高三数学课件：数学高考专题复习点的轨迹方程的求法
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高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课件 理
第五页，共48页。
(2)求曲线轨迹方程应注意(zhù yì)的问题． ①要注意(zhù yì)一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； ②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出 方程，而且要指明曲线的位置、类型．
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，如果某曲线C(看作满足 某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的 实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线．
A. x2+y2=1
4
B. -xy22=1
4 C. x2+y2=1(x¹±2)
D. -yx422=1(x¹±2)
4
4
解析：依题意有 kPA·kPB＝14，即x＋y 2·x－y 2＝14(x≠±2)，整
理得x42－y2＝1(x≠±2)．故选 D.
答案：D
第十二页，共48页。
考点
用定义(dìngyì)法求点的轨迹方程
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，
又|AR|=|PR|= x-42+y2，
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)， 即x2+y2-4x-10=0， 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的 轨迹上运动． 设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
点M的轨迹．
(2)求曲线轨迹方程应注意(zhù yì)的问题． ①要注意(zhù yì)一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； ②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出 方程，而且要指明曲线的位置、类型．
在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中，如果某曲线C(看作满足 某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的 实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线．
A. x2+y2=1
4
B. -xy22=1
4 C. x2+y2=1(x¹±2)
D. -yx422=1(x¹±2)
4
4
解析：依题意有 kPA·kPB＝14，即x＋y 2·x－y 2＝14(x≠±2)，整
理得x42－y2＝1(x≠±2)．故选 D.
答案：D
第十二页，共48页。
考点
用定义(dìngyì)法求点的轨迹方程
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理： 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)，
又|AR|=|PR|= x-42+y2，
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2)， 即x2+y2-4x-10=0， 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的 轨迹上运动． 设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
点M的轨迹．
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
轨迹方程的求法 ppt课件
PPT课件
9
【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据
条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点
到A的距离等于P点到直线x=2的距离.
PPT课件
10
【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，
为 一 定 点, M为 圆A上 的 一 个 动 点,线 段MB
的 中 垂 线 和 直 线AM的 交 点 为P, N为 垂 足,
-30
-20
求 动 点P的 轨 迹 方 程.
15
M
10
N
5
P
-10
A
B
10
-5
PPT课件
-10
13
【练习3】第3题
已 知 圆A的 方 程 为( x 3)2 y 2 64, B(3,0)为 一 定 点,
即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，
且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= 5， 因此其方程为 x2（yy≠2 0 1）.
95
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a=1，2c=4，即a= 1,c=2,b= ，15
x2 y2 1 平方化简得:(x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心
的轨迹方程是__y2_=_8_x_(_x_＞__0_)_或__y=__0_(x_＜__0_)_.
高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第七章
半径 r2＝2，
又|OQ|＝
x0＋2 12＋y202
＝
14x20＋21x0＋14＋413－43x20
＝
116x20＋12x0＋1 ＝1＋14x0，
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
点评：根据题设条件，可以得出动点的轨迹是某种已知
曲线，则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
线段AN上，且 M→P·B→N＝ 0.
(1)求动点P的轨迹方程； (2)试判断以PB为直径的圆与圆x2＋y2＝4的位置关系， 并说明理由．
自主解答：
解析：(1)由点 M 是 BN 的中点， 又M→P·B→N＝0，可知 PM 垂直平分 BN， 所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|， 所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． 设椭圆方程为ax22＋by22＝1，其中 2a＝4，2c＝2， 可得 a2＝4，b2＝a2－c2＝3. 可知动点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
化简得(x＋1)2－y2＝65.
即为所求的动点 M 的轨迹方程．
点评：利用题设条件建立动点坐标x与y的关系，再等价变 形得到轨迹方程F(x，y)＝0.
