离散型随机变量的方差和标准差教学课件
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7.3.2离散型随机变量的方差PPT课件(人教版)
X DX 1.2 1.095
学以致用：
2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX 解： 离散型随机变量X的散布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
学以致用：
3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款
期数 的散布列为：
1
2
3
4
5
则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
1.已知随机变量X的散布列为
请看课本P70：练习1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解：E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
D( X ) (1 2.4)2 0.2 (2 2.4)2 0.3 (3 2.4)2 0.4 (4 2.4)2 0.1 0.84
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3 ，3，4；则这组数据的方差是多少？
反应这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [(x1
x)2
([(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
学以致用：
2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX 解： 离散型随机变量X的散布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
学以致用：
3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款
期数 的散布列为：
1
2
3
4
5
则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
1.已知随机变量X的散布列为
请看课本P70：练习1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解：E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
D( X ) (1 2.4)2 0.2 (2 2.4)2 0.3 (3 2.4)2 0.4 (4 2.4)2 0.1 0.84
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3 ，3，4；则这组数据的方差是多少？
反应这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [(x1
x)2
([(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
离散型随机变量的方差 课件
2．(1)一出租车司机从饭店到火车站途中有 6 个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率 都是13，则这位司机在途中遇到红灯数 ξ 的方差为________；
(2)篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分．已知某 运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的方差．
4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任 取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、期望和方差．
解析： 由题意，得 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，所以 P(ξ＝0)＝1200＝12，P(ξ＝1)＝210，P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝230， P(ξ＝4)＝240＝15.
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8. D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16. (2)由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即 Y～B(10,0.8)． ∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8， D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
[规律方法] 正确认识二项分布及在解题中的应用
___
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
为
这
些
偏
离
程
度
的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程
度．称D(X)为随机变量X的____方__差____． n 2．标准差的概念：方差为 D(X)＝ (xi－E(X))2pi，其 i＝1
____算_术 __平__方__根____D__X_______为随机变量 X 的__标__准__差_____．
离散型随机变量的方差 课件
＋
(1
－
1.5)2×
1 20
＋
(2
－
1.5)2×
1 10
＋
(3
－
1.5)2×
3 20
＋
(4
－
1.5)2×15＝2.75．
(2)由 D(Y)＝a2D(X)，得 a2×2.75＝11，即 a＝±2．
又 E(Y)＝aE(X)＋b，所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4，∴ab＝＝2－2或ab＝＝－4 2.即为所求．
[解析] (1)随机变量 ξ 的所有可能取值为 0,1，并且有 P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0) ＝1－p，从而 ξ～B(1，p)，故 D(ξ)＝p(1－p)＝p－p2＝－(p2－p＋14)＋14＝－(p－12)2 ＋14，
∵0<p<1，∴当 p＝12时，D(ξ)取得最大值，最大值为14.故填14． (2)因为随机变量 ξ～B(10,0.02)，所以 D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填
• 『规律总结』 1.如果随机变量X服从两点分布，那么其 方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
• 2．如果随机变量C服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方 差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁 杂的计算过程．
典例 3 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ 与η，且ξ，η的分布列为：
0.196．
典例 2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他 在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13．
(1)求这位司机遇到红灯次数 X 的均值与方差； (2)若遇上红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间 Y 的均值与方差． [解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数 X 服从二项分布，且 X～B(6，13)， ∴E(X)＝6×13＝2，D(X)＝6×13×(1－13)＝43． (2)由已知得 Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1200．
离散型随机变量的均值和方差PPT优质课件
.
（1）求他得到的分数X的分布列；
1
2
3
P 0 .3 C 0.70.3 C 0.7 0.3 0.7 3 1 2 2 2 3 2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
3
3
(2) E 0 0 . X 3 3 1 C 3 1 0 . 7 0 . 3 2 2 C 3 2 0 . 7 2 0 . 3 3 0 . 7 3
2、随机变量ξ的分布列是 乙单位不同职位月工资X2/元
一般地，如果随机变量X服从两点分布， 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
ξ
4
7
9
10
P
0.3
a
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
高二数学 选修2-3
2.3离散随机变量 的均值和方差
二、具体问题
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 2 10
二、数学期望的性质
E(aX b)aEb X
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
挡住小洪水。
(1)则Eξ= 2.4 . （1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)；
离散型随机变量的方差 课件
该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与 96.
