(江苏专用)高考数学一轮复习考点05函数的单调性与最值必刷题(含解析)

考点05 函数的单调性与最值1．函数在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设，则，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又排除选项D ；，排除选项A ，故选B ．2．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，．，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴，，故选C ．3．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足.若(3)1f =,则不等式的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．D ．【答案】A【解析】因为对121x x ∀<≤,满足，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，当2log 1x >时，即当2x >时，，综上所述：不等式的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A. 4．函数的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A 【解析】函数,所以或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。

5．已知函数，则的小关系是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】函数为偶函数，，，当时，，函数在上递增，，即，故选：． 6．记设，则（ ） A ．存在 B ．存在C ．存在D ．存在【答案】C【解析】解：x2﹣x3＝x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|＝|t2+（﹣t）3|＝|t2﹣t3|＝t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t2+t3|＝t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t2﹣（﹣t）3＝t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|＝|t3+（﹣t）3|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|t3+t3|＝2t3，f（t）﹣f（﹣t）＝t3﹣（﹣t）3＝2t3，当t＝1时，|f（t）+f（﹣t）|＝|1+（﹣1）|＝0，|f（t）﹣f（﹣t）|＝|1﹣（﹣1）|＝2，f（t）﹣f（﹣t）＝1﹣（﹣1）＝2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|＝f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）＝f（1+t）+f（1﹣t）＝（1+t）2+（1﹣t）3＝﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）＝﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）＝0得﹣3t2+8t﹣1＝0，∴△＝64﹣12＝52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）＝（1+t）﹣f（1﹣t）＝（1+t）2﹣（1﹣t）3＝t3﹣2t2+5t，则h′（t）＝3t2﹣4t+5＝3（t）20，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）＝0，∴|h（t）|＝h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＝f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选：C．7．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】当时，,,函数是定义域为的奇函数，当时，,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要.故答案为：A.8．在平面直角坐标系xoy 中，对于点(),A a b ，若函数()y f x =满足：，都有，就称这个函数是点A 的“限定函数”．以下函数：①12y x =，②221y x =+，③sin y x =，④，其中是原点O 的“限定函数”的序号是______．已知点(),A a b 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是______．【答案】①③ (,0]-∞ 【解析】要判断是否是原点O 的“限定函数”只要判断：[1,1]x ∀∈-，都有[1,1]y ∈-，对于①12y x =，由[1,1]x ∈-可得，则①是原点O 的“限定函数”；对于②221y x =+，由[1,1]x ∈-可得，则②不是原点O 的“限定函数”对于③sin y x = ，由[1,1]x ∈-可得，则③是原点O 的“限定函数”对于④，由[1,1]x ∈-可得[0,ln 3]y ∈⊄[1,1]-，则④不是原点O 的“限定函数”点A(a, b)在函数2xy =的图像上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，可得2a b =，由，即，即，可得，可得1a ≤，且0a ≤，即0,a a ≤的范围是(,0]-∞， 故答案为：①③；(,0]-∞. 9．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为____． 【答案】【解析】函数是定义域为的偶函数，可转化为，又在上单调递增，，两边平方解得：，故的解集为.10．函数，若对恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】【解析】 解：f （x ）＝x 3+2019x ﹣2019﹣x+1，可得f （x ）＝﹣x 3+2019﹣x ﹣2019x +1， 则f （x ）+f （x ）＝2，f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜2，即为f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜2＝f （x ）+f （x ），f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜2对∀θ∈R 恒成立，可令x ＝sin θ+cos θ，则f （sin θ+cos θ）+f （sin2θ﹣t ）＜f （sin θ+cos θ）+f （1﹣sin θ﹣cos θ），可得f （sin2θ﹣t ）＜f （1﹣sin θ﹣cos θ）恒成立， 由于f （x）在R 上递增，f （x）的图象向右平移个单位可得f （x ）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m sin（θ），则m，则g（m）＝m2+m﹣2，其对称轴m，故当m时，g（m）取的最大值，最大值为22．则t，故答案为：（，+∞）.11．已知函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数．若，则满足的x的取值范围是______．【答案】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，且在上为单调增函数，则在在上也是增函数，故函数在R上也是增函数；又由，则，则解可得，即不等式的解集为故答案为：.12．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】令，则，∵，∴，函数在递减，∴，∴，，∴，即，故，解得：，∴.