变式探究
1．(2012·襄阳调研)平面内动点 P(x，y)与 A(－2，0)，B(2,0) 两点连线的斜率之积为41，则动点 P 的轨迹方程为( )
变式探究
2 ． 已 知 两 定 点 F1( － 1,0) 、 F2(1,0) ， 且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|， 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点， 长轴长为 4 的椭圆，故其方程为x42＋y32＝1. 答案：x42＋y32＝1
求点的轨迹方程的六种常见方法讲解
变式：外切改为相切呢？
相关点法
• 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q （u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、 v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程， 间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
• 以下举一个例子说明：
6.几何法
【例8】已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0，求过点A(3, 5)的直线 交圆的弦的中点的轨迹.
解：圆的方程为(x 3)2 ( y 3)2 4，则圆心C的坐标为(3,3).
设过点A的直线交圆于P、Q两点，M (x, y)是PQ的中点，连CM，则CM PQ，故有：
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G
A
O
Bx
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
高考数学复习考点知识专题讲解课件第63讲 求轨迹方程的常用方法
|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为( B )
2
2
A.x +(y-2) =20
[解析]
2
2
B.x +(y+2) =20
2
2
由椭圆方程x +
5
2
2
C.x +(y-2) =5
2
2
=1,得a =5,b =1,∴c=
2
2
−
2
2
D.x +(y+2) =5
=2,则A(0,-2),B(0,2)为
椭圆的两个焦点,∴|DA|+|DB|=2a=2 5 ,又|PD|=|BD|,∴|PA|=|PD|+|DA|=
2
1
线与曲线C的两个交点,A1A2的中点为E(x0,y0),可得൝ 2
2
= 41 ,
两式相减得出答案.
= 42 ,
增分微课(四)
解:因为|MI|+1=|MF|=|MH|+1,所以点M的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛
2
物线,所以曲线C的方程为y =4x.
设点A1(x1,y1),A2(x2,y2)为其中任意一条斜率为-2的直线与曲线C的两个交点,
0 = (,).
(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨
迹方程.
增分微课(四)
变式题
2 2
(1)设P为双曲线 -y =1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,
4
则点M的轨迹方程是
2
2
A.x -4y =1
( A )
2
2
B.4y -x =1
2
《高三数学轨迹方程》PPT课件
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
高三数学轨迹方程课件
详细描述
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
【高中数学课件】轨迹方程的求法
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3
即yp= ±3，将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为
（
9 8
，3
）h 和（
9
x89 p，= -8 3 ）
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，
P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|，
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yhp|y源自P（x，y） • x•A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。
h
20
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
a= 12+8 2= 4(3+2 2) =2 3+2 2
高中数学课件-求轨迹方程
④化简：把方程化成最简形式
⑤证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上 建系设点---列方程---化简---审查
3.求轨迹方程的常用方法(坐标法)： ⑴直接法(直译法) ⑵定义法 ⑶相关点法(代入法) ⑷参数法 ⑸交轨法
例1.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0)距离之比为 1
的点的轨迹，求此曲线的方程 2
当 k 1时，点P轨迹方程为 x 1，轨迹为线段OA的中垂线
当k
1 时，点P轨迹方程为
(x
k22k21)2
y2
(k
4k 2 2 1)2
2k 2 轨迹为以点 ( k 2 1,0)
为圆心， 2k k2 1
为半径的圆
阿氏圆
.P
.
O
Ax
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
动点，求线段AB的中点P的轨迹方程
解法2：取OA的中点Q，连接OB,PQ，因为P为AB的中点
所以PQ为△OAB的中位线 PQ 1 OB 1
定
2 所以点P的轨迹为以Q为圆心，1为半径的圆
义
其方程为 (x 3)2 y2 1
解：(直译法) 设点P(x,y)为所求轨迹上任意一点，则
x2 y2 1 (x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
所求曲线的方程为(x 1)2 y2 4
y
M.(x,y)
.
(-1,0) O
A. (3,0)
x
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
轨迹方程指出轨迹的形状，位置等特征
1.轨迹和轨迹方程的概念：平面上一动点M按一定规则 运动形成的曲线叫做动点M的轨迹，在平面直角坐标系
高三数学轨迹问题的求法(中学课件201911)
a2
1 2
）的
距离之和
为定值2a.
