第四章 定理推理
4.2-自然演绎推理
第4章 自动推理 章
第4章 自动推理 章
4.1 4.2 4.3 引言 自然演绎推理 归结演绎推理
4.2 自然演绎推理
4.2.1 自然演绎推理的基本概念
定义：自然演绎推理是指从一组已知的事实出发， 定义：自然演绎推理是指从一组已知的事实出发， 直接运用命题逻辑或谓词逻辑中的推理规则推出 结论的过程。 结论的过程。 推理规则： 推理规则： P规则：在推理的任何步骤上都可引入前提，继 规则： 规则 续进行推理。 T规则：推理时，如果前面步骤中有一个或多个 规则： 规则 公式永真蕴涵公式S，则可把S引入推理过程中。
作业
1、什么是推理的控制策略？有哪几种主要的推 理驱动模式？ 2、自然演绎推理的基本概念与基本的推理规则。
4.2.1 自然演绎推理的基本概念
又如下列推理： 又如下列推理：
如果上网，则能知道新闻。 没有上网。 所以，不知道新闻。 这就是使用了否定前件的推理,违反了逻辑规则,显然 是不正确的,因为通过收听广播、看电视等，也会知 道新闻。
4.2.2 自然演绎推理的优缺点
优点： 定理证明过程自然，容易理解，而且它拥有丰富 的推理规则，推理过程灵活，便于在它的推理 规则中嵌入领域启发式知识。 缺点： 容易产生组合爆炸，推理过程中得到的中间结 论一般呈指数形式递增。
4.2.1 自然演绎推理的基本概念
假言推理：假言推理的一般形式是： 假言推理：假言推理的一般形式是： P，P→Q==》Q ， → 》 它表示： 为真， 为真。 它表示：由P→Q及P为真，可推出 为真。 → 及 为真 可推出Q为真 拒取式推理：拒取式推理的一般形是： 拒取式推理：拒取式推理的一般形是： P→Q，~Q==》~P → ， 》 它表示： 为真及Q为假 为假。 它表示：由P→Q为真及 为假，可推出 为假。 → 为真及 为假，可推念
第四章 推理直接推理
S
P
SEP PES
2014-3-12
• •
• •
SIP：
有的学生是党员。所以，有的党员是学生。 有的动物是会飞的。所以，有些会飞的是动物。 有些人是运动员。所以，有些运动员是人。
S
P
S
P
P
S
SIP PIS
2014-3-12
三）换位法推理的意义
有些大学生是来自农村的。 所以，有些来自农村的是大学生。 有些著名的人物出身低微。 所以，有些出身低微的是著名人物。 有些皇帝曾经是孤儿。 有些孤儿后来当了皇帝。 有些案犯是党员。 所以，有些党员是案犯。 在语言表达中表现为“把话倒过来说”，主、谓 项位置相交换，强调的重点发生位移。
请同学们根据规则，将下面同素材的A、E、I、O四个判断 用换质法进行推理。
• （1）所有的法律都是有阶级性的。 • （2）所有的法律都不是有阶级性的。 （3）有些法律是有阶级性的。 （4）有些法律不是有阶级性的。 • 例：她死亡的原因不是自杀， —————————————— 所以，她死亡的原因是谋杀。
2014-3-12
•
• • • • • •
SEP： 好狗不挡路。所以，挡路不好狗。 文明人不说脏话。所以，说脏话的不是文明人。 唯物主义者不是唯心主义者。所以，唯心主义者不是唯物 主义者。 老虎不是吃草的。所以，吃草的不是老虎。 故意罪不是过失罪。所以，过失罪不是故意罪。 一切合法行为都不是犯罪行为。所以，一切犯罪行为都不 是合法行为。
普通逻辑学
2014-3-12
【思维训练题】
• 1.张三并非既懂英语又懂法语。问：如果上述断定为真，下述哪项断 定必定为真？ • A．张三懂英语但不懂法语。 B．张三懂法语但不懂英语。 • C．张三既不懂英语也不懂法语。D．如果张三懂英语，他就一定不 懂法语。 • E．如果张三不懂法语，那么他一定不懂英语。 • 2.张三违章驾驶汽车，交警向他宣布处理决定：“要么扣留驾驶执照 三个月，要么罚款1000元。”张三不同意。问：如果张三坚持己见， 以下哪项实际上是他同意的？ • A．扣照但不罚款。 B．罚款但不扣照。 • C．既不罚款也不扣照。 D．既罚款又扣照。 • E．如果做不到既不罚款也不扣照，那么就必须接受既罚款又扣照。
《数理逻辑》第四章
马琦 2010.10.16 maqi08@非形式化命题演算基本要素 真值指派 逻辑推理 等价性 p,q,r,…~,∧,∨,→,↔, A,B,C,… 真值表 重言式：对任意变元真值都取T。
论证形式的有效性语句形式演算系统 L~,→,( , ) , p1, p2, p3,… 合式公式，公理，演绎规则 重言式：对每一赋值都取T。
定理和证明(推演和后承)论证形式是有效的当且仅当相应的命题形式是重言式。
重言式是定理，定理是重言式。
论证形式是有效一阶语言 L基本要素 真值指派 x1,x2,…,a1,a2,…, Ain, fin, (,),,,~,→,∀ 解释：变元域以及其他元素的指定。
赋值：对变元的指定。
重言式：L L中重言式的代换实例。
逻辑推理 等价性 逻辑有效：对每一解释都是真的。
逻辑有效的。
重言式是逻辑有效 逻辑有效形式系统KLL的合式公式，公理，规则定理和证明(推演和后承) 定理是逻辑有效的。
逻辑有效的是定理。
公理• 设A,B,C是L的任意wf.，下列为KL的公理。
• (K1) (A→(B→A)) • (K2) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) • (K3) (~A→~B)→(B→A)) • (K4) ((∀xi)A→A))，xi不在A中自由出现。
• (K5) ((∀xi)A(xi)→A(t)))，A(xi)是L的wf.，而 L的项 t 对A(xi)中的 xi 是自由的。
• (K6) ((∀xi)(A→B)→(A→(∀xi)B))，若A不包含变元xi的自由出现。
