2014~2015学年度 (人教A版)高考数学复习课件 6.3《基本不等式》
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基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件
函数的最小值为 4.
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
练习
1、若x 0，求f ( x) 12 3x的最小值 x
2、已知x 0，y 0，求证 x y 2 yx
基本不等式人教A版高中数学必修五PP T课件
2.基本不等式 基本不等式人教A版高中数学必修五PPT课件 （均值定理）
如果a 0, b 0，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时，取""号)
我们把 a b 叫做正数a, b的算术平均数， 2
把 ab叫做正数a, b的几何平均数。
此定理又可叙述为：
解：∵ x 0
x
x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1 ,即x 1时，原式有最小值 2 x
变式、已知x 0，求x 1 的最值 x
解：∵ x 0， x 0
x 1 [( x) 1 ] 2 ( x) 1 2
x
( x)
( x)
运用均当且值仅不当等式x 的1过,程即x中，1时a、，b原必式须有最为大“正值 数 2”．
(1)a、b均为正数;
(2)a+b与ab有一个为定值;
(3)等号必须取到。பைடு நூலகம்
以上三个条件缺一不可. “一正”、“二定”、“三相等”。
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例1、求函数y 1 x( x 3)的最小值
x3
练习:
已知x 1，求x 1 的最小值以及取得最小 值时x的值 x1
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_3基本不等式课件理新人教A版
[解析] (1)由 lg 2x＋lg 8y＝lg 2 得，lg 2x＋3y＝lg 2， ∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y) ＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时，等号成立.
(2)y＝1＋3x＋
1 x－1
＝3(x－1)＋
1 x－1
＋4.令x－1＝t，t≥1，∴y＝3t＋
跟踪训练 (1)(2018·湖南期末)函数y＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若
定点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，则3m＋n的最小值为( )
A．13
B．14
C．16
D．12
解析：由题意知A(1,3)，
点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，∴m1 ＋3n＝1.
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(4)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
[三基自测]
1．(必修5·习题3.4A组改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有 最小 值是2 p(简记：
积定和最小 )． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有 最大值是p42(简记：
和定积最大 )．
4．几个常用的重要结论： (1)ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋1a≥2(a＞0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a＜0，当且仅当a＝－1时 取等号)．
高考数学一轮复习课件6.3基本不等式
•1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变 形后能使用基本不等式是代换的前提，不能 盲目变形．
•2．利用基本不等式证明不等式，关键是所 证不等式必须是有“和”式或“积”式，通 过将“和”式转化为“积”式或将“积”式 转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时， 也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应 注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
当且仅当
3y x
＝
4x y
且x＋y＝1，即x＝－3＋2
3 ，y＝4－
2 3时等号成立，
∴3x＋4y的最小值是7＋4 3. (2)由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy， ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋（x＋4 y）2，
解得－2 3 3≤x＋y≤2 3 3，
∴x＋y的最大值为23
3 .
【答案】
b a
的最小值为( )
A．16 2
B．8 2
C．83 4
D．43 4
【解析】 由m＝|log2x|，得xA＝(12)m，xB＝2m. 同理，xC＝(12)2m8＋1，xD＝22m8＋1.
∴a＝|xA－xC|＝（12）m－（12）2m8＋1， 8
b＝|xB－xD|＝|2m－22m＋1|.
∴ba＝2－2mm－－22－2m28＋m8＋1 1＝
当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时等号成立．
∴y＝2x－5x2的最大值ymax＝15.
(2)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(53x＋51y) ＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5， 当且仅当x＝2y＝1时，等号成立． ∴3x＋4y的最小值为5.
元的函数；
(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的
人教高中数学A版必修一 《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第二课时基本不等式的应用)
第三页，共十九页。
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
第四页，共十九页。
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
第十页，共十九页。
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
第十五页，共十九页。
1．若 a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.( )
第二页，共十九页。
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc， 同理1b－1≥2 bac，1c－1≥2 cab. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
第四页，共十九页。
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
第十页，共十九页。
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
第十五页，共十九页。
1．若 a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.( )
第二页，共十九页。
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc， 同理1b－1≥2 bac，1c－1≥2 cab. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
高考数学一轮复习 6.3基本不等式及其应用课件 文
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21
【拓展探究】 若本例(1)中的“－6≤a≤3”改为 “0≤a≤3”，结果如何？
解：∵ 3－aa＋b＝ －a＋322＋841 且f(a)＝－a＋322＋841在[0,3]上为减函数，∴原式的最大值为 3 2.
