高中数学人教A版选修2-2《教案定积分及其应用》word学案

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高中数学人教A版选修2-2教案-1.7 定积分的简单应用_教学设计_教案_2

教学准备
1. 教学目标
1、理解定积分概念形成过程的思想；
2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。

2. 教学重点/难点
重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；
难点；数学模型的建立及被积函数的确定。

3. 教学用具
4. 标签
教学过程
五、教学过程
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？
（二）新课探析
例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。

分析：解此题的关键是如何建立数学模型。

将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。

则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程，“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。

数学选修2-2人教A教案导学案：定积分的概念

§1.5.3定积分的概念学案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．前置复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2．定积分的几何意义分析：2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2性质3性质4 说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M BAabOyxy=1yxOba三．典例分析例1．计算定积分21(1)x dx +⎰四．课堂练习计算下列定积分 1．5(24)x dx -⎰5(24)945x dx -=-=⎰2．11x dx -⎰ 11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰3．课本练习五．回顾总结1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业性质1 性质4AMNB AMPC CPNBS S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

新人教A版高中数学(选修2-2)15《定积分的概念》word教案

§1.5定积分的概念学习目标1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义；4．无限细分和无穷累积的思维方法. 预习与反馈（预习教材P 42~ P 47，找出疑惑之处）1．用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边递形的面积的具体步骤为、、、 .2.定积分的定义如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式。

当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作，即()ba f x dx ⎰＝，其中()f x 称为，x 称为，()f x dx 称为，[,]a b 为，a 为，b 为， “⎰”称为积分号。

3．()ba f x dx ⎰的实质（1）当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()b af x dx ⎰表示；（2）当()f x 在区间[,]a b 上小于0时，()b af x dx ⎰表示；（3）当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()ba f x dx ⎰表示；4．定积分的性质根据定积分的定义及几何意义，容易得到定积分的如下性质：（1）()b a kf x dx ⎰＝（k 为常数）；（2）12[()()]b a f x f x dx ±=⎰ ；（3）()ba f x dx ⎰＝（其中a cb <<）。

［特别提醒］ 1．定积分()b a f x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及被积区间[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]ab 给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[,]a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()ba f x dx ⎰中的积分变量，即()b a f x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰。

高中数学教案定积分及其应用学案新人教A版选修2-2 学案

某某省某某市肥城市第三中学高中数学教案定积分及其应用学案新人教A版选修2-2yy记作f(x)dx 。

即f(x)dx ＝)(1lim i ni n f n ab ξ∑=∞→-。

其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分上限和积分下限。

2定积分的几何意义：①若0)(≥x f ，则积分⎰badxx f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即S dx x f ba=⎰)(②若0)(≤x f ，则积分⎰ba dx x f )(表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即S dx x f ba-=⎰)(③一般情况下，定积分⎰b adxx f )(表示介于x 轴、曲线()f x及b x a x ==,之间的曲边梯形面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值的相反数， 3定积分的性质。

（１）⎰badx x kf )(＝k ⎰ba dxx f )(。

（２）[]dx x fx f ba)()(21±⎰＝。

（３）dx x f ba⎰)(＝。

4微积分基本定理：一般地，若f(x)为在][b a ,上的连续函数，且有)()(x f x F ='，那么⎰=badx x f )(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式，可记作⎰=badx x f )(= 。

常见求定积分的公式新知得到知识1n B.1n C.1n D.3lim n n →∞由落体的速，则落体从到0t t =所走路程为B.gtC.2012gtD.2014gt答案： 234-125+2l 4n四．精讲点拨：例1：计算下列定积分：（1）dx x ⎰402sin π（2）。

dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121（3）dx x ⎰-2123答案：（1）418-π（2）21e 4+ln2-21e 2 (3)21例2利用定积分求图形的面积：求由抛物线,12-=x y 直线x=2，y=0围成的图形的面积。

高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.7 定积分的简单应用含解析

定积分的简单应用预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？[新知初探]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .f (x )的符号平面图形的面积与定积分的关系f (x )≥0 S ＝⎠⎛a bf (x )d x f (x )<0S ＝－⎠⎛a b f (x )d x(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x .[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛a bv (t )d t .3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛a bF (x )d x .[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分⎠⎛a bv (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为⎠⎛a b|v (t )|d t .[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( ) (2)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为⎠⎛－2 2(4－x 2)d x .( )(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为⎠⎛24(t 2－4t )d t .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是( ) A ．2 B ．3 C.52 D ．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )A.13gt 20B. gt 20C. 12gt 20D.14gt 20答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28()2x －x ＋4d x ＝423x 3220＋⎝⎛⎭⎫223x 32－12x 2＋4x 82＝18.法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为 S ＝⎠⎛2－4⎝⎛⎭⎫4－y －y22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －y 22－y362－4＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]求曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x ，y ＝e －x ，解得交点为(0,1)，所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝e ＋1e －2.求变速直线运动的路程、位移[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动，当t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程 s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪ 40－⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫4t 2－23t 3⎪⎪⎪60＝0.(2)依题意，⎠⎛0t(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．[活学活用]一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．解：在t ＝4 s 时该点的位移为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪4＝43(m)．即在t ＝4 s 时该点距出发点43m.又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0.所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪1－⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪31＋⎝⎛⎭⎫t 33－2t 2＋3t ⎪⎪⎪ 43＝4(m).求变力做功[典例] 一物体在变力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，0≤x ≤2，x 2＋2x ，2≤x ≤5，(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．[解] 变力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛02(2x ＋4)d x ＋⎠⎛25(x 2＋2x )d x＝(x 2＋4x ) ⎪⎪⎪2＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2⎪⎪⎪52＝12＋60＝72(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功．解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ，所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W ＝⎠⎛0 0.12 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪1＝10(J)．层级一学业水平达标1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④解析：选D ①应是S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：选B S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B. 3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：选C S ＝⎠⎛-3 1(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.4．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )A.14B.12C.13D ．1解：选A 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x＝⎠⎛0134x 2d x＝14x 310＝14. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10D ．9解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵两函数y ＝x 3－3x 与y ＝x 均为奇函数，∴S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·⎠⎛02(4x －x 3)d x＝2⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8，故选B.6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2⎪⎪⎪2＝12，所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：137．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．解析：S ＝⎠⎛0101＋t d t ＝23(1＋t )32 ⎪⎪⎪10＝23⎝⎛⎭⎫1132－1. 答案： 23⎝⎛⎭⎫1132－1 8．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．解析：画出曲线y ＝1x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．∴S ＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＝ln 2.答案：ln 29．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝⎠⎛-10(x 2＋2x ＋1)d x ＝13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪-1＝13. 层级二应试能力达标1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：选D 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ⎪⎪⎪31＝14(J)，故应选D.2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－322 C ．6＋3 2D ．6－3 2解析：选D ⎠⎛3636t d t ＝6t ⎪⎪⎪63＝6－32，故应选D.3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2. ∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝80－803＝1603(m)．故选A. 4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪2＝4.5．椭圆x 216＋y 29＝1所围区域的面积为________．解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3416－x 2.又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4⎠⎛043416－x 2d x ＝3⎠⎛0416－x 2d x. 由y ＝16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y ≥0)．由定积分的几何意义知⎠⎛0416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y ≥0)及x 轴所围成图形的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×16＝4π，∴S ＝3×4π＝12π.答案：12π6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．解析：∵S 阴＝2⎠⎛01(e －e x )d x ＝2(e x －e x ) ⎪⎪⎪1＝2，S 正方形＝e 2，∴P ＝2e 2.答案：2e27．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C(3,3)，8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.当a ≠0时，f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－19b 2且a ≥－1.因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－19x 2与直线y ＝－1所围成的封闭图形．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－19x 2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，如图，其面积S ＝⎠⎛3－3⎝⎛⎭⎫1－19x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x －x 327⎪⎪⎪3-3＝(3－1)－(－3＋1)＝4.(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0， 22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D.8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )D ．af (b )＞bf (a )解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________.解析：S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32a0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49. 答案：4915．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f(x)＝x e2－x＋e x.由f′(x)＝e2－x(1－x＋e x－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋e x－1同号．令g(x)＝1－x＋e x－1，则g′(x)＝－1＋e x－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)， f ′(－1)＝－2a －1＝0，所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝(x ＋1)(x －2)1－x. ∵x <1，∴1－x >0，x －2<0，因此，当x <－1时f ′(x )>0，当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立，即2ax －21－x≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立 ∴a ≤1－x 2＋x 在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14 ∈[－12，－6]， ∴1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－16，－112， ∴⎝⎛⎭⎫1－x 2＋ x min ＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－16. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点． ②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则l n(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．综上，a的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。

