学案22三角恒等变换
高中数学三角恒等变换简单的三角恒等变换学案
3.2 简单的三角恒等变换学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)[自 主 预 习·探 新 知]半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2， (2)cos α2＝±1＋cos α2， (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α，(4)tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.[基础自测]1．思考辨析 (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )[解析] (1)×.只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2. (2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立． (3)×.当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知180°＜α＜360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B ．1－cos α2 C ．－1＋cos α2D ．1＋cos α2C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，又cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α＝－1＋cos α2.] 3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tan θ2的值等于________．－3 [由sin θ＝－35，cos θ＜0得cos θ＝－45，∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2sin θ2cosθ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3.][合 作 探 究·攻 重 难](1)设5π＜θ＜6π，cos 2＝a ，则sin 4等于( )A ．1＋a2 B ．1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2(2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.【导学号：84352339】[思路探究] (1)先确定θ4的范围，再由sin 2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cos θ＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2，去根号，确定α2的范围，化简． (1)D [(1)∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π，θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2.又cos θ2＝a ，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.][规律方法] 1.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．[跟踪训练]1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2.求证：1tanα2－tan α2＝4sin 2α.[思路探究] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明； 法二：cos 2α不变，直接用二倍角正切公式变形． [证明] 法一：用正弦、余弦公式． 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边， ∴原式成立． 法二：用正切公式．左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．[规律方法] 三角恒等式证明的常用方法执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.[跟踪训练] 2．求证：2sin x cos xx ＋cos x －x －cos x ＋＝1＋cos xsin x.【导学号：84352340】[证明] 左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cos x2sin x2＝2cos2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边．所以原等式成立.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 【导学号：84352341】[思路探究] 化为f x ＝Aωx ＋φ＋b →由T ＝2π|ω|求周期→分析f x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性→求最小值证明不等式[解](1)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以T ＝2π2＝π.(2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减，所以f (x )≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，得证．[规律方法] 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝Aωx ＋φ＋k 或y ＝Aωx ＋φ＋k 的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧ 32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12⎭⎬⎫－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z.[1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？ 提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？ 提示：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式．如图321所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？【导学号：84352342】图321[思路探究] 设∠AOB ＝α→建立周长l α→求l 的最大值[解] 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4， 即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．母题探究：1.在例4条件下，求长方形面积的最大值．[解] 如图所示，设∠AOB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝R sinα，OA ＝R cos α.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2R cos α·R sin α＝R 2·2sin αcos α＝R 2sin 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．因此，当2α＝π2，即α＝π4时，S max ＝R 2.这时点A ，D 到点O 的距离为22R ， 矩形ABCD 的面积最大值为R 2.2．若例4中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图322所示)，试求此矩形面积的最大值．图322[解] 如图，作∠POQ 的平分线分别交EF ，GH 于点M ，N ，连接OE ，设∠MOE ＝α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，在Rt △MOE 中，ME ＝R sin α，OM ＝R cos α，在Rt △ONH 中，NH ON ＝tan π6，得ON ＝3NH ＝3R sin α，则MN ＝OM －ON ＝R (cos α－3sin α)， 设矩形EFGH 的面积为S ，则S ＝2ME ·MN ＝2R 2sin α(cos α－3sin α)＝R 2(sin 2α＋3cos 2α－3)＝2R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－3R 2，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3，所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S max ＝(2－3)R 2.[规律方法] 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) 【导学号：84352343】A ．55B ．－55C ．45D ．255A [由题知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55.] 2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．πC [f (x )＝cos x －sin x ＝2cos x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.]3．函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为________． π [因为f (x )＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.] 4．设a ＝12sin 2°＋32cos 2°，b ＝1－2sin 213°，c ＝32，则a ，b ，c 的大小关系是________.c ＜a ＜b [a ＝cos 60°sin 2°＋sin 60°cos 2°＝si n 62°， b ＝1－2sin 213°＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴c ＜a ＜b .]5．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图323所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.图323[解] 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2， 所以cos θ＋sin θ＝75，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
