实验数据的误差分析(精)
试验数据的误差及其处理
大小往往可以估计，并能设法减小或加以校正。
系统误差产生的主要原因有：方法误差、仪器误差、试剂误差、操作 误差等。
误差产生的原因
偶然误差:由于某些偶然的因素所引起的实验误差。 偶然误差难以发现，也难以控制，但在消除系统误差后，在同样条件 下进行重复测量，偶然误差的分布服从一般的统计规律。 1. 大小相等的正、负误差出现的几率相等； 2. 小误差出现的几率多，大误差出现的几率少。 随着测量次数的增加，偶然误差的算术平均值将 逐渐接近于零。因此多次测量结果的平均值接近 于真值！
误差的表示方法
精密度是指在相同条件下多次测量结果间相互吻合的程度，它表现了 测量结果的再现性。 精密度用偏差来表示，偏差越小说明分析结果的精密度越高。所以偏 差的大小是衡量精密度高低的尺度。 绝对偏差：个别测得值 – 测得平均值 相对偏差： 个别测得值 – 测得平均值 测得平均值 ×100％
误差的表示方法
提高实验数据准确度的方法
减少系统误差的途径
对照实验 校准仪器 空白实验 校正方法
减少偶然误差的途径
多次测量、取平均值
防范过失！
有效数字及运算规则
有效数字是指在实验中实际上能测量到的数字。 记录数字和计算结果时究竟应该保留几位数字，必须根据测量方法 和使用仪器的准确程度来决定。在记录数据和计算结果时，所保留 的有效数字中，只有最后一位是可疑的数字。 称量瓶质量：10. 373g，10.3732g，10.37321g 盐酸溶液体积：24.2mL，24.21mL，24.213 mL 有效数字的位数直接与测定的相对误差有关！ 在测量准确度的范围内，有效数字位数越多，测量也越准确。但超过 10.3732 ± 0.0001g 24.21 ± 0.01 mL
f ( x)
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
分析化学实验中误差及分析数据的处理精讲
分析化学实验中误差及分析数据的处理精讲误差在分析化学实验中扮演着非常重要的角色，它们可以帮助我们评估实验结果的可靠性和精确性。
本文将讨论实验误差的几种类型以及分析数据的处理方法。
首先，我们来看一下误差的分类。
实验误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于实验设计或仪器故障等原因引起的，并且在多次实验中总是出现相同的偏差。
例如，如果使用的仪器的刻度有错误，或者实验操作中有不可避免的偏差，都会导致系统误差。
这种误差通常是可预测和可修正的，但需要在实验设计和执行过程中加以注意。
为了减小系统误差，我们可以使用标准校正曲线、多次测量和仪器校正等方法。
随机误差是由于实验条件或观察者等因素的变动引起的，并且在多次实验中会出现不同的偏差。
随机误差是不可预测的，它们可以通过多次重复实验来减小，同时使用统计学方法来估算其大小。
例如，如果我们多次测量同一样品的溶解度，由于溶解度的测量值会受到环境温度和湿度等因素的影响，每次测量的结果都会有所不同，这就是随机误差。
在实验数据的处理中，我们需要考虑误差的大小和如何将其纳入计算。
下面是一些常见的数据处理方法：1.均值：计算重复测量值的平均值。
这将有助于减小随机误差，并提供更可靠的结果。
对于有系统误差的情况，可以使用校正因子将均值修正为真实值。
2.方差：计算重复测量值的离散程度。
方差越大，数据的可靠性越低。
方差可以通过计算每个测量值与均值的差的平方，并将这些差值求和后除以测量次数来得到。
3.标准偏差：标准偏差是对方差的开方，它衡量了测量结果的均匀性。
标准偏差越小，数据的可靠性越高。
标准偏差可以通过方差的平方根来计算。
4.置信区间：置信区间是对测量结果的不确定性进行估计的方法。
通过构建一个置信区间，我们可以确定结果可能出现的范围。
置信区间的计算需要考虑样本大小、方差和置信水平等因素。
总之，分析化学实验中的误差是不可避免的，但我们可以通过合适的实验设计和数据处理方法来减小和评估误差的大小。
物理实验误差分析
物理实验误差分析一、引言实验是物理学的重要组成部分，通过实验可以验证理论，揭示自然界的规律，并为进一步理论研究和应用提供数据支持。
然而，由于各种原因，实验结果往往与理论值有所偏差，这种偏差被称为实验误差。
正确地分析和评价实验误差对于得出准确的实验结论和优化实验设计至关重要。
二、实验误差的分类实验误差可以分为系统误差和随机误差。
1. 系统误差系统误差是由于实验设计或仪器仪表的固有缺陷导致的。
例如，仪器的故障、使用不当、粗糙度等都可能引入系统误差。
系统误差具有一定的可重现性，即每次实验都会产生相同的偏差值。
系统误差对实验结果的影响是有方向性的，即始终偏向或偏离真实值。
为了减小系统误差，可以采取校正措施，如使用校准仪器、提高实验技术水平等。
2. 随机误差随机误差是由于各种随机因素导致的，如仪器读数的不稳定性、环境的变化等。
与系统误差不同，随机误差是无法预测和消除的，但它们具有平均值为零的特点。
随机误差对实验结果的影响是无方向性的，通常呈现正态分布。