高中数学 1.7 3定积分及其应用教案新人教A版选修2-2

2013年高中数学 1.7 3定积分及其应用教案新人教A 版选修2-2定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用．第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例我们先从两个例子谈起． 1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =在区间],[b a 上非负且连续，由直线a x =、b x =、x 轴和曲线)(x f y =及曲线)(x f y =所围成的图形称为曲边梯形（图5-1），其中曲线)(x f y =称为曲边．图5-1 图5-2下面我们讨论曲边梯形面积的求法．我们知道，矩形的高是不变的，它的面积很容易计算．而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们没有现成的计算方法．如果我们将],[b a 上任一点x 处的函数值)(x f 看作为曲边梯形在x 处的高，则曲边梯形的高是变化的．但因)(x f y =是],[b a 区间上的连续函数，所以在一个相当小的区间上，)(x f 的值变化不大．因此，如果把区间],[b a 划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点ξ处的值)(ξf 来定义同一个小区间上的窄曲边梯形的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图5-2）．直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高，若把区间],[b a 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：（1）将区间],[b a 划分为n 个小区间，即在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，这n 个小区间分别为],[,],,[],,[12110n n x x x x x x - ，其长度依次记为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x ．（2）过每个分点作垂直于x 轴的直线段，把整个曲边梯形分成n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为),,2,1(n i A i =∆，在每个小区间],[1i i x x -上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，用以],[1i i x x -为底、)(i f ξ为高的窄矩形近似代替第i 个小曲边梯形),,2,1(n i =，则i i i x x f A ∆≈∆)(，),,2,1(n i =．这样得到的n 个小矩形面积之和显然是所求曲边梯形面积A 的近似值，即i ni i n n n i i x f x f x f x f A A ∆=∆++∆+∆≈∆=∑∑==122111)()()()(ξξξξ ．（3）记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，则当0→λ时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式ini ix f ∆∑=1)(ξ的极限便是所求曲边梯形面积的精确值．即i ni i x f A ∆=∑=→1)(lim ξλ．2．变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知其速度是时间t 的连续函数，即)(t v v =，计算在时间间隔],[b a 内物体所经过的路程s ．因为物体作变速直线运动，速度)(t v 随时间t 而不断变化，故不能用匀速直线运动公式：vt s =来计算，然而物体运动的速度函数)(t v v =是连续变化的，在很小的一段时间内，速度的变化很小，近似于等速，在这一小段时间内，速度可以看作是常数，因此求在时间间隔],[b a 上运动的距离也可用类似于计算曲边梯形面积的方法来处理．具体步骤如下：（１）在时间间隔],[b a 中任意插入1-n 个分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 ，这1-n 个分点将区间],[b a 分成n 个小区间],[,],,[],,[12110n n t t t t t t - ，它们的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t ，相应地，记在各段时间内物体经过的路程依次为),,2,1(n i s i =∆．（2）将物体在每个小区间上的运动看作是匀速的，在时间间隔],[1i i t t -上任取一个时刻)(1i i i i t t ≤≤-ττ，以i τ时刻的速度)(i v τ来代替],[1i i t t -上各个时刻的速度，得到],[1i i t t -时间段上路程i s ∆的近似值，即),,2,1()(n i t v s i i i =∆≈∆τ，那么这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值，即i ni i n n t v t v t v t v s ∆=∆++∆+∆≈∑=12211)()()()(ττττ ，（3）记},,,max{21n t t t ∆∆∆= λ，则当0→λ时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式ini it f ∆∑=1)(ξ的极限便是所求路程s 的精确值．即i ni i t v s ∆=∑=→1)(lim ξλ.上面的两个例子中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在数量上，都是要求某个整体的量，而计算这种量所遇到的困难和为克服困难采用的方法都是类似的，都是先把整体问题通过“分割”化为局部问题，在局部上通过“以直代曲”或“以不变代变”作近似代替，由此得到整体的一个近似值，再通过取极限，便得到所求的量．这个方法的过程我们可简单描述为“分割—代替—求和—取极限”．采用这种方法解决问题时，最后都归结为对某一个函数)(x f 实施相同结构的数学运算—和数ini ix f ∆∑=1)(ξ的极限．事实上，在自然科学和工程技术中，还有许多类似问题的解决都要归结为计算这种特定和的极限，抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出其中的数学概念和思想，我们就得到了定积分的定义．二、定积分的定义定义设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，把区间],[b a 分成n 个小区间],[,],,[],,[12110n n x x x x x x - ，各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x ．在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i =ξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作出和式ini ix f ∆ξ∑=1)(（1）记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 进行怎样的分法，也不论在小区间],[1i i x x -上的点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和（1）总趋于确定的极限I ，这时我们称此极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分（简称积分），记作dx x f ba⎰)(，即i ni i bax f I dx x f ∆==∑⎰=→1)(lim )(ξλ（２）其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间，和i ni i x f ∆∑=1)(ξ通常称为)(x f 的积分和．如果函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在，我们也称)(x f 在],[b a 上可积．注意当ini ix f ∆∑=1)(ξ的极限存在时，其极限I 仅与被积函数)(x f 及积分区间],[b a 有关，如果既不改变被积函数)(x f 也不改变积分区间],[b a ，不论把积分变量x 改成其它任何字母，如t 或u ，此和的极限都不会改变，即定积分的值不变．就是du u f dt t f dx x f bab aba⎰⎰⎰== )()()(．这个结果也说成是定积分的值与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关．下面我们给出两个函数)(x f 在区间],[b a 上可积的充分条件．定理１设)(x f 在区间],[b a 上连续，则)(x f 在区间],[b a 上可积．定理２设)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在区间],[b a 上可积．利用定积分的定义，上面讨论的两个实际问题可分别表示如下：曲边梯形的面积A 是函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，即⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A 1)()(lim ξλ．变速直线运动的路程s 是速度)(t v 在时间间隔],[b a 上的定积分，即⎰∑=∆==→bai ni i dt t v x v s 1)()(lim ξλ．三、定积分的几何意义（1）当0)(≥x f 时，定积分dx x f ba⎰)(表示由直线a x =、b x =、x 轴和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形的面积；（2）当0)(≤x f 时，由直线b x a x ==、、x 轴和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，按照定义，这时定积分dx x f ba⎰)(的值应为负，因此 dx x f ba⎰ )(表示上述曲边梯形面积的负值；（3）若在区间],[b a 上，)(x f 既取得正值又取得负值时，对应的曲边梯形的某些部分在x 轴的上方，某些部分在x 轴的下方，这时定积分dx x f ba⎰)(表示由直线a x =、b x =、x轴和曲线)(x f y =围成的曲边梯形各部分面积的代数和，即曲边梯形位于x 轴上方的面积减去位于x 轴下方的面积（图5-3）．图5-3例１利用定义求定积分⎰12dx x 的值．解为了便于计算，我们把区间]1,0[分成n 等分，其分点为)1,,2,1(-==n i nix i ，这样每个小区间],[1i i x x -的长度),,2,1(1n i nx i ==∆；取i ξ为小区间的右端点，即令),,2,1(n i x i i ==ξ，于是有和式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆=∆∑∑∑∑∑=====n n n n n n in n n i x x x x f n i ni i n i ii n i ii ni i 121161)12)(1(61111)(31231212121ξξ，当0→λ时，有∞→n ，对上式右端取极限，根据定积分的定义，有31121161lim lim 10 1202=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆=⎰∑=∞→→n n x dx x ni n i i ξλ．四、定积分的性质根据定积分的定义，⎰badx x f )(只有当b a <时才有意义，当b a =或b a >时，dx x f ba⎰ )(是没有意义的，但为了运算的需要，我们对定积分作以下两点补充规定：（1）当b a =时，0)( =⎰ba dx x f ；即0)( =⎰aadx x f ．（2）当b a ≠时，⎰⎰-=a bbadx x f dx x f )()(．即当上下限相同时，定积分等于零；上下限互换时，定积分改变符号．以下假定各性质所列出的定积分都是存在的．性质１两个函数和或差的定积分等于两个函数定积分的和或差，即⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([证由定积分的定义，有∑⎰=→∆±=±ni iiibax g f dx x g x f 10)]()([lim )]()([ξξλ∑∑=→=→∆±∆=ni ii ni i i x g x f 11)(lim )(lim ξξλλ⎰⎰±=b abadx x g dx x f )()(该性质对任意有限个函数的和与差的情形都是成立的．性质２被积函数的常数因子可提到积分号外面，即⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(（k 为常数）．读者可自己证明．性质３（积分的可加性）设c b a 、、为任意的三个数，则函数)(x f 在区间],[],,[],,[b c c a b a 上的定积分有如下关系：⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(．证当b c a <<时，因为函数在],[b a 上可积，所以无论对],[b a 怎样划分，和式的极限总是不变的，因此在划分区间时，可以使c 永远是一个分点，那么],[b a 上的积分和等于],[c a 上的积分和加上],[b c 上的积分和，即∑∑∑∆+∆=∆],[],[],[)()()(b c iiic a iib a ixf x f x f ξξξ令0→λ，上式两端取极限得⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(同理，当b a c <<时，⎰⎰⎰+=baa cbcdx x f dx x f dx x f )()()(移项得⎰⎰⎰⎰⎰+=-=cabc acbcbadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f)()()()()(即⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(．性质４如果在区间],[b a 上，1)(≡x f ，则a b dx dx baba-==⎰⎰1．读者自己证明．性质５如果在区间],[b a 上，0)(≥x f ，则⎰≥badx x f 0)(．