北京市2013高考数学一模试题解析分类汇编系列五 10 概率文

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2013北京西城区高考一模文数答案试卷

北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．A；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0；10．74-；11．12x=-，2；12．80%；13．24；14．5，722n+．注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得3π()04f=，………………1分即3π3πsin cos044a+==， (3)分解得1a=． (5)分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cosf x x x=+．………………6分22()[()]2sing x f x x=-22(sin cos)2sinx x x=+-sin2cos2x x=+ (8)分π)4x=+．………………10分由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，得 3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ． (12)分所以 ()g x 的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k -+，k ∈Z ． (13)分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………2分又因为 AC FB ⊥，所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………6分在等腰梯形ABCD 中可得 1==DC CB ，所以1=FC ．所以△BCD 的面积为 43=S ． (7)分所以四面体FBCD的体积为：13F BCD V S FC -=⋅=． ………………9分（Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA // 平面FDM ，证明如下： ………………10分连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ………………11分所以 EA //MN ． ………………12分因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………………13分所以 EA //平面FDM ．所以线段AC 上存在点M ，使得EA //平面FDM 成立． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， ………………1分则41)12531(1)(=+-=A P ．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41． ………………4分（Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． ………………6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． ………………10分其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ………………12分故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==． (13)分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+． ………………2分① 当0a =时，()e xf x =，故()f x 在R 上单调递增．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………4分② 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,ln())a -∞-；单调增区间为(ln(),)a -+∞．从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a -=-+-；没有极大值． ………………6分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax g x a x x -'=-=． ………………8分③ 当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． (9)分④ 当0a <时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．当10a -≤<时，ln()0a -≤，此时()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当1a <-时，ln()0a ->，此时()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,1)-∞-． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ………………1分将其代入22143x y +=，整理得2222(43)84120k x k x k +++-=． ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以2122843k x x k -+=+． ………………4分故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+．依题意，得2241434k k -=-+， ………………6分解得12k =±． ………………7分（Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得22243(,)4343k k G k k -++．8分因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dkk k k x k +⨯=---+，解得 2243D k x k -=+，即 22(,0)43k D k -+． (10)分因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=． ………………11分所以 2243k k -=+， (12)分整理得 2890k +=． ………………13分因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． (14)分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||i i i d A B a b ==-∑，得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=，所以 (,)7d A B =． ………………3分（Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，所以 0∃>λ，使得 ()ii i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数．………………6分所以11(,)(,)||||nni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． ………………8分（Ⅲ）解法一：201(,)||i i i d A B b a ==-∑．设(1,2,,20)i i b a i -=中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,20i m m =++时，0i i b a -<．所以 201(,)||i i i d A B b a ==-∑121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)13d I A d I B ==，所以202011(1)(1)iii i a b ==-=-∑∑，整理得202011i ii i a b===∑∑．所以 2012121(,)||2[()]i i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑．……………10分因为1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++(1320)(20)113m m ≤+--⨯=+；又121m a a a m m +++≥⨯=，所以1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[(13)]26m m ≤+-=．即 (,)26d A B ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以202011(,)|||(1)(1)|i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑201(|1||1|)i i i b a =≤-+-∑202011|1||1|26i i i i a b ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)26d A B ≤． ……………12分对于(1,1,,1,14)A =，(14,1,1,,1)B =，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26． ……………13分。