[例4] 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点项 目建设，为了对重点项目建设负责，政府到两建材厂抽样 检查，从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下 表：
ξ 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 η 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
P(X＝1)＝1n， P(X＝2)＝n－n 1×n－1 1＝1n， P(X＝3)＝(1－1n)(1－n－1 1)×n－1 2＝n－n 1×nn－ －21×n－1 2 ＝1n，…，
P(X
＝
k)
＝
(1
－
1 n
)·(1
－
1 n－1
)·(1
－
1 n－2
)·…·(1
－
n－1k＋2)×n－1k＋1
＝n－n 1·nn－ －21·nn－ －32·…·nn－ －kk＋ ＋12·n－1k＋1＝1n，…，
E(η) ＝ 100×0.1 ＋ 115×0.2 ＋ 125×0.4 ＋ 130×0.1 ＋ 145×0.2＝125，
D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125 －125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125 －125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
[点评] 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节 是以下两点：
(1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两 点分布、二项分布的期望与方差的公式)．
[例4] 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点项 目建设，为了对重点项目建设负责，政府到两建材厂抽样 检查，从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下 表：
ξ 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 η 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
P(X＝1)＝1n， P(X＝2)＝n－n 1×n－1 1＝1n， P(X＝3)＝(1－1n)(1－n－1 1)×n－1 2＝n－n 1×nn－ －21×n－1 2 ＝1n，…，
P(X
＝
k)
＝
(1
－
1 n
)·(1
－
1 n－1
)·(1
－
1 n－2
)·…·(1
－
n－1k＋2)×n－1k＋1
＝n－n 1·nn－ －21·nn－ －32·…·nn－ －kk＋ ＋12·n－1k＋1＝1n，…，
E(η) ＝ 100×0.1 ＋ 115×0.2 ＋ 125×0.4 ＋ 130×0.1 ＋ 145×0.2＝125，
D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125 －125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125 －125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
[点评] 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节 是以下两点：
(1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两 点分布、二项分布的期望与方差的公式)．
方差和标准差-PPT课件
P 1 0.3 2 0.7
50 Dx=____, 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 99 D(2x-1)=____ E(2x-1)=____, 100
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
2
，
1 2 2 2 S [ ( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 5
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性. 4
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
18
例1. (2019· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
27
题型三 期望与方差的综合应用 【例3】(14分)（2019· 广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质
检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知
生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而 生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ .
50 Dx=____, 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 99 D(2x-1)=____ E(2x-1)=____, 100
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
2
，
1 2 2 2 S [ ( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 5
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性. 4
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
18
例1. (2019· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
27
题型三 期望与方差的综合应用 【例3】(14分)（2019· 广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质
检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知
生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而 生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ .
离散型随机变量的方差 课件
E3X＋2＝3EX＋2， D3X＋2＝9DX，
即3np＋2＝
np1－p＝12.96，
解得 n＝
所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4.
p＝0.4，
2．(改变问法)本例题条件不变，求E(3X＋2)．
[解] 由例题可知X～B5，13 所以E(X)＝5×13＝53. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为 什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)． 3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5，3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.
，所以X的均值E(X)＝(－1)×
1 2
＋0×
1 4
＋
1×14＝－14.
故X的方差D(X)＝－1＋142×12＋0＋142×14＋1＋142×14＝1116.
法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝
－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.
品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
高中数学选修2-3.2离散型随机变量的方差人教版ppt课件
0 1 2
1 1 3
x p
[解题过程]
1 1 1 由 ＋ ＋p＝1，得 p＝ ， 2 3 6
1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋ x＝ ，∴x＝2. 2 3 6 3
2 2 2 1 1 1 15 2 2 2 ∴ (1)D(ξ) ＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ ＝ 2 3 6 27
2
3 1 2 1.5) × ＋(4－1.5) × ＝2.75. 20 5
2
(2)由 D(aξ＋b)＝a2Dξ＝11， E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝1， 及 Eξ ＝1.5，Dξ＝2.75，得 2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得 a＝2，b ＝－2 或 a＝－2，b＝4.