规则• (1) 分离规则，即由A和 (A→B)推出B，这里A和B是L的任意wf.。
• (2) 全称概括规则，即由 A推出 (∀xi)A，这里A是L的任意wf.，xi是任意变元。
全称概括规则证明和定理• KL中的一个证明是L的wf.序列 A1,…An，使对每一i(1≤i≤n)，或者Ai是KL的公理， 或者Ai是由序列中在前的wf.用MP规则或全称概括规则而推得。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例(教案)
（2）逆向思维的培养：在解决逆向问题，即已知线段比例求平行线问题时，学生往往感到困难。
举例：已知在三角形ABC中，AB/AC = 2/3，点D在BC上，使得AD//BC，求BD/DC的比例。
其次，在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析、重点难点解析的方式，逐步引导学生掌握平行线分线段成比例定理。在这个过程中，我发现图示和实际案例的分析对于学生理解这一概念非常有帮助。但在讲解过程中，我应该更加注意语言的简洁明了，避免让学生产生混淆。
在实践活动环节，我安排了分组讨论、实验操作和成果展示。通过这个环节，学生们的动手能力和团队合作能力得到了锻炼。但我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些问题，如对尺度的把握不准确等。因此，在以后的教学中，我可以增加一些关于几何作图的技巧讲解，提高学生们的实践能力。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学上册第四章“图形的相似”中的4.2节“平行线分线段成比例”。教学内容主要包括以下两点：
1.探索并掌握平行线分线段成比例定理，即：如果两条直线平行，那么它们所分得的对应线段成比例。
2.学会运用平行线分线段成比例定理解决相关问题，如：求线段比例、相似三角形等。通过对该定理的理解和应用，培养学生空间想象能力和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点和想法，并进行交流。这个环节的效果还不错，学生们积极参与讨论，课堂氛围活跃。但我也注意到，部分学生过于依赖教材，缺乏独立思考的能力。为了培养学生的创新思维，我可以在今后的教学中多设置一些开放性的问题，引导学生进行深度思考。
04-2第四章 推理技术-谓词逻辑
第4章 推理技术
解 释(语义)
语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I ⊨ ，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I ，有I ⊨ 蕴含I ⊨ ，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为 ⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。
推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻
辑。 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展，成为数学和计算 机科学基础。
8
第4章 推理技术
逻辑系统
一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。
逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号；
逻辑学与计算机科学
• 逻辑学：研究思维规律的科学 • 计算机科学：模拟人脑行为和功能（思维）的科学 • 思维：大脑、逻辑、语言、计算机 • 逻辑是知识表示和推理的重要形式和工具
第4章 推理技术
逻辑的历史
• Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑： 逻辑+数学 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早 由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于
1、在一条街上，有5座房子，喷了5种颜色； 2、每个房里住着不同国籍的人； 3、每个人喝不同的饮料，抽不同品牌的香烟，养不同的 宠物。
问题是：谁养鱼？
第4章 推理技术
爱因斯坦的世界难题（2）
条件是：
1、英国人住红色房子； 2、瑞典人养狗； 3、丹麦人喝茶； 4、绿色房子在白色房子左面； 5、绿色房子主人喝咖啡； 6、抽PallMall香烟的人养鸟； 7、黄色房子主人抽Dunhill香烟；
高中数学必修2第四章知识点总结
高中数学必修2第四章知识点总结一、几何证明几何证明是数学中的一种重要方法。
在几何证明中，我们需要运用已知条件和几何定理进行推理，以得到我们要证明的结论。
1.等腰三角形性质等腰三角形的性质包括两边相等、两底角相等等。
在证明等腰三角形时，可以利用相等的角、相等的边、对称性等性质进行推导。
2.相似三角形性质相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。
在证明相似三角形时，可以运用角度对应、边长比例、平行性等性质来推导。
3.圆的性质圆的性质包括切线与半径垂直、半径相等的弧对应的角相等等。
在证明圆的性质时，可以使用切线、弦、弧等基本概念和定理进行推导。
二、平面上的向量向量是数学中一个重要的概念，表示有大小和方向的量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量的线性组合。
