函数的定义域、值域

第二章 第二讲

一、选择题(8×5＝40分)

1．(2009·江西，2)函数y ＝－x 2－3x ＋4

x

的定义域为

( )

A ．[－4,1]

B ．[－4,0)

C ．(0,1]

D ．[－4,0)∪(0,1] 答案：D

解析：求y ＝－x 2－3x ＋4

x

的定义域．

即⎩

⎪⎨⎪⎧

－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]． 2．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设f (x )＝1＋x 21－x 2

，则f (12)＋f (1

3

)＋f (－2)＋f (－3)＝ ( )

A.3512 B ．－35

12 C ．1 D ．0 答案：D

解析：∵f (x )＝1＋x 2

1－x 2，∴f (12)＝53，f (－2)＝－53，f (13)＝54，f (－3)＝－54.∴f (12)＋f (1

3)＋f (－2)＋f (－3)＝0，故选D.

3．(2009·山东，7)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)

的值为 ( )

A ．－1

B ．－2

C ．1

D ．2 答案：B

解析：∵x ＞0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，

∴f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 2(4－0)＝－2.故选B. 4．(2010·湖北省大冶实验中学月考)函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝1＋2x －x 2，当x <0时，f (x )＝ ( )

A ．1＋2x －x 2

B ．1－2x －x 2

C ．1＋2x ＋x 2

D ．1－2x ＋x 2

答案：B

解析：当x <0时，f (x )＝f (－x )＝1＋2(－x )－(－x )2＝1－2x －x 2

，故选B.

5．(2009·重庆市高三联合诊断性考试(第一次))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

log 2x (x >0)3x (x ≤0)

，则f [f (1

4)]的

值是 ( )

A ．－1

9

B ．－9

C.19

D ．9

答案：C

解析：依题意得f (14＝log 214＝－2，f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝1

9

，选C.

6．设y ＝f (x )的定义域为A ＝[4，＋∞)．给出下列函数：y ＝f (2x －4)，y ＝f (x

2

4

)，y ＝f (2x )，

y ＝f (－16

x

)，其中定义域仍是A 的有 ( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 答案：B

解析：∵2x －4≥4，∴x ≥4，因此y ＝f (2x －4)定义域仍为A .同理可知y ＝f (2x )定义域仍为A .故选B.

7．下图(a )，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，由B C D A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如下图(b )，则△ABC 的面积等于 ( )

A ．10

B ．16

C ．18

D ．32

答案：B

解析：由题可知，BC ＝4，CD ＝5，AD ＝5，∴AB ＝3＋5＝8，∴S △ABC ＝1

2

×8×4＝16，

故选B.

8．(2011·原创题)设f (x )是定义域在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝－x 2＋1，则x ∈[－6，－2]时，f (x )等于 ( )

A ．－(x ＋4)2＋1

B ．－(x －4)2

＋1

C ．－(x －4)2

－1 D ．－(x ＋4)2－1 答案：A

解析：∵f (x )是R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称．

∴f (－x )＝f (x )，f (x ＋4)＝f (－x )∴f (x )＝f (x ＋4)．当x ∈[－6，－2]时，x ＋4∈[－2,2]． 则f (x )＝f (x ＋4)＝－(x ＋4)2＋1，故选A. 二、填空题(4×5＝20分)

9．函数f (x )＝

|x －2|－1

log 2(x －1)

的定义域为________．

答案：[3，＋∞) 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪

⎧

|x －2|－1≥0x －1＞0

x －1≠1

，解之得x ≥3.

10．(2009·北京，12)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3x

， x ≤1，

－x ，x ＞1.若f (x )＝2，则x ＝________.

答案：log 32

解析：依题意得，当x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32， 当x ＞1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)，故x ＝log 32.

11．已知函数f (x )是定义在x ∈(－e,0)∪(0，e )上的奇函数，当x ∈(－e,0)时，f (x )＝ax ＋ln(－x )，则当x ∈(0，e )时，f (x )＝__________.

答案：ax －ln x

解析：当x ∈(0，e )时，－x ∈(－e,0)，f (x )＝－f (－x )＝－[a (－x )＋ln x ]＝ax －ln x ，故填ax －ln x .

12．已知函数f (x )＝mx 2

－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________． 答案：[0,1]

解析：依照m 是否为零进行分类讨论． (1)当m ＝0时，f (x )＝8，其定义域为R ；

(2)当m ≠0时，要使mx 2

－6mx ＋m ＋8≥0在x ∈R 的情况下均成立，必须满足 ⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＞0△＝36m 2

－4m (m ＋8)≤0，解得0＜m ≤1. 综合(1)、(2)可知m 的取值范围为[0,1]．