【高等数学课件共60课时】备课笔记- (22)
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (2)
第二节
数列的极限
极限概念是由于求某些实际问题的精 确解而产生的.比如计算面积的问题,它 是初等几何的一个重要内容,在历史上也 是微积分的一个最早的起源问题,下面就 通过面积问题来看一看怎样从初等几何 向微积分过渡.
一、数列的定义 定义 按照一定的顺序排列的一列数
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y
2
o
x
2
反余切函数y arc cot x
y
o
x
2．复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x2
定义 若函数y=f (u)的定义域为D1,函 数 u ( x) 的值域为D2,其中 D2 D1 ,则 y通过变量u成为x的函数，这个函数称为 由y=f (u)和 u ( x) 构成的复合函数，记 为 y f [（x )]
(1,0)
y log a x (0 a 1)
(4)三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数
y tan x
y tan x
余切函数
y cot x
y cot x
(5)反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
解: 1. y 1 x 由 y u 和 u 1 x 复合而成. 2 2 2. y sin x 由 y u 和 u sin x 复合而成.
2
2
3. y e 复合而成.
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (27)
x
x x
x
f ( t )dt f ( )( x x x )
f ( )x
x x 0 x lim f ( ) f ( x )
x 0
lim
该定理表明: x 积分上限函数 ( x ) a f ( t )dt 是 f (x) 的一个原函数.
4.
2 0
cos 3 x sin xdx ;
解 3. 原式 04 (sec2 x 1)dx
[tan x x ] 1
4 0
4
4. 原式 2 cos 3 xd (cos x ) 0
1 1 4 2 [ cos x ]0 4 4
1 x2 x0 4. 设f ( x ) , 求 f ( x )dx. 1 x 1 x 0
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
是否成立?
二、积分上限的函数及其导数
1.积分上限的函数 设 f (x)在[a,b]上连续,x∈[a,b],则
x
a
f ( t )dt
该积分值x的变化而变化
即该积分是x的函数,记作Φ(x)
( x ) f ( t )dt
a x
x [a, b]
( f ( t )dt )x f ( x )
a
x
( f ( t )dt ) u f ( u)
a
u
(2)已知 F ( x )
例1 (1)已知 F ( x ) e dt ,求 F ( x ) . 0
t2
x 1
x
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (3)
求(1)f (x)的定义域；(2) (3)作出 f (x)的图象. (2)
1 1 2 1 f( )( ) , 2 2 4
x
1
1 f ( ) ,f 2
(2);
解: (1) f (x)的定义域为[0,+∞);
f ( 2) 1;
(3)
o
1
y
3.几个特殊的函数 (1) 符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
3. y 1, y sin x cos x .
2 2
2.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例 如, x 2 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
y 2x 1
x0 x0
x2 , 0 x 1 例3 设 f ( x ) x1 1,
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3.函数的奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
高数第一章知识点总结笔记
高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。
1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。
- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。
- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。
3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。
- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。
4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。
- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。
5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。
(完整版)高等数学笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高等数学说课稿PPT
二、高等数学在专业理论课程体系中的作用
❖ 一必须明确高等数学课程在高职教育中的基础性地 位和基础性作用。
❖ 二要从应用的角度或者说解决实际问题的需要出发， 从各专业后继课程的需要和社会的实际需要出发， 来考虑和确定教学内容体系。