三角恒等变换教案优质课教案
三角函数的图像与变换
三角函数的基本图像
01
正弦、余弦、正切函数在坐标系中的图像及其特点。
图像的平移与伸缩
02
通过平移和伸缩变换，可以得到不同振幅、周期和相位的三角
函数图像。
图像的对称与周期性
03
三角函数图像具有对称性和周期性，可以通过这些性质进行图
像分析和变换。
三角函数的和差化积与积化和差公式
和差化积公式
05
06
$tan(A - B) = frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$
倍角公式与半角公式
倍角公式 $sin 2A = 2sin A cos A$
$cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A$
解释三角恒等变换在几何图形中的应用，如角度、边长等的计算。
02
三角恒等变换在物理中的应用
阐述三角恒等变换在物理学中的应用，如振动、波动等问题的分析。
03
三角恒等变换在工程学中的应用
介绍三角恒等变换在工程领域中的应用，如建筑设计、机械制造等。
拓展：三角恒等变换在其他领域的应用
三角恒等变换在数学分析中的应用
三角恒等变换在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是解决实际问题的重要 工具之一。
掌握三角恒等变换的方法和技巧，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有 重要意义。
课程目标与要求
知识与技能目标
掌握三角恒等变换的基本方法和技巧， 能够熟练地进行三角函数的化简和计 算。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
将两个角的三角函数和差转化为 单个角的三角函数形式，便于计
三角恒等变换学案
三角恒等变换导学案一、两角和与差的余弦公式1. cos(α+β)= 以-β代β得：2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例：cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105°（2）cos15°(3)cos(4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°4. 已知sin α= ，α ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.5．求cos75°的值6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β.二、两角和与差的正弦公式1、两角和的正弦公式：sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲：∈6π6π3π2π3π103sin 5sin 103cos 5ππππ-13554⎝⎛⎪⎭⎫ππ,213553χχ3χ求值sin(+60°)+2sin(-60°)-cos(120°-)3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β)8.化简cos -sin 解：我们得到一组有用的公式：（1）sin α±cos α=sin =cos .（3）sin αcos α=2sin =2cos（4）αsin α+bcos α=sin （α+）=cos(α-) 9、化简cos2χ6χ223±22b a +ϕ22b a +θ3χχsin -3252βαtan tan 312131545354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα三、两角和与差的正切公式（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= 2.新知tan(α+β)的公式的推导：(α+β)≠0tan(α+β) 注意：1°必须在定义域范围内使用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。
三角恒等变换教案
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目录
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• 引言 • 三角恒等变换基本概念 • 三角恒等变换公式推导 • 三角恒等变换在解题中的应用 • 学生自主思考与探究 • 课堂练习与巩固提高
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引言
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教学目标
知识与技能
掌握三角恒等变换的基本公式，能够 熟练运用公式进行三角函数的化简、 求值和证明。
情感态度与价值观
激发学生的学习兴趣，培养学生的数 学应用意识和创新精神，提高学生的 数学素养。
过程与方法
通过实例引入三角恒等变换的概念， 引导学生探究三角恒等变换的规律和 特点，培养学生的逻辑思维能力和数 学运算能力。
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教学内容
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三角恒等变换的基本公式
01
包括和差角公式、倍角公式、半角公式等。
三角恒等变换的应用
02
包括化简三角函数式、求三角函数的值、证明三角恒等式等。
三角恒等变换的解题技巧
03
包括观察法、配方法、换元法等。
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教学重点与难点
教学重点
三角恒等变换的基本公式及其应用。
教学难点
三角恒等变换的灵活运用和解题技巧。
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突破方法
通过大量练习和典型例题的分析，帮助学生掌握三角恒等变换的规律和特点，提高学生的 解题能力。同时，注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为学生的学习打下坚实 的基础。
方法三
应用三角函数的半角公式进行变换。对于涉及到半角的三角函数表达 式，学生可以利用半角公式进行化简和求解。
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20ห้องสมุดไป่ตู้
三角恒等变换导学案
学案22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )A ．－3,1B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ()A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ()A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分]所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( ) A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 ( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝12(其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0)，则sin α的值为 ( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( ) A ．－433B ．8C ．43D ．－435．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( )A.12B.2C.3 D ．1 题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案 自主梳理1．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α2.(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos2α2 2sin 2α2 (sin α±cos α)2 自我检测1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解 由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14， ∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin 5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<32π， ∴3π4≤α＋π4<74π. 