1.向量的加法和减法向量的加法满足交换律和结合律，减法是加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
2.数量乘法向量与实数的乘法称为数量乘法，它可以改变向量的大小和方向。
3.向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量与一些实数相乘再相加而得到的新的向量。
4.向量共线和共面两个向量共线是指它们的方向相同或相反，两个向量共面是指它们在同一个平面上。
三、线性规划线性规划是一种优化问题，它的目标是在一定的约束条件下，使其中一目标函数达到最大或最小值。
线性规划的基本步骤包括建立数学模型、确定目标函数和约束条件、求解可行解集和最优解。
1.线性规划问题的建立线性规划的问题可以用一个线性方程组来表示，其中包括目标函数和约束条件。
2.目标函数和约束条件目标函数是要优化的目标量，约束条件是对决策变量的限制要求。
3.可行解集和最优解可行解集是满足约束条件的决策变量的取值范围，最优解是在满足约束条件下使目标函数达到最大或最小值的解。
四、数列与数列的合成数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
数列的合成是指将两个或多个数列按照一定规律进行组合。
1.数列的概念数列可以用函数来表示，其中自变量是自然数，函数值是一系列按照一定规律排列的数。
勾股定理推理过程
勾股定理推理过程勾股定理是古希腊的著名数学定理之一，由毕达哥拉斯（Pythagoras）提出。
该定理说的是：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
数学表达式如下：a^2 + b^2 = c^2其中，a和b表示直角三角形的两条直角边的长度，c表示该直角三角形的斜边的长度。
下面我将从几何角度和代数角度解释和推导勾股定理。
1. 几何推导：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以把三角形的两条直角边a和b分别作为直角的两边，然后再连接它们两个，形成一个矩形。
通过观察可以发现，这个矩形的四个顶点与三角形的顶点组成了一个正方形。
正方形的对角线互相垂直且相等，所以我们可以得到：a +b = c将此式平方得：(a + b)^2 = c^2展开右边得：a^2 + 2ab + b^2 = c^2因为直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方，所以我们可以得到：a^2 + b^2 = c^22. 代数推导：我们可以通过代数方法推导勾股定理。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理可得：a^2 + b^2 = c^2将这个式子进行平方运算得：a^2 = c^2 - b^2我们将右边的c^2 - b^2进行因式分解，得到：a^2 = (c + b)(c - b)假设c和b都是正数，那么(c+b)和(c-b)也都是正数。
我们可以进行以下推导：令x = c + b, y = c - b可以求得：c = (x + y) / 2b = (x - y) / 2我们把a^2 = (c + b)(c - b)的式子代入，得到：a^2 = (x + y) / 2 * (x - y) /2简化得：a^2 = (x^2 - y^2) / 4进一步化简得：4a^2 = x^2 - y^2根据平方差公式，我们可以得到：4a^2 = (x + y)(x - y)将前面的x和y代回得：4a^2 = (c + b)(c - b)因为c和b都是正数，所以c+b和c-b也都是正数，所以我们可以进一步推导得到：4a^2 = c^2 - b^2整理得到勾股定理的标准形式：a^2 + b^2 = c^2通过几何推导和代数推导，我们可以得到勾股定理的标准形式。
逻辑推理六年级第四章教学解析
逻辑推理六年级第四章教学解析逻辑推理作为一门重要的思维能力培养科目，在小学六年级的教学中扮演着重要的角色。
第四章是逻辑推理的关键章节，本文将对该章进行深入的教学解析，帮助学生更好地理解和应用逻辑推理。
第一节：命题逻辑基础在逻辑推理中，命题逻辑是基础和起点，因此首先要让学生了解命题逻辑的概念和基本形式。
通过举一些生活中的例子，如“如果今天下雨，那么我就带伞出门”，让学生判断语句是命题还是非命题，并学会用符号表示命题，如P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞出门”。
第二节：命题的合取、析取和否定学生在掌握命题逻辑基础后，可以开始学习命题的合取、析取和否定。
合取是将几个命题通过“与”连接起来，并用符号“∧”表示，如P∧Q表示“今天下雨并且我带伞出门”。
析取是将几个命题通过“或”连接起来，并用符号“∨”表示，如P∨Q表示“今天下雨或者我带伞出门”。
否定是对一个命题取反，并用符号“¬”表示，如¬P表示“今天不下雨”。
第三节：推理与推导推理是逻辑推理的核心内容，学生需要学会通过已知命题得出结论的方法。
常用的推理方法有直接推理（即应用命题的真值确定其真假）、逆否推理（即应用命题的逆否关系判断原命题真假）、假设推理（即设定假设条件进行推理）等。
通过多个实例的练习，让学生熟练掌握各种推理方法，并能运用于实际问题中。
第四节：逻辑图解逻辑图解是将命题逻辑用图形的方式表示出来，有助于学生更直观地理解和推理命题逻辑。
在这一节的教学中，可以通过引导学生观察、分析生活中的逻辑关系，并将其用逻辑图解的方式表示出来，培养学生的逻辑思维能力。