【VIP专享】2013年北京市各区高三一模试题汇编--概率与统计

2013 年北京市各区高三一模试题汇编--概率与统计
一填空选择
（2013 年东城一模文科）（12）从 1，3，5，7 这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是 5 的倍数的概率为．（2013 年东城一模理科）（11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来
5 次体育测试成绩的茎叶图，则甲 5 次测试成绩的平均数是，乙 5 次测试成绩的平均数与中位数之差是．
（2013 年西城一模理科）4．从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名，分别从事 A ， B ， C ， D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事 A 工作，则不同的工作分
配方案共有
（A） 60 种
（B） 72 种
（2013 年海淀一模理科）6. 一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1，2，3 的小球，每次取出
（C） 13 年石景山一模文科理科）3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出
现的点数为 m，第二次出现的点数为 n，向量 p =（m，n）， q =（3，6），则向量 p 与
q 共线的概率为（）
1
A．
3
1
B．
4
（2013 年大兴一模文科理科）（7）若实数 a, b 满足 a2 + b2 ≤1 ，则关于 x 的方程
（2013 年东城一模理科）（13）有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有种．
（2013 年西城一模文科）12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件
的长度数据 (单位： mm )全部介于 93 至105 之间．
将长度数据以 2 为组距分成以下 6 组： [93，95) ， [95，97 ) ， [97，99) ， [99，101) ， [101，103) ， [103,105] ，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103) 内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是_____．

2013高三一摸北京数学汇编___概率统计.pdf

（Ⅰ）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
频率组距
0.24 0.2
0.16
（III ）某人上班路上所用时间若畅通
0.1
时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，
轻度拥堵为 36 分钟；中度拥堵为 42 分钟；严重拥堵为 60 分钟，求此人
更稳定。（ 2）从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动，以 X 表示选中同
学的物理成绩高于 90 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值．
东城（ 17）（本小题共 13 分）
某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有
1， 2， 3， 4， 5， 6 六个数字的形状相同
的数据统计如下图所示，其中 “数学与逻辑 ”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.
（I ）求该考场考生中 “阅读与表达 ”科目中成绩为 A 的人数；
（II ）若等级 A ， B， C，D ， E 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分 . （ i ）求该考场考生 “数学与逻辑 ”科目的平均分；
PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即
PM2.5 日均值在 35；在 35微克 / 立方米 75微克 / 立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 /
立方米以上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测
数据中随机的抽取 15天的数据作为样本，监测值如茎叶图
(ii) 若该考场共有 10 人得分大于 7 分，其中有 2 人 10 分， 2 人 9 分， 6 人 8 分 . 从这 10
人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望

北京市2013高考数学一模试题解析分类汇编系列五 2 函数文

【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】2：函数1．（2013（）A ．9B ．91C ．9-D ．91-B2 ．（2013届北京大兴区一模文科）设0.70.45 1.512314,8,()2y y y -===,则（）A ．312y y y >> (B )213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>A0.7 1.4142y ==，0.45 1.35282y ==， 1.5 1.531()22y -==，所以312y y y >>，选A.3．（2013届北京市朝阳区一模数学文）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++= ，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 B由题意知0000212(1)12()1(1)(21)63x x x n n x n ++++++++=+++= ，因为0,x n N ∈ ，所以12n +≥，021+1x n n ++>。

因为79=321=63⨯⨯，所以当13n +=时，00212321x n x ++=+=，此时解得02,9n x ==，生成点为(9,2)。

当17n +=时，0021279x n x ++=+=，此时解得06,1n x ==，生成点为(1,6)。

所以函数()f x 的“生成点”共有2个，选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知函数)(2)()(2b a ab x b a x x f <+++-=的两个零点为)(,βαβα<,则实数βα,,,b a 的大小关系是（）A ．b a <<<βαB ．b a <<<βαC ．βα<<<b aD ．βα<<<b a A2()()2()()2f x x a b x ab x a x b =-+++=--+，所以()()20f a f b ==>，且)(,βαβα<是函数的两个零点，所以a b αβ<<<，选A.5．（2013届北京东城区一模数学文科）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -(k ∈Z )上有零点,则k 的值为（）A ．2或7-B ．2或8-C ．或7-D ．或8-A当3x ≥-时，由()230xf x =-=，解得2log 3x =，因为21log 32≤≤，即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以2k =。

