高优指导高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 20 两角和与差的正弦、余弦与正切公式考点规范

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高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

D.tan(α+β)=-1
解析:(2)由题意得
sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-sin αsin β

= 2 × (cos α-sin α)·sin β,整理,
得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=
0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C.

即 sin(α+β)= .故选 C.

(1)三角函数求值中变角的原则
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”
的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=

=cos(α+ )cos -sin(α+ )sin

= × - × =- .故选 C.

( 2 )(2024 ·山东日照模拟 ) 已知α∈ (

,

) , β∈( π,
cos(α- )=- ,sin(β- )= ,则 sin(α+β)的值为(
.
又因为β∈[π, ],所以β-α∈[ , ],故 cos(β-α)=

高考数学全程一轮复习第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式课件

＝ .故选C.
2
2
cos α
2
题型二公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是(
1
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
1
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
8
3
2
2
C．cos 15°－sin 15°＝
2
tan48°+tan 72°
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余
弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
【问题2】请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcos
1+cos 2α
________．
2
1
1−cos 2α
sin
2α
α＝________
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝_________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝_________________；
sin αcos β－cos αsin β
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝_________________；
sin αcos β＋cos αsin β
2sin αcos α
2cos2α－1
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝__________；
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2 tan α
2α＝________．
1−tan2 α
(3)公式T2α：tan

