6.解三角形应用举例(4)

1.2 应用举例（4）三角形中的几何计算

教材分析

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解三角形形状判断面积计算以及三角形中证明恒等式成立问题。

教学目标

重点: 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

知识点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。 能力点：掌握三角形的面积公式的简单推导和应用。

教育点：教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

自主探究点：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力。 考试点：利用正、余弦定理进行边角的互化，进而进行解体。 易错易混点：利用正弦定理判断多解的情形不清，容易出错。 拓展点：如何转化成三角函数求范围、最值问题。

教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课

[创设情境]

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在

ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？

生：h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA

二、探究新知

师：根据以前学过的三角形面积公式S=2

1

ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=

1

absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？

生：同理可得，S=

21bcsinA, S=2

1

acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解。

[设计意图] 给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．

三、理解新知

应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.

四、运用新知

例1、 例1根据下列条件确定三角形的形状： （1） 在△ABC 中，22tan tan a A b B =

（2） 在△ABC 中，2222sin C sin 2ccos cos b c B b B C +=

解：只要根据条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状。

（1）

解法一：把条件转化为角的关系式，由正弦定理得

22

sin sin (2sin )(2sin )cos sin 2sin cos 2sin cos sin 2sin 20,0<2A+2B<22=2B 2A+2B=2=B A+B=

2

ABC B A

R A R B B B

A A

B B A B

A B A A ππππ

=∴=∴=<+<∴∴∴∆ 即或或为等腰三角形或直角三角形

解法二：把条件化为边的关系式，由条件得

2

2

2222224222242222222222sin sin cos sin cos cos 220()()0

,ABC B A

a b B B a A b B b c a a c b a b

bc ac

a a c

b

c b a b a b c a b a b c =∴=+-+-∴=∴-+-=∴-+-=∴=+=∆或即为等腰三角形或直角三角形

（2）

22222222222sin C sin 2c cos cos 4R sin sin C 4R sin sin C 8R sin sin Ccos cos sin sin C=cos cos cos B+C)=0B+C=90=90.

b c B b B C B B B B C B B C A ABC +=∴+=∴∴︒∴︒

∴∆ 由正弦定理得

即（是直角三角形

[设计意图] 解此题目的关键是条件的转化，得边与边的关系式或角与角的关系式.注意由三角函数求角的多解性，如sin2A=sin2B 不能只得A=B ，而忽略A+B = 2

π

；另外还有注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的关系。

变式训练：

在△ABC 中，若B=60,2b a c ︒=+,试判断△ABC 的形状.

解法一：

()2sin B=sin +sin B=60+=120=120,2sin 60=sin 120+sin sin (+30)=1+30=90C=60ABC .

A C A C A C C C C C ︒∴︒

∴︒-︒︒-︒∴︒︒︒∴∆ 由正弦定理可得：代入上式中得化简整理可得：即为正三角形

解法二：

()2222

222

=2cos a+c B=60b=

2

a+c =2cos 602a c 0=B=60ABC .

b a

c ac B a c ac a c

+-︒⎛⎫∴+-︒ ⎪

⎝⎭∴-=︒∴∆ 由余弦定理可得：又，即又，为正三角形