【解析版】北京市东城区2013届高三一模数学文试题

2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•东城区一模）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A=﹣3．（5分）（2013•东城区一模）已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量﹣B+﹣﹣=4．（5分）（2013•东城区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）++S=++﹣，=5．（5分）（2013•东城区一模）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的侧面积是（）BS==4+6．（5分）（2013•东城区一模）已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存的横坐标为数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则8．（5分）（2013•菏泽二模）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3 x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•东城区一模）已知i是虚数单位，那么i（1+i）等于﹣1+i．10．（5分）（2013•东城区一模）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是84，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2．==84==8411．（5分）（2013•东城区一模）不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为2，z=x+y的最大值为2．×12．（5分）（2013•东城区一模）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为．=．故答案为：．13．（5分）（2013•东城区一模）函数的图象为C，有如下结论：①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③函数f（x）在区间内是增函数，其中正确的结论序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）=k+，x=+x=﹣≤得﹣，[，真包含于[]所以函数在上单调递增，故14．（5分）（2013•东城区一模）数列{a n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于a89，a2013在图中位于第45行的第77列．（填第几行的第几列）=，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•东城区一模）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求ac的最大值．Ⅰ）因为，由正弦定理求得，由正弦定理可得，所以，所以．，因为，当且仅当16．（14分）（2013•东城区一模）如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．17．（13分）（2013•东城区一模）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（Ⅱ）若x≥245，y≥245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．因此，所求概率为人数比女生人数多的概率为18．（14分）（2013•东城区一模）已知函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（III）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．．知知，得在区间在区间在区间在区间．，所以有，解之得的取值范围是19．（13分）（2013•东城区一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．由离心率为：再把点的方程为（Ⅰ）解：由已知，得，即过点，所以的方程为．的方程为由方程组==．=20．（13分）（2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称A=（a1，a2，…，a n）为B=（b1，b2，…b n）的子数组．定义两个数组A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n）的关系数为C（A，B）=a1b1+a2b2+…+a n b n．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a2+b2+c2=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值．．，且达到最大值．时，计算取得最大值，此时。

北京市西城区2013一摸文科数学习题和答案

北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U AB =ð（A ）{|01}x x <<（B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y =角=θ（A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种（B ）72种（C ）84种（D ）96种5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A）6 （B）12+（C）12+ （D）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）1[,)4+∞ （C ）1(0,]8（D ）1[,)8+∞8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______． 12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______． 13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c at b c a b=⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3axg x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n nB b b b S =∈，定义1122(,,,)nnAB b a b a b a =---； 1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使A B B C λ=，则(,)(,)(d A B d B C d A C+=；（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使A B B C λ=？说明理由；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230xy y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1+ 14．1，．注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分即ππsincos 04422a -=-=， ………………3分解得1a =． ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- (7)分22(cos sin )2x x x =-+ ………………8分cos 22x x =+ ………………9分π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得 ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528． ………………5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=，所以BC AC ⊥． ………………2分又因为 AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD⊥，所以⊥FC 平面ABCD． ………………5分所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． (6)分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,,1)2222C A BDE --．所以)1,21,23(-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.x y z -+=⎨= 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|5||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n ，所以BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t -=．设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0,10.22b a b tc =⎧-+=⎪⎩ 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ，………………13分即 002110⨯+⨯+⨯=，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且11()ax f x a x x -'=-=． ………………2分 ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a ；单调增区间为(,)a +∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+． ………………6分③ 当0a>时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分④ 当0a=时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． ()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设(,0)F c -，则tan 60bc︒== ………………2分将b = 代入 222a bc =+，解得2a c =． ………………3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c +=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． (7)分则2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243Dck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ (11)分222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7i i i d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由*5a ∈N ，得 51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||nni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． (6)分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BC λ=． ………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，则(,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分（Ⅲ）解法一：因为1(,)||ni i i d A B b a ==-∑，设(1,2,,)ii b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m=时0ii b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<．所以 1(,)||ni i i d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以11(1)(1)nniii i a b ==-=-∑∑，整理得 11nniii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]ni i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑． (10)分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于(1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有A，nB S ∈，且(,)(,)d I A d I B p==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n ni i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)ni i i b a =≤-+-∑11|1||1|2n ni i i i a b p ===-+-=∑∑． (11)分上式等号成立的条件为1ia =，或1ib =，所以 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于(1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有A，nB S ∈，且(,)(,)d I A d I B p==，(,)2．d A B pd A B的最大值为2p．……………13分综上，(,)。