1．如何理解离散型随机变量的方差、标准差？ (1)随机变量 X 的方差和标准差都反映了随机变量 X 取值 的稳定与波动， 集中与离散的程度， D(X)(或 DX)越小， 稳 定性越高，波动越小，显然 D(X)≥0( DX≥0)
[题后感悟] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有 时仅知道均值的大小还不够，如果两个变量的均值相等，还要看 随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明 随机变量取值较分散，反之则说明取值较集中、稳定．因此在利 用均值和方差的意义去分析、解决问题时，两者都要分析．
2.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分 别记为X1和X2，它们的分布列分别为
有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重 点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样 品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下；
ξ P
η
110 0.1
100
120 0.2
新教材选择性8.2.2第2课时离散型随机变量的方差与标准差课件(52张)
类型 3 均值、方差的实际应用 [探究问题] 1．A，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时， 出次品的概率如下表：
A 机床 次品数 X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B 机床 次品数 X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10 由 E(X1)和 E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量 X 的期望()
(2)离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平．
() (3)离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的波动水平．
()
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
当堂达标·夯基础
1．已知随机变量 ξ 满足 P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则 E(ξ)和
V(ξ)的值分别为( )
A．0.6 和 0.7
B．1.7 和 0.09
C．0.3 和 0.7
D．1.7 和 0.21
D [E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－ 1.7)2×0.7＝0.21．]
(2)因为 x＋y＋z＝1，又因为 x，y，z 成等差数列，所以 x＋z＝2y， 所以 y＝13，又因为 E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝31， 所以 z＝0，x＝32， 所以 D(X)＝0－132×23＋1－132×31＋2－132×0＝29．]
类型 2 求离散型随机变量的方差、标准差 【例 2】 编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个 座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是 ξ， 求 E(ξ)和 D(ξ)．
高二数学离散型随机变量的方差与标准差课件
当X服从超几何分布，即X～H(n,M( N M )( N n ) V(X)= M N N ( N 1) nM ( N M )( N n ) 2 = N ( N 1)
例3：从较大批量的成品中随机取出10件 产品进行检验，若这批产品的不合格 率为0.05，随机变量X表示这10件产品 中不合格品的件数，求二项分布B（10， 0.5）的方差和标准差。
求变量X的方差和标准差。 练习： 问前例中甲、乙两人哪个技术更稳 定？
当X服从两点分布时，
E(X)=
p(1 p)
例2：高三（1）班的联欢会上设计了一 种游戏，在一个口袋里10个红球，20 个白球，某学生一次从中摸出5个球， 其中红球的个数为X，求超几何分布 H(5,10,30)的方差和标准差。
2.5.2 离散型随机变量的方差 与标准差
一、练习： 1、某随机变量X有分布列如下：
X
P
60
0.1
70
0.2
80
0.5
90
0.2
求随机变量X的数学期望。 2、设有一批产品20件，其中有3件次品， 从中任意抽取2件，如果用X表示取得的 次品数，求随机变量X的数学期望。
3、从一批由9件正品、3件次品组成的产品中, 有放回地抽取5次,每次抽一件,设抽得五件产 品中次品的件数为X，求的数学期望。
二、离散型随机变量的方差和标准差
甲、乙两人射击的概率分布表为：
X（环数） 8 9 10
P（概率）
y（环数） P（概率）
0.4
8 0.5
0.5
9 0.3
0.1
10 0.2
从均值看，两人的期望值一样，如何比 较两人的射击技术呢？
定义:对于离散型随机变量X,其分布列为:
高二数学离散型随机变量的方差和标准差(PPT)2-1
有了新思路：把这一大堆数再取平均值 E X EX
就可以了.