证因为0)(≥x f ，所以),,2,1(0)(n i f i =≥ξ，又由于),,2,1(0n i x i =≥∆，因此0)(1≥∆∑=ini ixf ξ，令},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，则0)(lim )(1≥∆=∑⎰=→i ni i bax f dx x f ξλ．推论如果在区间],[b a 上，)()(x g x f ≤，则dx x g dx x f baba⎰⎰≤ )()(性质６设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则)()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰证因为M x f m ≤≤)(，由性质5的推论，得⎰⎰⎰≤≤bab abaMdx dx x f dx m )(所以 )()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰．性质７（定积分中值定理）如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在一点ξ，使下式成立：))(()( a b f dx x f ba-=⎰ξ，这个公式也叫做积分中值公式．证因为)(x f 在],[b a 上连续，所以它有最小值m 与最大值M ，由性质6有)()()( a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰，各项都除以)(a b -，得M dx x f ab m ba ≤-≤⎰ )(1．这表明，dx x f a b ba⎰- )(1是介于函数)(x f 的最大值与最小值之间的数，根据闭区间上连续函数的介值定理，在],[b a 上至少存在一点ξ，使得dx x f a b f b a⎰-=)(1)(ξ，即))(()( a b f dx x f b a -=⎰ξ．性质７的几何意义是：如果0)(≥x f ，那么以)(x f 为曲边，以],[b a 为底的曲边梯形的面积等于以],[b a 上某一点ξ的函数值)(ξf 为高，以],[b a 为底的矩形的面积．人们称dx x f a b b a⎰-)(1为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值（图5-4）．图5-4第二节微积分基本定理在第一节中，我们举了一个利用定义来计算定积分的例子，从中可以看出，就是对于比较简单的函数，从定义出发计算定积分也是比较麻烦的，而当被积函数比较复杂时计算更为困难，有时甚至是不可能的．因此寻求一种较为简单的计算定积分的方法是非常重要和有意义的．定积分与实际问题是紧密相连的，为此我们先从具体实例入手探求定积分计算的思路和方法．一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系从第一节的引例中我们知道，如果变速直线运动的速度函数)(t v 为已知，我们可以利用定积分来表示它在时间间隔],[b a 内所经过的路程，即⎰=badt t v s )(．另一方面，若已知物体运动方程)(t s ，则它在时间间隔],[b a 内所经过的路程为)()(a s b s -．由此可见，位置函数)(t s 与速度函数)(t v 之间有如下关系⎰-=baa sb s dt t v )()()(，因为)()(t v t s ='，即位置函数)(t s 是速度函数)(t v 的原函数，所以上式表明：速度函数)(t v 在区间],[b a 上的定积分等于)(t v 的原函数)(t s 在区间],[b a 上的增量．撇开上述问题的具体意义，抽象出所得到的定积分与被积函数原函数之间的关系，我们就得到了在数学上普遍适用的定积分的计算方法，这就是我们将要学习的牛顿——莱布尼茨公式．二、可变上限的定积分设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，x 为],[b a 上的一点，那么)(x f 在区间],[x a 上可积分，且有积分dx x f xa⎰)(与之对应，显然这个积分值是随着x 而变化的．因此dx x f xa⎰ )(是上限x 的函数，我们称之为可变上限的定积分或积分上限的函数，记作)(x Φ，即dx x f x xa ⎰=Φ )()(（b x a ≤≤）．积分变量与积分上限用同一字母表示容易造成理解上的误会，因为积分值与积分变量的符号无关，所以我们用t 代替积分变量x ，于是，上式可写成⎰=Φxadt t f x )()(．可变上限积分的几何意义是：若函数)(x f 在区间],[b a 上连续且0)(≥x f ，则积分上限函数)(x Φ就是在],[x a 上曲线)(x f 下的曲边梯形的面积（图5-5）．可变上限积分具有如下性质：定理１若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限的函数⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上具有导数，且它的导数为)()()( x f dt t f dx d x xa==Φ'⎰．证设给x 以增量x ∆（),(b a x x x ∈∆+、），则)(x Φ在x x ∆+处的函数值为dt t f x x xx a⎰∆+=∆+Φ )()(，由此得函数)(x Φ的增量dt t f dt t f x x x x xaxx a⎰⎰-=Φ-∆+Φ=∆Φ∆+ )()()()()(dt t f dt t f dt t f dt t f xx xxax x xxa ⎰⎰⎰⎰∆+∆+=-+= )()()()(．再应用积分中值定理，有 x f x ∆=∆Φ)()(ξ，其中ξ在x 与x x ∆+之间，用x ∆除上式两端，得)()(ξ∆∆Φf xx = 由于)(x f 在区间],[b a 上连续，而0→∆x 时，即x →ξ，因此)()(lim 0x f f x =→∆ξ，从而令0→∆x ，对上式两端取极限，便得)()(x f x =Φ'，定理得证．该定理告诉我们：如果)(x f 在],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，并且它的一个原函数可以表示成为⎰=Φ)()(x adt t f x ．这个定理的重要意义一是肯定了连续函数的原函数一定存在，二是初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，因此我们就有可能通过原函数来计算定积分．三、牛顿—莱布尼茨公式定理2 如果函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则)()()( a F b F dx x f ba-=⎰．证由定理１知，⎰=Φ)()(x adt t f x 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，由题设知)(x F 也是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，因为两个原函数只差一个常数，所以C x F dt t f xa+=⎰)()( ，在上式中令a x =，并注意到0)( =⎰aadt t f ，得)(a F C -=，代入上式，得)()()( a F x F dt t f xa-=⎰，再令b x =，并把积分变量t 换为x ，便得)()()( a F b F dx x f b a-=⎰．定理2中的公式叫做牛顿—莱布尼茨公式，它揭示了定积分与不定积分之间的内在联系，是计算定积分的基本公式，也称作微积分基本公式．为了方便起见，以后把)()(a F b F -记为b ax F )]([或ba x F |)(，于是该公式也可以b a bax F dx x f |)()( =⎰或b a bax F dx x f )]([)( =⎰．根据定理2，我们有如下结论：连续函数的定积分等于被积函数的任一个原函数在积分区间上的增量．从而把求连续函数的定积分问题转化为求不定积分的问题．例１计算⎰-+11 21x dx．解由于x arctan 是211x +的一个原函数，所以244)1arctan(1arctan ][arctan 11111 2πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==+--⎰x x dx ．例2 计算 dx x ⎰+π2cos 1．解dxx dx x dx x ⎰⎰⎰==+πππ2|cos |2cos 22cos 1dx x dx x ⎰⎰-+=πππ22)cos (2cos 222][sin 2][sin 2220=-=πππx x ．例３计算⎰--12 x dx．解当0<x 时，x1的一个原函数是||ln x ，现在积分区间是]1,2[--，所以有2ln 2ln 1ln |]|[ln 11 2 12-=-==⎰----x dx x ．例４计算正弦曲线x y sin =在],0[π上与x 轴所围的平面图形的面积（图5-6）．解该图形也可看成是一个曲边梯形，其面积为⎰=πsin xdx A由于x cos -是x sin 的一个原函数，所以2)1()1(]cos [sin 0 0=----=-==⎰ππx dx x A ．注意牛顿—莱布尼茨公式适用的条件是被积函数)(x f 连续，如果对有间断点的函数)(x f 的积分用此公式就会出现错误，即使)(x f 连续但)(x f 是分段函数，其定积分也不能直接利用牛顿—莱布尼茨公式，而应当依)(x f 的不同表达式按段分成几个积分之和，再分别利用牛顿—莱布尼茨公式计算．例５设 ⎩⎨⎧≤<≤≤-=21102)(2x x x x x f ，求dx x f ⎰2)(的值．解这里被积函数是分段函数，我们须将积分区间分成与此相对应的区间，因此有dx x dx x dx x f ⎰⎰⎰+-=211 022)2()(21213232x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6192335=+=．例６求 21cos 02limxdt e xt x ⎰-→．解由定积分的补充定义，易知所求的极限式是一个0型的未定式，我们应用洛比达法则来计算，先求分子函数的导数，有⎰⎰---=x t x t dt e dx d dt e dx d cos 11 cos 22)(cos 2cos '-=-x e x)sin (2cos x e x -⋅-=-x xe 2cos sin -=．因此exxex dt e xx xt x 212sin limlim22cos 021cos 0==-→-→⎰．第三节定积分的计算由牛顿—莱布尼茨公式，定积分的计算问题可以转化为计算被积函数的原函数增量的问题，而原函数的求法我们在上一章中已经得到了很好的解决，所以我们可以利用已知的方法求出原函数，然后再代入积分上下限，从而求得所要求的积分．从这个意义上讲，定积分的计算问题基本上解决了．但是为了定积分的计算更简洁明快，我们还是将定积分的计算方法列出．与不定积分的换元积分法和分部积分法相对应的是定积分的换元积分法和分部积分法．一．定积分的换元积分法定理１设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(t x ϕ=满足（1）)(t ϕ在区间],[βα上单值且具有连续导数)(t ϕ'；（2）当t 在],[βα上变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且有a =)(αϕ，b =)(βϕ，则有dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ )()]([)(（１）证首先，根据定理的条件，公式（１）两端的定积分都是存在的．设)(x F 是)(x f 的一个原函数，因此有)()()( a F b F dx x f ba-=⎰由复合函数的求导公式知，)]([t F ϕ是)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数，所以)()()]([)]([)]([)()]([a Fb F F F t F dt t t f -=-=='⎰αϕβϕϕϕϕβαβα因此有dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ )()]([)(．公式（1）称为换元积分公式．应用换元公式（1）时，我们应注意两点：第一，用)(t x ϕ=把原来变量x 代换成新变量t 时，积分限也要换成相对于t 的积分限，即“换元必换限”；第二，求出右端被积函数)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)]([)(t F t ϕ=Φ后，不必再把)(t Φ换成原来变量x 的函数，只要把新变量t 的积分上下限代入)(t Φ，然后相减即可．例1 计算)0( 022>-⎰a dx x a a．解法1 不使用换元积分公式计算．先求不定积分dx x a ⎰-22．设t a x sin =，则tdt a dx cos =，于是有⎰⎰⎰+==-dt t a tdt a dx x a )2cos 1(2cos 22222C tt a ++=)22sin (22 C x a x a x a +-+=2222arcsin 2．根据牛顿—莱布尼茨公式，有=-⎰dx x a a22ax a x a x a 02222arcsin 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+241a π=．解法2 使用换元积分法计算．设)20(sin π≤≤=t t a x ，则tdt a dx cos =，且当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ，于是有dt t adt t a dx x a a⎰⎰⎰+==-2220 2222)2cos 1(2cos ππ22024122sin 2a t t a ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=．例2 求.)0( 1 022⎰>+aa dx ax解设t a x tan =)40(π≤≤t ，则tdt a dx 2sec =，且当0=x 时，0=t ；当a x =时，4π=t ，又t a a x sec 22=+，于是有dt ta ta dx a x a⎰⎰=+ 04222sec sec 1π4040 tan sec ln sec ππt t tdt +==⎰)21ln(+=．例3 计算⎰+41xx dx ．解设t x =，则2t x =，tdt dx 2=，当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t ，于是⎰⎰⎰+=+=+212 1 2411122dt t tt tdt xx dx 21)]1[ln(2+=t )2ln 3(ln 2-=23ln2=．例4 计算⎰25sin cos πxdx x ．