2003年高考题20（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风
中心位于城市O(如图)的东偏南θ （θ ＝ arccos 2 ）方向
10
300 km的海面P处，并以20 km／h的速度问西偏北450方向 移动。台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并 以10 km／h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭？ 解：以O为原点，正东方向为x轴正向， 建立直角坐标系
其中r(t)=10t+60 若在时刻t城市O 受到侵袭，则有
(0 m)2 (0 n)2 (10t 60)2
即：
30 2 10 2t)2 (210 2 10 2t)2 (10t 60)2
∴ t 2 36t 288 0
解得12≤t≤24
=k(0≤k≤1),由此有
C E
B
x
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak)
直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②
从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0,
解:以BC所在的直线为x轴，BC中点为坐
标原点，建立如图所示的直角坐标系， B
则B（一a，0），C（a，0），设A（x，
y）则
由∴sci-nbC=－12
sinB= a
1 2
sinA
1
即|AB|-|AC|= 2 a（定值）
A C
由双曲线定义知轨迹方程为
高中数学复习课件-轨迹方程的求法
2.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2 y2 4 交于A、B两点, P是l上满足PA PB 1的点,求点 P的轨迹方程.
y
A
O
x
B
题型二 用定义法求轨迹
例2.(1)与x2 y2 1及( x 6)2 y2 9都外切 的圆, 其圆心M的轨迹方程是____________.
(2)与圆x2 y2 1外切且与x轴相切的动圆 圆心O的轨迹方程是 ______________ .
P点的轨迹是直线。
练习3.
从双曲线x2 y2 1上一点Q引直线x y 2 的垂线,垂足为N .求线段QN的中点P的轨迹 方程.
作业：
1.如图,已知过点D(2, 0)的直线l与椭圆 x2 y2 1 2
交于不同的两点A、B，点M 是弦AB的中点.
(1)若OP OA OB,求点P的轨迹方程;
上述五个步骤可简记为： 建系设点；写出集合；列方程；化简；证明．
2.求轨迹方程的主要方法： (1)直接法 (2)定义法 (3)相关点法 (4)参数法
二.例题分析 题型一 用直接法求轨迹
例1.已知动点P到定点F(1, 0)和定直线 x 3的距离之和等于4,求动点P的轨迹 方程.
练习：
1.长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴, y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程.
当 1 2 0 且 0 即 1,0 0,1 时，有
x2 9
y2
9(1 2 )
1, P点的轨迹是椭圆。
，即
当 0 时，方程为 x2 y2 9, P 的轨迹是圆。
当1 2 0 即 (, 1) (1, ) 时，方程为
x2
y2
9 9( 2 1) 1, P点的轨迹是双曲线。
当 1 2 0，即 1 时，方程为y＝0,
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(1999,24t,14f)如图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线L:x = -1. B 是直线L上的动点,∠BOA的平分线交AB于C,求点C的轨迹方程,并 讨论方程表示的曲线类型与a值的关系. 这是一九九九年的高考题(第 题 分 解题的关键是如何充 这是一九九九年的高考题 第24题,14分),解题的关键是如何充 分利用OC平分∠BOA.设出 平分∠ 设出B(-1,t),C(x,y)的坐标 有以下思路 的坐标,有以下思路 分利用 平分 设出 的坐标 有以下思路: 思路1:利用三角形的角平分线的性质,|BC|:|CA|=|OB|:|OA|,而将C 视为BA的内分点,λ= BC:CA=|BC|:|CA|,|OA|、|OB|均可用距离表 y 示,得出点C的轨迹的参数方程,消去参数即可. 思路2:利用角平分线的性质,点C到直线OA,OB 的距离相等,又点C在直线AB上,分别写出OB和 AB的直线方程(用B的坐标表示),消去参数即可. B O C A x
数学高考专题复习
主讲人： 主讲人：董生麟
圆锥曲线回顾
圆锥曲线的演示.gsp
例1:已知∆ABC底边BC的长为2a(a>0),又知tgBtgC=t(t≠0).(a,t均为常 数).求顶点A的轨迹. y [思路分析]:首先建立适当的坐标系,设出 A
动点A及定点B、C的坐标,如何将tgB、 tgC坐标化是本题的关键.由图易知∠B B 是直线AB的倾斜角,∠C是直线AC的倾斜 角的补角,因而tgB、tgC都可以用斜率 来表示.这样可直接写出顶点A的方程, 接下来的工作就是化简方程和判断轨迹 是何种曲线,必要时可进行讨论.