又cos(α＋π4)＝35>0，故可知32π<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α] ＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)解 由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x ≤3， 设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)． 故函数f (x )的值域为(0，24]． 变式迁移3 证明 因为左边＝2sin x cos x [sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＋2cos x －1＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x＝sin x (1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x ) ＝sin x (1＋cos x )sin 2x ＝1＋cos x sin x＝右边． 所以原等式成立．课后练习区1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16， cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.] 2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.] 3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α， ∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－12.] 4．B [f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8.] 5．C [由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)． ∴sin B ＝32.] 6．－247解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝35， 所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 7．1－2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2. 8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12. 9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分) ∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分) (2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分) ＝(1－cos 2α)2(1＋cos 2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.………………………………………………………(12分) 10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分) (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6. 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0， ……………………………………………………………………………………………(10分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32. ……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分) (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .………………………………………………………………(10分) 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.…………………………………………………(14分)（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
高三数学第一轮复习导学案：第22课时 简单的三角恒等变换
【学习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【课本导读】1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2α＝ ；(2)cos2α＝ ＝ －1＝1－ ；(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 2．半角公式：(1)sin α2＝ ； (2)cos α2＝ ； (3)tan α2＝ ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝ 都适用．4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝ ；sin 2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ . 【教材回归】1．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2B.1－m 2 C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 22．设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________． 3．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________． 4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为________． 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【授人以渔】题型一：求值例1 求值：(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20° (3)sin10°·sin50°·sin70°. (2) 1＋cos20°2sin20°－2sin10°·tan80°例2 （1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin (π4＋α)＝________. (2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)= (3)若cos(π4＋x )＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．题型二化简例3（1）已知函数f (x )＝1－x 1＋x .若α∈(π2，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为________． (2)化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2α·cos2β.(3)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x且x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，且x ≠k π＋π，k ∈Z . ①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x 2·f (x )与1＋tan 2x 2sin x相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．题型三：证明例5 已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α.思考题：(1)求证：tan2x＋1tan2x＝2(3＋cos4x) 1－cos4x(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
高考数学大一轮复习第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换学案理新人教A版
第22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S 2α:sin 2α= .(2)公式C 2α:cos 2α= = = . (3)公式T 2α:tan 2α= . 2.常用的部分三角公式(1)1-cos α= ,1+cos α= .(升幂公式) (2)1±sin α= .(升幂公式) (3)sin 2α= ,cos 2α= , tan 2α= .(降幂公式)(4)sin α=2tanα21+tan 2α2,cos α= ,tan α= .(万能公式)(5)a sin α+b cos α= ,其中sin φ=√α,cos φ=√α.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角公式. (3)常数代换:如1=sin 2α+cos 2α=tan π4.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 常用结论 半角公式: sin α2=±√1-cos α2,cos α2=±√1+cos α2,tan α2=±√1-cos α1+cos α=1-cos αsin α=sin α1+cos α.题组一 常识题1.[教材改编] sin 15°-√3cos 15°的值是 .2.[教材改编] 已知f (x )=sin 2x-12(x ∈R),则f (x )的最小正周期是 . 3.[教材改编] 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 . 4.[教材改编] 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 .