解设x t cos =，则xdx dt sin -=，且当0=x 时，1=t ，当2π=x 时，0=t ，于是616 sin cos 106151525=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-=⎰⎰⎰t dt t dt t xdx x π．此例中，如果我们不明显地写出新变量t ，那么定积分的上下限就不要变化，现在用这种方法计算如下：⎰⎰-=2525)(cos cos sin cos ππx xd xdx x616106cos 206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πx ．例5 设()x f 在区间],[a a -上连续，证明：（１）如果()x f 是],[a a -上的奇函数，则0)( =⎰-aa dx x f ；（２）如果()x f 是],[a a -上的偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0 )(2)(．证因为⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(，对其右边第一个积分作代换t x -=，则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaadx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(．于是⎰⎰⎰⎰+-=+-=-aaaaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 0)]()([)()()(．（１）如果()x f 是奇函数，那么0)()(=+-x f x f ，即0)( =⎰-aadx x f ．（２）如果()x f 是偶函数，那么)(2)()(x f x f x f =+-，即⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．利用此结论，可简化一些对称区间],[a a -上的定积分的计算，如0sin2212=⎰--ππxdx n ，564|52240540 444 4===⎰⎰-x dx x dx x ．例6 证明⎰⎰=22)(cos )(sin ππdx x f dx x f ；证作变换t x -=2π，则t t x dt dx cos )2sin(sin ,=-=-=π，当0=x 时，2π=t ；2π=x 时，0=t ，于是有⎰⎰⎰⎰==-=202022)(cos )(cos ))((cos )(sin ππππdx x f dt t f dt t f dx x f ．二、定积分的分部积分法定理２若u 、v 在],[b a 上有连续导数)(x u '、)(x v '，则⎰⎰'-='bab a badx u v uv x dv v u ][（2）或⎰⎰-=bababavdu uv udv ][．（3）证由乘积的导数公式有v u v u uv '+'='][,等式两边分别求在],[b a 上的定积分，并注意到⎰='bab a uv dx uv ][)(．有⎰⎰'+'=bab aba dx v u vdx u uv ][．移项就得⎰⎰'-='bab a bavdx u uv dx v u |][，写成微分形式就是⎰⎰-=bab abavdu uv udv ][．证毕．例7 计算⎰exdx x 1ln ．解设x u ln =，)2(2x d xdx dv ==，则dx x du 1=，22x v =，由分部积分公式414212]ln 2[ln 212 1 2212 1e x e dx x x x x xdx x ee ee+=-=⋅-=⎰⎰．有时分部积分法和定积分的换元积分还可结合使用．例8 计算dx e x ⎰1．解先用换元法，令t x =，则2t x =，tdt dx 2=，且当0=x 时，0=t ， 1=x 时，1=t ，于是有dt te dx e t x ⎰⎰=112．再用分部积分法计算上式右端的积分，设t u =，dt e dv t =，则dt du =，te v =，于是1)1(][][11011=--=-=-=⎰⎰e e e e dt e te dt te t t t t因此21=⎰dx e x ．例9 求n xdx I n n ( cos 2⎰=π为大于1的正整数）．解 x d x xdx x xdx I n nn sin cos cos cos cos 121-n 2⎰⎰⎰-===ππ[]cos sin )1(cossin 222201xdx x n x x n n ⎰---+=ππcos )cos 1()1(20 22xdx x n n ⎰---=πxdx n xdx n n n cos )1(cos)1(220 2⎰⎰---=-ππ．即n n n I n I n I )1()1(2---=-．移项，得21--=n n I nn I 这个公式叫做积分n I 关于下标n 的递推公式．由于2d 20ππ==⎰x I ，1 d cos 21==⎰πx x I ．所以有⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅--⋅-⋅⋅--⋅-==⎰．为偶数）（为奇数）n n n n n n n n n n x x I n n 22143231( 3254231 d cos2 0 ππ第四节定积分的近似计算在前面的讨论中我们知道，计算定积分需要求出被积函数的原函数，而确实存在这样的函数，它的原函数不能表现成有限形式.另外，也有函数是由图形或图表给出的情形，这些函数的定积分显然难以应用牛顿—莱布尼茨公式，本节介绍的近似计算方法可以很好地解决这些问题.因为⎰badx x f )(的几何意义是由直线a x =、b x =、x 轴和)0)()((≥=x f x f y 所围成的曲边梯形的面积，因此，只要设法求出这个曲边梯形的面积，就解决了定积分的计算问题.下面的讨论就从这个想法入手.常用的近似计算方法包括矩形法、梯形法和抛物线法，我们这里只介绍前两种. 一、矩形法矩形法就是将曲边梯形分割成若干个小的窄曲边梯形，将每一个小的窄曲边梯形用小的窄矩形去近似，通过求这些小的窄矩形面积得到定积分的近似值（图5-7）.矩形法的具体步骤如下：（1）用分点b x x x x x a n n ==-,,,,,1210 将区间],[b a 划分成n 等份，每个小区间的长度为nab x -=∆ （2）用n y y y ,,,10 表示函数)(x f 在分点n x x x ,,,,10 处的函数值.（3）如果取每一个小区间左端点的函数值作为小窄矩形的高，则有近似计算公式：x y x y x y dx x f n ba∆++∆+∆≈-⎰110 )()(110-+++-=n y y y nab . （1）如果取每一个小区间的右端点作为小窄矩形的高，则有近似计算公式：x y x y x y dx x f n ba∆++∆+∆≈⎰21 )()(21n y y y nab +++-=. （2）运用以上近似公式时，显然是分的越细越好.图5-7 图5-8二、梯形法梯形法就是用梯形去近似地代替小窄曲边梯形（图5-8），从而得到近似计算公式的方法.梯形法的计算公式为：x y y x y y x y y dx x f n n ba∆++∆++∆+≈-⎰)(21)(21)(21)(12110)22(1210n n y y y y y n a b ++++-=- .（3）例河床的横断面如图5-9所示，设河宽10米，每隔一米测出河深，为了计算最大排水量，需要计算它的横截面积，试根据表中所给出的测试数据，用两种方法计算横断面的面积.解从所给数据知道，区间被分成了10等分，每等分长为11010=-=∆x ，（1）矩形法：由公式（1），有)(10910y y y ab A +++-=)3.12.10.10(1++++⋅= ）米2(7.13=在本例中，显然用公式（2）与此结果相同.（2）梯形法：由公式（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=921100)(2110y y y y y a b A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++⋅=3.17.14.12.10.1)00(211）米2(7.13=. 第五节定积分的应用在引入定积分的概念时，我们曾举过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程两个例子，其实在几何上、物理上类似的问题很多，它们都可归结为求某个事物的总量的问题，解决这类问题的思想是定积分的思想，采用的方法就是微元法（也称元素法），以下介绍这种方法.一、定积分的微元法在利用定积分解决实际问题时，经常采用所谓的微元法，实际上，定积分的定义中就体现了这种方法.设总量U 是与自变量x 、函数)(x f 相关的量，其计算步骤如下：（１）将所求量U 在对应区间],[b a 上分割为部分量i U ∆之和. 用一组分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间],[b a 分成n 个小区间，整体量U 相应地被分为n 个部分量),,2,1(n i U i =∆，而∑=∆=ni i U U 1.（２）计算部分量),,2,1(n i U i =∆的近似值. 在第i 个小区间上，求出部分量i U ∆的近似表达式),,2,1()(n i x f U i i i =∆≈∆ξ.（３）求和，得到U 的近似值i ni i n i i x f U U ∆≈∆=∑∑==11)(ξ．（４）取极限 dx x f x f U baini i⎰∑=∆==→ 1)()(limξλ．上述四个步骤中，第二步是将U 表达成定积分的关键，有了这一步，定积分的被积表达式实际上已经被找到.用以上思想方法解决实际问题，就是所谓的微元法或元素法．利用微元法的步骤为：（１）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ；（２）把区间],[b a 分成n 个小区间，任取其中的一个小区间],[dx x x +，求出相应于此小区间的部分量U ∆的近似值，如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的微元，记作dU ，即dx x f dU )(=；（３）以所求量的微元dx x f )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得⎰=badx x f U )(．这就是所求量U 的积分表达式. 下面我们用微元法来解决一些实际问题. 二、平面图形的面积１．直角坐标情形在求曲边梯形的面积时，我们知道由直线a x =、b x =、x 轴和)0)()((≥=x f x f y 所围成的曲边梯形的面积是⎰=badx x f A )(，其中被积表达式dx x f )(就是直角坐标系下的面积元素.此方法可以推广，如果一个平面图形由连续曲线)(x f y =、)(x g y =及直线a x =、b x =所围成，并且在],[b a 上)()(x g x f ≥（如图5-10），那么此图形的面积为⎰-=badx x g x f A )]()([例１计算由两条曲线2x y =和x y =2围成的图形的面积.解两条曲线围成的图形如图5-11所示，为了具体定出定积分的上下限，先求出这两条曲线的交点)0,0(和)1,1(，从而所求面积的图形在0=x 和1=x 之间.取横坐标x 为积分变量，其变化区间为]1,0[，取]1,0[上的任一小区间],[dx x x +，在这小区间上窄条的面积近似于高为2x x -、底为dx 的窄矩形的面积，从而得到面积的近似表达式为dx x x dA )(2-=这就是面积微元，以dx x x )(2-为被积表达式，在]1,0[上作定积分，便得所求面积为⎰=-=-=10 10323231]3132[][x x dx x x A ．由于曲线x y =在曲线2x y =的上方，所以由公式⎰-=ba dx x g x f A )]()([也可直接求得该图形的面积. 例2 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积. 解这个图形如图5-12所示．为了定出这图形所在范围，先求出所给抛物线和直线的交点．解方程组⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 得交点)2,2(-和(8，4)，从而知道这图形在直线2-=y 及4=y 之间.现在，选取纵坐标y 为积分变量，它的变化区间为]4,2[-(读者可以思考一下，取横坐标x 为积分变量，有什么不方便的地方)．相应于]4,2[-上任—小区间],[dy y y +的窄条面积近似于高为dy 、底为221)4(y y -+的窄矩形的面积，从而得到面积元素 dy y y dA )214(2-+=．以dy y y )214(2-+为被积表达式，在闭区间]4,2[-作定积分，便得所求的面积为 dy y y A ⎰--+=422)214(= 4232642-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y y y = 18.例３求椭圆122=+by a x 的面积. 解如图5-13所示，因为椭圆关于两个坐标轴都是对称的，所以它的面积为dx x y A a⎰= 0)(4,利用圆的参数方程⎩⎨⎧==，t b y ta x sin cos 应用定积分换元法，令t a x cos =,tb y sin =，则t d t a dx sin -=，当x 由０变到a 时，t 由2π变到０，所以⎰⎰-=-=0220 2sin 4)sin (sin 4ππtdt ab dt t a t b Aab ab tdt ab πππ=⋅⋅==⎰2214sin 420 2．一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ给出时，如果)(t x ϕ=满足、a =)(αϕb =)(βϕ，)(t ϕ在],[βα（或],[αβ）上具有连续导数，)(t y φ=连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为⎰⎰'==βαϕφ )()()(dt t t dx x f A b a２．极坐标的情形有些平面图形的边界曲线用极坐标表示比较简单，下面推导极坐标系下的面积计算公式. 设曲线方程为)(θϕ=r ，)(θϕ在区间],[βα上连续，且0)(≥θϕ，我们称由)(θϕ=r 、αθ=、βθ=围成的图形为曲边扇形，如图5-14所示，下面用微元法来计算曲边扇形的面积.取θ为积分变量，θ的变化区间为],[βα，相应于任一小区间],[θθθd +的窄曲边扇形的面积可用半径为)(θϕ=r 、中心角为θd 的圆扇形的面积来近似代替，从而得到这窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素为θθϕd dA 2)]([21=，以θθϕd 2)]([21为被积表达式，在闭区间],[βα上作定积分，便得所求曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕ 2)]([21d A。