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第4章两角和与差的正弦、余弦和正切公式

§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(√)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．(×)教材改编题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于()A ．－32 B.32C ．－12D.12答案D解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.2．若将sin x －3cos x 写成2sin(x －φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝.答案π3解析因为sin x －3cos x＝x －32cos 所以cos φ＝12，sin φ＝32，因为0≤φ<π，所以φ＝π3.3．已知αsin α＝45，则tan 的值为．答案－17解析因为αsin α＝45，所以cos α＝－35，tan α＝sin αcosα＝45－35＝－43.所以＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－43＋111＝－17.题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)计算：cos 55°＋sin 25°cos 60°cos 25°等于()A ．－32 B.32C ．－12D.12答案B解析cos 55°＋sin 25°cos 60°cos 25°＝cos (30°＋25°)＋12sin 25°cos 25°＝32cos 25°－12sin 25°＋12sin 25°cos 25°＝32.(2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m ，tan β＝m ，且α＋β＝π4，则实数m 的值为()A ．－1B ．1C ．0或－3D ．0或1答案C解析因为α＋β＝π4，所以tan(α＋β)＝tan π4⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝1⇒1＋m ＋m 1－m (m ＋1)＝1⇒m 2＋3m ＝0，解得m ＝0或m ＝－3.思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<π2，sin π4－α＝26，则sin α1＋tan α的值为()A.41451B.21413C.41751D.21713答案C解析因为sin π4－α＝26，所以22(cos α－sin α)＝26.所以cos α－sin α＝13，所以1－2sin αcos α＝19，得sin αcos α＝49，因为cos α＋sin α＝1＋2sin αcos α＝173，所以sin α1＋tan α＝sin α1＋sin αcos α＝sin αcos αcos α＋sin α＝49173＝41751.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos β，则()A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－1答案C解析由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.题型二两角和与差的公式逆用与辅助角公式例2(1)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为()A.14B.13C.12D.53答案B解析在△ABC 中，∵C ＝120°，∴tan C ＝－ 3.∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝ 3.∴tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )，又∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝，cos 2β＝.答案3101045解析因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝φ＋2k cos φ＝31010，k ∈Z .因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2(1)(2022·咸阳模拟)已知＝33，则sin x ＋sin ()A ．1B ．－1 C.233D.3答案A解析因为＝33，所以sin x ＋sin x ＋12sin x －32cos x ＝3sin 1.(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．答案答案不唯一)解析由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，得1＋tan β＋tan α＋tan αtan β＝2，所以tan β＋tan α＝1－tan αtan β，所以tan β＋tan α1－tan αtan β＝1，所以tan(α＋β)＝1，所以α＋β＝k π＋π4，k ∈Z ，所以α可以为0，β可以为π4(答案不唯一)．题型三角的变换问题例3(1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋1，则sin ()A.12B.33C.23D.22答案B解析因为sin θ＋＝＋π6－＋π6＋＝π6－π6＋π6＋π6＝π6＝3sin 1.所以＝33.(2)已知α，β为锐角，sin α＝31010，cos(α＋β)＝－55.则sin(2α＋β)的值为．答案－210解析因为0<α<π2，sin α＝31010，所以cos α＝1－sin 2α＝1－910＝1010，因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－15＝255，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝31010×＋1010×255＝－210.思维升华常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－跟踪训练3(1)(2023·青岛质检)已知α，βsin(α＋β)＝－35，＝2425，则________.答案－45解析由题意知，α＋βsin(α＋β)＝－35<0，所以cos(α＋β)＝45，因为＝2425，β－π4∈所以＝－725，所以cos (α＋β)＝cos(α＋βsin(α＋β＝－45.(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝，tan α＝.答案－112解析∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3)＝－1，tan α＝tan(α＋β－β)＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝－1－(－3)1＋(－1)×(－3)＝12.课时精练1．(2023·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于()A ．cos 12°B ．－cos 12°C ．－12D.12答案D解析cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.2．(2023·合肥模拟)已知sin α＋cos α＝23，则sin()A ．±13 B.13C ．－13D ．－223答案C解析∵sin α＋cos α＝2sin ＝23，∴＝13，∴π＝－＝－13.3．(2023·重庆模拟)若2cos 80°＝cos 20°＋λsin 20°，则λ等于()A ．－3B ．－1C ．1D.3答案A解析由已知可得λ＝2cos 80°－cos 20°sin 20°＝2cos (20°＋60°)－cos 20°sin 20°＝－3sin 20°sin 20°＝－ 3.4．(2023·西安模拟)已知sin α，则sin αcos α等于()A ．－34 B.34C ．－237D.237答案D 解析sin α，即2cos αcos π62sin αsin π6＝sin α，即3cos α－sin α＝sin α，则tan α＝32，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝237.5．(2023·扬州质检)已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为()A.π4B.3π4C.π3D.2π3答案B解析sin α＝55，且α为锐角，则cos α＝1－sin 2α＝255，tan α＝sin αcos α＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12－31－12×(－3)＝－1.