题组二 常错题◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;a sinα+b cos α=√α2+α2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定).5.已知sin (π6-α)=13,则cos (π3-2α)= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= . 7.sin α-cos α=√2sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=34,2α∈(0,π2),则sin α-cos α= .探究点一 三角函数式的化简例1 [2018·东莞考前冲刺] 化简:cos 2x-π12+sin 2x+π12= ( )A .1+12cos 2x B .1+12sin 2xC .1+cos 2xD .1+sin 2x (2)化简:tan α+1tan (π4+α2)= ( )A .cos αB .sin αC .1cos α D .1sin α[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用. 变式题 √1+sin6+√1-sin6= ( ) A .2sin 3 B .-2sin 3 C .2cos 3D .-2cos 3探究点二 三角函数式的求值 角度1 给值求值例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A .725 B .1825 C .-725D .-1825(2)[2018·厦门外国语学校月考] 已知tan θ+1tan α=4,则cos 2(α+π4)= ( ) A .15 B .14 C .13D .12[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 变式题 (1)[2018·菏泽模拟] 已知α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=13,则tan(π+2α)=( )A .4√27B .±2√25C .±4√27D .2√25(2)[2018·广州七校联考] 若sinπ6-α=13,则cos (2π3+2α)的值为 ( )A .-13B .-79 C .13 D .79角度2 给角求值例3 [2019·重庆南州中学月考] 2cos10°sin70°-tan 20°=( ) A .1 B .√3-12C .√3D .√32[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值. 变式题 tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= ( ) A .1 B .2 C .-1D .-2角度3 给值求角例4 若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是 ( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4D .5π4或9π4[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,则选正弦较好.变式题 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .探究点三 三角恒等变换的综合应用例5 已知函数f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a 的最大值为3. (1)求a 的值及f (x )的单调递减区间; (2)若α∈(0,π2),f (α2)=115,求cos α的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号. 变式题 设函数f (x )=sin x+√3cos x+1. (1)求函数f (x )的值域和单调递增区间; (2)当f (α)=135,且π6<α<2π3时,求sin (2α+2π3)的值.第22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换考试说明 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)2sin αcos α (2)cos 2α-sin 2α 2cos 2α-1 1-2sin 2α (3)2tan α1-tan 2α 2.(1)2sin 2α22cos 2α2(2)sin α2±cosα22(3)1-cos2α21+cos2α21-cos2α1+cos2α(4)1-tan 2α21+tan 2α22tanα21-tan 2α2(5)√α2+α2sin(α+φ)对点演练1.-√2 [解析] sin 15°-√3cos 15°=212sin 15°-√32cos 15°=2(sin 30°sin 15°-cos30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-√2. 2.π [解析] f (x )=sin 2x-12=-cos2α2,故f (x )的最小正周期T=2π2=π.3.-14 [解析] 由cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,得{cos αcos α-sin αsin α=13,cos αcos α+sin αsin α=15, 解得{cos αcos α=415,sin αsin α=-115,所以tan αtanβ=sin αsin αcos αcos α=-14.4.-2425[解析] ∵sin θ=35,θ为第二象限角,∴cos θ=-45,∴sin 2θ=2sin θcosθ=2×35×(-45)=-2425.5.79 [解析] 由题意知,cos (π3-2α)=1-2sin 2(π6-α)=1-29=79. 6.3π4 [解析] tan(α+β)=tan α+tan α1-tan αtan α=7+431-7×43=-1,又0<α+β<π,所以α+β=3π4.7.2k π-π4,k ∈Z [解析] sin α-cos α=√2√22sin α-√22cos α,则cos φ=√22,sin φ=-√22,所以φ=2k π-π4,k ∈Z .8.-12[解析] 因为2α∈0,π2,所以α∈0,π4,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cosα=-√(sin α-cos α)2=-√1-2sin αcos α=-√1-34=-12.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差的余弦公式化简得结果;(2)先化切为弦,再通分,然后利用两角差的余弦公式求解. (1)B (2)C [解析] (1)cos 2(α-π12)+sin 2(α+π12)=1+cos (2α-π6)2+1-cos (2α+π6)2=1+12cos2x cos π6+sin 2x sinπ6-cos 2x cos π6-sin 2x sin π6=1+sin 2x sin π6=1+12sin 2x ,故选B .(2)tan α+1tan (π4+α2)=sin αcos α+cos (π4+α2)sin (π4+α2)=sin αsin (π4+α2)+cos αcos (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=cos (π4+α2-α)cos αsin (π4+α2)=cos (π4-α2)cos αsin (π4+α2)=sin (π4+α2)cos αsin (π4+α2)=1cos α.故选C .变式题 D [解析]√1+sin6+√1-sin6=√(√1+sin6+√1-sin6)2=√1+sin6+1-sin6+2√(1+sin6)(1-sin6)=√2+2cos6=√2+2(2cos 23-1)=√4cos 23=-2c os 3.例2 [思路点拨] (1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sin β的值,再根据二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱导公式求值.(1)A (2)B [解析] (1)由题意得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(-β)=-sinβ=35,所以sin β=-35,所以cos 2β=1-2sin 2β=725,故选A . (2)由tan θ+1tan α=4,得sin αcos α+cos αsin α=4,即sin 2α+cos 2αsin αcos α=4,∴sin θcos θ=14,∴cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-2sin αcos α2=1-2×142=14.变式题 (1)A (2)B [解析] (1)∵α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=cos α=13,∴sinα=-2√23,tan α=-2√2,∴tan(π+2α)=tan 2α=2tan α1-tan 2α=-4√2-7=4√27.(2)cos (2π3+2α)=cos [π-(π3-2α)]=-cos (π3-2α)=-cos 2(π6-α)=-1-2sin 2(π6-α)=-(1-2×19)=-79.例3 [思路点拨] 首先利用同角三角函数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果. C [解析] 2cos10°sin70°-tan 20°=2cos10°sin70°-sin20°cos20°=2cos10°-sin(30°-10°)sin70°=32cos10°+√32sin10°sin70°=√3sin(10°+60°)sin70°=√3,故选C .