第五节：真值表真值表是一种用表格的方式表示命题逻辑的方法，能够清晰地展示命题之间的真值关系。
学生需要通过将命题的各个可能情况列举出来，并确定每种情况下命题的真假性质来绘制真值表。
通过真值表的练习，学生可以更好地掌握命题逻辑的推理规律。
第六节：应用实例分析最后，通过一些实例分析的方式，让学生将所学的逻辑推理知识应用到实际问题中。
初中数学逻辑推理命与定理的证明过程
初中数学逻辑推理命与定理的证明过程初中数学逻辑推理：命题与定理的证明过程在初中数学的学习中，逻辑推理是一项非常重要的能力。
而命题与定理作为逻辑推理的重要组成部分，对于我们理解数学的本质、培养严谨的思维有着至关重要的作用。
首先，让我们来明确一下什么是命题。
命题是可以判断真假的陈述句。
比如说，“三角形的内角和是 180 度”，这就是一个命题，因为它可以被证明是真的；而“今天天气真好”，这就不是一个命题，因为它无法判断真假。
命题通常由题设和结论两部分组成。
题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果。
例如，命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”就是题设，“这两个角相等”就是结论。
那么，如何判断一个命题的真假呢？这就需要通过推理和证明。
对于一些简单的命题，我们可以通过直观的观察或者已有的知识来判断。
但对于一些复杂的命题，就需要运用逻辑推理和数学方法来进行证明。
定理是经过证明为真的命题。
定理是数学体系中的基石，它们是经过无数数学家的努力和证明而确立下来的。
比如勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这是一个被广泛应用且经过严格证明的定理。
接下来，让我们通过一个具体的例子来看看定理的证明过程。
以“三角形内角和定理”为例，即“三角形的内角和等于 180 度”。
证明这个定理，我们可以采用多种方法。
方法一：我们可以通过作平行线的方法来证明。
假设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
过点 A 作直线 EF 平行于 BC。
因为 EF∥BC，所以∠EAB ＝∠B，∠FAC ＝∠C（两直线平行，内错角相等）。
又因为∠EAB ＋∠BAC ＋∠FAC ＝ 180 度（平角的定义），所以∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝ 180 度，即三角形的内角和等于 180 度。
方法二：我们还可以将三角形的三个内角剪下来，拼在一起，看看是否能组成一个平角。
通过实际操作，我们会发现三个角能够拼成一个平角，从而直观地证明三角形内角和为 180 度。
勾股定理推理过程
勾股定理推理过程勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是自古以来数学经典定理之一，它是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的一种关于三角形边长的关系公式。
公式的形式为：直角三角形的斜边平方等于两腰的平方和。
在推导勾股定理前，先说明一些基本的三角函数概念：正弦函数：在直角三角形中，以某一锐角的对边长度除以斜边长度所得的比值。
余弦函数：在直角三角形中，以某一锐角的邻边长度除以斜边长度所得的比值。
正切函数：在直角三角形中，以某一锐角的对边长度除以邻边长度所得的比值。
接下来，我们来推导勾股定理：首先，假设有一直角三角形ABC，其中∠C为90°， AB为斜边，AC和BC为两条腰。
由于三角形ABC是直角三角形，那么根据三角函数的定义，我们可以得到下面的三个关系式：sin∠A = 对边AC / 斜边ABcos∠A = 邻边BC / 斜边ABtan∠A = 对边AC / 邻边BC接下来，我们将利用小学数学中的代数法来推导勾股定理，该法又叫做几何法。
首先，我们将勾股定理中的a、b、c分别代表三角形的三个边长，即：a = ACb = BCc = AB则根据三角函数定义，我们可以得到：sin∠A = a / ccos∠A = b / c接着，我们将这两个式子相加：sin^2∠A + cos^2∠A = a^2 / c^2 + b^2 / c^2使用通分，得到：sin^2∠A + cos^2∠A = (a^2 + b^2) / c^2再根据勾股定理中的公式，即：c^2 = a^2 + b^2带入上式，可得到：sin^2∠A + cos^2∠A = 1此时，我们证明了三角函数中的一个重要性质，即：sin^2∠A + cos^2∠A = 1并将其称为三角函数的基本恒等式。
接下来，我们将上式进行移项化简，得到勾股定理的式子：c^2 = a^2 + b^2这就是勾股定理的一般形式，它告诉我们在一个直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。
初二数学逻辑推理命与定理的证明过程
初二数学逻辑推理命与定理的证明过程在初二数学的学习中，逻辑推理、命题与定理是非常重要的知识板块。
它们不仅是数学思维的基石，也是解决数学问题和理解数学本质的关键。
接下来，让我们一起深入探索这一有趣且富有挑战性的领域。
首先，我们来理解一下什么是命题。
命题，简单来说，就是一个可以判断真假的陈述句。
比如，“对顶角相等”，这是一个真命题，因为通过几何定理和推理可以证明它是正确的；再比如，“所有的质数都是奇数”，这就是一个假命题，因为 2 是质数但不是奇数。
那命题是怎么构成的呢？一个命题通常由题设和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