(完整word版)选修2-2 定积分学案

1。

5 定积分的概念学习目标知识与技能：1。

通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景;2。

借助于几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分． 3。

理解掌握定积分的几何意义和性质; 过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法. 情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学习数学的兴趣。

学习重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义．学习过程：问题曲边梯形的面积例如:求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

解：（1)．分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i x n n n-∆=-=分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1ni i S S ==∆∑(2）近似代替i ni -1n 1Oyxy=x 2思考:（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？(2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲" 的思想的应用．1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,可以认记()2f x x =，如图所示，当n 很大,即x ∆很小时，在区间为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值1i f n -⎛⎫⎪⎝⎭,从图形上看,就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代曲”，则有221111(1,2,,)i i i i i S S f x x i n n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①（3）求和由①,上图中阴影部分的面积n S 为2111111n nnn i i i i i i S S f x n n n ===--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑= == = 从而得到S 的近似值n S S ≈= （4）取极限分别将区间[]0,1等分8,16,20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ,从而有111lim lim nn n n i i S S f n n →∞→∞=-⎛⎫== ⎪⎝⎭∑事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限☆定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()11n ni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑i ni -1n 1Oyxy=x 2当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

人教A版选修2-2 1.7.1 定积分的简单应用学案

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？答如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛ab (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛ab f (x )d x .[预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)(如图)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .要点一不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛2－3[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛2－3(－x 2－x ＋6)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－12x 2＋6x ⎪⎪⎪2－3＝223－⎝ ⎛⎭⎪⎫－272＝1256.规律方法不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积．跟踪演练1 求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成的图形的面积．解由⎩⎨⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ，得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x＝⎠⎛02(－3x 2＋6x )d x＝(－x 3＋3x 2)⎪⎪⎪2＝4.要点二分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解法一画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－23x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪ 10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二若选积分变量为y ，则三个函数分别为x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛10[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)⎪⎪⎪ 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y －12y 2－13y 3⎪⎪⎪1＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.规律方法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限．跟踪演练2 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S . 解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪1－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 要点三定积分的综合应用例3 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)画函数y ＝f (x )的图象如图．由图象知所求面积为S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－1＝13.规律方法由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．跟踪演练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝x 02，∴S ＝∫x 020x 2d x ＋∫x 0x 02[x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30. ∴112x 30＝112，x 0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3C ．52D ．4答案 B解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π20－sin x 3π2π2＝sin π2－sin 0－ sin3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3. 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________．答案43解析解方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 320＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－0＝43.4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x 41 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标 1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a c f x d x C ． ⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d xC ．⎠⎛ab|f (x )－g (x )|d xD．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b [f x －g x ]d x 答案 C解析当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02x 2－1d x C ．⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．(2013·北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C ．83D ．1623答案 C解析抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，由⎩⎨⎧y ＝1x 2＝4y，可得交点的横坐标分别为－2,2.所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎫x －112x 32－2＝83.故选C. 5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .6．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案43解析如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.7．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积．解作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝6－x y ＝8x 得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8×23x 32 ⎪⎪ 2⎪⎪⎪＋6x －12x 262＝ 163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝163＋8＝403. 二、能力提升8．(2013·江西改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在答案 C 解析数形结合，如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝⎪⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221 ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.9．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13 B ．12C ．1D ．23答案 B解析由⎩⎨⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3，∴S ＝∫1c 0(x 2－cx 3)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 41c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12.10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案13解析根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3⎪⎪10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为 S 阴S 矩＝13×1＝13. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．解由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎨⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －⎠⎛13f (－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2. (1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛12(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．三、探究与创新13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝⎠⎛a(x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 20a ＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1. (2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2a＝a 2－13a 3＝43，∴a 3－3a 2＋4＝0，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，不合题意．综上a ＝－1，或a ＝2.。

高中数学(定积分在几何中的应用)学案1 新人教A版选修2-2 学案

定积分在几何中的应用【学习目标】会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积；理解定积分的几何意义.【复习回顾】定积分的概念；微积分基本定理.【例证题】例1 计算由曲线22,x y x y ==所围成图形的面积.S思考：求面积的基本步骤？例2 计算由直线,4-=x y 曲线x y 2=以及x 轴所围成图形的面积.S思考：本题其它解法如何？并比较这些方法.变式训练：计算由直线,4-=x y 曲线x y 22=以及x 轴所围成图形的面积.S例3 由定积分的性质和几何意义，说明下列式子的值： dx x x ⎰---102))1(1(练习：⎰--a a dx x a 22=【作业】某某：学号：1、由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为（） 2ln .A 2lg .B 21.C 1.D 2、π20,sin ≤≤=x x y 与x 轴围成的图形的面积为（）0.A 2.B π2.C 4.D3、由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S =（）⎰b a dx x f A )(.⎰-ba dx x f B )(. []⎰-b a dx a x f C )(.[]⎰-ba dxb x f D )(. 4、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（） 316.A 38.B 34.C 32.D 5、如图阴影部分的面积S = ⎰c a dx x f A )(.⎰c a dx x f B )(.dx x f dx x f C c b b a ⎰⎰+)()(.⎰⎰-b ac b dx x f dx x f D )()(. 6、如图阴影部分的面积S =7、dx x ⎰-2024=8、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.0,,===x e y e y x （2）.0,23,2,cos ====y x x x y ππ9、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.1,2ln ,1-=-=-=e y x e y x （2）3,==y x y 和1=xy .（3）.2,0,cos ,sin π====x x x y x y （课本1674P 题）10、过原点的直线l 与抛物线：)0(22>-=a ax x y 所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程.P题11、课本875。

2019-2020年人教版A版高中数学选修2-2第一章 1-7《定积分的简单应用》《教案》

2019-2020年人教版A 版高中数学选修2-2第一章 1-7《定积分的简单应用》《教案》教学目标：1、知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

2、过程与方法：借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分在实际中的应用3、情感、态度与价值观：通过定积分在几何和物理中的应用，进一步感受极限的思想教学重点：定积分在几何和物理中的应用教学难点：定积分在几何和物理中的应用教学过程：定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.解：201y x x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1200x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.解：作出直线4y x =-，曲线y =解方程组4y y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2x y =yxAB CDO得直线4y x =-与曲线y =8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S2844[(4)]x dx =+--⎰⎰⎰33482822044140||(4)|3323x x x =+-=. 例 3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。

答案： 2332320=-=⎰ππo x xdx S |cossin ＝（二）定积分在物理中应用 (1)求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()bas v t dt =⎰例 4。