变式题 C [解析] 原式=sin70°cos70°·cos 10°(√3·sin20°cos20°-1)=cos20°cos10°sin20°·(√3sin20°-cos20°cos20°)=cos10°sin20°×2sin(20°-30°)=-sin20°sin20°=-1. 例4 [思路点拨] 转化为求cos(α+β)的值,再求角α+β的值. A [解析] ∵α∈[π4,π],∴2α∈[π2,2π], 又0<sin 2α=√55<12,∴2α∈(5π6,π),即α∈(5π12,π2),∴cos 2α=-√1-sin 22α=-2√55.∵β∈[π,3π2],∴β-α∈(π2,13π12),又sin(β-α)=√1010,∴β-α∈(π2,π),∴cos(β-α)=-√1-sin 2(α-α)=-3√1010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22. 又α∈(5π12,π2),β∈[π,3π2],∴α+β∈(17π12,2π),∴α+β=7π4,故选A .变式题 -3π4[解析] ∵α∈(0,π),tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-α)+tan α1-tan(α-α)tan α=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2.又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×131-(13)2=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α-β)=tan2α-tan α1+tan2αtan α=34+171-34×17=1.∵β∈(0,π),tan β=-17<0,∴π2<β<π,∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4.例5 [思路点拨] (1)利用两角差的正弦公式和倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数的最大值求得a ,进而根据正弦函数的单调性得到f (x )的单调递减区间;(2)由题意易得sin (α-π6)=35,进而得到cos (α-π6)=45,利用配角法可得cos α=cosα-π6+π6,从而得到结果.解:(1)由题意知,f (x )=4cos x ·sin (α-π6)+a=4cos x ·(√32sin α-12cos α)+a=2√3sin x cosx-2cos 2x+a=√3sin 2x-cos 2x-1+a=2sin (2α-π6)-1+a.当sin (2α-π6)=1时,f (x )取得最大值,此时f (x )=2-1+a=3,∴a=2. 由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π,k ∈Z,得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z,∴f (x )的单调递减区间为π3+k π,5π6+k π,k ∈Z .(2)由(1)可知,f (x )=2sin (2α-π6)+1,∵f (α2)=115,∴sin (α-π6)=35, 又α∈(0,π2),∴α-π6∈(-π6,π3),∴cos (α-π6)=45,∴cos α=cos [(α-π6)+π6]=√32cos (α-π6)-12sin (α-π6)=4√3-310.变式题 解:(1)依题意得f (x )=sin x+√3cos x+1=2sin (α+π3)+1.因为-2≤2sin (α+π3)≤2,所以-1≤2sin (α+π3)+1≤3, 即函数f (x )的值域是[-1,3].令-π2+2k π≤x+π3≤2k π+π2,k ∈Z,解得-5π6+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z,所以函数f (x )的单调递增区间为[-5π6+2απ,π6+2απ],k ∈Z .(2)由f (α)=2sin (α+π3)+1=135,得sin (α+π3)=45. 因为π6<α<2π3,所以π2<α+π3<π,所以cos (α+π3)=-35,所以sin (2α+2π3)=sin 2(α+π3)=2sin (α+π3)cos (α+π3)=-2×45×35=-2425.【备选理由】 例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键. 例1 [配合例1使用] 化简:sin(α+β)cos α-12[sin(2α+β)-sin β]= . [答案] sin β[解析] 原式=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β+α)-sin β]=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-sin β] =12[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]+12sin β =12sin β+12sin β=sin β.例2 [配合例2使用] [2018·资阳三诊] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P (2,1),则tan (2α+π4)= ( ) A .-7 B .-17C .17 D .7[解析] A 由角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,且它的终边经过点P (2,1),可得tan α=12,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=11-14=43,∴tan (2α+π4)=tan2α+tanπ41-tan2αtanπ4=43+11-43×1=-7.故选A .例3 [配合例3使用] 若a=√2(cos 216°-sin 216°),b=sin 15°+cos 15°,c=√1+cos56°,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<b<aB .b<c<aC .a<b<cD .b<a<c[解析] C a=√2(cos 216°-sin 216°)=√2cos 32°, b=sin 15°+cos 15°=√2cos 30°,c=√1+cos56°=√2cos 228°=√2cos 28°,又∵y=cos x 在(0°,90°)上单调递减,∴cos 28°>cos 30°>cos 32°,∴c>b>a.故选C .例4 [配合例4使用] 已知α,β均为锐角,且sin α=√55,cos β=√1010,则α-β的值为 .[答案] -π4 [解析] ∵α,β均为锐角,sin α=√55,cos β=√1010, ∴cos α=√1-sin 2α=2√55,sin β=√1-cos 2α=3√1010,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=√55×√1010-2√55×3√1010=-√22. 又∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.。
简单的三角恒等变换教案
简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
《简单的三角恒等变换》 导学案
《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，包括化简、求值、证明等。
二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
（2）二倍角公式的应用。
（3）三角恒等变换的基本思路和方法。
2、难点（1）公式的灵活运用和变形使用。
（2）角的合理变换和整体代换思想的运用。
三、知识梳理1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）3、辅助角公式＼（a\sin\alpha ＋ b\cos\alpha ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼sin(＼alpha ＋＼varphi)＼），其中\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）四、典型例题例 1 化简：＼（＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼）解：＼＼begin{align}＆＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼＼＝＆＼sin(15^｛＼circ} ＋ 75^｛＼circ}）＼＼＝＆＼sin 90^｛＼circ}＼＼＝＆1＼end{align}＼例 2 已知\（＼sin\alpha ＝＼frac{3}｛5}＼），＼（＼alpha\）为第二象限角，＼（＼cos\beta ＝＼frac{5}｛13}＼），＼（＼beta\）为第三象限角，求\（＼cos(＼alpha ＼beta)＼）的值。
2022届一轮复习北师大版4.5第2课时简单的三角恒等变换学案