例如，命题“如果两条直线平行，那么同位角相等”中，“两条直线平行”就是题设，“同位角相等”就是结论。
理解了命题，我们再来看看定理。
定理是经过推理证实为真的命题。
比如勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这是经过无数次的验证和推理被证明为正确的。
那定理是如何被证明的呢？这就需要用到逻辑推理的方法。
逻辑推理是一种基于已知条件和已有的数学规律、定理，通过合理的推导得出结论的过程。
我们以一个简单的定理证明为例：“三角形的内角和为180°”。
证明过程如下：首先，我们任意画一个三角形 ABC。
然后，过点 A 作直线 EF 平行于 BC。
因为 EF 平行于 BC，所以∠EAB ＝∠B，∠FAC ＝∠C（两直线平行，内错角相等）。
又因为∠EAB ＋∠BAC ＋∠FAC ＝ 180°（平角的定义），所以∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝ 180°，即三角形的内角和为 180°。
在这个证明过程中，我们利用了平行线的性质和平角的定义，通过逻辑推理，一步步得出了结论。
再来看一个稍微复杂一点的例子：证明“等腰三角形的两底角相等”。
已知：在△ABC 中，AB ＝ AC。
求证：∠B ＝∠C。
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD。
因为 AB ＝ AC，AD ＝ AD，∠BAD ＝∠CAD，所以△ABD ≌△ACD（SAS 全等判定）。
第4章经典逻辑推理
• 一方面根据已知事实进行正向推理，但并不推 到最终目标；另一方面从某假设目标出发进行 逆向推理，但并不推至原始事实，而是让它们 在中途相遇，即由正向推理所得的中间结论恰 好是逆向推理此时所需要的证据，这时推理就 可结束，逆向推理时所做的假设就是推理的最 终结论。
7/15/2020
郑州大学振动工程研究所
• 非启发式推理——比如穷举式推理等。
7/15/2020
郑州大学振动工程研究所
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• Ⅴ. 基于知识的推理、统计推理、直觉 推理（从方法论的角度划分）
• 基于知识的推理——根据已掌握的事实，通过 运用知识进行的推理。
• 统计推理——根据对某事物的数据统计进行的 推理(相当于归纳推理)。
• 直觉推理——又称常识性推理，是根据常识进 行的推理。
7/15/2020
郑州大学振动工程研究所
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• Ⅱ. 确定性推理，不确定性推理（按推理时
所用知识的确定性来划分）
•
• 确定性推理—— 指推理时所用的知识都是精确的， 推出的结论也是确定的，其真值或为“真”，或 为“假”，没有第三种情况出现。
• 下面将要讨论的经典逻辑推理就属于这一类。
• 不确定性推理——指推理时所用的知识不都是精 确的，推出的结论也不完全是肯定的，其真值位 于“真”和“假”之间，命题的外延模糊不清。
• 例如{a/x,f(b)/y,w/z}就是一个代换
7/15/2020
郑州大学振动工程研究所
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但是{g(y) /x, f(x)/y}则不是一个代换，因为代 换的目的是使某些变元被另外的变元、常量、 或函数表达式取代，使之不再在公式中出现， 而{g(y)/x,f(x)/y}在x与y之间出现了循环代换的 情况，它既没有消去x,也没有消去y。如果把 它改为{g(a)/x,f(x)/y}就可以了，它将把公式中 的x代换成g(a), y代换成f(g(a)),从而消去了变量 x和y。
第四章演绎推理2假言命题及假言推理
• 某人知道“狸猫换太子”细节；（假定这个小前提是真的） • 所以，某人是真包公。 • 试问：上面这个结论必然真吗？
• 真假包公： • 只要知道“石龟眼中流出的是血”，就是真包公；（说明： 这个大前提是王丞相的看法，他把它看作充要条件，这是 恰当的。所以这个前提是真的。） • “真包公”知道“石龟眼中流出的是血”， • 所以他就是真包公。（结论真）
• 一、什么是假言命题？ • 假言命题的前件和后件。（教材109页中间） • 二、充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条 件假言命题。 • （一）充分条件假言命题 • 什么是充分条件？如果某一个条件可以独立地产生某一个 结果，那么这个条件就是产生这个结果的充分条件。 • 前件：“天下雨”，后件：“那么室外地面湿” • 前件：“毕业后要当老师”，后件：“必须通过相应的普 通话等级考试” • 前件：“物体摩擦”，后件：“物体生热” • 前件：“播了假种子”，后件：“没有收获” • 前件：“灯泡钨丝断了”，后件“灯泡不会亮” • 充分条件假言命题中p和q的这种逻辑关系可以概括为：有 之必然，无之未必不然。
p
q
p→q
q
p
q←p
①
②
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
③
④
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
T
• 必要条件和充分条件可以相互转换。二者的转换关系为； 如果前件是后件的充分条件，那么后件就是前件的必要条 件；如果前件是后件的必要条件，那么后件就是前件的充 分条件。
