力的功. (2)Ek是状态量Ek ,A > 0 ; Ek ,A < 0， 动能是物体因具有速度而具有的作功的本领
第四章 动能和势能
§4.3 质点和质点系动能定理
§4.3.1质点的动能定理
§4.3.2质点系内力的功
§4.3.3质点系的动能定理
上页
下页
返回
结束
第四章 动能和势能
§4.3 质点和质点系动能定理
§4.3.1质点的动能定理
1.质点的动能定理 物体在合力作用下,由ab
dv A F dr m dr dt
与过程无关. 而功与过程有关.
(3)动能定理只适用于惯性系. (4) 动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛 顿运动定律少.
上页
下页
返回
结束
第四章 动能和势能 [例题1]如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于 墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现 将物块向后拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放.求物块击 墙的速度.物块与水平面间的摩擦系数为.. [解] 弹力只存在于ba 过程， x 摩擦力始终存在， m O a 由动能定理有： ( v0= 0 )
上页 下页 返回 结束
第四章 动能和势能
[例题2]如图，质量为m0的卡车载一质量为m的木箱，
以速率v 沿水平路面行驶. 因故突然刹车，车轮立即停 止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相 对于卡车滑行了l 距离. 卡车滑行了L距离. 求L和l. 已知 木箱与卡车间的摩擦系数为 1 ,卡车与地面的动摩擦 因数为 2 . l