第2课时 简单的三角恒等变换必备知识预案自诊考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是7.( ) (2)在斜三角形ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.( ) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. ( ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α. ( )2.化简:sinα-2cos 2α2sin(α2-π4)=( )A.2√2cos α2B.cosB √2α2C.2√2sin α2D.sinD √2α2 3.已知sinπ6-α=√23,那么cos 2α+√3sin 2α= ( )A.109B.-B 109C.-C 59 D .594.若tan α=-3,则1cos 2α+2sinαcosα的值为( ) A.103B.53C.23D.-D25.设α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2 019,则tan(α1+α2)= .?关键能力学案突破考点三角函数式的化简【例1】(1)sin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)等于( )A.-sin αB.-cosB αC.sinC αD.cosD α (2)化简:sin (2α+β)sinα-2cos(α+β).解题心得1.三角函数式化简、求值的一般思路:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化等.2.三角化简的标准:三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.3.化简、求值的主要技巧:(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.对点训练1(1)化简:sin2α-2cos 2αsin(α-π4)= .?(2)化简:2cos 2α-12tan(π4-α)cos 2(π4-α).考点三角函数式的求值(多考向探究)考向1 给角求值 【例2】cos10°(1+√3tan10°)cos50°的值是 .?解题心得三角函数给角求值问题的解题策略一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.对点训练2求值:cos20°cos35°√1-sin20°=( ) A.1 B.2 C.√2D.√3考向2 给值求值 【例3】已知sin α+π4=√210,α∈π2,π.求:(1)cos α的值; (2)sin 2α-π4的值.解题心得三角函数给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或已知条件;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.对点训练3(1)(2020河北保定二模,文6,理6)已知sin π3+α=cos π3-α,则cos 2α=( )A.0B.1C.√22D.√32(2)设α为锐角,若cos α+π6=45,则sin 2α+π12的值为 .? 考向3 给值求角【例4】(1)(2020湖南师大附中一模,理7)已知α为锐角,且cos α(1+√3tan 10°)=1,则α的值为( ) A.20° B.40° C.50° D.70° (2)若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解题心得解决“给值求角”问题的一般思路从给的条件中先求出角的某种三角函数的值;然后根据已知条件确定角的范围;最后根据角的范围写出所求的角.在求角的某种三角函数值时,选函数的原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,π2,选正弦、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦较好.对点训练4(1)已知锐角α,β满足sin α=√55,cos β=3√1010,则α+β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4D.2k π+π4(k ∈Z )(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .?考点三角恒等变换的综合应用【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f (x )=2a sin π2-x cos (x -2π3),且f (π3)=1. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)若f (α)=-13,α∈(0,π2),求sin 2α.解题心得解决三角函数图像与性质综合问题的方法先将y=f (x )化为y=a sin x+b cos x 的形式,然后用辅助角公式化为y=A sin(ωx+φ)的形式,再借助y=A sin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.对点训练5(2019浙江,18)设函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.1.三角恒等变换主要有以下四变:(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常有切化弦、正弦与余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是有利于应用公式.(4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等. 2.三角函数恒等变换“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan45°等. (2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=12[(α+β)+(α-β)]. (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换先把函数化为最简形式y=A sin(ωx+φ),再研究其性质,解题时注意观察角、三角函数名、式子结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.第2课时 简单的三角恒等变换必备知识·预案自诊考点自诊1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√2.A 原式=2sin α2cos α2-2cos 2α2√22(sin α2-cos α2)=2√2cos α2.3.A ∵cos2α+√3sin2α=2sin 2α+π6=2sinπ2−π3+2α=2sinπ2-2π6-α=2cos [2(π6-α)]=2-4sin 2π6-α=109. 4.D tan α=-3,即1cos 2α+2sinαcosα=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sinαcosα=tan 2α+11+2tanα=9+11-6=-2.故选D .5.1 ∵α1,α2∈R ,且12+sinα1+20182+sin2α2=2019,∴sin α1+2=1,2+sin2α2=1,求得sin α1=-1,sin2α2=-1,∴α1=2k π-π2,且2α2=2n π-π2,k ,n ∈Z ,∴α2=n π-π4,n ∈Z ,∴α1+α2=(2k+n )π-3π4,n ,k ∈Z , ∴tan(α1+α2)=tan (-3π4)=1.关键能力·学案突破例1(1)Dsin (π+2α)1+cos2α·cos 2αcos(π2+α)=-sin2αcos 2α2cos 2α(-sinα)=-2sinαcosα·cos 2α2cos 2α(-sinα)=cos α.(2)解原式=sin (2α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=sin [α+(α+β)]-2sinαcos (α+β)sinα=sinαcos (α+β)+cosαsin (α+β)-2sinαcos (α+β)sinα=cosαsin (α+β)-sinαcos (α+β)sinα=sin [(α+β)-α]sinα=sinβsinα.对点训练1(1)2√2cos α 原式=2sinαcosα-2cos 2α√22(sinα-cosα)=2√2cos α.(2)解原式=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)=cos2αsin(π2-2α)=cos2αcos2α=1.例22 原式=cos10°+√3sin10°cos50°=2sin (10°+30°)cos50°=2sin40°sin40°=2.对点训练2C 原式=cos20°cos35°|sin10°-cos10°|=cos 210°-sin 210°cos35°(cos10°-sin10°)=cos10°+sin10°cos35°=√2(√22cos10°+√22sin10°)cos35°=√2cos (45°-10°)cos35°=√2cos35°cos35°=√2.例3解(1)由sin α+π4=√210,得sin αcos π4+cos αsin π4=√210, 化简得sin α+cos α=15, ① 又sin 2α+cos 2α=1, ②且α∈π2,π,解得cos α=-35. (2)∵α∈π2,π,cos α=-35,∴sin α=45,∴cos2α=1-2sin 2α=-725,sin2α=2sin αcos α=-2425,∴sin 2α-π4=sin2αcos π4-cos2αsin π4=-17√250.对点训练3(1)A (2)17√250(1)由sinπ3+α=cos π3-α,得√32cos α+12sin α=12cos α+√32sin α,所以sin α=cos α,cos2α=cos 2α-sin 2α=0.(2)∵α为锐角,且cos α+π6=45>0,∴α+π6∈π6,π2,∴sin α+π6=35. ∴sin 2α+π12=sin 2α+π6-π4=sin2α+π6cos π4-cos2α+π6sin π4=√2sin α+π6cos α+π6-√222cos 2α+π6-1=√2×35×45−√222×452-1=12√225−7√250=17√250. 例4(1)B (2)A (1)由cos α(1+√3tan10°)=1可得cos α·√3sin10°+cos10°cos10°=1,即cos α·2sin40°cos10°=1, ∴cos α=cos10°2sin40°=sin80°2sin40°=2sin40°cos40°2sin40°=cos40°.∵α为锐角,∴α=40°.故选B .(2)∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π.∵sin2α=√55,∴2α∈π2,π,∴α∈π4,π2,且cos2α=-2√55. 