❖ 三是要从培养应用型人才的角度来更新教学内容和 改革教学体系，高等数学课程不仅要教给学生一些 实用的数学工具，它更是培养学生的数学思维，数 学素质，应用能力和创新能力的重要载体。
❖ 不定积分
8学时
❖ 定积分及应用
10学时
❖ 第一学期共60学时
❖ 向量与空间解析几何
6学时
❖ 级数
10学时
❖ 矩阵的概念、运算
2学时
❖ 第二学期期中考试
2学时
❖ 矩阵变换初等变化，解线性方程组 4学时
❖ 随机事件、随机变量及分布
4学时
❖ 第二学期期末复习
2学时
❖ 第二学期共30学时
❖ 两学期合计90学时
三、课程教学目标
知识培养目标
高等数学的 基本概念、
基本理论 基本运算。
能力培养目标
运算能力、分析 问题和解决问题的 能力、逻辑推理能 力。
理解数学思想、 明晰数学方法、建 立数学思维。
自主学习的能力、 交流协作能力，全 面提升职业核心能 力。
思想培养目标
主动探索、勇于 发现的科学精神， 创新意识和创新精 神。
应用模块
❖ 应用模块内容的设定是由各专业课教师和数学教师 共同研讨确定，针对不同专业的特点，专业课程对 数学知识的需求设置。它的主要特点是体现专业性， 所有内容都要体现 “必需，够用” ，让学生感受 “数学就在我身边”。
❖ 应用模块主要内容： 空间解析几何 ：空间直角坐标系, 向量,空间曲面及 其方程,空间直线及其方程；级数的概念和性质，数 项级数收敛性的判定，幂级数，富里埃级数；矩阵 的概念,矩阵的运算,矩阵的初等变换，解线性方程 组；随机事件及其概率。
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高数知识点总结PPT课件
时,为右导数 时,为左导数
可微
第9页/共33页
第
二
章
导数 与 微分
• 应用:
(1) 利用导数定义解决的问题 求分段函数在分界点处的导数 由导数定义证明一些命题
(2) 用导数定义求极限 (3) 求曲线的切线与法线 (4) 微分在近似计算与误差估计中的应用
第10页/共33页
第
二
章
导数 与 微分
二、导数和微分的求法
第
一
章
函数 与 极限
一、函数
1. 特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 2. 反函数 3. 复合函数 4. 初等函数
第1页/共33页
第
一
章
函数 与 极限
二、 极限
1. 极限定义的等价形式
(以 x x0为例 )
" "
(即 f ( x) A为无穷小)
有
第2页/共33页
第
一
章
函数 与 极限
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的Байду номын сангаас质; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
arcsin x ~ x,
ex 1 ~ x,
(1 x) 1 ~ x.
第3页/共33页
第
一
章
函数 与 极限
4. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第4页/共33页
3. 有关中值问题的解题方 法 利用逆向思维，设辅助函数. 一
般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在,多 用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函 数，可考虑用柯西中值定理 .
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (9)
20
二 导数的定义
定义 设函数y= f (x)在点x0的某个邻域 内有定义,当自变量x在x0取得增量Δx时(点 x0+Δx趋仍在该邻域内),y相应地取得增量 Δy= f (x)-f (x0),若 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x0 x 存在,则称其极限值为函数y=f (x)在点x0处 的导数,记为
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值： x x y ( 3) 取极限： y lim x 0 x
25
例 1 求函数y=x2的导数. 解：y f ( x x ) f ( x )
( x x )2 x 2 2 2 xx ( x ) 2 y 2 xx ( x ) 2 x x x x
f ( x 0 ) ,
或y
x x0
dy , 或 dx
x x0
21
即
y f ( x0 ) lim x 0 x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim x 0 x
22
函数f (x)在点x0存在导数,就说 函数f (x)在点x0可导.如果在该点导 数不存在,就说函数在该点不可导. 如果函数f (x)在区间(a,b)内的每一点 都可导,则称函数在区间(a,b)内可导.此时 对于每一个x∈(a,b),都有导数 f ( x ) 对应, 所以 f ( x ) 是x的函数,这个函数称为函数 的导函数,记为 dy y, f ( x ) , dx f ( x x ) f ( x ) 即 f ( x ) lim x 0 x
23
说明 (1)导函数 f ( x )是一个函数, 导数 f ( x0 )则是一个数值。 (2) f ( x0 ) f ( x ) x x0 (3)在不致于发生混淆时，导 函数也称为导数。
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (21)
提出问题: 若 f ( x )dx F ( x ) C 成立, 则当 u ( x ) 时
由 f ( x )dx F ( x ) C
f (u)du F (u) C
是否成立?
dF( x ) f ( x )dx
根据微分形式的不变性,得
dF(u) f (u)du
归纳:
用第一类换元积分法计算积分时,关键 是把被积表达式凑成两部分,使其中一部分 为 f [ ( x )] ，另一部分为 d ( x ) ；因此又把 第一类换元积分法称为凑微分法。“凑”得 是否得当，它的标志是作变量代换后， f (u)du 是否易于用积分基本公式求出.