本节小结
1.当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用 直接法.(例1) 2.直接法的另一种形式称为定义法,即已知曲线的类型和 位置,可设出曲线方程,利用待定系数法求解.(例2) 3.当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动 点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐 标的关系,这要充分利用题中的几何条件.(例3) 4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、斜率、 坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.(例4) 5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多 退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来制),不 足的点要补充. 6.注垂直 平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由 M 题设可知曲线段C为抛物线的一部 分,L1为准线,N为焦点,很显然选择 标准方程y2=2px(p>0).下面的关键 是求出p的值,而ΔAMN为锐角三角 形及|BN|=6又起什么作用呢?请大 家认真思考. 本题答案:y2 =8x (1≤x≤4,y>0)
C
y
B x
A
例4:抛物线y2 =4x的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去 顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使|FP| = |PQ|,OQ与AP 交于M,求点M的轨迹. [思路分析1]本题中的动点M是由两条动 y A M P F O
直线相交而得,而它们的运动又都依赖 于动点P ,因此选择P的坐标为参数,写 出两直线的方程,解方程组,得点M的轨 迹的参数方程,再化为普通方程,从而得 出M的轨迹.
1
2
N L2
x
例3:设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为直角边,B为直角顶点,逆 时针方向作等腰直角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹. [思路分析]本题中的动点C满足两个条 思路分析]
件:BC⊥BA,|BC|=|BA|,无论用哪一个都不 能直接得出点C的方程,因此要另辟他径. 仔细分析题意,点C的运动依赖于点B的运 动(A也是这样),因而可以用点C的坐标来 表示点B的坐标,又点B在已知曲线上运动, 其坐标满足曲线方程,从而得出点C的轨迹 方程.如何得出B和C的坐标的关系就成为 解题的关键.联想到复数知识,可以利用点 与复数的对应关系,复数与向量的对应关 系,来得出两点的坐标的关系. 本题答案:x2 +y2 =5
Q x
[思路分析2]既然M的运动依赖于P的运动,可否用例3的方
法,用M的坐标表示P的坐标,而P又在已知曲线上运动,代 入已知曲线得出M的方程.M和P是什么关系?回到图中仔 细分析,连接AQ会怎么样?点M与ΔAFQ是什么关系?
本题答案:y2 =8/3×(x +1/3).轨迹为以(-1/3,0)顶点,
开口向右的抛物线(除去顶点).
思路3:利用三角形中的边角关 系,tg∠AOC=|y|/x,tg∠BOD=|BD|:|OD|=|y|(1+a)/(a-x),又 ∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,∴2∠COA=π∠BOD,tg(2∠COA)=-tg∠BOD.
谢谢各位老师的指导
最后祝您一帆风顺
求动点的轨迹方程的常用方法
• 直接法: 根据动点所满足的几何条件,直接 写出其坐标所满足的代数方程. • 代入法 (也称相关点法): 所求动点M的运动 依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动, 将M0的坐标用M的坐标表示,代入已知曲线, 所的方程即为所求. • 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、 斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数 方程,再化为普通方程.
C
x
本题答案:轨迹方程为 x2/a2 +y2/ta2 =1 (x≠+-a)
.当0<t<1或t>1时,轨迹为椭圆;当t =1时,轨迹为圆;当t<0 时,轨迹为双曲线.
例2:已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若∆AMN为 锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线 段C的方程. y B [思路分析]:坐标系的建立是本题的 A 突破口,由于L ⊥L ,故可选择它们 L1