又sin(β-α)=√1010,β∈π,3π2, ∴β-α∈π2,5π4,cos(β-α)=-3√1010, ∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α =-3√1010×-2√55-√1010×√55=√22, 又α+β∈5π4,2π,∴α+β=7π4. 对点训练4(1)C (2)-3π4(1)由sin α=√55,cos β=3√1010,且α,β为锐角,可知cos α=2√55,sin β=√1010, 故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2√55×3√1010−√55×√1010=√22, 又0<α+β<π,故α+β=π4. (2)因为tan α=tan[(α-β)+β] =tan (α-β)+tanβ1-tan (α-β)·tanβ=12-171+12×17=13>0,所以0<α<π2. 又因为tan2α=2tanα1-tan 2α=2×131-(13)?2=34>0,所以0<2α<π2.所以tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.因为tan β=-17<0, 所以π2<β<π,-π<2α-β<0, 所以2α-β=-3π4.例5解(1)由已知f (π3)=1,得2a×12×12=1,解得a=2.所以f (x )=4cos x√32sin x-12cos x=2√3sin x cos x-2cos 2x=√3sin2x-cos2x-1=2sin (2x -π6)-1.所以f (x )=2sin (2x -π6)-1的最小正周期为π.(2)f (α)=-13,2sin (2α-π6)-1=-13,sin (2α-π6)=13,因为α∈(0,π2),所以2α-π6∈(-π6,5π6).又因为sin (2α-π6)=13<12,所以2α-π6∈(0,π6). 所以cos (2α-π6)= √1-sin 2(2α-π6)=2√23, 则sin2α=sin (2α-π6)+π6=sin (2α-π6)cos π6+cos (2α-π6)sin π6 =13×√32+2√23×12=√3+2√26. 对点训练5解(1)因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ,故2sin x cos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.(2)y=fx+π122+fx+π42=sin 2x+π12+sin 2x+π4=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2=1-12√32cos2x-32sin2x =1-√32cos2x+π3.因此,函数的值域是1-√32,1+√32.。
三角恒等变换教学设计
三角恒等变换教学设计在教三角恒等变换的时候，其实有点像是在教大家如何用魔法去解决那些让人头疼的数学问题。
想想看，三角形就像是数学界的小明星，时不时就会在课堂上跳出来，给我们带来惊喜。
大家一看到三角函数，可能就像看到了大灰狼，心里就开始打鼓。
不过，别怕，今天我们就来聊聊怎么用轻松的方式，把这些看似复杂的恒等变换变得简单有趣。
想要掌握三角恒等变换，最重要的就是要了解一些基本的三角函数，像是正弦、余弦和正切。
就像我们平常聊天一样，三角函数们也是有自己的性格和特点。
正弦就像是那种外向的朋友，总是积极向上，余弦则更稳重一些，像个思考问题的老好人。
而正切呢？它时不时就会冒出一些意外，给大家带来惊喜。
了解了这些，之后我们再来看恒等变换，其实就像是把这些朋友们重新组合起来，玩一场变形游戏。
再说到恒等变换，其实就像我们平常生活中所遇到的各种变化，比如说换衣服、换发型，都是为了让自己看起来更好。
在数学中，恒等变换也是在不停地“换衣服”，让我们可以更轻松地找到答案。
比如，咱们熟悉的( sin^2 x + cos^2 x = 1 )这个公式，就像是一个超级无敌的万能钥匙，能帮助我们打开很多难题的大门。
谁说数学就得一板一眼？我们可以让它变得活泼起来。
然后，教学的时候，不妨可以用一些生动的例子来帮助大家理解。
比如说，想象一下你在一家咖啡店，点了一杯摩卡，咖啡师告诉你，这杯摩卡可以用不同的配方来做出来。
三角恒等变换也有类似的感觉。
我们可以用不同的恒等式来“调配”出不同的结果。
只要把不同的恒等式组合起来，就能得到一个新的表达式，这样大家就会觉得数学也可以很美味。
而在课堂上，咱们可以通过游戏来提高气氛。
比如说，分组比赛，看看哪一组能最快地运用恒等变换解出题目。
这样一来，大家不仅能学到知识，还能增进友谊，互相帮助。
谁能想到，原本枯燥的数学，竟然也能变得像运动会一样热闹？不过要注意，千万别让竞争变得太激烈哦，毕竟大家都是为了共同进步。
经典学案三角恒等变换
经典学案:三角恒等变换三角恒等变换§3.1.1两角和与差的余弦【学习目标】1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系。
2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
3．能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
【重点难点】学习重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式。
学习难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1 设向量a =(cos75 , sin 75 ) ，b=(cos15 , sin 15 ), 试分别计算⋅=θ及⋅=x 1x 2+y 1y 2，比较两次计算结果，你能发现什么？问题2 cos (α-β)能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？问题3 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示cos(α+β) ？二、知识建构与应用：两角差的余弦公式：C (α-β)两角和的余弦公式：C (α+β)问题4：用“-β代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？三、例题剖析例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：（1）cos(例2 （1）求值：cos 75， cos 15， sin 15, tan 15；π2-α) =sin α；（2）sin(π2-α) =cos α。
（2）求值：cos(x +27 ) cos(x -18 ) +sin(x +27 ) sin(x -18 )例3 （1）已知sin α=2π33，α∈(, π) ，cos β=-，β∈(π, π) 3252求cos(α+β) 的值（2）已知：α, β为锐角，且cos α=416，cos(α+β) =- ，求cos β的值 565例4 设α, β为锐角，且sin α=四、巩固练习1．利用两角和（差）的余弦公式证明：（1）cos(5，sin β=，求α+β的值5103π3π-α) =-sin α （2）sin(-α) =-cos α 222．利用两角和（差）的余弦公式化简：（1）cos 58cos 37+sin 58sin 37（2）cos(60+θ) -cos(60-θ)（3）cos(60+θ) +cos(60-θ)（4）cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=3．利用两角和（差）的余弦公式，求cos1054．化简（1）cos100cos 40+sin80sin 40（2）cos80cos55+sin10sin35（3）（4）5．已知cos θ=-，θ∈(6．已知sin α=+sin15 22 -cos15 2235π2, π) ，求cos(π3-θ) 的值1πππ，α∈(, π) ，求cos(α+) 和cos(α-) 的值 3244§3.1.2两角和与差的正弦（一）【学习目标】1．能用两角余弦的和、差角公式推导出两角正弦的和、差角公式，并从推导过程中体会到化归思想的作用2．能用正弦的和、差角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式的证明【重点难点】学习重点：推导、理解并熟记两角和与差的正弦公式，并用公式解决相关的问题。
精品导学案：简单的三角恒等变换(教、学案)
精品导学案：简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。
既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
变式训练1：求证sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）： 例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一)张掖中学 宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容复习引入(学生组织完成)问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222ααα、、？分析：观察α与2α的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式.解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 12sin 2αα=-，所以21cos sin 22αα-=； ①在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 2cos 12αα=-，所以21cos cos 22αα+=. ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得21cos tan 21cos ααα-=+.思考2：若已知cos α，如何计算sincos tan 222ααα、、？sincos tan 222ααα=== (半角公式) 强调：“±”号由2α所在象限决定. 例1：已知5sin 13α=，且2παπ<<，求tan 2α的值.