又β为钝角，则α＋βα＋β＝3π4.6．(2023·威海模拟)已知α2，则cos ()A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案C解析因为αα＋π3∈又2<0，故α＋π3∈则＝55，＝－255，故－π4＝π4＋π4＝22×55＋22×－1010.7．(2022·重庆模拟)2cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为______．答案12解析原式＝2cos 20°sin 10°(cos 15°－sin 15°)＋cos 10°cos 70°＝2cos 20°sin 10°×2cos(45°＋15°)＋cos 10°cos 70°＝cos 20°sin 10°＋cos 10°sin 20°＝sin 30°＝12.8．(2022·上海模拟)已知α，β－π2，且tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α＋β＝.答案－2π3解析由tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，又α，β－π2，α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.9．(2023·合肥模拟)已知α，βα＝22cosβ，αcosβ＝325.(1)求α＋β的值；(2)证明：0<α－β<π4，并求sin(α－β)的值．解(1)因为α，β所以cosα>0，cosβ>0，α＝22cosβ，αcosβ＝325，解得cosα＝255，cosβ＝31010，所以sinα＝1－cos2α＝55，sinβ＝1－cos2β＝1010，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.(2)因为α＋β＝π4，sinπ4＝22>sinα＝55>sinβ＝1010，且函数y＝sin x所以0<β<α<π4，所以0<α－β<π4，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝55×31010－255×1010＝210.10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－cos(－α)；③cos 选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知0<β<α<π2，，cos(α＋β)＝－55.(1)求(2)求β.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)若选①，tan(π＋α)＝tanα＝sinαcosα＝3，又因为sin 2α＋cos 2α＝1,0<α<π2，所以sin α＝31010，cos α＝1010，所以sin αcos π4－cos αsin π4＝31010×22－1010×22＝55.若选②，因为sin(π－α)－cos(－α)，化简得sin α＝3cos α，又因为sin 2α＋cos 2α＝1,0<α<π2，所以sin α＝31010，cos α＝1010，所以sin αcos π4－cos αsin π4＝31010×22－1010×22＝55.若选③，因为3cos α＝sin α，又因为sin 2α＋cos 2α＝1,0<α<π2，所以sin α＝31010，cos α＝1010，所以sin αcos π4－cos αsin π4＝31010×22－1010×22＝55.(2)因为0<β<α<π2，且cos(α＋β)＝－55，所以π2<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝255×1010－×31010＝22，又因为0<β<π2，所以β＝π4.11．已知3sin x －4cos x ＝5sin(x ＋φ)，则φ所在的象限为()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案D解析3sin x －4cos x ＝535sin x x ＝5sin(x ＋φ)，其中sin φ＝－45，cos φ＝35，所以φ所在的象限为第四象限．12．(多选)已知α，β，γsin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是()A ．cos(β－α)＝32B ．cos(β－α)＝12C ．β－α＝π6D ．β－α＝－π3答案BD解析γ＝sin α－sin β，γ＝cos β－cos α，所以1＝sin 2γ＋cos 2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝12，因为α，β，γ，则－π2<β－α<π2，因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin xα>β，则－π2<β－α<0，故β－α＝－π3.13．(2023·武汉质检)设2cos αsin π7，则()A.14B.12C ．2D ．4答案B解析∵2cos αsin π7，∴sin αcos π7－cos αsin π7＝2cos αsin π7，即sin αcos π7＝3cos αsinπ7，∴tan α＝3tan π7，∵cos π2－＝sin αcos π7＋cos αsin π7，＝sin αcos π7－cos αsin π7sin αcos π7＋cos αsin π7＝tan α－tan π7tan α＋tan π7＝3tan π7－tan π73tan π7＋tan π7＝12.14．(多选)下列结论正确的是()A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sinC ．f (x )＝sin x 2＋cos x2的最大值为2D ．sin 50°(1＋3tan 10°)＝1答案CD解析对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 错误；对于B ，315sin x ＋35cos x ＝x ＋12cos65sin B 错误；对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x2＝2sin 所以f (x )的最大值为2，故C 正确；对于D ，由sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin＋3sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1，故D 正确．15．(2023·厦门模拟)3，则tan αtan 3π7＝________.答案2解析＝sin αcos 4π7－cos αsin 4π7sin αcos 3π7－cos αsin 3π7＝sin coscos αsin3π7sin αcos 3π7－cos αsin3π7＝－tan α－tan 3π7tan α－tan3π7＝－3，整理得tan α＝2tan3π7，所以tan αtan3π7＝2.16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T(0,3)．若对点A(1,0)进行一次TA1，则A1的坐标为；若对点BT(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为．答案(－1，3)解析点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T即将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转2π3，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A2π3，2sinA1(－1，3).因为对点BT(θ，ρ)变换后得到点B1(－3，－4)，|OB|1，|OB1|＝(－3)2＋(－4)2＝5，所以ρ＝5，所以|OB2|＝|OB1|·ρ＝5×5＝25，设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sinα＝35，cosα＝45，tanα＝34，并且sin(α＋θ)＝－45，cos(α＋θ)＝－35，tan(α＋θ)＝43，根据tanθ＝tan[(α＋θ)－α]＝tan(α＋θ)－tanα1＋tan(α＋θ)·tanα＝43－341＋43×34＝724，因为π<θ<3π2，所以sinθ＝－725，cosθ＝－2425，所以cos[(α＋θ)＋θ]＝cos(α＋θ)cosθ－sin(α＋θ)sinθ＝44125，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋θ)cosθ＋cos(α＋θ)sinθ＝117125，所以B×44125，25即B。

