高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分线段成比例定理学案含解析新人教A版选

二 行线分线段成比例定理

1．平行线分线段成比例定理

(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． (2)图形语言：

如图l 1∥l 2∥l 3， 则有：AB BC ＝DE EF

，

AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF

. 变式有：AB DE ＝

BC EF ，AB DE ＝AC DF ，BC EF ＝AC

DF

.

“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段，如图中AB 和DE ；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比．

2．平行线分线段成比例定理的推论

(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

(2)图形语言：如图l 1∥l 2∥l 3，

则有：AD AB ＝AE AC ，

AD DB ＝AE EC ，DB AB ＝CE

AC

.

3．平行线分线段成比例定理的作用

平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系．

交AB 于点E ，

DF 的延长线交BC 于点H ，DE 的延长线交CB 的延长线于点G .

求证：BC ＝GH .

可找出两个基本图形：△ABC 和△DHG ，EF 是这两个图形的截线． ∵FE ∥BC ， ∴EF BC ＝AE AB ，

EF GH ＝DF

DH

.

∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DF

DH

.

∴EF BC ＝EF GH

.∴BC ＝GH .

在利用平行线证明或计算时，常常根据已知条件将复杂的图形进行分解，从中找出基本图形，“借图解题”．

1．已知：如图所示，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝m

n .求证：DE DF ＝m

m ＋n

.

证明：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴AB BC ＝DE EF ＝m n . ∴EF DE ＝n m

，则EF ＋DE DE ＝n ＋m

m

， 即DF DE ＝m ＋n m .

∴DE DF ＝

m

m ＋n

.

2.如图，已知AE ∥CF ∥DG ，AB ∶BC ∶CD ＝1∶2∶3，CF ＝12 cm ，求

AE ，DG 的长．

解：∵AE ∥CF ，∴AE CF ＝AB

BC

.

∴AE ＝AB BC

·CF .

∵AB ∶BC ＝1∶2，CF ＝12 cm ，

∴AE ＝1

2×12＝6 (cm)．

∵CF ∥DG ， ∴BC BD ＝CF DG

.

∵BC CD ＝23， ∴BC BD ＝25

. ∴DG ＝BD BC ·CF ＝5

2

×12＝30(cm).

求证：AB AC ＝EG FH

.

由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与AB AC ，EG FH

均相等的公共比例式．

∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB AC ＝DE DF

. 又∵EG ∥FH ，∴EG FH ＝DE DF

. ∴AB AC ＝EG FH

.

在此题中，DE DF 是AB AC 与

EG

FH

的公共比，公共比大多是两个或两个以上的比例式都具有的一个

公共比，通常是两个图形中公共边的比．当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时，常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转化方法．

3．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE

交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .

求证：FC ＝FG .

证明：在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴FC AB ＝EF AE

. ∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF

AE

.

∴FC AB ＝FG AD

. ∵AB ＝AD . ∴FC ＝FG .

4．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，

交BC 于点F .

求证：(1)DG 2

＝GE ·GF ； (2)CF CB ＝

AB

AE

.

证明：(1)∵CD ∥AE ， ∴DG GE ＝CG AG

. 又∵AD ∥CF ， ∴GF DG ＝CG AG .

∴DG GE ＝GF DG

，即DG 2

＝GE ·GF . (2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝

DF

DE

.

又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE

. ∴CF CB ＝AB AE

.

点F ，求证：AC BC ＝

AF

DF

.

由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．