通过多次实验并取平均值来减小随机误差是一个常见的方法。
三、误差的来源和估计实验误差存在于整个实验过程中，可能来自测量、操作、环境等多个方面。
在进行误差分析时，必须分别估计各个误差来源并计算其对实验结果的贡献。
1. 测量误差测量误差是由仪器仪表的精确度和操作技术的限制导致的。
例如，仪器的分辨率、仪表的读数不确定性等。
为了估计测量误差，可以参考仪器的规格说明，并考虑读数的最小刻度和仪表的精度。
2. 操作误差操作误差是由实验者的个体差异或实验技术的限制导致的。
例如，实验者对仪器的操作熟练程度、读数的准确性等。
为了估计操作误差，可以进行多次实验并计算实验数据的离散程度。
3. 环境误差环境误差是由于实验环境的变化导致的。
例如，温度、湿度、气压等因素都可能影响实验结果。
为了估计环境误差，可以在实验中记录环境参数，并分析其与实验结果的关系。
四、误差的处理和分析方法对实验结果进行误差处理和分析是为了评价实验结果的可靠性和准确性。
化学实验中的实验误差分析
化学实验中的实验误差分析实验误差是化学实验中无法避免的现象，对实验结果的准确性产生重要影响。
通过对实验误差进行分析，可以了解误差的来源和性质，从而采取适当的措施，提高实验结果的准确性和可重复性。
一、实验误差的分类在化学实验中，实验误差主要可分为系统误差和偶然误差两类。
1.系统误差系统误差是由于实验系统与被测系统之间存在的固有差异所导致的误差。
它具有一定的规律性和可预见性，往往会引发连续多次实验中的相同偏差。
系统误差主要包括以下几种：（1）仪器误差：仪器的精度、灵敏度和准确度等因素会对实验结果产生影响。
（2）人为误差：实验者的操作技术、经验和环境等因素会导致误差的产生。
（3）方法误差：实验方法中存在的不确定性因素，如反应速度、反应机理等。
2.偶然误差偶然误差是指实验过程中由于各种无法控制和预测的因素导致的误差。
它通常是随机发生的，无规律可循，不会在多次实验中保持相同的数值。
偶然误差主要包括以下几种：（1）观察误差：由于实验者的主观因素，如视力、反应时间等导致的误差。
（2）环境误差：由于实验环境的温度、湿度等因素导致的误差。
（3）读数误差：由于仪器读数的限度，例如天平读数时最小刻度的误差。
二、实验误差的影响实验误差对实验结果的影响直接关系到实验结果的准确性和可靠性。
误差的累积可能导致实验结果与真实值之间存在较大的偏差，甚至影响到对实验现象和规律的正确理解。
另外，误差的存在也会降低实验结果的可重复性和可比较性，增加实验数据的不确定性。
三、实验误差分析方法在化学实验中，我们可以采用以下几种方法来对实验误差进行分析：1.常规误差分析法常规误差分析法通过记录实验数据和测量结果，并进行多次实验重复，计算平均值和标准偏差以评估实验结果的可靠性和一致性。
平均值可以作为实验结果的估计值，标准偏差可以表示各次测量结果的离散程度。
2.误差传递法误差传递法是一种通过对各个实验步骤中的误差进行合理估计和传递计算，得出最终结果误差的方法。
化学实验中的误差分析
化学实验中的误差分析一、简介在化学实验中，误差是不可避免的。
通过对误差的分析，我们可以评估实验结果的可靠性、准确性和精确度。
本文旨在探讨化学实验中的误差类型、产生原因以及如何进行误差分析。
二、误差类型在化学实验中，误差可以分为系统误差和随机误差两类。
1. 系统误差系统误差是由于实验条件、仪器设备或操作方法等方面的固有偏差所引起的。
它们在实验中是持续存在的，会对所有的数据产生同样的影响。
系统误差包括以下几种类型：(1) 仪器误差：仪器的精度限制和仪器的标定不准确可能导致测量结果的偏差。
(2) 操作误差：不正确的实验操作、样品制备和反应条件控制等因素都可能引入系统误差。
(3) 环境误差：环境因素，如温度、湿度、气压等的变化也会对实验结果产生影响。
2. 随机误差随机误差是由于实验中的偶然因素引起的，其产生原因通常无法完全控制。
随机误差的特点是在多次实验中，其数值是无规律的，不会产生明显的偏离。
随机误差包括以下几种类型：(1) 计量误差：计量的不确定性是由于仪器的限度、读数的限度、实验条件等引起的。
(2) 人为误差：不同实验员进行同一实验可能会产生不同的结果，这是由于实验员操作和读数的不稳定性造成的。
(3) 统计误差：在重复实验中，由于反应的不完全、随机事件等因素，实验结果会有一定的波动，产生统计误差。
三、误差分析方法对于化学实验中的误差，我们可以采用以下方法进行分析并评估实验结果的可靠性。
1. 标准差和相对标准差标准差是一种评估实验数据离散程度的指标。
标准差越小，说明实验数据越接近于平均值，实验结果越可靠。
相对标准差是用于比较不同数据集之间离散程度的指标，其计算公式为相对标准差=标准差/平均值。
2. 方差分析方差分析是一种通过分析实验数据差异的方法，确定各种误差来源的大小和贡献度。
通过分析方差分量的大小，可以了解到各种误差对实验结果的影响程度。
3. 置信区间置信区间指在一定置信水平下，估计一个参数的值的区间范围。
实验数据的误差分析和修正方法