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22
考点二 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情
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29
考点三 基本不等式的实际应用 应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)仔细阅读题目，透彻理解题意； (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示
() A．(0，＋∞) B.15，＋∞
C．[1,4)
D．(0,4)
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12
解析：a≥x2＋3xx＋1＝x＋1x1＋3，又x>0，∴x＋1x≥2， ∴x＋1x1＋3≤15，∴a≥15.故选B.
答案：B
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13
3．已知函数f(x)＝4x＋
a x
(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，
第
六
不等式、推理与证明
章
完整版ppt
1
第三节
基本不等式及其应用
完整版ppt
2
高考导航
完整版ppt
3
基础
知识回顾
完整版ppt
4
1．基本不等式
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5
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ab ≤ a＋2 b2(a，b∈R)．
a2＋b2 (3) 2
≥
a＋2 b2(a，b∈R)．
由基本不等式可知，
3－aa＋6
≤
高考数学总复习第六章不等式、推理与证明6.3基本不等式课件
第六章
不等式、推理与证明
第3节 基本不等式
课堂探究 考点突破
真题模拟演练
课堂探究 考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1 利用配凑法求最值
9 (1)设 0＜x＜32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为 2 .
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋32－2x2＝92，当 且仅当“2x＝3－2x，即 x＝34”时，等号成立．
(m
＋p)
＝165＋mp ＋4pm
≥16
5＋2
mp ·4pm＝32，当且仅当 m＝2，p＝4 时等号成立，故选 C.
(2)若正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，则 x＋2y 的最小值是( A )
22 A. 3
2 B. 3
3 C. 3
23 D. 3
解析：因为正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0， 所以 y＝1－6xx2.
解析：因为函数 g(x)＝logax＋1(a＞0 且 a≠1)的定点为(1,1) 在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2＝1，
所以m1 ＋1n＝m1 ＋1nm2 ＋n2＝12＋12＋2nm＋2mn≥1＋2 ＝2，
当且仅当2nm＝2mn，即 m2＝n2 时取等号， 所以m1 ＋1n的最小值为 2.
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设 计？
解：(1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，
由 a2x＝4 000，得 a＝20
10 .
x
则 S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·20 10＋160 x
不等式、推理与证明
第3节 基本不等式
课堂探究 考点突破
真题模拟演练
课堂探究 考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1 利用配凑法求最值
9 (1)设 0＜x＜32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为 2 .
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋32－2x2＝92，当 且仅当“2x＝3－2x，即 x＝34”时，等号成立．
(m
＋p)
＝165＋mp ＋4pm
≥16
5＋2
mp ·4pm＝32，当且仅当 m＝2，p＝4 时等号成立，故选 C.
(2)若正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，则 x＋2y 的最小值是( A )
22 A. 3
2 B. 3
3 C. 3
23 D. 3
解析：因为正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0， 所以 y＝1－6xx2.
解析：因为函数 g(x)＝logax＋1(a＞0 且 a≠1)的定点为(1,1) 在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2＝1，
所以m1 ＋1n＝m1 ＋1nm2 ＋n2＝12＋12＋2nm＋2mn≥1＋2 ＝2，
当且仅当2nm＝2mn，即 m2＝n2 时取等号， 所以m1 ＋1n的最小值为 2.
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设 计？
解：(1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，
由 a2x＝4 000，得 a＝20
10 .
x
则 S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·20 10＋160 x
高考数学 第六章 第四节 基本不等式课件 理 新人教A版
，因为
a2
2 a ，3 a1但2 不2能a说 就是 2 a 的2 值a 与a有关，不是一个定值.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
1.下列不等式中正确的是( )
(A)若a∈R，则a2+9>6a
(B)若a,b∈R，则 a b 2
ab
(C)若a,b>0，则 2lgablgalgb
(1)函数y=x+ 1 的最小值是2.( )
x
(2)ab≤ ( a b ) 2 成立的条件是ab>0.( )
2
(3)函数f(x)=cos x 4 ，x∈(0, )的最小值等于4.( )
cos x
2
(4)x>0且y>0是 x y 2 的充要条件.( )
yx
(5)若a>0，则 a 3
1 a2
的最小值为2
考向1 利用基本不等式判断命题真假 【典例1】(1)(2013·东莞模拟)若a≥0,b≥0，且a+b=2，则下 列不等式中正确的是( ) (A)ab≤1 (B)ab≥1 (C)a2+b2≥4 (D)a2+b2≤4
(2)(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) (A)lg(x2+ 1 )>lg x(x>0)
(4)语言叙述：两个正数的_算__术__平__均__数__不小于它们的几__何__平__均__
__数__.
2.基本不等式的变形
(1)a+b≥2 a b (a,b>0).