2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式课

tan α±tan β tan(α±β)＝_1_∓_t_a_n__α_t_a_n_β_α±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝_2_s_i_n_α_c_o_s__α__； cos 2α＝__c_o_s2_α_－__s_in__2α_＝__2_c_o_s_2α_－__1___＝__1_－__2_s_in__2α___；
2tan α tan 2α＝__1_－__t_a_n_2_α___α，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.
3．三角公式的关系
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数 α，β 使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 的大小关系不确定．( × ) (3)公式 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ可以变形为 tan α＋tan β＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立．( × ) (4)存在实数 α，使 tan 2α＝2tan α.( √ ) (5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( √ )
所以 tan 答案：32
α＝tanα－54π＋54π＝1t－antaαn－α5－4π5＋4πttaann554π4π＝1－15＋15×11＝32.
三角函数公式的逆用与变形应用
[典例引领]
(1)计算cossi2n15151°0－°ssinin22105°5°的值为(
)
A．－12
B．12
C．
3 2
D．－
解析：原式＝(1－tan
2tan 15° 15°)(1＋tan
15°)＝1－2tatann1251°5°

高三数学复习第四章三角函数、解三角形第三节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式夯基

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本理第三节两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式A组基础题组1.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°=()A。

— B. C.- D.2.若=,则tan 2α等于( ）A.B。

— C.D。

-3。

（2016宿州模拟）若sin=，则cos等于（)A.B。

-C。

D.—4.（2016青岛模拟）化简·sin 2α-2cos2α=（)A。

cos2α B.sin2αC。

cos 2α D.-cos 2α5。

设tan(α+β)=，tan=，则tan的值是( ）A。

B。

C.D。

6.sin 15°+sin 75°的值是。

7.(2016广州高考模拟）已知cos(θ+π）=—,则sin= 。

8。

设tan=,则tan= .9.已知α∈,且sin +cos =.（1）求co s α的值；(2）若sin（α-β)=—，β∈，求cos β的值.10.已知函数f（x）=Asin，x∈R,且f=。

(1）求A的值;（2）若f(θ）—f(—θ）=，θ∈，求f.B组提升题组11。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式文1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √)1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ .答案2解析原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝－cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ .答案 34解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tanα＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17.4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为．答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2α＋π4＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是．答案 (1)－75 (2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ .(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是．答案 (1)35(2)－1解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ .答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)] ＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为．答案 (1)π4(2)3解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝ . 答案539解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin2A ＋B ＝－53， ∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧] 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22，1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． [失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ .答案 12解析原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝－＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ .答案 34解析由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ .答案 3解析sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为．答案 54π解析因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ . 答案322解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°＋＝1－＋＋＝1＋sin 10°＋＝12.7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ .答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ .答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4)＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210.9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3 ＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αα－π4＝ . 答案－255解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αα－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝3－3－3－3＋＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝± 3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，求函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域．解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8]＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8∈[－1，2]，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.5 两

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式文1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √)(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √)1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ .答案 2解析原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 90°－50°cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ .答案34解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝34.3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案17解析tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tan α1＋tanα＋βtan α＝12－131＋12×13＝17.4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案22解析sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为．答案17250解析∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sinα＋π4＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是．答案(1)－75(2) 3解析(1)cos 2α2sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos2α－sin2α2⎝⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ .(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是．答案 (1)35(2)－1解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ .答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)] ＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为．答案 (1)π4(2)3解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝ . 答案539解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin2A ＋B ＝－53， ∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧] 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ .答案12解析原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ .答案34解析由sin 2θ＝378和sin2θ＋cos2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ .答案 3解析sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为．答案 54π解析因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ . 答案322解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.6.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3 ＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－43＋310. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝ . 答案－255解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23 ＝3－223－123－123＋1 ＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156 解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域．解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8∈[－1，2]，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。

第4章第四章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件高考数学一轮复习

【解析】
sin24°cos6°－sin66°sin6° sin21°cos39°－cos21°sin39°
＝sisnin212°4c°ocso3s69°°－－ccooss2241°°ssiinn63°9°
＝ssiinn2214°°－－369°°＝sinsin－181°8°＝－1.
【答案】－1
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所以 A ∈ 0，π2 ， B ∈ 0，π2 ， tanA>0. 因为 sinB ＝ 2sinAcos(A ＋ B) ＝
2sinAcosAcosB － 2sin2AsinB ，所以
tanB
＝
2sinAcosA 1＋2sin2A
＝
2tanA 1＋3tan2A
＝
ta1nA＋23tanA≤2
2 1
故 cos(β－α)＝－31010，所以 cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)
－sin2αsin(β－α)＝－2
5
5×－3
1010－
55×
1100＝
22.又
α＋β∈54π，2π，
故 α＋β＝74π.
【答案】
7π 4
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已知π2<α<π，－π2<β<0，且 tanα＝－13，tanβ＝－17，求 2α＋β 的值．【解析】由题意，得 α＋β∈(0，π)， tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ ＝1－－－13＋13×－1－7 17＝－12<0，所以 α＋β∈π2，π.
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思考1►►► 如何利用公式进行求值？注意点是什么？
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1. 注意角的范围的确定． 2. 角的变换．
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近年届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式夯

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第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式A组基础题组1.已知cos α=—，α是第三象限角，则cos为（）A。

B.-C。

D。

—2.的值为( ）A. B.C.—D.-3.(1+tan 18°)(1+tan 27°）的值是（)A。

B.1+C.2D.2(tan 18°+tan 27°)4.设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β）=,则cos β等于( )A. B.C.或D.或5。

（2017课标全国Ⅲ，6,5分)函数f（x）=sin+cos的最大值为（）A。

B。

1 C。

D。

6。

已知sin α+cos α=,则sin2= 。

7.已知cos=-,则cos x+cos= .8.(2018福建福州模拟）已知α∈,tan α=,求tan 2α和sin的值。

9.已知α∈,且sin+cos=。

(1）求cos α的值；(2）若sin(α—β)=-,β∈,求cos β的值.B组提升题组1.-=( ）A。

4 B.2 C.—2 D.—42。

设α为锐角，若cos=,则sin2α+的值为。

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