实验数据的误差分析和修正方法引言：在科学研究和实验中，准确的数据是非常重要的。
然而，由于各种原因，实验数据往往存在一定的误差。
误差可能来自仪器的精度、实验操作的不完全精确、环境因素等。
因此，对实验数据的误差进行分析和修正是确保研究结果可靠性的基础。
一、误差来源分析1. 仪器误差：每个仪器都会存在一定的测量误差，精密仪器相对精确，但也无法避免误差的产生。
2. 人为误差：操作者的技术水平、观察力的差异以及操作不精确等都会导致实验结果的误差。
3. 随机误差：由于各种随机因素的影响，重复进行相同实验可能得到不同结果，这是随机误差的表现。
4. 环境误差：实验环境的变化，例如温度、湿度等因素的变化都会对实验结果产生影响。
二、误差分析方法1. 精确度分析：通过重复实验，计算数据的平均值和标准偏差来评估数据的精确度。
标准偏差越小，数据越接近真实值。
2. 绝对误差分析：求得实验测量结果与已知真实值之间的差值，以此来评估实验误差。
3. 相对误差分析：将绝对误差以某种相对的方式表示，例如相对误差等于绝对误差与已知真值的比值。
4. 随机误差分析：通过测量多次来计算数据的标准差以及相关系数等，以揭示随机误差的大小和变化规律。
三、误差修正方法1. 仪器校正：对于存在系统误差的仪器，可以通过一系列标准样品的测量来进行校正，以消除仪器本身的误差。
2. 数据处理修正：可以采用如拟合曲线等方法对数据进行拟合和修正，以减小实验数据的误差。
3. 数据剔除：当出现明显异常值时，可以考虑将其剔除，以避免异常值对结果的影响。
4. 系统误差修正：通过对误差来源的分析，找出导致系统误差的原因并加以修正，以提高实验数据的准确性。
结论：误差分析和修正是在科学研究和实验中不可或缺的一环。
只有进行全面的误差分析，并且根据分析结果采取相应的修正方法，才能得到准确可靠的实验数据。
通过不断改进和完善误差分析和修正方法，可以提高实验的可重复性，并且为科学研究提供更加可靠的数据依据。
实验数据的误差与结果处理(精)
7
2.2 实验数据处理及结果评价 2.2.1 数理统计的几个基本概念
1. 总体(universe)（或母体）——分析研究的对象 的全体 2. 样本(swatch)（或子样）——从总体中随机抽取 一部分样品进行测定所得到的一组测定值 3. 个体(individual)——样本中的每个测定值xi 4. 样本容量(capacity of sample)（或样本大小）— 样本中所含个体的数目，用n表示
1 x (79.58 79.45 .... 79.38)% 79.50% 6
s
2018年9月28日7时8分
X
i X
2
n 1
0.09%
SX S / 6 0.04%
14
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.3 置信度与置信区间
偶然误差的正态分布曲线：
对于有限次测定,结果的平均 值与总体平均值 关系为 ： s x t sx x t n
5. 样本平均值
1 x xi n
6. 极差: 表示数据的分散程度
2018年9月28日7时8分
R xmax xmin
8
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.2 少量数据的统计处理 1. 平均偏差
平均偏差又称算术平均偏差，用来表示一组数据的精密度 平均偏差： 相对平均偏差：
1 1 d xi x d i n n
s——有限次测定的标准偏差 n——测定次数
t 值表 ( t——某一置信度下的几率系数)
置信度——真值在置信区间出现的几率 置信区间——以平均值为中心，真值出现的范围 讨论： 1. 置信度不变时: n 增加，t 变小，置信区 间变小 2. n不变时：置信度增加， t变大，置信区 间变大 2. n， t不变时：s增加，置信区间变大，准 确度降低 2018年9月28日7时8分
实验数据误差分析和数据处理
第二章实验数据误差分析和数据处理第一节实验数据的误差分析由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。
人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。
为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。
由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。
一、误差的基本概念测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。
通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。
科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。
测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。