2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)

2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. i 为虚数单位，复数11−i 的虚部是（）A.12 B.−12C.−12iD.12i2. 已知集合M ={x|−2<x <3}，N ={x|lg (x +2)≥0}，则M ∩N =( ) A.(−2, +∞) B.(−2, 3) C.(−2, −1] D.[−1, 3)3. 已知向量OA →=(3, −4)，OB →=(6, −3)，OC →=(2m, m +1)．若AB →∥OC →，则实数m 的值为（） A.15 B.−35C.−3D.−174. 在极坐标系中，直线ρcos θ=12与曲线ρ＝2cos θ相交于A ，B 两点，O 为极点，则∠AOB 的大小为（）A.π3 B.π2C.2π3D.5π65. 在下列命题中，①“α=π2”是“sin α=1”的充要条件； ②(x 32+1x )4的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ∼N(0, 1)，若P(ξ≥1)=p ，则P(−1<ξ<0)=12−p ．其中所有正确命题的序号是（） A.② B.③C.②③D.①③6. 某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.4B.4√2C.6√2D.87. 抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120∘．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN||AB|的最大值为（）A.√33 B.1C.2√33D.28. 已知函数f(x)=2x +1，x ∈N ∗．若∃x 0，n ∈N ∗，使f(x 0)+f(x 0+1)+...+f(x 0+n)=63成立，则称(x 0, n)为函数f(x)的一个“生成点”．函数f(x)的“生成点”共有（） A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.在等比数列{a n }中，2a 3−a 2a 4=0，则a 3=________，{b n }为等差数列，且b 3=a 3，则数列{b n }的前5项和等于________．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．已知角A 为锐角，且b =3a sin B ，则tan A =________．执行如图所示的程序框图，输出的结果S =________．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D ．若CD =√3，AB =AC =2，则线段AD 的长是________；圆O 的半径是________．函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(x +2)＝f(x)．当x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x ．若在区间[−2, 3]上方程ax +2a −f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆x 2−4x +y 2=0(2≤x ≤4)上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当OA →⋅OC →=20时，则点C 的纵坐标的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=√32sin ωx −sin 2ωx 2+12(ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数f(x)的单调递增区间；（2）当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的取值范围．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字−1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（2）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（3）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X =ξ⋅η的分布列与数学期望EX ．如图，在四棱锥P −ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA ⊥AC ，PA =AD =2．四边形ABCD 满足BC // AD ，AB ⊥AD ，AB =BC =1．点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且PEPB =PFPC =λ．（1）求证：EF // 平面PAD ；（2）当λ=12时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；（3）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=x 2−(a +2)x +a ln x +2a +2，其中a ≤2．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,√32)，离心率为√32，点A 为其右顶点．过点B(1, 0)作直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 与直线x =3分别交于点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求EM →⋅FN →的取值范围．