第二节 n维向量组的极大线性无关组

等价向量组的性质：
1. 自反性：一个向量组与其自身等价 2. 对称性：若向量组 T1和 T2等价，则向量组 T2 和 T1等价。 3. 传递性：若向量组 T1和 T2 等价，向量组 T2 和 T3 等价，则向量组 T1 和 T3 等价。
R n 中的两个向量组T1 和 T2 定理1 设
T1 1 , 2 ,, r
定义 3
设V 为向量空间, 如果r 个向量 a1 , a2 , ... , ar V , 且满足
(i) a1 , a2 , ... , ar 线性无关; (ii) V中任一向量都可由a1 , a2 , ... , ar 线性 表示. 那么,向量组 a1 , a2 , ... , ar 就称为向量空间 V 的 一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V为 r 维 向量空间.
k12 k 22 ks2 k1r k2r k sr
k11 k 21 1 , 2 ,, r 1 , 2 ,, s k s1
向量组 T1 可由T2 线性表示等价于存在 矩阵 K s r 使
T


解 V1是向量空间 .
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an , 0, b2 , , bn V1 ,
T T
有
0, a2 b2 , , an bn V1
T
0, a2 , , an V1 .
sr的
1 , 2 ,, r 1 , 2 ,, s K sr
若向量组 T1 和
T2
等价
1 , 2 ,, r 1 , 2 ,, s K sr
1 , 2 ,, s 1 , 2 ,, r M rs
试证：V1 V2 .
证 设x V1，则x可由a1 ,, am线性表示.
因a1 , , a m 可由b1 , , bs线性表示，故x可由b1 , , bs线性表示， 所以x V2 .
因此 这就是说，若x V1，则x V2， V1 V2 .
类似地可证 : 若x V2 , 则x V1 , 因此V2 V1 .
例3 记 设向量组a1 , , a m与向量组b1 , , bs等价，
V1 x 1a1 2 a 2 m a m 1 , 2 , , m R V2 x 1b1 2 b2 s bs 1 , 2 , s R
3.4
向量组的极大线性无关组
1 2 2 1 2 4 4 2 1.引例： 1 2 1 3 2 4 2 1 2 1 4 1
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维
向量空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间V 看作向量组，那末V 的基 就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的
秩.
（3）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一 个基，则V 可表示为
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
T2 { 1， 2， , s }
若向量组 T1 可由 T2 线性表示，且 r s ，则向 量组 T1 线性相关（证明略）
少的表示多的，多 的一定线性相关
注：1. r s ,不能相等; 2. r s 时，结论不一定成立.
定理1的逆否命题： 推论1 若向量组 T1 1 , 2 ,, r 可由向量组 T2 { 1， 2， , s } 线性表示，又已知 1 , 2 ,, r 线性无关，则必有 r s
2 2 4 1
1 3 0 4 0 8 2 0
0 1 0 0
1 2 B 0 0
(1)向量组即为A的列向量R(A)=2,
所以向量组的秩为2。
(2) 1， 2 为向量组的一个极大线性无关组 (3) 3 1 2 2
则部分组A0称为此向量组A的一个极大线性无关组.
( 2)' A中任意一个向量都可由 0线性表出 A
极大线性无关组等价定义
注: 1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一 2.向量组和其极大线性无关组等价
(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价)
3.一个向量组的极大线性无关组线性相关, 1 1 1 , 2 , 3为其极大无关组， 4 1 2 0 3 2 2 A的列向量组线性相关, 1 1 1 , 2 , 3为其极大无关组， 4 1 2 0 3 2 2
定理 3 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也 等于它的行向量组的秩. 求向量组的最大无关组的步骤:
A 0
3.5
向 量 空 间
一、向量空间的定义
定义 1 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V 非空, 且若 a V, b V, 则 a + b V; 若 a V, R, 则 a V. 那么就称集合 V 为向量空间.
例1 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn x2 , , xn R
推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它 们所含的向量个数相等 注：若只是等价的向量组，它们所含的向量 个数未必相等
二
极大线性无关组
定义 如果一个向量组A的一个部分组 A0 : 1 , 2 ,, r 满足下述条件：
(1) A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关 ;
( 2) 从原向量组的其余向量如果还有的话 ( ) 任取一个向量 添加到部分组 1 , 2 , , r中, , 所得到的部分组都线性 相关.
问:其中线性无关的部分组 最多可以包含多少个向量?
一、等价的向量组
定义1 若向量组 T1 中的每一个向量都可以由 向量组 T2 线性表示,则称向量组 T1 可由向量组 T2 线性表示，若向量组 T1 和T2 可以互相线性表示， 则称两个向量组等价
向量组T1 可由 T2 线性表示，即
i T1 k1 i i k1i 1 k 2 i 2 k si s 1 s k si
step1. 构造矩阵A (1 , 2 ,, m )
step2. 对矩阵A 行 初 行标准形B 等变换
step3. 在B中，每一个非零行的首 非零元所在 的列对应的向量即为极 大无关组中的向量.
例3：设有向量组
3 1 2 2 2 2 1 3 1 2 2 3 1 1 1
T T
3 ( 2,3,1,1) , 4 ( 2,2,2,1) ,
T T
讨论向量的线性相关性
A 1 , 2 , 3 , 4 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 3 2 2 2 0 4 1 2 0 2 0 8 5 4 0 0 2 1 3 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 B 2 0 0
x1 =1a +1b, x2 =2a +2b 则有 x1 + x2 = (1+1)a + ( 1 + 2 )b L,
kx1 = (k1)a + (k1)b L .
这个向量空间称为由向量 a , b 所生成 的向量空间.
由向量组 a1 , a2 , ... , am 所生成的向量 空间一般形式为 L={x=1a1 + 2a2 + ... + mam | 1, 2 ,..., m R }.
(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。 (2)求向量组的一个极大线性无关组。
(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的 线性组合
解：取 A 1 , 2 , 3
1 2 A 3 1 2 2 2 1 3 2 1 1
1 0 0 0
因为V1 V2，V2 V1，所以V1 V2 .
二、向量空间的基 向量空间的维数
定义 2 设有向量空间 V1 及V2 , 若 V1 V2, 就称 V1 是 V2 的子空间. 例如：任何由 n 维向量所组成的向量空间 V, 总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是 Rn 的子空间.
由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们 立刻会发现一个有趣的现象： 推论：设A 为 m n矩阵，秩 r ( A) r ，则有:
(1)当r=m 时，A 的行向量组线性无关;当r<m时， A的行向量组线性相关 (2)当r=n 时，A 的列向量组线性无关;当r<n时， A的列向量组线性相关。
当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量 组线性无关的充要条件是
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 它的秩为0.
三 向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义 一个向量组的极大线性无关组所含的向量 个数称为向量组的秩. 线性无关的向量组的秩等于向量组的向量 的个数. 定理2 矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组 的线性相关性和线性组合关系
例2
设有向量 1 (1,2,3,1) , 2 ( 3,2,1,1) ,
T
例2
判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn x2 , , xn R
T


解
V2不是向量空间 .
T
因为若 1, a2 ,, an V2 ,
则2 2,2a2 , ,2an V2 .
T
一般地，L = { x = a + b | , R } 是一个向量空间. 因为若