高中数学人教A版选修2-2教学设计：1.7定积分的简单应用

§1.7定积分的简单应用教学目标1.会利用定积分的几何意义求定积分的值，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解;2.会用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积;3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用;重难点：求多条曲线围成的分割型图形的面积，将几何问题和物理问题转化为定积分问题一、复习回顾1.微积分的基本思想2.微积分基本定理--------牛顿－莱布尼茨公式利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是_____________3.定积分的几何意义：____________4.微积分的性质(1) ______________________ (2) ______________________(3) ______________________ (4) ______________________思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值.图1 图2 _______________________ ________________________图3 图4 _______________________ ________________________定积分()ba f x dx ⎰的几何意义它是介于x 轴、函数()f x 的图象及________________________之间的各部分面积的_________(在x 轴上面的____________，在x 轴下面的____________).二、自主探究探究一：定积分的计算例1．(1)若0,a > 则220a a x dx -=⎰____________ (2)120(1(1))x x dx ---=⎰____________练习：(1)sin xdx ππ-=⎰______ (2) 22cos xdx ππ-=⎰________ (3)20cos xdx π=⎰ _________ 探究二：求面积例2.计算由曲线2y x = ，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.练习1（课本变式题）：计算由曲线22y x = ，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.36y x x =-2y x =例3．已知抛物线22y x x =-及直线0,,0x x a y === 围成的平面图形的面积为43 ,求a 的值.探究三：物理学方面的应用微积分在物理方面的应用十分广泛，中学阶段主要掌握求物体的路程（位移）、变力作功等问题例1.一物体的运动速度随时间的变化关系为32()2532,V t t t t =-+-则该物体在0至3秒, 的位移和路程分别为多少？例2. 如图，在弹性限度内，倔强系数为k,将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．练习：一物体从0至1小时内运动的速度（千米/小时）随时间t （小时）的关系式为12)(2+-=t t t V（1）求这1个小时该物体所走的路程S ；（2）问该物体从开始运动经历多长的时间走过一半路程.三、课堂小结求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算.四、训练案1．求下列曲线所围成的图形的面积:(1)2,23;y x y x ==+ (2),,0;xy e y e x ===(3)求由抛物线28(0)y x y => 与直线60x y +-= 及0y =所围成的图形的面积.2．抛物线24y x =-与直线3y x =的两个交点为,A B ，点P 在抛物弧上从A 向B 运动(1)求使△PAB 的面积为最大时P 点的坐标(,)a b ;(2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x a =分为面积相等的两部分.321lim1> +++++∞→pnn pp pppn3.求)0(。

新人教A版选修(2-2)1.5.3《定积分的概念》word教案

学校：临清一中学科：数学编写人：李洪涛审稿人：张林§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.7.2 定积分在物理中的应用 Word版

1.7.2 定积分在物理中的应用[目标] 1.能够利用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程.2.学会利用定积分求变力做功问题.3.感受定积分在物理中的应用，加深对定积分的认识．[重点] 用定积分求做变速直线运动的物体的位移和路程．[难点] 用定积分求变力做功问题．知识点一变速直线运动的路程[填一填]作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t . [答一答]1．一辆汽车在1 min 内的速度—时间曲线如图所示，那么汽车的速度v 与时间t 的函数关系式是什么？提示：v (t )＝⎩⎨⎧ 3t ，0≤t ≤10，30，10<t <40，－32t ＋90，40≤t ≤60.2．上述问题中汽车在[0,10]，[10,40]，[40,60](单位：s)三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？提示：⎠⎛ 0103t d t ；⎠⎛ 104030d t ；⎠⎛ 4060(－32t ＋90)d t . 3．如果v (t )的方向有正有负，怎样表示t ∈[a ，b ]时物体经过的路程和位移？提示：路程可表示为s ＝⎠⎛a b |v (t )|d t ，位移可表示为s ′＝⎠⎛ab v (t )d t . 知识点二变力做功[填一填]1．恒力F 的做功公式一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs .2．变力F (x )的做功公式如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛abF (x )d x .[答一答]4．根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x ，回答下列问题． (1)物理上进行功的计算时，力、位移的单位是什么？相应功的单位是什么？(2)计算变力做功时，力与位移的方向有什么关系？提示：(1)在一般情形下，力、位移的单位依次为N ，m ，功的相应单位为J.在解题时单位一定要统一．(2)力与位移的方向必须一致．1．路程计算公式路程是位移的绝对值和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程：(1)若v (t )≥0，s ＝⎠⎛ab v (t )d t ； (2)若v (t )≤0，s ＝－⎠⎛ab v (t )d t ； (3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛ac v (t )d t －⎠⎛cb v (t )d t . 2．求变力做功的方法(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键．(2)由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力F (x )的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移到x ＝b (a <b )．因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab f (x )d x 即可求出变力F (x )所做的功．类型一变速直线运动的路程【例1】 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t ) m/s ，经t s 后，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离．【解】 (1)设A 到C 的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)，则AC ＝⎠⎛ 0201.2t d t ＝0.6t|2200＝240(m)． (2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)，则DB ＝⎠⎛ 020(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消.汽车以每小时36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度－2 m/s 2匀减速刹车，问开始刹车到停车，汽车行驶了多少千米？解：由题意，知v 0＝36 km/h ＝10 m/s.所以v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，令v (t )＝0，则t ＝5，则t ＝5 s 时，汽车将停止，所以汽车由刹车到停车行驶的路程s ＝⎠⎛ 05v (t )d t ＝⎠⎛ 05 (10－2t )d t ＝(10t －t 2)|50＝25(m)＝0.025(km)．类型二变力做功【例2】设有一根长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．【思路分析】先求出拉力F (x )，然后再求功．【解】设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05 k ＝100，∴k ＝2 000，∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝⎠⎛ 00.152 000x d x ＝1 000x 20.150＝22.5(J)．(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步．(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题．一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)外力F (x )做的功．解：由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤23x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功为W ＝⎠⎛ 0210d x ＋⎠⎛ 24 (3x ＋4)d x ＝10x|20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)．正确区分变速直线运动的位移与路程【例3】有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝3时，求离开原点的路程；(2)当t ＝5时，P 点的位置；(3)从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程；(4)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．【思路分析】首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解．【解】 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，t >4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝3时，点P 离开原点的路程s 1＝∫30(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|30＝18.(2)s 2＝∫50(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|50＝503.∴点P 在x 轴正方向上距原点503处．(3)s 3＝∫40(8t －2t 2)d t －∫54(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|54＝26. (4)依题意∫t 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．【解后反思】 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求：(1)在t ＝4 s 时的位置；(2)在t ＝4 s 时运动的路程．解：(1)在时刻t ＝4 s 时该点的位置为：⎠⎛ 04 (t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)，即在t ＝4 s 时该点距离出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]和[3,4]上v (t )≥0，在区间[1,3]上v (t )≤0，所以在t ＝4 s 时运动的路程为：1．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( B )A ．1＋eB ．e C.1e D ．e －1解析：所做的功W ＝⎠⎛ 01F (x )d x ＝⎠⎛ 01 (1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|10＝e. 2．物体以速度v (t )＝2－t 做直线运动，则它在t ＝1到t ＝3这段时间的路程为( B )A ．0B ．1 C.12 D.32解析：当t ∈[1,2]时，v (t )≥0，t ∈[2,3]时，v (t )≤0，故路程为.3．如果1 N 力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为0.18_J.解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，∴k ＝10.01＝100，即F (x )＝100x ，于是拉长6 cm 所耗费的功为W ＝⎠⎛ 00.06F (x )d x ＝⎠⎛ 00.06100x d x ＝50x 20.060＝0.18(J)． 4．质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2－2t ＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为13 m.解析：由于v (t )＝t 2－2t ＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s ＝＝13(m)．5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，求此物体达到最高时的高度．解：由v ＝40－10t 2＝0，得物体达到最高时t ＝2(s)．所以物体达到最高时的高度为h ＝⎠⎛ 02 (40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20＝1603(m)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教A版选修2-2定积分及其应用.docx

一. 教学内容：定积分及其应用二. 重点、难点： 1. 基本积分表（1）c dx =⋅⎰0 （2）c x dx +=⋅⎰1（3）c x n dx x n n++=+⎰111（4）c x dx x +=⎰ln 1（5）c x xdx +-=⎰cos sin （6）⎰+=c x xdx sin cos（7）⎰+=c e dx e xx（8）⎰+=c a a dx a xxln2. 运算公式（1）⎰⎰=⋅dxx f k dx x f k b a b a )()(（2）⎰⎰⎰+=±dxx g dx x f dx x g x f b a b a b a)()()]()([（3）⎰⎰⎰<<+=bacabcb c a dx x f dx x f dx x f )()()()(其中3.)()(|)()(a F b F x F dx x f b a b a -==⎰⎰∑-∞→-=ni n b af n ab dx x f 1)(lim )(ξ【典型例题】[例1] 若曲线)(x f y =在x 处的导数为23x 且曲线经过点A （1，3），求)(x f 解析式。

解：c x x f +=3)(，过A ∴ 2=c ∴ 2)(3+=x x f[例2] 求下列不定积分。

（1）⎰+++-dx x x x x x )1cos 2sin 311(32dx xdx dx dx x dx x x 1sin 23132⎰+⎰+⎰+⎰-⎰=- c x x e x x x ++-⋅+-=cos 23log 3ln 33（2）dx x x x3292-+-⎰c x x dx x dx x dxx x ++--=+⎰--⎰=+--⎰=3ln 31ln 23312)3312([例3] 求下列定积分（1）dx x x )cos sin 2(20+⎰πxdx xdx cos sin 22020ππ⎰+⎰=3)01()10(2|sin |cos 22020=-+--=+-=ππx（2）dxx 1220-⎰∵⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=-=1012111222x x x x x y ∴dxx dx x dx x )1()1(1221210220-⎰+-⎰=-⎰2)131()238()311(|)3(|)3(213103=---+-=-+-=x x x x[例4] dx b ax x M 2311)(+-⎰=-，b a ,为何值时，M 最小。