• （四）充分必要条件假言命题 • 什么是充分必要条件？如果只有某一个条件才能够产生某 一个结果，那么这个条件就是产生这个结果的充分必要条 件。 • 前件：“某三角形是等角的”，后件：“某三角形是等边 的” • 前件：“两直线平行”，后件：“同位角相等” • 充分必要条件假言命题中p和q的这种逻辑关系可以概括为： 有之必然，无之必不然。
第四章不确定性推理教程以及答案
这是把先验概率P(H)更新为后验概率P(H/E)的计算公式。
4.4 主观Bayes方法
2．证据肯定不存在的情况 在证据E肯定不存在时，把先验几率O(H)更新为后验 几率O(H/﹁E)的计算公式为
O( H / E ) LN O( H )
如果将上式换成概率，就可得到
(4.4.3)
LN P( H ) (4.4.4) P( H / E ) ( LN 1) P( H ) 1
4.4 主观Bayes方法
4.4.2 证据不确定性的表示
若以O(A) 或P(A)表示证据A的不确定性，则转换公式 是：
当A为假时 0 P( A) O( A) 当A为真时 1 P( A) 0, 当A介于真假之间时
4.4 主观Bayes方法
4.4.3 不确定性的遗传算法
1．表示问题
1、知识不确定性的表示 2、证据的不确定性表示
1、不确定性的传递算法 2、结论不确定性的合成 3、组合证据的不确定性算法 1、知识的不确定性度量 2、证据的不确定性度量
2. 计算问题
3. 语义问题
4.2 不确定性推理方法分类
1、模型方法 特点:把不确定的证据和不确定的知识分别与某 种度量标准对应起来，并且给出更新结论不确定性的 算法，从而构成了相应的不确定性推理的模型。 数值方法
Si
i
O( H / S1 , S2 , Sn )
O( H / S n ) O( H / S1 ) O( H / S2 ) O( H ) O( H ) O( H ) O( H ) O( H / S1 , S2 , Sn ) P( H / S1 , S2, Sn ) 1 O( H / S1, S2 , , Sn )
第四章 阿基米德的求圆面积定理
第四章阿基米德的求圆面积定理（公元前约225年）阿基米德生平从欧几里得到我们将要介绍的下一位伟大数学家——叙拉古城举世无双的阿基米德（公元前287—212年）之间，经历了两三代人之久。
阿基米德在其辉煌的数学生涯中，将数学疆界从欧几里得时代向前推进了一大步。
实际上，此后将近两千年，数学界再没有出现过像阿基米德这样伟大的数学家。
我们有幸了解一些阿基米德的生平，但因为历经沧桑，其细节的真伪往往受到怀疑。
同时，他的一些数学著作也有幸流传下来，而且有他自己的注解。
所有这些资料，为我们描绘了这位曾经统治古代数学界，受人尊敬，但又有点儿古怪的数学天才的一生。
阿基米德出生于西西里岛的叙拉古城。
据说，他的父亲是一位天文学家，阿基米德从小就萌发了研究宇宙的兴趣，终生乐此不疲。
阿基米德青年时代也曾到过埃及求学，并在亚历山大图书馆学习。
这里曾是欧几里得治学之处，阿基米德自然也会受到欧几里得的影响，这一点在阿基米德的数学著作中可以很清楚地看出。
据说，阿基米德在尼罗河谷期间，曾发明了所谓“阿基米德螺旋水车”，这种装置可以用来把水从低处提到高处。
有趣的是，这一发明，直至今日仍在使用。
他的发明证明了阿基米德的双重天才：他既可以脚踏实地地研究实际问题，又能够在最抽象、最微妙的领域中探索。
亚历山大显然适合发挥他的才干，但阿基米德还是返回了他的故乡叙拉古城，据我们所知，就在那里度过了他的后半生。
叙拉古城虽然十分闭塞，但阿基米德一直保持着与全希腊，特别是与亚历山大学者们的通信联系。
这种书信往来，使得阿基米德的许多著作得以保存。
阿基米德能够在一段时间里非常专注地研究任何问题，更加提高了他令人敬仰的数学才能。
他在进行研究时，常常会忽略日常的生活问题。
我们从普卢塔克的著作中得知，阿基米德“……忘记了吃饭，甚至忘记了他自己的存在，有时，人们会强制他洗浴或敷油，他都浑然不知，他会在火烧过的灰烬中，甚至在身上涂的油膏中寻找几何图形，完全进入了一种忘我的境界，更确切些说，他已如醉如痴地沉浸在对科学的热爱之中。
勾股定理推理过程
勾股定理推理过程勾股定理是一个既简单又重要的数学定理，可用来计算直角三角形的边长。
它的推理过程可以从直角三角形的定义和几何图形的性质开始，逐步推导出这个定理。
首先我们来定义直角三角形。
直角三角形是指一个内含一个角为90度的三角形。
三角形的三个边称为斜边、邻边和对边。
在直角三角形中，斜边是直角的对边，另外两条边是直角的邻边。
在开始推导之前，我们需要了解一些基础几何图形的性质。
如下所示：1. 直角的两条边互相垂直。
2. 两角互为补角，即其和为90度。
3. 两个直角三角形如果有一边边长相等，且有一对对应的角相等，那么这两个三角形全等。
现在，我们可以开始推导勾股定理。
假设有一个直角三角形，其中斜边的长度为c，邻边的长度为a，对边的长度为b。
根据直角三角形的定义，我们可以使用三个性质来推导出勾股定理：1. 在直角三角形中，斜边的两个直角的邻边和对边相互垂直。
因此，直角三角形可以被分成两个小三角形。
图1：___________| /| /| /| /| /|/直角a 直角b2. 根据性质2，直角a和直角b互为补角，即直角a的度数加上直角b的度数等于90度。
3. 在小三角形中, 对于直角a，邻边的长度为a，对边的长度为b。
对于直角b，邻边的长度为a，对边的长度为c。