(2)a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R).
(3) a2b2(ab)2aba,b R .
22
3．利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为
a2
2 a ，3 a1但2 不2能a说 就是 2 a 的2 值a 与a有关，不是一个定值.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
1.下列不等式中正确的是( )
(A)若a∈R，则a2+9>6a
(B)若a,b∈R，则 a b 2
ab
(C)若a,b>0，则 2lgablgalgb
(1)函数y=x+ 1 的最小值是2.( )
x
(2)ab≤ ( a b ) 2 成立的条件是ab>0.( )
2
(3)函数f(x)=cos x 4 ，x∈(0, )的最小值等于4.( )
cos x
2
(4)x>0且y>0是 x y 2 的充要条件.( )
yx
(5)若a>0，则 a 3
1 a2
的最小值为2
考向1 利用基本不等式判断命题真假 【典例1】(1)(2013·东莞模拟)若a≥0,b≥0，且a+b=2，则下 列不等式中正确的是( ) (A)ab≤1 (B)ab≥1 (C)a2+b2≥4 (D)a2+b2≤4
(2)(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) (A)lg(x2+ 1 )>lg x(x>0)
(4)语言叙述：两个正数的_算__术__平__均__数__不小于它们的几__何__平__均__
__数__.
2.基本不等式的变形
(1)a+b≥2 a b (a,b>0).
(2)a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R).
(3) a2b2(ab)2aba,b R .
22
3．利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为
数学课件人教A版《基本不等式》课件ppt[优质版]
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答 销售价格每件应定为60元.
当且仅当 y＝4，x＝37时取等号.
y－3·y－1 3＋6＝8，
反思 感悟
在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元， 把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解.
四、平方法求最值
例 7 若 x>0，y>0，且 2x2＋y32＝8，求 x 6＋2y2的最大值.
六、建立求解目标不等式求最值
例9 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，求3a＋4b的最小值.
解 a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9， 即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9， 即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18， 可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1) ≥2 2a＋2ba＋2b＋1＝6 2， 当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号， 即 3a＋4b 的最小值为 6 2－1.
解析 ∵正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，
第一章 预备知识
在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、 三相等”的条件，需要做一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下 面举例说明.
一、配凑法求最值
例 1 已知关于 x 的不等式 x＋x－1 a≥7 在 x>a 上恒成立，则实数 a 的最 小值为__5_.
解析 ∵x>a， ∴x－a>0， ∴x＋x－1 a＝(x－a)＋x－1 a＋a≥2＋a， 当且仅当x＝a＋1时，等号成立， ∴2＋a≥7，即a≥5.
利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等 即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，
解 设销售价格为每件x元(50<x≤80)，每天获得的利润为y元， 解析 ∵ab＝a＋b＋3，∴(a－1)·b＝a＋3.
高考数学复习 62 基本不等式课件 新人教A
解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、 放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几 何法(利用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基 本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变 形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．② 必须指出等号成立的条件．
解析：(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买 量为 6x 吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为
3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则 y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800 ＝9x00＋9x＋10800≥2 9x00·9x＋10800＝10980.
利用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9. 分析：待证式左边展开就是 ab 的表达式，故可由条件 先求 ab 的取值范围，再求关于 ab 的函数的值域；注意到 a ＋b＝1，也可以消去一个未知数展开整理，或对分子进行“1 的代换”，再展开证明．
f(x1)－f(x2)＝x1＋1x010－x2＋1x020 ＝x2－x1100－x1x2 x1x2
∵x2>x1≥35. ∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0. ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)． 即 f(x)＝x＋1x00，当 x≥35 时为增函数． ∴当 x＝35 时，f(x)有最小值，此时 y2<10980. ∴该厂应该接受此优惠条件．
(2)求污水处理池的两邻边长各为多少米时，池的总 造价最低，并求出最低总造价．
解析：∵污水处理池的一边长为 xm，∴它的邻边长 为40x0m，隔壁长也为40x0m.
