数字信号第三章 离散傅里叶变换

第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。

这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。

Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。

−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。

对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。

注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。

……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。

DFT z 二、与序列的DTFT和变换的关系：1()()N nn X z x n z−−==∑1()()N nk Nn X k x n W−==∑10()()N j j nn X e x n eωω−−==∑2()j kNX e ωπω==2()j kk NN z W e X z π−===4()(),()816DFT x n R n x n =例：已知序列求的点和点。

()DTFTx n 求的解：()()j j nn X ex n eωω∞−=−∞=∑()222222j j j j j j eee ee eωωωωωω−−−−−=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠()()32sin 2sin /2j eωωω−=3j nn eω−==∑411j j e eωω−−−=−()8 8x n DFT N =求的点()()28j kX k X eωπω==3242sin 2812sin 28j k k ek πππ−⋅⎛⎞⋅⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⋅⎜⎟⎝⎠38sin 2sin 8j k k ek πππ−⎛⎞⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎜⎟⎝⎠()16 16x n DFT N =求的点()()216j kX k X eωπω==322162sin 21612sin 216j k k ek πππ−⋅⎛⎞⋅⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⋅⎜⎟⎝⎠316sin 4sin 16j k k ek πππ−⎛⎞⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎜⎟⎝⎠N=4点的DFT ？频率采样点数不同，DFT 的长度不同，DFT 的结果也不同。

1、求模（余数）运算如果整数则称n 1是n 对N 的模（余数），记作：或n 模N 等于n 111,,01n n m N n N m ≤≤−=+为整数()()1n n N=()()===925,9,25)1(:N n 例()()=−=−=94,9,4)2(N n 75三、DFT 的隐含周期性2、有限长序列x(n)和周期序列的关系)(~n x 周期序列是有限长序列x (n)的周期延拓。

)(~n x ()()Nx n =()()()N x n xn R n =%有限长序列x (n)是周期序列的主值序列。

)(~n x (())m x n mN xn ∞=−∞=+∑%⎩⎨⎧−≤≤=其它010)(~)(N n n x n x 或三、DFT 的隐含周期性如：nN-1x (n)0)(~n x ......nN-1定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。

三、DFT 的隐含周期性()())()(~)()(~k R k X k X k X k X N N==周期序列是有限长序列X (k )的周期延拓。

)(~k X 有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。

)(~k X 3、频域周期序列与有限长序列X (k)的关系)(~k X 三、DFT 的隐含周期性关于离散傅里叶变换(DFT)：序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。

n为时域变量，k为频域变量。

离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。

离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。

DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。

1、线性,a b 为任意常数这里，序列长度及DFT 点数均为N若不等，分别为N 1，N 2，则需补零使两序列长度相等，均为N ，且12max[,]N N N ≥11()[()]X k DFT x n =22()[()]X k DFT x n =若1212[()()]()()DFT ax n bx n aX k bX k +=+则3.2 DFT 的基本性质(())()()N N m x n m R n x n +=序列x (n )，长度为N ，则x (n )的循环移位定义为：()(())()m N N x n x n m R n =+周期延拓取主值序列左移m 位()x n ()(())N xn x n =%()(())N xn m x n m +=+%循环移位过程：2、序列的循环移位一个有限长序列x (n )的循环移位序列x m (n )仍然是一个长度为N 的有限长序列。

从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出：当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来因此取名“循环移位”。

显然，循环移位不同于线性移位循环移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区间的序列值又依次由另一侧进入主值区。

3、循环卷积和121[()(())]()NN Nmx m x n m R n−==−∑12()()()Y k X k X k=⋅若112()[()][()(())]()NN Nmy n IDFT Y k x m x n m R n−===−∑则12()()x n x n N设和都是点数为的有限长序列1212max(,)N N N N NN≥（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为点）11[()]()DFT x n X k=22[()]()DFT x n X k=循环卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）循环移位5）相乘相加12()()x n x n=N112()[()(())]()NN Nmy n x m x n m R n−==−∑121[()(())]()NN Nmx m x n m R n−==−∑21()()x n x n=NN用 表示循环卷积和1524()(5)()()()x n n R n x n R n =−=例：已知序列，求两个序列的6点循环卷积和。

…-3 -2 -10 1 2 3 4 5 6 7…5 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0…1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1……1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0…1 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1n m ()1/x n m ()2/x n m ()()()266x m R n −()()()2661x m R n −()()()2662x m R n −()()()2663x m R n −()()()2664x m R n −()()()2665x m R n −()()26x m −()()26x m 8101214106()y n计算方法---用解析式计算♦此式可用矩阵表示为：1()()()()(())()NN N Nmy n x n h n x m h n m R n−=⎡⎤==−⎢⎥⎣⎦∑(0)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(2)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(1)(2)(3)(0)(NNNNNy h h N h N h xy h h h N h xy h h h h xy N h N h N h N h N x Ny N h N h N h N h x−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−−−⎢⎥⎢⎥−−−−⎢⎥⎣⎦⎣⎦LLLM M M M M M MLL1)N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦N例2、计算下面给出的两个长度为4的序列h (n )与x (n )的4点和8点循环卷积。

{}{}{}{}()(0),(1),(2),(3)1,2,3,4()(0),(1),(2),(3)1,1,1,1h n h h h h x n x x x x ====解:h (n )与x (n )的4点循环卷积矩阵形式为c c c c (0)1432110(1)2143110(2)3214110(3)4321110y y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦循环卷积的计算方法c c c c c c c c (0)1110000432(1)1321000043(2)1632100004(3)110432100000904321000(4)0043210007(5)00043210(6)0400004321(7)0y y y y y y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦h (n )与x (n )的8点循环卷积矩阵形式为循环卷积的计算方法循环卷积定理时域循环卷积定理设和为长度分别为N 1和N 2的有限长序列，N ≥max （N 1,N 2）且，则)(1n x [])()(DFT 11k X n x =[])()(DFT 22k X n x =)(2n x N ()()k X k X n x n x DFT N 2121)]()([⋅=4、复共轭序列的DFT*****DFT[()()DF ()]()DFT[T[()])()]()(N N N x x n x n N n X N k x N X x n X k n k =⎧=−−⎨=⎩设的复共轭序列为，长度为若，则:11*()**()001**()[()]()()DFT[()]N N N k n N k n NNn n N kn NNn X N k x n Wx n Wx n W x n −−−−−==−=−====∑∑∑证明：5、DFT 的共轭对称性z序列的傅里叶变换的共轭对称性，其对称性是关于坐标原点的对称性。