初中数学竞赛辅导资料10整数解含答案

初中数学竞赛辅导资料

整数解 甲内容提要

1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.

2. 求整数解常用的性质、法则：

①.数的运.算性质：

整数＋整数＝整数， 整数－整数＝整数，

整数×整数＝整数， 整数的自然数次幂＝整数,

整数÷（这个整数的约数）＝整数.

②.整系数的方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)只有当b 2－4ac 是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x 1+x 2与x 1x 1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.

③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.

④.用列举法.

3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m 分类，逐一推出矛盾.

乙例题

例1.求下列方程的正整数解：

① xy+x+y=5； ② x 2+y 2＝1991.

解：①先写成关于x 的方程，

（y+1）x=5－y.

x=16

116

115++-=++--=+-y y y y y

.

当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x 的值是整数.

∵－1＋16

+y ＞0， 且x>0, y>0,

∴ 1

∴原方程有正整数解⎩⎨⎧==12y x ； 或⎩

⎨⎧==21y x . ① 又解：把左边写成积的形式：

x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6.

∵6＝1×6＝2×3， 而正整数y+1>1, x+1>1.

∴⎩

⎨⎧=+=+3121y x 或⎩⎨⎧=+=+2131y x 解得 ⎩⎨⎧==21

y x ；或⎩⎨⎧==12

y x .

②要等式成立，x, y 必须是一奇一偶，设x=2a, y=2b －1 (a,b 都是正整数).

左边x 2+y 2＝（2a ）2+(2b －1)2=4(a 2+a+b 2－b)+1.

∴a, b 不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3.

∴等式永远不能成立.

∴原方程没有正整数解.

例2. 一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数. 若把正整数改为整数呢？ 解：设这个正整数为x ，根据题意，得

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)

2(129)1(3822b x a x (a,b 都是正整数). (2)－(1)：b 2－a 2=91 .

(b+a)(b －a)=91，

∵91=1×91=7×13 且b+a>b －a.

∴⎩⎨⎧=-=+191

a b a b 或⎩⎨⎧=-=+713

a b a b

解得，⎩⎨⎧==4645

b a ； 或⎩⎨⎧==103

b a .

由方程(1)知 a>38, 由方程(2)知 b>129.

∴只有⎩⎨⎧==4645

b a 适合.

∴ x=a 2－38=1987. 答(略).

如果改为整数 ，则两组的解都适合. 另一个解是：x=a 2－38=9－38=－29.

例3. 一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值

是多少？ (1989年泉州市初二数学双基赛题)

解法一：用列举法

与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，…

与3的差是6的倍数的自然数有：3，9， 15，22，27，…

∴符合条件的 最小自然数是27.

解法二：设所求自然数为x,

那么⎩⎨⎧=-=+b

x a

x 6353 (a,b 都是自然数). ∴ x= 5a －3=6b+3, ∴ a=51

156

6+++=+b b b ,

∵ a, b 都是自然数，

∴ b+1是5的倍数， 其最小值是b=4.

∴x=6b+3=27.

例4. m 取什么整数值时，方程 mx 2+(m 2

－2)x －(m+2)=0有整数解？

解：设方程两个整数根为x 1, x 2. 那么它们的和、积都是整数.

根据韦达定理：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+m m m m x x m m m m x x 222221221 ∵x 1和 x 2都是整数，

∴m 是2的约数， 即m=±1，±2.

∵这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.

当m=1时，原方程为x 2－x －3=0, 没有整数解；

当m=－1 时，原方程为－x 2－x －1=0, 没有实数根；

当m=2 或m=－2 时，方程有整数解.

答：当m=2或 m=－2时，方程 mx 2+(m 2－2)x －(m+2)=0有整数解.

例5. 已知：n 是正整数，且9n 2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.

求：n 的值. （1985年上海市初中数学竞赛题）

解：设9n 2+5n+26＝m(m+1)， m 为正整数.

m 2+m －(9n 2+5n)=26. （ 把左边化为积的形式，先配方再分解因式）

（m+

21）2－(3n+65)2=26+362541-, (m+21+3n+65)( m+21－3n －65)=2595，

去分母并整理得：

（3m+9n+4）(3m －9n －1)=230.

∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n ＞3m －9n..

∴⎩⎨⎧=--=++1193230493n m n m ； 或 ⎩

⎨⎧=--=++2193115493n m n m ； 或⎩⎨⎧=--=++51946

493n m n m ； 或 ⎩⎨⎧=--=++1019323

493n m n m .

解方程组，正整数的值只有 n=2或 n=6.

例6. 已知：方程x 2－2(m+1)x+m 2=0有两个整数根，且12＜m<60.

求：m 的整数值.

解：要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数.

△＝［－2（m+1）］2－4m 2=8m+4=4(2m+1).

即当2m+1 是完全平方数时，方程有整数解.

∵12

∴25<2m+1<121，

完全平方数.2m+1=36, 49, 64, 81, 100.

则2m=35, 48, 63, 80, 99.

∴ m 的整数值，只有24，40.

检验：当m=24 时，有整数解32，18； 当m=40时，有整数解50，32.