2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 2.3.3 平面向量学案 理

2.3.3 平面向量

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0

[解析] 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2

－a ·b ＝2×12

－(－1)＝3.故选B.

[答案] B

2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD

相切的圆上．若AP →

＝λAB →

＋μAD →

，则λ＋μ的最大值为( )

A ．3

B ．2 2 C. 5 D ．2

[解析] 分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，

D (0,1)．

∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

25cos θ，25sin θ. 则AB →＝(0，－1)，AD →

＝(－2,0)，

θ＋1，

＝2－sin(θ＋φ)，

＝2，∴max [答案] A

3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.

[解析] 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝1

2

.

[答案] 1

2

4．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的

两个动点，且|EF →

|＝2，则AE →·BF →

的最小值为________．

[解析] 设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)， ∴AE →＝(1，m )，BF →

＝(－2，n )．

∴AE →·BF →

＝－2＋mn ，

又知|EF →

|＝2，∴|m －n |＝2.

①当m ＝n ＋2时，AE →

·BF →

＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2

＋2n －2＝(n ＋1)2

－3.

∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →

取得最小值－3.

②当m ＝n －2时，AE →

·BF →

＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2

－2n －2＝(n －1)2

－3.

∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →

取得最小值－3.

综上可知，AE →·BF →

的最小值为－3. [答案] －3

5．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →

＝2DC →，AE →

＝λAC →－AB

→

(λ∈R )，且AD →·AE →

＝－4，则λ的值为________．

[解析] 解法一：如图，由BD →

＝2DC →得AD →

＝13AB →

＋2

3

AC →，

所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13

AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2

－23AB →·AC →

，

又AB →·AC →

＝3×2×cos60°＝3，AB →

2＝9，AC →

2

＝4，所以AD →·AE →

＝λ－3＋83λ－2＝113λ－

5＝－4，解得λ＝3

11

.

解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，

AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →

＝2DC →

，所以D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

53，

233，

所以AD →

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

53，233，

而AE →

＝λAC →－AB →

＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →

＝53(λ－3)＋233

×3λ ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311

.

[答案]

3

11

1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．

2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．