1.真值与平均值真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。
通常真值是无法测得的。
若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。
再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。
但是实际上实验测量的次数总是有限的。
用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种:(1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。
设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为nx n x x x x ni in ∑==+⋅⋅⋅++=121(2-1)(2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。
即n nx x x x ⋅⋅⋅⋅=21几(2-2)（3）均方根平均值 nxnxx x x ni in∑==+⋅⋅⋅++=1222221均(2-3)(4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。
设两个量1x 、2x ，其对数平均值21212121lnln ln x x x x x x x x x -=--=对(2-4)应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
实验室误差分析
实验室误差分析在实验室中，误差分析是非常重要的一部分，因为准确地理解和控制误差可以帮助研究者得到更可靠、有效的结果。
误差可能来源于很多方面，包括但不限于测量设备的不精确、实验条件的变化、操作过程中的不确定性等。
以下是一些常见的实验室误差来源及其分析：1. 设备误差：这是由测量设备自身的不精确造成的。
例如，温度计、压力计、天平等都可能存在误差。
为了减小这种误差，需要定期对这些设备进行校准。
2. 操作误差：这是由于实验人员在操作过程中的一些不确定性造成的。
例如，读取滴定管的读数、称量药品的重量等都可能存在误差。
为了减小这种误差，实验人员需要经过严格的训练，并尽量采用自动化或者半自动化的设备。
3. 随机误差：这是由于一些无法控制的因素，如环境温度、湿度的变化等造成的。
这种误差通常服从正态分布，可以通过增加实验次数来减小其影响。
4. 系统误差：这是由于实验系统本身的不完善造成的。
例如，回收溶剂的精制、样品的制备等都可能存在误差。
为了减小这种误差，需要对实验系统进行不断的改进和完善。
5. 抽样误差：这是由于样本的随机性造成的。
即使实验条件完全相同，每次抽样得到的结果也可能不同。
为了减小这种误差，需要增加样本数量，或者采用更先进的抽样技术。
在分析误差时，一般会用到平均值、中位数、方差、标准差等统计方法。
同时，还需要根据具体实验情况，采用合适的方法来减小误差，如对照实验、空白实验等。
实验室检测数据质量要求都有什么？1．代表性：能够反映一定时间和空间中被测物的存在状况。
2．精密性：测试值的重复性和再现性要好, 这是保证准确度好的前提条件。
3．准确性：测试值与真值符合程度要好，测试结果要准确可靠。
4．可比性：许多检测常常需要在一个长的时间系列上和一个广泛的空间范围内进行比较, 确定其时空的变化规律, 如果数据无可比性, 这种比较分析就毫无意义。
以上四点要求中,代表性和可比性主要体现在现场布点及采样等环节中, 而数据的准确性和精密性，则主要体现在实验室内, 这也是实验室检测质量保证的最终目的。
第2节 试验数据的误差分析
加错 试剂
看错 砝码
过失误差
丢损
过
试液
失
记录 错误
除了上述两类误差外，往往 还可能由于工作上的粗枝大 叶，不遵守操作规程等而造 等等 成过失。 这不是误差，是责任事故，
应杜绝！ 消除方法：提高工作责任心
过失误差的检验
※ 试验数据中:
– 随机误差应要进行估计 – 系统误差要设法消除 – 不能含有过失误差
• 当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时， 宜采用几何平均值。
• 几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值（harmonic mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 + 1 + ... + 1 n 1
1 = x1 x2
xn = i=1 xi
H
n
n
• 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 • 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
= i=1
= i=1
n
n