图2：___________| /| /| / ∣ b| /___|_| / a | c|/直角a 直角b根据上述图2的小三角形，我们可以得到以下两个等式：sin(a) = b / csin(b) = a / c因此，我们可以得到以下关系式：b =c * sin(a)a = c * sin(b)接下来，我们可以将这两个等式代入三角函数的有关恒等式中：sin(a) * sin(a) + cos(a) * cos(a) = 1sin(b) * sin(b) + cos(b) * cos(b) = 1由于角a和角b是直角，即cos(a) = 0和cos(b) = 0，所以我们可以得到以下两个等式：sin(a) * sin(a) = 1sin(b) * sin(b) = 1以上两个等式可以进一步简化为：sin(a)^2 = 1sin(b)^2 = 1由于正弦函数的取值范围为-1到1之间，所以sin(a)和sin(b)只能等于1或-1。
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dx x dt
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定性模型推理
x y 0 + ? x y 0 +
+ 0 -
0
0 0 0
+
0 +
0
+
?
0
+
+
+
[x] ⊕ [y] 其中: 符号？表示不确定或无定义。
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定性进程推理
Relations: 一组参量关系 Let flow-rate be a quantity flow-rate (热流量)是一个数量 A[flow-rate] > ZERO. flow-rate 值>0 flow-rate ∝Q+ (temperature(src) -temperature(dst)) flow-rate与src,dst 的温差定性成比例 Influences: 一组影响 1-(heat(src), A[flow-rate]) flow-rate的值直接影响 heat(src),而且是负影响 1＋(heat (dst), A[flow-rate]) flow-rate的值直接影响 heat(dst),而且是正影响
Williams把定量运算和定性推理相结合建立了一个
混合代数系统Q1 Iwasaki 和 Simmons把经济学、热力学中所用的因果 关系形式化 Weld在分子生物学中设计了定性模拟程序
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定性推理的基本方法
人类对物理世界的描述、解释, 常是以某种直观的定性 方法进行的,很少使用微分方程及具体的数值描述, 如 人们在骑自行车时, 为了避免摔倒和撞车, 并不需要使用 书本上的运动方程, 而是针对几个主要参量的变化趋势 给予粗略的、直观的, 但大体上准确的描述, 这就够了。
OPEN状态 A = Amax 定性方程 [P] = 0 ∂P = 0
WORKING 状态
CLOSED状 态
0<A<Amax
定性方程
[P] = [Q]
∂P + ∂A = ∂Q
A=0
定性方程
[Q] = 0
∂Q = 0
除了可以讨论每个状态内的定性分析还可讨论各状态间转换 的定性分析。 de Kleer建立的 ENVSION系统是使用约束传播
[e1＋e2] ⇒ [e1] ⊕ [e2] [e1e2] ⇒ [e1] [e2]
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压力调节器
压力调节器是通过弹簧来控制阀门流量, 以使流量为 某一设定值而不受流入的流量和负载变化的影响。根 据物理学有
Q CA 2 P
ห้องสมุดไป่ตู้
P0
dQ P dA CA dP C 2 dt dt 2 P dt
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定性推理的基本方法
一般分析运动系统行为的标准过程可分为三个步骤： (1) 决定描述对象系统特征的量。 (2) 用方程式表示量之间的相互关系。 (3) 分析方程式，得到数值解。
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定性推理的基本方法
这类运动系统行为的问题用计算机进行求解时， 将面临如下三个问题： (1) 步骤(1)(2)需要相当多的知识，并且要有相应的 算法。 (2) 有的场合对象系统的性质很难用数学式子表示。 (3) 步骤(3)得到了数值解，但是对象系统的行为并 不直观明了。
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与生成测试方法来求解定性方程。 史忠植 高级人工智能
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定性进程推理
Forbus提出的定性进程方法把物理现象视作由一些相关的 进程来描述, 每个进程由一组个体、前提条件、数量条件、 参数关系和影响来描述, 推理过程是从已知的进程表中依次 选出一些可用的进程来描述一个物理过程。定性进程理论 中有关定性物理的关键思想如下： (1) 组织原则为物理进程。本体论在知识的组织上起着重 要作用。在人们进行物理系统推理时，物理进程非常直观， 用它组织物理领域的理论是合理的。 (2) 用顺序关系表示数值。重要的性质差别常由比较而来。 例如，当压力和温度不同时产生流动；当温度到达某一界 值时会发生相变等。在很多情况下，用一套序数关系表示 数值更自然。
当x 0 x 0 当x 0 当x 0
• 依物理规律将微分方程转换成定性(代数)方程, 或直接依物理 规律建立定性模拟或给出定性进程描述。 11 史忠植 高级人工智能 • 2015/3/18 最后给出定性解释
定性模型推理
de Kleer研究解决经典物理问题需要哪些知识及如何 建立问题求解系统。他提出的定性模型方法所涉及 的物理系统是由管子、阀门、容器等装置组成, 约束 条件(定性方程)反映在这些装置的连接处, 依定性方 程给出定性解释。 为将代数方程、微分方程定性化, 首先需定义变 量的定性值集合以及相应的定性运算。