故答案为：13．若实数,x y 满足.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵，∴10x y -+＞，,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号，当且仅当时取等号∴且，即，因此（当且仅当0k =时取等号），从而xy 的最小值为1.414．设曲线在点()01,A x y 处的切线为1l ，在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______.【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】，，存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得，即,,，令，,，∴312y ≤≤， 故312a ≤≤，∴答案为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 15．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____． 【答案】【解析】 不等式可化为：若对任意，总存在，使得成立，则：当时，的最大值为：当时，的最大值为：最小值为：所以可化为：，解得：.故：16．己知实数x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_______．【答案】4－2【解析】由于数列是递增的等差数列，故，且，故，，而函数在上为增函数，故当时取得最大值为，所以.17．设函数（）．若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】存在, 使，，当时, ,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1) 若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.18．已知函数（是自然对数的底）.若函数的最小值是，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，（当且仅当时取等号），当时，，因此19．已知函数，，则最大值是______．【答案】【解析】分析：分x=0和x≠0两种情况讨论．当x≠0时，利用换元法将问题转化为求函数在区间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值．详解：①当x=0时，；②当x≠0时，由，令，由得，则，由于在上单调递减，所以，此时x＝，所以f(x)≤．故f(x)的最大值为．20．选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求实数的取值范围. 【答案】(I) 最大值为1. (Ⅱ)【解析】解：（Ⅰ）函数可化为，由，即时“=”成立，所以原函数取得最大值为1.（Ⅱ）函数在上单调递增，∵，，，∴，即，所以，∴.即实数的取值范围是.21．已知函数（且）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，讨论函数在区间上的最值.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）函数的定义域是..当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1）得，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.①当，即时，函数在区间上单调递减，所以函数在上的最大值为，最小值为；②当，即时，函数在区间上单调递增，所以函数在上的最大值为，最小值为；③当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在上的最小值为.最大值为与中的较大者.下面比较与的大小：因为，令，得，化简得，解得.因为，且，所以.所以当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为；当时，，函数在上的最大值为.综上，当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为；最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为；当时，函数在上的最大值为，最小值为.22．选修4-5：不等式选讲设的最小值为k .（1）求实数k 的值； （2）设m ，n ∈R ，，求证：.【答案】（1）2k =；（2）见详解. 【解析】（1）当1x =时，()f x 取得最小值，即.（2）证明：依题意，，则.所以22111m n ++，当且仅当，即22m =，20n =时，等号成立.所以.23．已知函数()f x 的图像在[]a b ，上连续不断，定义：（[]x a b ∈，），（[]x a b ∈，），其中表示函数()f x 在D 上的最小值，表示函数()f x 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得对任意的[]x a b ∈，成立，则称函数()f x 为[]a b，上的“k 阶收缩函数”.（1）若， []0x π∈，，试写出()1f x ， ()2f x 的表达式；（2）已知函数()2f x x =， []14x ∈-，，判断()f x 是否为[]14-，上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由； （3）已知0b >，函数，是[]0b ，上的2阶收缩函数，求b 的取值范围.数学附加题 【答案】(1)， []0x π∈，， ()21f x =， []0x π∈，.(2) 163k ≥ .即存在4k =，使得()f x 是[]1,4- 上的“4阶收缩函数”. (3)【解析】试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出()1f x ， ()2f x 的解析式；（2）根据函数()2f x x =，[]14x ∈-，上的值域，先求出()1f x ， ()2f x 的解析式，再根据求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调性，进而写出()1f x ， ()2f x 的解析式，然后再由求出k 的取值范围.试题解析： （1）由题意可得：， []0x π∈，， ()21f x =， []0x π∈，.（2），，当[]10x ∈-，时，，∴1k x ≥-， 2k ≥；当()01x ∈，时， ()11k x ≤+，∴11k x ≥+，∴1k ≥； 当[]14x ∈，时，，∴21x k x ≥+， 165k ≥综上所述， 165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，上的“4阶收缩函数”. （3），令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时， ()f x 在[]0b ，上单调递增，因此，，.因为是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以，①，对[]0x b ∈，恒成立；②存在[]0x b ∈，，使得成立.①即：对[]0x b ∈，恒成立，由解得01x ≤≤或2x ≥.要使对[]0x b ∈，恒成立，需且只需01b <≤.②即：存在[]0x b ∈，，使得成立.由解得0x <或.所以，只需b >综合①②可得（2）当23b <≤时， ()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，，，， 0x x -=，显然当0x =时，不成立，（3）当3b >时， ()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，，，， 0x x -=，显然当0x =时，不成立.综合（1）（2）（3）可得：.24．已知f(x)＝，x ∈[1，＋∞)。