2015高三人教版数学一轮复习课件：第6章 第4节 基本不等式
第二十九页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
解析 (1)由题意知该公司这 n 年需要支出与生产产品相关的各种 配套费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列的前 n 项和． ∴f(n)＝50n－98－[12＋16＋…＋(4n＋8)] ＝－2n2＋40n－98. 由 f(n)≥0 得－2n2＋40n－98≥0， 解得 10－ 51≤n≤10＋ 51. ∵n∈N*，∴n＝3，4，5，…，17. ∴f(n)≥0 的解集为{n|n∈N*，3≤n≤17}．
第十页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、Байду номын сангаас理与证明
3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab(a， b>0)逆用就是 ab≤a＋2 b2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等．
第四页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)函数 y＝x＋1x(x＞0)的值域为
() A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) C [∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号．]
第五页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
第四节 基本不等式
第一页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
[主干知识梳理] 一、基本不等式 ab≤a＋2 b 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 ． 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
第二页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
解析 (1)由题意知该公司这 n 年需要支出与生产产品相关的各种 配套费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列的前 n 项和． ∴f(n)＝50n－98－[12＋16＋…＋(4n＋8)] ＝－2n2＋40n－98. 由 f(n)≥0 得－2n2＋40n－98≥0， 解得 10－ 51≤n≤10＋ 51. ∵n∈N*，∴n＝3，4，5，…，17. ∴f(n)≥0 的解集为{n|n∈N*，3≤n≤17}．
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第六章 不等式、Байду номын сангаас理与证明
3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab(a， b>0)逆用就是 ab≤a＋2 b2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等．
第四页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)函数 y＝x＋1x(x＞0)的值域为
() A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) C [∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号．]
第五页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
第四节 基本不等式
第一页，编辑于星期五：十二点 三分。
第六章 不等式、推理与证明
[主干知识梳理] 一、基本不等式 ab≤a＋2 b 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 ． 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
第二页，编辑于星期五：十二点 三分。
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4 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝3 时等号成立． x－1
第六章 不等式、推理与证明
考点一 考点二 考点三
利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式解决实际问题
第六章 不等式、推理与证明
考点一 利用基本不等式证明不等式
已知 a>0，b>0，a＋b＝1， 1 1 求证：1＋a1＋b≥9.
ab 平均数为__________ ，基本不等式可叙述为：两个正实数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
第六章 不等式、推理与证明
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则
x＝ y (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__________ 时，x＋y
ห้องสมุดไป่ตู้
2 p 最小 有__________ 值是__________ ．(简记：积定和最小)
第六章 不等式、推理与证明
第 3讲
基本不等式
第六章 不等式、推理与证明
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 a>0，b>0 ． (1)基本不等式成立的条件：__________
a＝b (2)等号成立的条件：当且仅当__________ 时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋b 2 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为__________ ，几何
第六章 不等式、推理与证明
1 1 1 1 1 1 ＋ 1 ＋ 法二： a b＝1＋ ＋ ＋ a b ab a＋b 1 2 ＝1＋ ＋ ＝1＋ ， ab ab ab ∵a，b 为正数，a＋b＝1， 2 a ＋ b 1 1 ∴ab≤ 2 ＝4，当且仅当 a＝b＝2时取“＝”． 1 2 1 于是 ≥4， ≥8，当且仅当 a＝b＝ 时取“＝”． ab ab 2 1 1 ∴1＋a1＋b≥1＋8＝9， 1 当且仅当 a＝b＝ 时等号成立． 2
[证明] 法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b b a 1 1 ∴1＋ ＝1＋ ＝2＋ .同理，1＋ ＝2＋ . a a a b b 1 1 b a ∴1＋a1＋b＝2＋a2＋b b a b a ＝ 5＋ 2a＋b≥ 5＋ 4＝ 9，当且仅当 ＝ ，即 a＝ b 时取 a b “＝”． 1 1 1 ∴1＋a1＋b≥9，当且仅当 a＝b＝ 时等号成立． 2
解析：由基本不等式得 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1 时
2 a ＋ b 1 1 取到等号;ab≤ 2 ＝4,当且仅当 a＝b＝2时取到等号.