di —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
◼ 可以反映一组试验数据的误差大小
4、标准误差 (standard error)
• 当试验次数n无穷大时，总体标准差：
n
n
n
(xi − x)2
xi2 − ( xi )2 / n
= i=1
= i=1
i =1
• 样本方差（ s2 ） • 总体方差（σ2 ） • 方差↓，精密度↑
五、误差的表示
绝对误差和相对误差比较
例题：分析天平称量两物体的质量各为1.6380g和0.1637g，假 定两者的真实质量分别为1.6381g和0.1638g，计算其误差（绝 对误差、相对误差）？
第一章 试验数据的误差分析
第一章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解误差的基本概念及表示方法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应用。
（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。
（III）教学难点误差的传递。
通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。
因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。
误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。
目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。
对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。
在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。
如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。
误差及数据处理(精)
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字 16.40
目前，常采用数理统计方法来处理测定数据。 我们将研究对象的全体称为总体；自总体中随 机抽出的一部分样品称为样本；样本的数目称 为样本容量。
(二) 精密度与偏差
样本的标准偏差 S ：
n
(xi x)2
S i1 n1
式中(n－1)称为自由度，用 f 表示
(三) 准确度与精密度的关系
系统误差 (主要来源)
1.当尾数≤4，舍去;当尾数≥6，进位；
0.53664 保留四位有效数字 0.5366
0.58346 保留四位有效数字 0.5835
2.当尾数=5时 (1) 若 5 后还有数字，则应进位
18.06501保留四位有效数字 18.07
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
准确度
偶然误差
精密度
A、B、C、D 四个分析工作者对同一铁标样 （WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图 示，比较其准确度与精密度。 A
B
C D
36.00 36.50 测量点
第一章试验数据的误差分析
第⼀章试验数据的误差分析第⼀章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表⽰⽅法；（2）理解误差的基本概念及表⽰⽅法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计⽅法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应⽤，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应⽤。
（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。
（III）教学难点误差的传递。
通过实验测量所得的⼤批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和⼈的观察等⽅⾯的原因，实验数据总存在⼀些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。
因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减⼩误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是⾮常重要的。
误差估算与分析的⽬的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最⼤组成因数，从⽽在准备实验⽅案和研究过程中，有的放⽮地集中精⼒消除或减⼩产⽣误差的来源，提⾼实验的质量。