解512sin cos 13213,tan24222tan tan 522πααπαππαπααπαα=<<∴=-<<∴<<∴>=====因为且又由公式例2 求证sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 证明22sin sin2cossin sin 222tan21cos cos cos 2cos 2cos 2222sin sin 2sin 2sin1cos 2222tan2sin sin coscos2sin222αααααααααααααααααααααα⋅====+⋅⋅-====⋅利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.例3 已知3sin 25θ=，022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+.分析：由降幂公式知22cos 1cos 2αα=+，故有cos sin cos sin θθθθ-=+原式 ﹡ 此处有两种处理方法：方法一、由已知求出cos sin θθ、的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一22cos sin......cos sin020cos0,sin02434sin2,02cos2525cos212sin2cos1sin121010θθθθππθθθθπθθθθθθθθ-=*+<<∴<<∴>>=<<==-=-∴==**==原式由由得又带入式得解法二222cos sincos sin(cos sin)(cos sin)(cos sin)12sin cos1sin2......cos sin cos234sin2,02cos252532115544255θθθθθθθθθθθθθθθθπθθθ-=+-=+---==*-=<<=*-*==原式由得带入式得=小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.下面我们来分小组讨论一下这一个问题：(练一练)化简22221sin sin cos cos cos2cos22αβαβαβ⋅+⋅-⋅.分析：1.从“角”入手,倍角化半角;2.从“幂”入手,利用降幂公式将次;3.从“形”入手,利用配方法.本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.课堂小结三个数学方法1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).两个人生哲理1.条条大路通罗马;2.咬定青山不放松，任尔东南西北风.布置作业习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)课后反思。
高中数学学案简单的三角恒等变换
3. 2 简单的三角恒等变换三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程引言：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.应用：例1、 试以cos α表示sin 22a ,cos 22a , tan 22a .例2、 练习：求证tan2a =ααααsin cos 1cos 1sin -=+。
例2、证明(1)sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+.练习：课后练习2（2）、3（2）、题例3、 求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。
练习：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。
（！）x x y 2cos 2sin = （2）12cos 22+=x y （3）x x y 4sin 4cos 3+=阅读内容：例4、 如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.课堂小结1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本习题3.2 A 组1（2） （4）、3、5、题。
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学案22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )A ．－3,1B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ()A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ()A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分]所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( ) A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 ( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝12(其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0)，则sin α的值为 ( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cosx2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3 5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( )A.1B.2C.3 D ．16．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案 自主梳理1．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α 2.(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α2 (sin α±cos α)2 自我检测1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x ) ＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解 由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14，∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin 5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<32π， ∴3π4≤α＋π4<74π. 又cos(α＋π4)＝35>0，故可知32π<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α] ＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)解 由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2. (3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x ≤3，设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f (x )的值域为(0，24]．变式迁移3 证明 因为左边＝2sin x cos x[sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝2sin x cos xsin 2x －cos 2x ＋2cos x －1 ＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x ＝sin x (1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )＝sin x (1＋cos x )sin 2x ＝1＋cos x sin x＝右边．所以原等式成立． 课后练习区1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.]2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.] 3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－12.]4．B [f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8.] 5．C [由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32.]6．－247解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 7．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2.8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12.9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分)∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分)＝(1－cos 2α)2(1＋cos 2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.………………………………………………………(12分) 10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .………………………………………………………………(10分)因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.…………………………………………………(14分)。