为什么这样可以？
E X EX 愈小，X的值就愈集中于 EX 附近，
表明此射手发挥愈稳定; 反之就Leabharlann 分散，表明此射手发挥愈不稳定．
然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中程度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
结论1： 若X服从两点分布,则EX=p
结论2： 若X服从超几何分布,则E(X)=nM/N
结论3： 若X服从二项分布,则E(X)=np
x 我的想法是，看谁命中的环数 i 与其平均环数
EX 偏差的绝对值 xi EX 最小.
出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值 也是一大堆的数，不好确定，怎么办？
由于 EX EX 2 EY EY 2,因此乙射击水平
更稳定一些，看来甲无话可说了．
； 优游
2019年3月，科学家们利用美国国家航空航天局的哈勃太空望远镜和欧州航天局盖亚任务的观测数据来对银河系质量进行估计，得出的结果是约为1.5万亿太阳质量。 [1] 1750年—英国天文学家赖特（Wright Thomas）认为银河系是扁平的。1755年—德国哲学家康德提出了恒星和银河之间 可能会组成一个巨大的天体系统；随后的德国数学家郎伯特（Lambert Johann heinrich）也提出了类似的假设。 1785年—英国天文学家威廉·赫歇耳用“数星星”的方法绘制了一张银河图，在赫歇耳的银河图里，银河系是偏平的，被群星环绕，其长度为7000光年，宽1400光年。我们的太阳处在银河系的中心，这是人类建立的第一个银河系模型，它虽然很不完善，但使人类的视野从太阳系扩展到银 河系广袤的恒星世界中。 1845年—罗斯勋爵发现第一个漩涡星系M51。1852年—美国天文学家史帝芬．亚历山大声称银河系是一个旋涡星系，却拿不出证据加以证明。1869年—英国天文学作家理查．普洛托克提出相同的见解，但一样无法证实。1900年—荷兰天文学作家科内利斯．伊斯顿公布银河系漩涡结构图， 然而旋臂及银心都画错了。 1904年，恒星光谱中电离钙谱线的发现，揭示出星际物质的存在。随后的分光和偏振研究，证认出星云中的气体和尘埃成分1905年，赫茨普龙发现恒星有巨星和矮星之分。1906年，卡普坦为了重新研究恒星世界的结构，提出了“选择星区”计划，后 人称为“卡普坦选区”。他于1922年 得出与F.W.赫歇耳的类似的模型，也是一个扁平系统，太阳居中，中心的恒星密集，边缘稀疏。在假设没有明显星际消光的前提下，于1918年建立了银河系透镜形模型，太阳不在中心。到二十年代，沙普利模型已得到天文界公认。由于未计入星际消光效应，沙普利把银河系估计过大。到 1930年，特朗普勒证实星际物质存在后，这一偏差才得到纠正。 1913年，赫罗图问世后，按照光谱型和光度两个参量，得知除主序星外，还有超巨星、巨星、亚巨星、亚矮星和白矮星五个分支。科内利斯．伊斯顿再度公布错误的银河系漩涡结构图。 1917年，美国天文学家沙普利（Harlow Shapley）用威尔逊山天文台的2.5米反射望远镜研究当时已知的100个球状星团，通过观测其中的造父变星来确定这些球状星团的距离。 1922～1924年美国天文学家哈勃发现，星云并非都在银河系内。哈勃在分析M31仙女座大星云一批造父变星的亮度以后断定，这些造父变星和它们所在的星云距离我们远达几十万光年，因而一定位于银河系外。这项于1924年公布的发现使天文学家不得不改变对宇宙的看法。 1926年—瑞典天文学家林得·布拉德（Lindblad Bertil）分析出银河系也在自转。1927年，荷兰天文学家奥尔特定量地测出了银河系的较差自转，进一步证明太阳确实不在银河系中心。
高中数学2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)优秀课件
它们都是反映离散型随机变量取值相对于期望 的平均波动大小〔或说离散程度〕，它们的值 越小，那么随机变量偏离于均值的平均程度越 小，即越集中于均值。
3、对方差的几点说明
〔1〕随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，那么随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
一般地，如果随机变 量X服从两点分布，
那么D(X)=？
小结：D (X ) (1 p )2p (0 p )2qp
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
那么D (X ) (1 p )2p (0 p )2qpq
如果X~B（n，p），那么 D（X）=？
一般地,如果随机变量X服从二项分布， 小结：
即X～B〔n,p〕，那么
( 1 8 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .1 4 0 0 0 0
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0
D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
列与等可能事件概率易求分布列;
〔2〕直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A1
3 3
1 6
,
A
3 3
1
,P（X=1）=
C
1 3
3
A
3 3
,1
2
故X的概率分布列为
3、对方差的几点说明
〔1〕随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，那么随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.