[x] ⊗ [y]
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定性模型推理
下面给出⊕和 ⊗ 的运算规则。设 e1, e2是公式, 则有：
[0] ⊕ [e1]⇒[e1] [0] ⊗ [e1]⇒[0] [+] ⊗ [e1]⇒[e1] [-] ⊗ [e1]⇒-[e1]
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定性模型推理
使用下列规则，可将运算符+、转换成⊕、⊗：
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定性进程推理
一个物理系统的变化是由进程引起的, 一个物理过程由一 些进程来描述, 这就是定性推理进程方法的基本观点。下
面介绍在定性进程推理中的量空间和进程的描述。
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定性进程推理
1. 量空间
(1) 时间由区间表示, 区间之间的关系有前、后、相等。两 个区间可以相连, 瞬间认为是极短的区间, 持续时间为 0。
2015/3/18 史忠植 高级人工智能 20
定性进程推理
(3) 单一机制假设。物理进程被看作是产生变化的机制。 这样，任何变化必须解释为某些物理进程的直接或 间接的影响。进程本体论为定性物理理论的因果性 打下了基础。 (4) 组合的定性数学。人们进行复杂系统推理时，使用
部分信息并进行组合。 (5) 清晰的表示及关于模型化假设的推理。明确地表示 某些特定知识的适用条件，并从领域理论中为特定 系统建模成为定性物理的中心任务。
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定性推理的基本方法
为了解决第二、第三个问题，定性推理一般采用下列分析步骤： (1) 结构认识：将对象系统分解成部件的组合。 (2) 因果分析：当输入值变化时，分析对象系统中怎样传播。 (3) 行为推理：输入值随着时间变化，分析对象系统的内部 状态怎样变化。
定性进程推理
2. 进程 一个物理进程 P由 一组个体、
一组前提条件、
一组数量条件、 一组参数关系和
一组影响
组成。 一个进程的具体示例称作进程例，用PI表示。
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定性进程推理
Process heat-flow. 热流进程 Individuals: 一组个体 src an object, Has-Quantity(src, heat) src 是热源 dst an object, Has-Quantity(dst, heat) dst 是受热对象 path a heat-path, path是热流路径 Heat-connection(path, src, dst) 将 src, dst 连结起来 Preconclitions: 一组前提条件 Heat-Aligned(path) 热流路径安排好 Quantity Conditions: 一组数量条件 A[temperature(src)]> A[temperature(dst)] src 温度高于dst温度
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概述
de Kleer的定性模型方法[de Kleer 1984]
Forbus的定性进程方法[Forbus 1984] Kuipers 定性仿真法[Kuipers 1984]
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概述
Davis 提出从结构描述出发进行故障论断的方法 Reiler提出从基本原理出发进行故障诊断的方法
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定性进程推理
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定性仿真推理
1984年 Kuipers 发表了“因果性的常识推理：从结构导出 行为”论文。这篇论文建立了一种定性仿真推理的框架, 简单地给出了从常微分方程的抽象而得的定性结构和定性 行为表示方法。随后，1986年AI杂志又刊登了Kuipers “定性仿真”一文，文中明确了抽象关系，提出用于定性 仿真的QSIM算法，并用抽象关系证明了其有效性和不 完备性。这两篇文章奠定了定性仿真的基础。演绎过程
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压力调节器
其中 Q是通过阀门的流量,P是压力, A是阀门开启的面
积, 而C是常系数,是流体的质量密度。按照运算和转
换规则而得到定性方程：
[Q] = [P]
∂Q = ∂A + ∂ P
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(如果A > 0)
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压力调节器
2015/3/18 史忠植 高级人工智能 12
定性模型推理
定性值集合是一个离散集合, 其元素是由对数轴的划分而得到 的, 通常把数轴 (－∞,∞)划分成 (－∞,0) , 0,(0, ∞) 三段, 规定定性 值集合为 {－,0,＋}, 变量 x的定性值 [x]如下定义: