数学分析定义定理推理一览表

定义1 给定两个非负实数 012..,n x a a a a = 012..,ny b b b b =其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =为整数，若有09,09.k k a b ≤≤≤≤ 则称x 与y 相等，记为x y =.()0011,0,1,2,,,.k k l l a b l a b k l a b x y y x x y y x ++>==>><若或存在非负实数使得而则称大于或小于分别记为或定义2012012..1100,1,2,.nnn n nx a a a a x a a a a x n x x x n n ===+=设为非负实数.称有理数为实数的位不足近似，而有理数 称为的位过剩近似，1.R 00.2.b b,b, b.3.b,b c, c.4.b R,b>>0,n n >b.5.a a a a a a a a a R >=<>>>∈实数的一些主要性质实数集对加、减、乘、除（除数不为）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍然是实数实数集是有序的，即任意两个实数、必满足下述三个关系之一：实数的大小关系具有传递性，即若则有实数具有阿基米德性，即对任何、若则存在正整数，使得实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o 作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.定义3,0,,0.a a a a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩实数的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离.绝对值得一些性质1.0;=00.2..3.;(0).4..5..6.(0).a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b R a b a b a b ab a b a ab b b=-≥=-≤≤<⇔-<<≤⇔-≤≤>∈∈-≤±≤+==≠当且仅当时有对于任何、有如下三角形不等式： 定义4区间和邻域(){}[]{}[){}{}{}{}{}(),,,,,,,.,],(,),(,),(,),,0.;,(),(a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b R a x x a a x x a a x x a x x R a R x a x a U a U a U δδδδ⎧⎧=<<⎪⎪⎪=≤≤⎪⎨⎪⎪=≤<⎪⎪⎩⎪∈⎧-∞=≤⎨⎪⎪+∞=>⎪⎪⎨⎪-∞=<⎪⎪⎪⎪-∞+∞=-∞<<+∞=⎩⎩∈>-<开区间:，有限区间闭区间：半开半闭区间:区间（无限区间邻域：满足的全体实数的集合称为点的邻域，记作或即有;){|||}(,).(;){|0||}.(;)[,);(;),];(;)(,);(;)(,);(){|||}(){|a x x a a a a U a x x a a U a a a a U a a a a U a a a a U a a a U X x M M U X δδδδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=-<=-+=<-<=+=-=+=-∞∞=>+∞+∞=。

点的空心邻域：点的右邻域：点的左邻域：（点的空心右邻域：点的空心左邻域：邻域，其中为充分大正数；邻域}(){|}x M M U X x M M >-∞-∞=<-，其中为充分大正数；邻域，其中为充分大正数；定义5 有界的定义(),(),(),0,,S R M L x S x M x L S M L S S R M x S x M S S S S ∈≤≥⊆∃>∀∈⇒≤设为中的一个数集.若存在,使得对一切都有则称为有上界（下界）的数集，数称为的一个上界（下界）.简记：称有界.若数集既有上界又有下界，则称为有界集.若不是有界集，则称为无界集.定义6 确界的定义()()()()00001..,,,,,=sup ..,,,,,S R i x S x S ii x S x S S S S R i x S x S ii x S x S S ηηηαηαηηηξξξβξβξξ⊆∀∈≤∀<∃∈>⊆∀∈≥∀>∃∈<设若数满足：有即是的上界；使得即又是的最小上界，则称为数集的上确界，记作2.设若数满足：有即是的下界；使得即又是的最大下界，则称为数集的下确界，记作=Sξ inf定理1min .S S S S S S S ηηξξ∈⇔∈⇔=设数集有上确界.i)=sup =max .ii)=inf 定理一 确界原理.S S S S 设为非空数集若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.定理2.sup inf .A B x A y B x y A B A B ∈∈≤≤设、为非空数集，满足：对一切和有数集有上确界，数集有下确界，且推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.函数的概念 定义1{}:,.().()|(),().D M f D x y M f D f D M xy D f x y f x f x f D y y f x x D M f ∈→==∈⊂给定两个实数集和，若有对应法则，使对内每一个,都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集上的函数，记作数集称为函数的定义域，所对应的数，称为在点的函数值，常记为全体函数值的集合称为函数的值域函数的四则运算{}1212*12*,,,=,.()()(),,()()(),,()()(),.()0|()0,,()()/(),.f x Dg x D D D D D f g D F x f x g x x D G x f x g x x D H x f x g x x D D g x x D D x g x x D L x f x g x x D ∈∈≠∅=+∈=-∈=∈==≠∈≠∅=∈给定两个函数和记并设定义与在上的和、差、积运算如下：若在中剔除的值，即令则除法如下初等函数()()(0,1);log (0,1);sin ,cos ,tan ,cot ;arcsin ,arccos ,arctan ,cot .x a y c c y x y a a a y x a a y x y x y x y x y x y x y x y arc x αα===>≠=>≠========常量函数为常数；幂函数为实数；指数函数对数函数三角函数反三角函数定义20, 1.{|}1{|}01.sup inf r x r xrr xa a x a r a a a r a <<>≠⎧>⎪=⎨<<⎪⎩给定实数设为我们规定为有理数，当时，为有理数，当时几个重要的等式（不等式）23121nnn n a na a a a a a +++===时，数列极限 定义1，总存在正整数N,(){}{}{}{}{}'10;.2lim 0,.2.1.n n n n n n n U a a a a a a a a a a εε→∞>=-定义任给，若在之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限定义若则称为无穷小数列定理数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列收敛数列的性质){}{}((02,.lim lim lim n n n n n a b N c a a →∞→∞±⋅若，都以存在正数，当则数列收敛，且定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集的无限子集，且12k n n n <<<<，则数列12,,,,k n n n a a a 称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .平凡子列：数列{}n a 本身以及去掉有限项后得到的子列. 非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限. 定理2.9 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛.定理二 （单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.函函数数极极限限 定定义义函数极限的性质无穷小量阶的比较（定义见下页末）()()()()()()()()()()()()()()()()0000000001.lim 0,.2.,lim 0.3.lim=1~.x x o x x x x f x x x f g g x f x o g x x x f x K L U x K L g x f g x x f x c f g g x f x f g x x g x f x g x x x →→→=→=→≤≤→=≠→→若则称当时为的高阶无穷小量记作若存在正数和，使得在某上有则称与为当时的同阶无穷小量.特别的当时，与必为同阶无穷小量若，则称与为当时的等价无穷小量.记作函数极限存在的条件两个重要极限0sin lim 11lim 1x xx x x e x →→∞=⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()00000lim 0,.o x x o f U x f x f x x g U x g x x →=→→设在某内有定义，若无穷小量：则称为当时的无穷小量有界量：若函数在某内有界，则称为当时的有界量.无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.无穷小量与有界量的积为无穷小量.常见的几个等价无穷小量()()()()()()()()()()()()()()()()()()()20001.1~02.11~03.1cos 02~~~~~~x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x μμαααββααββγαγ-→+-→-→→⇔→⇒→自赖性：对称性：传递性：，()()()()()()()()00000000.0,0,;,lim .1.o o o x x o f U x G x U x U x f x G f x x f x x n f U x f x x x x fδδ→>>∈⊂>→∞=∞→∞∞∞∞→→无穷大量设函数在某内有定义若对任给的存在使得当时有则称函数当时有非常极限，记作对于自变量趋于某种趋向或时，所有以，+或-为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.定理3.13（i ）设在内有定义且不等于0.若为 时的无穷小量，则为时的无穷大量001ii .g x x x x g →→（）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量函数的连续()()()()()()()()()()()()0000000000000000lim ,0,0,,.2.lim lim .4.1o x x oo x x x x f U x f x f x f x x x f x f x f x f U x U x f x f x f x f x f x f x f x εδδε+-→+-→→=>>-<-<⎛⎫== ⎪⎝⎭函数在点的连续1.设函数在某内有定义.若则称在点连续；也可表述为：若对任给的存在使得当时有则称在点连续设函数在某内有定义.若，则称在点右（左）连续函数在点连续的充要条件是：定理在点即()()()()()0000000000..lim ,4.,.5.lim lim .6.ox x x x x x f U x f x f x x f f x A f x f x A x f f x f x f x x f +-→→→=≠≠是右连续，又是左连续间断点及其分类3.设函数在某内有定义.若在点无定义，或在点有定义不连续，则称为函数的间断点或不连续点若在点无定义，或有定义可去间断点但则称为函数的可去间断点若函数在点的左右极限都存在，但跳跃间断点，则称为函数的跳跃间断点以上两种间断点统称为第一类间断点，其他所有形式的间断点统称为第二类间断点.区间上的连续函数[][],,f I f I f a b f a b 若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数。