人教A版选修2-2 定积分的概念学案

定积分的概念[学习目标] 1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分.知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程1.曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示).(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限.2.求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.思考(1)如何计算下列两图形的面积？(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？答案(1)①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.(2)为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小. 知识点二定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi ).其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.思考 (1)如何理解定积分？(2)用定义求定积分⎠⎛ab f (x )d x 的一般步骤是什么？答案 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛ab f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的值与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得的值也不同，例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.(2)①分割：将区间[a ，b ]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，⎠⎛abf (x )d x ≈∑i ＝1nf (ξi )Δx ；③取极限：⎠⎛abf (x )d x ＝lim Δx →0∑i ＝1nf (ξi )Δx .知识点三定积分的几何意义与性质 1.定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S .(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝－S .(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ，如图(3)所示，即⎠⎛ab f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积).2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).思考设v ＝v (t )在时间区间[t 1，t 2]上连续且恒有v (t )≥0，定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 的意义是什么？答案定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 表示做变速直线运动的物体在时间区间[t 1，t 2]内经过的路程，这就是定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 的物理意义.题型一求图形的面积问题例1 用定积分的定义求曲线y ＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积.解 ①分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .②近似代替：对区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n.③求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n＝1n4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1＝1n 4·n －12·n 24＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1.④取极限：当n →∞时，S n 趋近于54，即S ＝lim n →∞S n ＝54.所以曲边梯形的面积是54.反思与感悟对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是“以直代曲”方法的应用. 跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积. 解 (1)分割：将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，简写作⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . 过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积.在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点x i (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便取x i 为小区间的左端点，以点x i 的函数值f (x i )＝⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n －1为一边，以小区间长度Δx ＝1n 为邻边的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈f (x i )·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n(i ＝1,2，…，n ). (3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S 的近似值.即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf (x i )Δx ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n ＝1n 3∑i ＝1n(i －1)2－1n 2∑i ＝1n(i －1)＝16n －12n －1nn 3－12n n －1n2＝1－n 26n 2＝－16＋16n 2.① (4)取极限：当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S ，因此，当n →∞，即Δx →0时，和式①的逼近值就是所求曲边梯形的面积. 当Δx →0时，S →－16(负号表示图象在x 轴下方).所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成图形的面积是16.题型二求汽车行驶的路程例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(v 的单位：km/h ，t 的单位：h)，那么它在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解将区间[1,2]等分成n 个小区间，即第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n ).所以Δs ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n， s n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n＝1n ∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2＝1n ∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －12n 2＋2i －1n ＋3 ＝1n ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋n －12]⎭⎪⎬⎪⎫＋1n[0＋2＋4＋6＋…＋2n －1] ＝3＋n －12n －16n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋n －12n －16n 2＋n －1n ＝133.所以这段时间内行驶的路程s 是133km.反思与感悟利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题.跟踪训练2 一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离.(g ＝9.8 m/s 2)解自由落体的下落速度为v (t )＝gt .将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋3i －1n ，3＋3i n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度. 所以s n＝∑i ＝1nv ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋3i －1n 3n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3g ＋3g n i －1·3n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3ng ＋3g n [1＋2＋…＋n －1]·3n＝9g ＋9g n 2·n n －12＝9g ＋92g ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n .所以s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9g ＋92g ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝9g ＋92g＝272×9.8＝132.3(m). 故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m. 题型三由定积分的几何意义求定积分例3 利用定积分的几何意义，求： (1) ⎠⎛－339－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示.其面积为S ＝12πr 2＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛－339－x 2d x ＝92π.(2)在坐标平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)所示.其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.反思与感悟利用定积分的几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，求不规则图形的面积常用分割法，注意分割点的选取.跟踪训练3 利用定积分的几何意义计算. (1) ⎠⎛－11x d x ；(2) ⎠⎛－RRR 2－x 2d x .解 (1)如图①所示，定积分为图中阴影部分面积A 减去B . ∵S A ＝S B ＝12，∴⎠⎛－11x d x ＝12－12＝0.(2)如图②所示，定积分为图中阴影部分面积，而阴影部分面积为π2R 2，∴⎠⎛－RRR 2－x 2d x ＝π2R 2.因对定积分的几何意义理解不准确致误例4 如图所示，f (x )在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC.－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD.－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x错解错选A 或B 或C.错因分析错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻.正解若f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；若f (x )≤0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；若在[a ，c ]上，f (x )≤0，在[c ，b ]上，f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝－⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x ，故选D.防范措施定积分的几何意义是在x 轴上半部计算的面积取正值，在x 轴下半部计算的面积取负值.1.把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n答案 B解析区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2.定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A.与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B.与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C.与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D.与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关答案 A3.求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________. 答案 1.02解析将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2 d x ；②⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x .答案 ①> ②<1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －a n； (4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).2.定积分⎠⎛abf (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数. 3.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.4.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、选择题1.当n 的值很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上的值可以近似代替的是()A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D.f (0)答案 C解析当n 很大时，用区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 内任意点所对应的函数值都可以近似代替，此时函数值变化很小.2.在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋in2·2nB.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2in2·2nC.lim n →∞∑ni ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1n D.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋in2·n答案 B解析将区间[0,2]进行n 等分，每个区间长度为2n.3.一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C.1 D.32答案 B解析曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程.4.下列命题不正确的是( )A.若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0B.若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC.若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x ＞0D.若f (x ) 在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正答案 D解析对于A ，f (－x )＝－f (x )，⎠⎛－a a f (x )d x ＝⎠⎛－a 0f (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝－⎠⎛0a f (x )d x ＋⎠⎛0af (x )d x ＝0，同理B 正确；由定积分的几何意义知，当f (x )>0时，⎠⎛ab f (x )d x >0即C 正确；但⎠⎛ab f (x )d x >0，不一定有f (x )恒正，故选D.5.已知f (x )＝x 3－x ＋sin x ，则⎠⎛－22f (x )d x 的值为( )A.等于0B.大于0C.小于0D.不确定答案 A解析由题意知f (x )为奇函数，由奇函数的性质有⎠⎛－20f (x )d x ＝－⎠⎛02f (x )d x ，而⎠⎛－22f (x )d x ＝⎠⎛－20f (x )d x ＋⎠⎛02f (x )d x ＝0. 6.与定积分⎠⎜⎛03π2|sin x |d x 相等的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎜⎛03π2sin x d x B.⎠⎜⎛03π2sin x d x C.⎠⎛0πsin x d x －⎠⎜⎛π3π2sin x d xD.⎠⎜⎛ππ2sin x d x ＋⎠⎜⎛π23π2sin x d x答案 C解析当x ∈(0，π]时，sin x ≥0；当x ∈(π，3π2]时，sin x <0.∴由定积分的性质可得⎠⎜⎛03π2|sin x |d x ＝⎠⎛0 π|sin x |d x ＋⎠⎜⎛π3π2|sin x |d x ＝⎠⎛0 πsin x d x ＋⎠⎜⎛π3π2 (－sin x )d x ＝⎠⎛0πsinx d x －⎠⎜⎛π3π2sin x d x . 二、填空题7.已知⎠⎛0t x d x ＝2，则⎠⎛－t0x d x ＝________.答案－2解析 ∵f (x )＝x 在[－t ，t ]上是奇函数， ∴⎠⎛－t t x d x ＝0.而⎠⎛－t t x d x ＝⎠⎛－t 0x d x ＋⎠⎛0t x d x ，又⎠⎛0t x d x ＝2，∴⎠⎛－t0x d x ＝－2.8.由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 答案－⎠⎛－π0sin x d x解析由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－⎠⎛－πsin x d x .9.设f (x )是连续函数，若⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.答案－2解析因为⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ，所以⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－2.10.定积分⎠⎛01x 2－x d x 的值为________.答案 π4解析因为y ＝x 2－x ，所以(x －1)2＋y 2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆. 定积分⎠⎛01x 2－x d x 就是该圆的面积的四分之一，所以定积分⎠⎛01x 2－x d x ＝π4.三、解答题11.求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积. 解令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2n －1n，x n ＝2. 第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n ＝8n 3∑i ＝1n i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n3·n n ＋12n ＋16＝43⎝⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2.(3)取极限S ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ 43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＝83，即所求曲边梯形的面积为83.12.利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积： (1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2； (2)y ＝x －2，x ＝y 2.解 (1)曲线所围成的区域如图(1)所示.设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)d x ＝⎠⎛02x d x .(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，设此面积为S ，则12,A A S S S =+A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成； A 2由y ＝x ，y ＝x －2和x ＝1围成.∴1A S ＝⎠⎛01[x －(－x )]d x ，21A S ＝⎠⎛14[x －(x －2)]d x .∴S ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛14(x －x ＋2)d x .13.是否存在常数a ，使得⎠⎛－1a x 5d x 的值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.解 ⎠⎛－1a x 5d x 表示直线x ＝－1，x ＝a ，y ＝0和曲线y ＝x 5所围成的各部分面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号. 因为f (x )＝x 5为奇函数，所以⎠⎛－10x 5d x ＝－⎠⎛01x 5d x ，所以要使⎠⎛－1a x 5d x ＝0成立，则a ＝1.故存在a ＝1，使⎠⎛－1a x 5d x ＝0.。