一般地，如果随机变 量X服从两点分布，
那么D(X)=？
小结：D (X ) (1 p )2p (0 p )2qp
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
那么D (X ) (1 p )2p (0 p )2qpq
如果X~B（n，p），那么 D（X）=？
一般地,如果随机变量X服从二项分布， 小结：
即X～B〔n,p〕，那么
( 1 8 0 0 -1 4 0 0 )2 0 .1 4 0 0 0 0
E X 2 1 0 0 0 0 . 4 1 4 0 0 0 . 3 1 8 0 0 0 . 2 2 2 0 0 0 . 1 1 4 0 0
D X 2 ( 1 0 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 4 ( 1 4 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 3 ( 1 8 0 0 - 1 4 0 0 ) 2 0 . 2
列与等可能事件概率易求分布列;
〔2〕直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A1
3 3
1 6
,
A
3 3
1
,P（X=1）=
C
1 3
3
A
3 3
,1
2
故X的概率分布列为
高二数学离散型随机变量的方差和标准差(教学课件2019)
一、引例： 有一项赛事要派一人去。现有甲、乙 两位射手，甲射手射击中命中的环数用X表示，乙射 手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射手射击中 命中的环数分布分别为：
现在要判断甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？ 我的想法：算他们命中的平均环数(均值)
甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为
EX 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9（环） EY 8 0.1 9 0.8 10 0.1 9 (环)
复习
概率分布列为下表：
x1
x2Pn
则称 E x1 p1 x2 p2 xn pn为
的数学期望或平均数、均值, 数学期望又简称为期望.
结论1： 若X服从两点分布,则EX=p
结论2： 若X服从超几何分布,则E(X)=nM/N
结论3： 若X服从二项分布,则E(X)=np
看来分不出谁好坏了， 谁能帮我？
；安福相册 / 安福相册
；
虏齐王广 而秦灵公於吴阳作上畤 渭川千亩竹 传得天人之祐助云 乃悉征左右贤王 以材高举侍御史 宛城中无井 翁生授琅邪殷崇 楚国龚胜 涉领宫卫 而吴有严助 朱买臣 成帝永始元年二月 逮捕勃治之 又发边郡士马以千数 家室没入 后世称其忠 〔名喜 诏曰 夫婚姻之礼 灾变自除 是 时 攘之於幕北 而萧望之曰 戎狄荒服 万户侯岂足道哉 景帝即位 旱岁犬多狂死及为怪 可破灭也 上拜买臣会稽太守 六物不同 上之举错遵古之道 敕尽伯禽之赐 建侯於楚 诏曰 待诏夏贺良等建言改元 易号 授倪宽 兒姁蚤卒 欲率诸侯破秦乎 沛公骂曰 竖儒 后为丞相掾 或言和亲 至於 君不君 秦皇帝曰死而以谥法 不可交以私 孺为任侠 布以兵属梁 显明昭式 言高皇帝王子弟各有分地 外不知王处 从容视贤笑 妻君宁时在旁 孔子临河而还 反受其殃 赐食邑二百户 母乃令从
第讲离散型随机变量期望与方差PPT课件
x
123
P(ξ＝x) ？ ！ ？
第5页/共26页
5.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E(X)＝0，D(X)
5
1
＝1，则 a＝_1_2_，b＝__4__.