第六章 不等式、推理与证明
1．辨明两个易误点 (1)使用基本不等式求最值， “一正，二定、三相等”三个 条件缺一不可； (2) 连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件 一致．
2．活用几个重要的不等式 b a 2 2 a ＋b ≥2ab(a，b∈R)； ＋ ≥2(a，b 同号)． a b 2 2 2 2 a ＋ b a ＋ b a ＋ b (a，b∈R)； ≤ ab≤ (a，b∈R)． 2 2 2
第六章 不等式、推理与证明
3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等 技巧， 使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
第六章 不等式、推理与证明
考点二 利用基本不等式求最值(高频考点)
利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择 题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．
第六章 不等式、推理与证明
1 1 (1) 当 0<x< 时，函数 y ＝ x(1 － 2x) 的最大值为 2 2 1 ________ 16 ． (2)(2014· 高考重庆卷)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b 的 最小值是( D ) A．6＋2 3 B．7＋2 3 C．6＋4 3 D．7＋4 3 2 1 (3)(2015· 吉林长春调研)若两个正实数 x，y 满足 ＋ ＝1， x y 并且 x＋2y>m2＋2m 恒成立， 则实数 m 的取值范围是( D ) A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2，4) D．(－4，2)
第六章 不等式、推理与证明
[做一做] a＋b 2．“a>0 且 b>0”是“ ≥ ab”成立的( A ) 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4 5 3．若 x>1，则 x＋ 的最小值为________ ． x－1 4 4 解析：x＋ ＝x－1＋ ＋1≥4＋1＝5. x－1 x－1
第六章 不等式、推理与证明
bc ac ab 1.设 a，b，c 都是正数，求证： ＋ ＋ ≥a a b c ＋b＋c.
bc ca ab 证明：∵a，b，c 都是正数，∴ ， ， 都是正数． a b c bc ca ca ab ∴ ＋ ≥2c，当且仅当 a＝b 时等号成立， ＋ ≥2a， a b b c ab bc 当且仅当 b＝c 时等号成立， ＋ ≥2b，当且仅当 a＝c c a 时等号成立． bc ca ab bc ca ab ＋ ＋ 三式相加， 得 2 a b 即 ＋ ＋ ≥ c ≥2(a＋b＋c)， a b c a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立．
x＝y (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当__________ 时，xy p2 最大 有__________ 值是__________ ．(简记:和定积最大) 4
第六章 不等式、推理与证明
[做一做] 1．已知 a，b∈(0，＋∞)，若 ab＝1，则 a＋b 的最小值为 1 2 ________ ；若 a＋b＝1，则 ab 的最大值为________ ． 4
第六章 不等式、推理与证明
[规律方法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本 不等式条件的可通过“变形”来转换， 常见的变形技巧有： 拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数， “1”的代换 法等．
第六章 不等式、推理与证明
1 1 在本例条件下，求证 ＋ ≥4. a b
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1， b a 1 1 a＋b a＋b ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2 a b a b a b 1 当 a＝b＝ 时等号成立． 2 1 1 ∴ ＋ ≥4. a b b a · ＝4，当且仅 a b
第六章 不等式、推理与证明
考点一 考点二 考点三
利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式解决实际问题
第六章 不等式、推理与证明
考点一 利用基本不等式证明不等式
已知 a>0，b>0，a＋b＝1， 1 1 求证：1＋a1＋b≥9.