在凑微分时,常要用到下列微分式子: 1 1 2 1 .dx d (ax b ) ; 2. xdx dx ; a 2 3 . cos xdx d sin x ; 4. sin xdx d cos x ;
2
xe
x2
dx .
在熟悉不定积分的换元法后，可不写出 中间变量.
1 x2 1 1 1 2 xdx 解：原式 dx 2 2 1 x2 1 x 1 1 d (1 x 2 ) 2 2 1 x
例5 求
x
dx .
1 2 2 1 x C 1 x2 C 2
1 1 cos 2 xdx 2 cos 2 x 2dx 2 cos 2 xd (2 x ) 令2 xu 1 1 1 cos udu sin u C sin 2 x C 2 2 2 1 验证: ( 2 sin2 x C ) cos 2 x
( x 2 1) 2 x 1 2 dx ( 2 )dx 2. 原式 2 x( x 1) x x 1 ln x 2 arctan x C
高等数学课件完整版
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D. 则称f ( x)为周
期函数, l称为f ( x)的周期. 且f ( x l) f ( x)恒成立.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
1,
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高中数学笔记知识点
高中数学笔记知识点高中数学是一门逻辑性强、知识点繁多且相互关联的学科。
做好笔记对于掌握和复习数学知识至关重要。
以下是一些高中数学的重要知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、集合集合是高中数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合通常用大写字母表示，如 A、B 等。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
常见的集合表示方法有列举法、描述法和区间法。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
集合的运算有交集、并集和补集。
二、函数函数是高中数学的核心内容之一。
函数是一种特殊的对应关系，对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。
函数的表示方法有解析式法、图象法和列表法。
常见的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数等。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和对称性。
一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0），其图象是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。
二次函数的一般形式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），其图象是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
指数函数的一般形式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
对数函数的一般形式为 y ＝logₐ x（a ＞ 0 且a ≠ 1），它是指数函数的反函数。
三、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们在解决几何和物理问题中有着广泛的应用。
正弦函数 y ＝ sin x 的定义域为 R，值域为-1, 1，周期为2π，图象关于原点对称，是奇函数。
余弦函数 y ＝ cos x 的定义域为 R，值域为-1, 1，周期为2π，图象关于 y 轴对称，是偶函数。
高数学公式和知识点笔记
高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含了众多的公式和知识点。
以下是我为大家整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限（一）函数函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
函数的性质：1、单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x)在该区间上单调递增（或单调递减）。
2、奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数。
（二）极限极限的定义：设函数 f(x)在点 x₀的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当 x 满足 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，对应的函数值 f(x)都满足|f(x) A|＜ε，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当x→x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。
极限的运算：1、四则运算：若lim(x→x₀) f(x) ＝ A，lim(x→x₀) g(x) ＝ B，则lim(x→x₀) f(x) ± g(x) ＝ A ± B；lim(x→x₀) f(x) × g(x) ＝ A × B；lim(x→x₀) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B（B ≠ 0）。
2、两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1；lim(x→∞）（1 ＋1 ／ x)ⁿ ＝ e（n 为常数）。
二、导数与微分（一）导数导数的定义：函数 y ＝ f(x)在点 x₀处的导数 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。
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无法用凑微分法求出 1 x dx 对于 f ( x )dx ， 若令 x ( t ) ，则 f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
①
2
若该积分更易求出,则可求出原积分
一般地，在计算 f ( x )dx 时,适当地选 择 x ( t ) 进行换元， f ( x )dx f [ (t )] (t )dt 若该积分容易用直接积分法或凑微分法求得 则按下述方法计算不定积分:
1 2 ln( 1 x ) C 2
注意： 1.