设τ=(x 1, x 2,…,x 10)是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义S(τ)=∑|10k=12x k −3x k+1|，其中x 11=x 1．（1）若τ=(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)，求S(τ)的值；（2）求S(τ)的最大值；（3）求使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数．参考答案与试题解析2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 A【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出．【解答】解：复数11−i=1+i (1−i)(1+i)=12+12i 的虚部是12．故选A ． 2.【答案】 D【考点】交集及其运算【解析】解对数不等式可以求出集合N ，进而根据集合交集及其运算，求出M ∩N ．【解答】解：∵ N ={x|lg (x +2)≥0}=[−1, +∞)，集合M ={x|−2<x <3}，则M ∩N =[−1, 3) 故选D ． 3.【答案】 C【考点】平行向量（共线）平面向量的坐标运算【解析】先求得得AB →=OB →−OA →=(3, 1)，再由AB →∥OC →，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m 的值，可得结论．【解答】由题意可得AB →=OB →−OA →=(3, 1)，若AB →∥OC →，则这两个向量的坐标对应成比例，即 2m 3=m+11，解得m ＝−3， 4.【答案】 C【考点】直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC ，DC 的值，可得∠AOC 的值，从而得到∠AOB ＝2∠AOC 的值．【解答】直线ρcos θ=12即 x =12，曲线ρ＝2cos θ 即 ρ2＝2ρcos θ，即 (x −1)2+y 2＝1，表示以C(1, 0)为圆心，以1为半径的圆．如图． Rt △ADC 中，∵ cos ∠ACO =CD AC=12，∴ ∠ACO =π3，在△AOC 中，AC ＝OC ，∴ ∠AOC =π3，∴ ∠AOB ＝2∠AOC =2π3，5.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用【解析】 ①利用特殊值α=5π2，判断出为假命题．②利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为0得常数项．③根据随机变量ξ∼N(0, 1)，正态曲线关于x =0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于−1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是12，得到结果．【解答】解：①是假命题．α=π2，是能推得sin α=1，反之，sin α=1，α可以为5π2或其他数值．②：(x 32+1x )4的通项为T r+1=C r 4 (x 32)4−r (1x )r =2r−4C 4r x 12−4r令12−4r =0得r =3∴ 展开式的常数项为T 4=12C 43=2；正确；③：∵ 随机变量ξ∼N(0, 1)， ∴ 正态曲线关于x =0对称， ∵ P(ξ≥1)=p ， ∴ P(ξ<−1)=p ，∴ P(−1<ξ<0)=12−p ，正确．故选C ．6.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为12×23=8．故选D．7.【答案】A【考点】抛物线的性质【解析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝(a+b)2−ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2−2ab cos120∘＝a2+b2+ab配方得，|AB|2＝(a+b)2−ab，又∵ab≤(a+b2) 2，∴(a+b)2−ab≥(a+b)2−14(a+b)2=34(a+b)2得到|AB|≥√32(a+b)．所以|MN||AB|≤12(a+b)√32(a+b)=√33，即|MN||AB|的最大值为√33．8.【答案】B【考点】函数的求值数列的求和【解析】由f(x0)+f(x0+1)+...+f(x0+n)=63，得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+...+[2(x0+n)+1]=63，化简可得(n+1)(2x0+n+1)=63，由x0，n∈N∗，得{n+1=72x0+n+1=9或{n+1=32x0+n+1=21，解出即可．【解答】解：由f(x0)+f(x0+1)+...+f(x0+n)=63，得(2x0+1)+[2(x0+1)+1]+...+[2(x0+n)+1]=63所以2(n+1)x0+2(1+2+...n)+(n+1)=63，即(n+1)(2x0+n+1)=63，由x0，n∈N∗，得{n+1=72x0+n+1=9或{n+1=32x0+n+1=21，解得{n=6x0=1或{n=2x0=9，所以函数f(x)的“生成点”为(1, 6)，(9, 2)．故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.【答案】2,10【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n项和【解析】由题意可得a2a4=a32，代入已知可解得a3=2，进而可得b3=a3=2，代入等差数列的求和公式可得S5=5(b1+b5)2=5×2b32，计算即可．