解析：由题知a＋b＋c＝
11 12
，－a＋c＋
1 6
＝0,12×a＋12×c＋
22×112＝1，解得a＝152，b＝14.
X －1 0 1 2
第11页/共26页
P(ξ＝3)＝C4323313＝3821，
P(ξ＝4)＝234＝1861. ξ的分布列为：
01234
P
1 81
8 81
8 27
32 81
16 81
E(ξ)＝4·23＝83，D(ξ)＝4·23·1－32＝89.
第12页/共26页
考点2 均值与方差的应用 例2：某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实 验操作．规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过．已知 6 道备 选题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确 完成的概率都是—23 ，且每题正确完成与否互不影响. 求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计 算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
第2页/共26页
1．已知随机变量ξ的分布列是：
ξ1 2 3
P 0.4 0.2 0.4 则 D(ξ)＝( B)
A．
B．
C．1
D．
2．已知随机变量ξ～B(n，p)，且 E(ξ)＝，D(ξ)＝，
则n,p的值为( B )
A．n＝4，p＝
B．n＝6，p＝
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现在要判断甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？ 我的想法：算他们命中的平均环数(均值) 甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为
看来分不出谁好坏了， 谁能帮我？
我的想法是，看谁命中的环数 偏差的绝对值 最小.
与其平均环数
出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值 也是一大堆的数，不好确定，怎么办？
机变量的代表性好.
4. 随机变量方差的计算
例. 随机抛掷一枚均匀的骰子，求向上一面的 点数 X 的均值 、方差和标准差.
三、重要概率分布的方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布列
则有
例3.高三(1)班的联欢会上设计了一项游 戏,在一个口袋中装有10个红球,20个白 球,这些球除颜色外完全相同.某学生一 次从中摸出5个球,其中红球的个数为X, 求X的数学期望.方差和标准差.
4.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境， 且野生动物的种类和数量大致相等，而两个野生动 物保护区每个季度发生违反保护条例的事件次数的 分布列如表，试评定这两个保护区的管理水平.
X 0 1 2 0.2 3 0.2 Y 0 1 2 0.4
P 0.3 0.3 (甲)
P 0.1 0.5 (乙)
复习 概率分布列为下表：
p
x1 P1 x2 P2 … … xn Pn
则称
的数学期望或平均数、均值, 数学期望又简称为期望.
结论1： 若X服从两点分布,则EX=p 结论2： 若X服从超几何分布,则E(X)=nM/N
结论3：
若X服从二项分布,则E(X)=np
一、引例： 有一项赛事要派一人去。现有甲、乙 两位射手，甲射手射击中命中的环数用X表示，乙射 手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射手射击中 命中的环数分布分别为：
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分 布,其分布列为
则有 E X = n p ，
例4.从批量较大的成品中随机取出10 件产品进行质量检查,若这批产品的不 合格品率为0.05,随机变量X表示这10 件产品中的不合格品数,求随机变量X 的方差和标准差.
练习:
1.设Xp
2.设X～B( n, p )，则有 ( D) A. E(2X-1)=2np B. V(2X+1)=4np(1-p)+1 C. E(2X+1)=4np +1 D. V(2X-1)=4np(1-p)
3.设X是一个离散型随机变量，其分布列 如下：求q值，并求E X，V X .
X P 解： -1 1/2 0 1-2q 1 q2
有了新思路：把这一大堆数再取平均值 就可以了. 为什么这样可以？ 愈小，X的值就愈集中于 手发挥愈不稳定． 附近，
表明此射手发挥愈稳定; 反之就愈分散，表明此射
然而在实际中
带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用
变量 X 取值的分散程度或集中程度． 现在我可以确定派谁去了. 据此分析，我可以算得：
来表达随机
由于 ,因此乙射击水平 更稳定一些，看来甲无话可说了．
离散型随机变量的方 差和标准差
一、知识点
X
1.已知离散型随机变量 X 的分布列：
3.方差的意义:方差是一个常用来体现随机变量
X 取值分散程度的量.如果 V(X) 值大, 表示X
取值分散程度大, EX 的代表性差;而如果 V(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 EX 作为随