人教A版选修2-2 定积分的简单应用学案

定积分的简单应用[学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，⎠⎛ab f (x )d x ＞0，所以S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)如图②，f (x )＜0，⎠⎛ab f (x )d x ＜0，所以S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bf x d x ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，⎠⎛a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，⎠⎛ab f (x )d x＞0.所以S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf x d x ＋⎠⎛cb f (x )d x ＝－⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x .2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S .(1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝⎠⎛abf (x )d x ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛a bg x d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛ab f (x )d x .4.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′分别为：(1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛c b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛ab v (t )d t .2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所做的功为W ＝Fs ；而若是变力所做的功W ，等于其力函数F (x )在位移区间[a ，b ]上的定积分，即W ＝⎠⎛ab F (x )d x .思考下列判断正确的是 .(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t ；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子⎠⎛t 1t 2v (t )d t .答案 (1)(3)解析 (1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解；当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用⎠⎛t 1t 2v (t )d t 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－⎠⎛t 1t 2v (t )d t .所以(2)错(3)正确.题型一利用定积分求平面图形的面积问题例1 求由抛物线y 2＝x5，y 2＝x －1所围成图形的面积.解在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.方法一以x 为积分变量.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 5，y 2＝x －1，得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－12.设点P (1,0)，则所求面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎠⎜⎛054x5d x －⎠⎜⎛154x－1d x＝2()355324420312x x ⎤--⎥⎢⎥⎣⎦＝23. 方法二以y 为积分变量.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 5，y 2＝x －1，可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，－12.设点P (1,0)，则所求面积S ＝2⎠⎜⎛012 (y 2＋1－5y 2)d y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －43y 3⎪⎪⎪⎪120＝23. 反思与感悟若以x 为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y 为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.跟踪训练1 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程.解如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x 得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC .S 曲边△AOB ＝x ⎰x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，所以x 0＝1.从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1 题型二运用定积分求解物理问题例2 一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)此点在t ＝4 s 时的位置； (2)此点在t ＝4 s 时运动的路程.解因为位置决定于位移，所以它是v (t )在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负. (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t ⎪⎪⎪40＝43(m). 即在t ＝4 s 时该点在距出发点43m 处.(2)∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0， ∴该点在t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛13t 2－4t ＋3d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m).反思与感悟解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.跟踪训练2 有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车.设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)⎪⎪⎪50＝25(m).故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m. 题型三用定积分解决变力做功问题例3 设有一个长为25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功.解设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数).因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2⎪⎪⎪150＝2 250(N ·cm)＝22.5(J).反思与感悟 (1)根据物理学知识，求出变力f (x )的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f (x )的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W ＝⎠⎛ab f (x )d x 求出变力所做的功.跟踪训练3 如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V 1变为V 2，求气体压力所做的功.解由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P ＝C V(V 表示气体体积，C 为常数)，而活塞上的压力为F ＝PQ ＝CQ V ＝C L(Q 表示截面积，L 表示活塞移动的距离，V ＝LQ ).记L 1，L 2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W ＝⎠⎛L 1L 2F (L )d L ＝⎠⎛L 1L 2C L d L ＝C ⎠⎛V 1V 21Vd V ＝C (ln V )⎪⎪⎪V 2V 1＝C (ln V 2－ln V 1).所以气体体积由V 1变为V 2，气体压力所做的功为C (ln V 2－ln V 1).用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误例4 求由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积. 错解由题意，作出图形如图由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＞0，x ＋y －6＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)，所以所求面积为S ＝⎠⎛04(6－x －8x )d x＝324201262223x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝24－8－423×324＝16－3223.错因分析 S ＝⎠⎛04(6－x －8x )d x＝⎠⎛04(6－x )d x －⎠⎛048x d x .⎠⎛04(6－x )d x 表示由直线y ＝6－x 与直线x ＝0，直线x ＝4，直线y ＝0围成的图形的面积，⎠⎛48x d x 表示由抛物线y 2＝8x (y ＞0)与直线x ＝0，直线x ＝4，直线y ＝0围成的图形的面积.上述S 显然不是所求图形的面积. 正解 S ＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x＝3223x ⎫⎪⎭⎪⎪⎪2＋⎝⎛⎭⎪⎫6x －12x 2⎪⎪⎪62＝163＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6×6－12×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－12×22＝163＋8＝403. 防范措施合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.1.在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x③ ④A.①③B.②③C.①④D.③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确.故选D.2.曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A.2B.3C.52 D.4答案 B解析 S ＝⎠⎜⎛0π2cos x d x －⎠⎜⎜⎛π23π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π20- sin x⎪⎪⎪⎪3π2π2＝sin π2－sin 0－ sin3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3. 3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A.405B.540C.810D.945 答案 A解析停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30， ∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030(27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)⎪⎪ 30＝405.4.由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是 . 答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2⎪⎪⎪ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x ⎪⎪⎪41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193. 5.一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功. 解设F (x )＝kx ，∵弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，∴k ＝4. ∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4⎠⎛05x d x ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⎪⎪⎪5＝50(N ·cm)＝0.5(J).1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. 2.路程问题.(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算. 3.变力做功问题.(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.一、选择题1.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf x d xC. ⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0，∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2.一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m 答案 D 解析 s ＝⎠⎛122t ＋1d t ＝t 2＋t ⎪⎪⎪21＝4(m).3.一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A.120 m B.437.5 m C.360 m D.480 m答案 B解析从A 处到B 处所用时间为25 s.所以|AB |＝⎠⎛0251.4t d t ＝0.7t 2⎪⎪⎪250＝437.5 (m).4.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a b [g (x )－f (x )]d xC.⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 答案 C解析当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab[g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .5.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 答案 A解析 v ＝0时物体达到最高，此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s. ∴h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪2＝1603(m). 6.如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( )A.0.5 JB.1 JC.50 JD.100 J 答案 A解析由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝⎠⎛010F (x )d x ＝⎠⎛010x d x ＝12x 2⎪⎪⎪10＝50 (N ·cm)＝0.5 (J).二、填空题7.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为 . 答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x－x 3)d x .8.有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6).则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为 cm 3. 答案 144解析由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝⎠⎛064(6t －t 2)d t ＝4⎠⎛066t －t 2d t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2－13t 3⎪⎪⎪6＝144 (cm 3).故t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为144 cm 3.9.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为 J.答案 12kl 2解析在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数.由变力做功公式得W ＝⎠⎛0l kx d x ＝12kx 2⎪⎪⎪1＝12kl 2(J). 10.由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是 .答案 43解析如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.三、解答题11.求抛物线y ＝－x 2＋4x －3与其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积. 解由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23.12.物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解依题意知物体A ，B 均做变速直线运动.设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A ＝⎠⎛0a v A d t ＝⎠⎛0a (3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；B 从开始到a 秒末所走的路程为 s B ＝⎠⎛0a v B d t ＝⎠⎛0a 10t d t ＝5a 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5. 此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米).故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米. 13.定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值. 解 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y，∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，f ′(x )＝2x －4.又∵过O 作C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝n 2－4n ＋9，tn＝2n －4，解得B (3,6).∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪3＝9.。

高中数学 17定积分的应用学案新人教A版选修2-2 学案

【学习目标】1．理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法；2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积，会解决简单的物理问题.【学习重难点】重点：理解定积分概念和性质难点：用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积和简单的物理问题.【学习过程】一、学前准备1：利用定积分求平面图形面积时，可分成几个步骤？2：计算抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形面积.二、合作探究：探究：定积分在几何中的应用问题：如何求曲边图形的面积? 新知：1.当()f x 在[,]a b 上有正有负时，则|()|ba A f x dx =⎰1()y f x =，2()y g x =，[,]x a b ∈及直线,x a x b ==所围成且()()f x g x >.其面积都可以用公式[()()]baA f x g x dx =-⎰求之.1()y f x =，2()y g x =，[,]x a b ∈和两条直线,y a y b ==之间的平面图形的面积公式为：[()()]baA f x g x dx =-⎰试试：求正弦曲线3sin ,[0,]2y x x π=∈和直线32x π=及x 轴所围成的平面图形的面积.反思：求定积分就是求曲边梯形的面积. 典型例题例1计算由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S.变式：计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S.小结：在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.例2 一辆汽车的速度—时间函数关系为：3,(010)()30,(1040)1.590,(4060)t tv t tt t≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪-+≤≤⎩求汽车在这60秒行驶的路程. 【学习检测】1. (A)若()y f x=与()y g x=是[,]a b上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b==所围成的平面区域的面积为（）A．[()()]baf xg x dx-⎰B．[()()]bag x f x dx-⎰C．|()()|baf xg x dx-⎰D．|()()|baf xg x dx-⎰2. (B)已知自由下落物体的速度为v gt=，则物体从0t=到t t=所走过的路程为（）A．213gt B．20gt C．212gt D．214gt3. (B)曲线3cos(0)2y x xπ=≤≤与坐标轴所围图形的面积是（）A．2 B．3 C．52D．44.(B)一物体在力()34F x x=+（单位：N）的作用下，沿着与力相同的方向从0x=处运动到4x=处（单位：）则力()F x所作的功为5 (B)计算由xy e=，y e=，0x=所围图形的面积.6 (C)一物体沿直线以23=+（t的单位：s，v的单位：/m s)的速度运动，求该物体在35sv t间行进的路程.【学习小结】。

2013新人教A版选修(2-2)《定积分在几何中的应用》word学案

学校：临清一中学科：数学编写人：李长春审稿人：贾志安1.7.1 定积分在几何中的应用课前预习学案【预习目标】1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积【预习内容】1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用3．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ）A ．6B ．4C ．3D ．2 4．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ） A ．34B ．45C ．56D ．不存在 5．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰223221200(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．6．求定分3-⎰x ．7．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？一、学习目标：2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、学习重点与难点：3. 定积分的概念及几何意义4. 定积分的基本性质及运算的应用三、学习过程（一）你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负（二）新课例1．求椭圆12222=+b y a x 的面积。

例2．求由曲线3324,16y y x y y x -=-=所围成的面积。

练习：P58面例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。