【解答】解：由等比数列的性质可得a2a4=a32，代入可得2a3−a32=0，解得a3=2，或a3=0（舍去）；故b3=a3=2，由等差数列的求和公式和性质可得：数列{b n}的前5项和S5=5(b1+b5)2=5×2b32=5×2=10故答案为：2；10【答案】√24【考点】正弦定理【解析】由条件，利用正弦定理可得sin B=3sin A sin B，求得sin A的值，再由同角三角函数的基本关系求得tan A的值．【解答】解：在△ABC中，角A为锐角，且b=3a sin B，由正弦定理可得sin B=3sin A sin B，∵sin A≠0，故sin A=13，∴cos A=√1−sin2A=2√23tan A=sin Acos A=√24，故答案为√24．【答案】20【考点】程序框图【解析】题目首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0．先执行一次运算S=S+2i−1，然后判断i≥6是否成立，不成立继续执行i=i+2，S=S+2i−1，成立时结束循环，输出S．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0．执行S=0+2×0−1=−1；判断0≥6不成立，执行i=0+2=2，S=−1+2×2−1=2；判断2≥6不成立，执行i=2+2=4，S=2+2×4−1=9；判断4≥6不成立，执行i=4+2=6，S=9+2×6−1=20；判断6≥6成立，跳出循环，输出S的值为20．故答案为20．【答案】1,2【考点】与圆有关的比例线段【解析】①由切割线定理得CD2=DA⋅DB，即可得出DA；②由余弦定理可得∠DCA，利用弦切角定理可得∠ABC=∠DCA，再利用正弦定理得2R=ACsin∠ABC即可．【解答】解：①∵CD是⊙O的切线，由切割线定理得CD2=DA⋅DB，CD=√3，DB=DA+AB=DA+2，∴(√3)2=DA(DA+2)，又DA>0，解得DA=1．②在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ACD=AC2+CD2−DA22AC⋅CD =2√3)222×2×√3=√32，∵0<∠ACD<π，∴∠ACD=π6．根据弦切角定理可得∠ABC=∠DCA=π6．由正弦定理可得2R=ACsin∠ABC =2sinπ6=4，∴R=2．故答案分别为1，2．【答案】(25, 2 3)【考点】函数与方程的综合运用【解析】问题等价于在区间[−2, 3]上函数f(x)与y＝a(x+2)的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．【解答】在区间[−2, 3]上方程ax+2a−f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[−2, 3]上函数f(x)与y＝a(x+2)的图象有四个不同的交点，由f(x+2)＝f(x)可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y＝a(x+2)的图象为过定点(−2, 0)且斜率为a的直线，作出它们的图象可得：由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得k CB=2−01−(−2)=23，k CA=2−03−(−2)=25，故实数a的取值范围是：(25,23)，【答案】[−5, 5]【考点】平面向量数量积的运算【解析】设点C(a, b)，由题意可得OC→=λOA→，且λ>0，当点A在点M(2, 2)时，由OC→⋅OA→=20，且a=b，解得b的值．当点A在点N(2, −2)时，由OC→⋅OA→=20，且a=−b，解得b的值，从而求得C的纵坐标的取值范围．【解答】解：半圆x2−4x+y2=0(2≤x≤4)即(x−2)2+y2=4(2≤x≤4)，设点C(a, b)，由于OA→与OC→的方向相同，故OC→=λOA→，且λ>0，当点A在点M(2, 2)时，OC→⋅OA→=2a+2b=20，且a=b，解得b=5．当点A在点N(2, −2)时，OC→⋅OA→=2a+(−2b)=20，且a=−b，解得b=−5．综上可得，则点C的纵坐标的取值范围是[−5, 5]，故答案为[−5, 5]．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：（1）f(x)=√32sinωx−1−cosωx2+12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6)．…因为f(x)最小正周期为π，所以ω=2．…所以f(x)=sin(2x+π6)．由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ+π6．所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．…（2）因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，…所以−12≤sin(2x+π6)≤1．…所以函数f(x)在[0,π2]上的取值范围是[−12,1]．…【考点】求二倍角的余弦求两角和与差的正弦求二倍角的正弦正弦函数的单调性【解析】（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f(x)的解析式为sin(ωx+π6)，由此求得它的最小正周期．令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得x的范围，即可得到函数f(x)的单调递增区间．（2）因为x∈[0,π2]，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)的取值范围．