指派模型【数学建模】

指派模型宋海洲一：指派问题设有n个人被分配去做n件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只由一个人做。已知第i个人做第j件工作的效率（时间或费用)为，并假设。 ?问：应如何分配才能使总效率（总时间或总费用）最高？引进变量设建立模型分析这是线性规划模型；也是整数规划模型；0-1规划模型；更是运输模型。共有n*n个变量，实际上只需找n个变量为1即可，因此这是高度退化的线性规划模型。例1 设有5个人被分配去做5件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只由一个人做。已知第i个人做第j件工作的费用如下表所示。问：应如何分配工作才能使总费用最省？二：匈牙利法定义：指派问题的效益矩阵：效益矩阵的性质定理1：从效益矩阵C的第k行（或第k列）的每一个元素中减去一个常数a得到的矩阵C’所表示的指派问题具有相同的最优解。（ C’称缩减效益矩阵）定义：如果这些0元素分布在效益矩阵的不同的行和不同的列上，则称这些0元素为独立的0元素。定理2：若方阵的一部分元素为0，一部分元素不为0，则覆盖方阵内所有0元素的最少直线数，等于矩阵中独立的0元素的最多个数（匈牙利：konig）积和式定义：积和式的性质按行展开性；转置不变性；换行不变性；倍法变换增倍性；单行可加性； Laplace法则。补矩阵定义：匈牙利法解指派模型算法第一步：将原指派问题的效益矩阵C进行变换得矩阵CC，使得CC的各行各列均出现0元素，其方法是：（1）从效益矩阵C的每行元素减去该行最小元素；（2）在从所得的效益矩阵的每列元素减去该列最小元素。第二步：计算CC的补矩阵D,计算D的积和式per(D)。判断per(D)是否不等于0，如果per(D)不等于0，转第五步；如果per(D)等于0，转第三步。第三步：（1）在CC中找0元素最少的一排（行或列），选中其中一个0，记为0，将该0所在的行及列划去。（2）对上述划去一行及一列的矩阵，重复（1）的做法。....... 一共得到m个0 。(m n) 记下这m个0 所在的行号i1,i2,...,im及列号j1,j2,...,jm. (则CC所有的0或0必在i1,i2, (i)

行中或在j1,j2,…,jm中） (3)①：在 CC中找出不在i1,i2,…,im行的0，记下他们的列号r1,r2,…;并将这些列划竖线；②：在划去竖线的CC中找出不含0的列的0，记下他们的行号s1,s2,…;并将这些列划横线；重复①②，则这些直线构成覆盖方阵CC内所有零元素的最少直线。第四步：调整CC ,使之增

加一些0，为此按如下方法进行：（1）在没有直线覆盖的元素中，找出最小元素x; （2）在未划线的行减去最小元素x；（3）在划线的列加上最小元素x；得到新的CC，返回第二步。第五步：（1）在CC中找0元素最少的一排（行或列），选中其中一个0，记为0，将该0所在的行及列划去。（2）对上述划去一行及一列的矩阵，重复（1）的做法。……. 一共得到n个0 。（3）将n 个0 所在位置对应的变量赋“1”，其他变量赋“0”，得到最优解。例2：用匈牙利法求解例1 第一步：将原指派问题的效益矩阵C进行变换第二步：计算CC的补矩阵D,计算D的积和式per(D)。第三步：（1）在CC中找0元素最少的一排（行或列），选中其中一个0，记为0，将该0所在的行及列划去。（2）对上述划去一行及一列的矩阵，重复（1）的做法。…….。一共得到4个0 。

(4 n=5) 记下这4个0 所在的行号1，2，3，5。（3）在 CC中找出不在1，2，3，5行的0(不是0 ）的列号2，并将第2列划竖线，在CC划去竖线后剩下的0划横线；则这些直线构成覆盖方阵CC内所有零元素的最少直线:（下一页）第四步：调整CC ,使之增加一些0，为此按如下方法进行：（1）在没有直线覆盖的元素中，找出最小元素x=1; （2）在未划线的行减去最小元素x；（3）在划线的列加上最小元素x；得到新的CC，返回第二步。返回第二步：计算CC的补矩阵D,计算D的积和式per(D)=0。再进行第三步得：返回第四步：调整CC ,使之增加一些0，为此按如下方法进行：（1）在没有直线覆盖的元素中，找出最小元素x=1; （2）在未划线的行减去最小元素x；（3）在划线的列加上最小元素x；得到新的CC，返回第二步，此时per(D)~=0,转第五步得：三：极大指派问题

模型：令Cij’=maxCij-Cij,则模型等价为：四：不平衡指派问题令令模型转化为： * * 工作人 a b c d e 甲乙丙丁戊

7 9 8 7 4 5 12 5 3 6 9 7 4 6 7 8 11 6 9 5 11 9 8 6 11