⽬前对误差应⽤和理论发展⽇益深⼊和扩展，涉及内容⾮常⼴泛，本章只就化⼯基础实验中常遇到的⼀些误差基本概念与估算⽅法作⼀扼要介绍。
1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。
对它进⾏测量时，由于测量仪器、测量⽅法、环境、⼈员及测量程序等都不可能完美⽆缺，实验误差难于避免，故真值是⽆法测得的，是⼀个理想值。
在分析实验测定误差时，⼀般⽤如下⽅法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的⼀个量值，⽤它可以替代真值。
如理论上证实的值，像平⾯三⾓形内⾓之和为180°；⼜如计量学中经国际计量⼤会决议的值，像热⼒学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度⾼⼀级的测量仪器所测得的值视为真值。
1实验数据的误差分析与处理
实验数据的误差分析与处理在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信息，必须准确地进行测量。
在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。
因此，分析误差产生的原因，如何采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须了解和掌握的。
1.1 测量误差的表示方法由于测量误差的客观存在，因此为了表示被测量的测量结果的准确度，一般用绝对误差、相对误差和引用误差来定量表示测量结果与被测量实际值之间的差别。
1.1.1 绝对误差绝对误差是指测量仪器的示值与被测量的真值之间的差值。
假设被测量的真值为A o,测量仪器的示值为X,则绝对误差为△X= X- Ao (1.1.1 )在某一时间及空间条件下, 被测量的真值虽然是客观存在的, 但一般无法测得，只能尽量逼近它。
故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值Ao,为区别起见，将A称为被测量的实际值，则△X= X- A (1.1.2 )在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。
对于被测量，高一级标准仪器的示值 (即实际值) 减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。
实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。
对于被测量，高一级标准仪器的示值 (即实际值) 减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。
实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即C = —△ X= A- X (1.1.3 )利用某仪器的修正值便可得该仪器所测被测量的实际值A,即A = X + C例如：用一电压表测量电压时，电压表的示值为1.1V ，通过鉴定得出该电压表修正值为—0.01V ，则被测电压的真值为A = 1.1 +(— 0.01 )= 1.09V修正值给出的方式可以是曲线、 公式或数表。
对于自动测验仪器，修正值则 预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是 实际值。
实验结果的偏差与误差分析
实验结果的偏差与误差分析实验是科学研究中常用的方法之一，通过实验可以验证理论假设并获取数据结果。
然而，在实验中我们常常会面对实验结果与理论值之间的偏差与误差。
本文将探讨实验结果的偏差与误差产生的原因，并分析如何进行误差分析以提高实验结果的准确性。
一、偏差与误差的定义在实验中，偏差和误差是常见的概念，但两者有着不同的含义。
偏差是指实验结果与理论值或标准值之间的差异，它可以是正向的或负向的。
而误差则是指实验结果相对于实际值的差异，它包括了系统误差和随机误差两个方面。
二、偏差的原因分析1.系统误差：系统误差是由于实验设置、仪器精度、操作方法等方面引入的固定偏差。
例如，在实验测量中如果仪器的刻度存在固定的偏移或者实验条件中存在系统性的误差，都会导致实验结果产生偏差。
2.随机误差：随机误差是由于实验环境、人为操作等因素引起的不确定的、无规律的误差。
例如，在重复实验中由于个体差异、观察判断的主观性等原因都会导致实验结果的随机误差。
三、误差分析方法1.确定系统误差：首先要通过仔细分析实验过程和条件，确定可能引入系统误差的原因。
然后，采取相应的修正措施，如校准仪器、优化实验设计等，以减小系统误差的影响。
2.重复实验：通过重复实验来减小随机误差的影响，获取更加准确的实验结果。
多次实验可以通过对数据进行统计处理，如计算平均值和标准偏差，以评估实验结果的准确性。
3.数据分析：对实验数据进行统计分析，可以进一步揭示偏差和误差。
利用统计方法，如相关性分析、回归分析等，可以探究实验结果与各个因素之间的关系，找出可能导致偏差和误差的原因。