【解答】解：（1）f(x)=√32sinωx−1−cosωx2+12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6)．…因为f(x)最小正周期为π，所以ω=2．…所以f(x)=sin(2x+π6)．由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ+π6．所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．…（2）因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，…所以−12≤sin(2x+π6)≤1．…所以函数f(x)在[0,π2]上的取值范围是[−12,1]．…【答案】在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．（2）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（1）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．所以P(B)=1−[C40(12)0⋅(12)4+C4112⋅(12)3]=1116．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．（3）由题意可知，ξ，η的可能取值为−1，0，1，2，所以随机变量X的可能取值为−2，−1，0，1，2，4．P(X=−2)=24×4=18；P(X=−1)=24×4=18；P(X=0)=74×4=716；P(X=1)=24×4=18；P(X=2)=24×4=18；P(X=4)=14×4=116．所以随机变量X的分布列为所以E(X)=−2×18−1×18+0×716+1×18+2×18+4×116=14．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据古典概型概率计算公式求解：P(A)=n(A)n(Ω)；（2）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数，则P(B)=1−P(B ¯)，根据独立重复试验中某事件发生k 次的概率计算公式即可求得；（3）由题意可知ξ，η的可能取值为−1，0，1，2，从而随机变量X 的可能取值为−2，−1，0，1，2，4．根据古典概型该类计算公式求得X 取各值时的概率即可写出分布列，利用期望公式即可求得期望值；【解答】解：（1）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则P(A)=24=12．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．（2）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（1）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．所以P(B)=1−[C 40(12)0⋅(12)4+C 4112⋅(12)3]=1116．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．（3）由题意可知，ξ，η的可能取值为−1，0，1，2，所以随机变量X 的可能取值为−2，−1，0，1，2，4． P(X =−2)=24×4=18；P(X =−1)=24×4=18；P(X =0)=74×4=716；P(X =1)=24×4=18；P(X =2)=24×4=18；P(X =4)=14×4=116．所以随机变量X 的分布列为所以E(X)=−2×18−1×18+0×716+1×18+2×18+4×116=14．【答案】证明：（1）由已知，PEPB =PFPC =λ，所以EF // BC ．因为BC // AD ，所以EF // AD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF // 平面PAD ． …（2）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ∩平面PAC =AC ，且PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又因为AB ⊥AD ，所以PA ，AB ，AD 两两垂直． … 如图所示，建立空间直角坐标系，因为AB =BC =1，PA =AD =2，所以A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)．当λ=12时，F 为PC 中点，所以F(12, 12, 1)，所以BF →=(−12, 12, 1)，CD →=(−1, 1, 0)．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以cos θ=|cos <BF →，CD →>|=|(−12，12，1)⋅(−1,1,0)|√14+14+1×√2=√33，所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为√33．…（3）设F(x 0, y 0, z 0)，则PF →=(x 0, y 0, z 0−2)，PC →=(1, 1, −2)．由已知PF →=λPC →，所以(x 0, y 0, z 0−2)=λ(1, 1, −2)，所以{x 0=λy 0=λz 0=2−2λ，∴ AF →=(λ, λ, 2−2λ)．设平面AFD 的一个法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1)，因为AD →=(0, 2, 0)，所以{n 1⋅AD →=0˙即{λx 1+λy 1+(2−2λ)z 1=02y 1=0，令z 1=λ，得n 1=(2λ−2, 0, λ)．