1 x dx ln | x | C 1 1 x 2 dx arctanx C
x 1 1 2 dx dx 1 x2 2 1 x2 1 1 1 2 2 ln( 1 x )C d ( x 1 ) 2 2 2 1 x
但是也会遇到相反的情形：要求的积分 是 f ( x )dx ,形式上虽然简单，如：
f (u)du.
2
①
1 x dx
；② x 1 x dx
2
虽然①简单，②看似复杂，而 实际上①更难求出积分
1 ② x 1 x dx 1 x 2 d (1 x 2 ) 2 3 3 1 1 1 2 2 (1 x ) C (1 x 2 ) 2 C 1 2 3 1 2
2.
1 dx 2 x C x 1 dx arcsin x C 1 x2
1 1 2 dx d （ 1 x ) 2 1 x2 1 x2
x
1 x C
2
二、第二类换元积分法 前面所学的第一类换元积分法,常常能 把一个比较复杂的积分 f [ ( x )] ( x )dx 化为 能够用直接积分法求出积分的积分形式：
x si nt 2
例3 求
dx a x
2 2
(a 0) .
解 令 x a tan t (
a sec t
2
2
t
2
2 dx a sec tdt , ),则
2 a sec t 原式 dt dt 2 2 2 a a tan t a sect sectdt ln sect tan t C
;
1. 原式 2 sin( x 1)d x
2 sin( x 1)d ( x 1)
2 cos( x 1) C 1 2. 原式 tan xd (tan x ) tan 2 x C 2 1 1 C 3. 原式 2 d (cos x ) cos x cos x
2 (1 cos 2t )dt 2 dt cos 2td (2t )
2
t
2
x
2t 2 sin t cos t C
x x 4 x 2 arcsin 2 C 2 2 2 x 1 2 arcsin x 4 x 2 C 2 2
4 x2
sec x C
1 1 2 d ( x 1) 4. 原式 2 2 2 sin ( x 1) 1 2 2 2 csc ( x 1)d ( x 1) 2 1 2 cot( x 1) C 2 1 d (ln x ) arcsin(ln x ) C 5. 原式 2 1 ln x 1 1 1 1 2 2 d ( x 1) dx 6. 原式 2 2 2 1 x 2 1 x
例1 求
1 1 x dx .
2
解 令 x t (t 0) ,则 dx 2tdt ,
1 t 11 原式 2tdt 2 dt 1 t 1 t 1 2 (1 )dt 1 t 1 2 dt 2 d (1 t ) 1 t 2t 2 ln 1 t C
2 x 2 ln( 1 x ) C
例2 求
4 x 2 dx .
解 令 x 2 sin t (
2
t
2
) ,则 dx 2 cos tdt ,
原式 4 4 sin 2 t 2 cos tdt 4 cos 2 tdt
2t sin 2t C
第二节 换元积法(Ⅱ)
练习：求下列不定积分
si n ( x 1) 1. dx ; x si n x 3. dx ; 2 cos x 5. dx x 1 ln x
2
2. tan x se c2 xdx ; x 4 . dx; 2 2 si n ( x 1) x 6 . dx . 2 1 x
x2 a2
ln
x2 a2 x C a a
x
t
a
ln x x 2 a 2 C1
x tant a
C1 C ln a
x2 a2 解 令 x a sect (0 t ),则 dx a sect tan tdt , 2 a sect tan t a sect tan t 原式 dt dt a tan t a 2 sec2 t a 2
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt F (t ) C
回代 t 1 ( x )
令x ( t )
F [ 1 ( x )] C
这样的积分方法叫做第二类换元积分法
说明：
由于变量还原时,需要求代换函数 x ( t ) 的反函数 t 1 ( x ) ,所以在作 代换时,必需保证函数 x ( t ) 有反函数.
sectdt ln sect tan t C
x ln a x a C a
2 2
例4 求
dx
.
x
t
x2 a2
a
ln x x 2 a 2 C1