四、实验结果的准确性提高为提高实验结果的准确性，除了要进行误差分析，还可以采取以下方法：1.提高实验技能：熟练掌握实验技术和操作方法，减少人为误差的发生。
2.增加样本量：增加实验样本数量可以提高数据的可靠性，降低随机误差的影响。
3.改进实验设计：精心设计实验方案，优化实验条件，减小系统误差和随机误差的发生。
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第2章 实验数据的误差分析
通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。
误差分析的目的就是评定实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的来源及其影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。
对实验误差进行分析和估算，在评判实验结果和设计方案方面具有重要的意义。
本章就化工原理实验中遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
2.1 误差的基本概念
2.1.1真值与平均值
真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：
（1）算术平均值
这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n
x n x x x x n i i
n ∑=++==121ΛΛ （2-1） 式中： n x x x ΛΛ21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值
n x n x x x x n i i n ∑=++=
=1222221Λ均 （2-2）
（3）加权平均值
设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n
i i
i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211ΛΛ （2-3）
式中；n x x x Λ21、——各次观测值；
n w w w Λ21、——各测量值的对应权重。
各观测值的权数一般凭经验确定。
（4）几何平均值
n n x x x x x Λ321⋅⋅=发 （2-4）
（5）对数平均值
2
1
21
2121ln ln ln x x x x x x x x x n -=--= （2-5） 以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。
平均值的选择主要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正态分布，故通常采用算术平均值。
2.1.2误差的定义及分类
在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，不同时间所测得的结果不一定完全相同，而有一定的误差和偏差，严格来讲，误差是指实验测量值（包括直接和间接测量值）与真值（客观存在的准确值）之差，偏差是指实验测量值与平均值之差，但习惯上通常将两者混淆而不以区别。
根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为：1）系统误差； 2）偶然误差；3）过失误差三种。
1．系统误差
又称恒定误差，由某些固定不变的因素引起的。
在相同条件下进行多次测量，其误差数值的大小和正负保持恒定，或随条件改变按一定的规律变化。
产生系统误差的原因有：1）仪器刻度不准，砝码未经校正等；2）试剂不纯，质量不符合要求；3）周围环境的改变如外界温度、压力、湿度的变化等；4）个人的习惯与偏向如读取数据常偏高或偏低，记录某一信号的时间总是滞后，判定滴定终点的颜色程度各人不同等等因素所引起的误差。
可以用准确度一词来表征系统误差的大小，系统误差越小，准确度越高，反之亦然。
由于系统误差是测量误差的重要组成部分，消除和估计系统误差对于提高测量准确度就十分重要。
一般系统误差是有规律的。
其产生的原因也往往是可知或找出原因后可以清除掉。
至于不能消除的系统误差，我们应设法确定或估计出来。
2．偶然误差
又称随机误差，由某些不易控制的因素造成的。
在相同条件下作多次测量，其误差的大小，正负方向不一定，其产生原因一般不详，因而也就无法控制，主要表现在测量结果的分散性，但完全服从统计规律，研究随机误差可以采用概率统计的方法。
在误差理论中，常用精密度一词来表征偶然误差的大小。
偶然误差越大，精密度越低，反之亦然。
在测量中，如果已经消除引起系统误差的一切因素，而所测数据仍在未一位或未二位数字上有差别，则为偶然误差。
偶然误差的存在，主要是我们只注意认识影响较大的一些因素，而往往忽略其他还有一些小的影响因素，不是我们尚未发现，就是我们无法控制，而这些影响，正是造成偶然误差的原因。