ab 平均数为__________ ，基本不等式可叙述为：两个正实数
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
第六章 不等式、推理与证明
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则
x＝ y (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__________ 时，x＋y
ห้องสมุดไป่ตู้
2 p 最小 有__________ 值是__________ ．(简记：积定和最小)
第六章 不等式、推理与证明
第 3讲
基本不等式
第六章 不等式、推理与证明
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 a>0，b>0 ． (1)基本不等式成立的条件：__________
a＝b (2)等号成立的条件：当且仅当__________ 时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋b 2 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为__________ ，几何
第六章 不等式、推理与证明
1 1 1 1 1 1 ＋ 1 ＋ 法二： a b＝1＋ ＋ ＋ a b ab a＋b 1 2 ＝1＋ ＋ ＝1＋ ， ab ab ab ∵a，b 为正数，a＋b＝1， 2 a ＋ b 1 1 ∴ab≤ 2 ＝4，当且仅当 a＝b＝2时取“＝”． 1 2 1 于是 ≥4， ≥8，当且仅当 a＝b＝ 时取“＝”． ab ab 2 1 1 ∴1＋a1＋b≥1＋8＝9， 1 当且仅当 a＝b＝ 时等号成立． 2
[证明] 法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1， a＋b b a 1 1 ∴1＋ ＝1＋ ＝2＋ .同理，1＋ ＝2＋ . a a a b b 1 1 b a ∴1＋a1＋b＝2＋a2＋b b a b a ＝ 5＋ 2a＋b≥ 5＋ 4＝ 9，当且仅当 ＝ ，即 a＝ b 时取 a b “＝”． 1 1 1 ∴1＋a1＋b≥9，当且仅当 a＝b＝ 时等号成立． 2
解析：由基本不等式得 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1 时
2 a ＋ b 1 1 取到等号;ab≤ 2 ＝4,当且仅当 a＝b＝2时取到等号.
第六章 不等式、推理与证明
1．辨明两个易误点 (1)使用基本不等式求最值， “一正，二定、三相等”三个 条件缺一不可； (2) 连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件 一致．
2．活用几个重要的不等式 b a 2 2 a ＋b ≥2ab(a，b∈R)； ＋ ≥2(a，b 同号)． a b 2 2 2 2 a ＋ b a ＋ b a ＋ b (a，b∈R)； ≤ ab≤ (a，b∈R)． 2 2 2
第六章 不等式、推理与证明
3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等 技巧， 使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
第六章 不等式、推理与证明
考点二 利用基本不等式求最值(高频考点)
利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择 题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．
第六章 不等式、推理与证明
1 1 (1) 当 0<x< 时，函数 y ＝ x(1 － 2x) 的最大值为 2 2 1 ________ 16 ． (2)(2014· 高考重庆卷)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b 的 最小值是( D ) A．6＋2 3 B．7＋2 3 C．6＋4 3 D．7＋4 3 2 1 (3)(2015· 吉林长春调研)若两个正实数 x，y 满足 ＋ ＝1， x y 并且 x＋2y>m2＋2m 恒成立， 则实数 m 的取值范围是( D ) A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2，4) D．(－4，2)
第六章 不等式、推理与证明
[做一做] a＋b 2．“a>0 且 b>0”是“ ≥ ab”成立的( A ) 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4 5 3．若 x>1，则 x＋ 的最小值为________ ． x－1 4 4 解析：x＋ ＝x－1＋ ＋1≥4＋1＝5. x－1 x－1
第六章 不等式、推理与证明
bc ac ab 1.设 a，b，c 都是正数，求证： ＋ ＋ ≥a a b c ＋b＋c.
bc ca ab 证明：∵a，b，c 都是正数，∴ ， ， 都是正数． a b c bc ca ca ab ∴ ＋ ≥2c，当且仅当 a＝b 时等号成立， ＋ ≥2a， a b b c ab bc 当且仅当 b＝c 时等号成立， ＋ ≥2b，当且仅当 a＝c c a 时等号成立． bc ca ab bc ca ab ＋ ＋ 三式相加， 得 2 a b 即 ＋ ＋ ≥ c ≥2(a＋b＋c)， a b c a＋b＋c，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立．
x＝y (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当__________ 时，xy p2 最大 有__________ 值是__________ ．(简记:和定积最大) 4
第六章 不等式、推理与证明
[做一做] 1．已知 a，b∈(0，＋∞)，若 ab＝1，则 a＋b 的最小值为 1 2 ________ ；若 a＋b＝1，则 ab 的最大值为________ ． 4
第六章 不等式、推理与证明
[规律方法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本 不等式条件的可通过“变形”来转换， 常见的变形技巧有： 拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数， “1”的代换 法等．
第六章 不等式、推理与证明
1 1 在本例条件下，求证 ＋ ≥4. a b
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1， b a 1 1 a＋b a＋b ∴ ＋ ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2 a b a b a b 1 当 a＝b＝ 时等号成立． 2 1 1 ∴ ＋ ≥4. a b b a · ＝4，当且仅 a b