设平面PCD 的一个法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2)，因为PD →=(0, 2, −2)，CD →=(−1, 1, 0)，所以{n 2⋅CD →=0˙即{2y 2−2z 2=0−x 2+y 2=0令x 2=1，则n 2=(1, 1, 1)．若平面AFD ⊥平面PCD ，则n 1⋅n 2=0，所以(2λ−2)+λ=0，解得λ=23．所以当λ=23时，平面AFD ⊥平面PCD ．… 【考点】直线与平面平行的判定异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定【解析】（1）由PE PB=PF PC=λ可知，EF // BC ，依题意，可求得EF // AD ，再利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）可证得PA ，AB ，AD 两两垂直，以之为轴建立空间直角坐标系，可求得BF →与CD →的坐标，利用向量的数量积即可求得异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；（3）设F(x 0, y 0, z 0)，则PF →=(x 0, y 0, z 0−2)，PC →=(1, 1, −2)，由PF →=λPC →，可求得F(λ, λ, 2−2λ)，再设出平面AFD 的一个法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1)，平面PCD 的一个法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2)，可求得这两个法向量的坐标，利用n 1⋅n 2=0，即可求得λ的值．【解答】证明：（1）由已知，PE PB=PF PC=λ，所以EF // BC ．因为BC // AD ，所以EF // AD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF // 平面PAD ． …（2）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ∩平面PAC =AC ，且PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又因为AB ⊥AD ，所以PA ，AB ，AD 两两垂直． … 如图所示，建立空间直角坐标系，因为AB =BC =1，PA =AD =2，所以A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)．当λ=12时，F 为PC 中点，所以F(12, 12, 1)，所以BF →=(−12, 12, 1)，CD →=(−1, 1, 0)．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以cos θ=|cos <BF →，CD →>|=|(−12，12，1)⋅(−1,1,0)|√14+14+1×√2=√33，所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为√33．…（3）设F(x 0, y 0, z 0)，则PF →=(x 0, y 0, z 0−2)，PC →=(1, 1, −2)．由已知PF →=λPC →，所以(x 0, y 0, z 0−2)=λ(1, 1, −2)，所以{x 0=λy 0=λz 0=2−2λ，∴ AF →=(λ, λ, 2−2λ)．设平面AFD 的一个法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1)，因为AD →=(0, 2, 0)，所以{n 1⋅AD →=0˙即{λx 1+λy 1+(2−2λ)z 1=02y 1=0，令z 1=λ，得n 1=(2λ−2, 0, λ)．设平面PCD 的一个法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2)，因为PD →=(0, 2, −2)，CD →=(−1, 1, 0)，所以{n 2⋅CD →=0˙即{2y 2−2z 2=0−x 2+y 2=0令x 2=1，则n 2=(1, 1, 1)．若平面AFD ⊥平面PCD ，则n 1⋅n 2=0，所以(2λ−2)+λ=0，解得λ=23．所以当λ=23时，平面AFD ⊥平面PCD ．… 【答案】解：（1）函数定义域为x >0，且f′(x)=2x −(a +2)+ax =(2x−a)(x−1)x…①当a ≤0，即a 2≤0时，令f ′(x)<0，得0<x <1，函数f(x)的单调递减区间为(0, 1)，令f ′(x)>0，得x >1，函数f(x)的单调递增区间为(1, +∞)． ②当0<a 2<1，即0<a <2时，令f ′(x)>0，得0<x <a2或x >1，函数f(x)的单调递增区间为(0,a2)，(1, +∞)．令f ′(x)<0，得a2<x <1，函数f(x)的单调递减区间为(a2，1)．③当a2=1，即a =2时，f ′(x)≥0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)．…（2）①当a ≤0时，由（1）可知，函数f(x)的单调递减区间为(0, 1)，f(x)在(1, 2]单调递增．所以f(x)在(0, 2]上的最小值为f(1)=a +1，由于f(1e 2)=1e 4−2e 2−a e 2+2=(1e 2−1)2−a e 2+1>0，要使f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点，需满足f(1)=0或{f(1)<0f(2)<0解得a =−1或a <−2ln 2．②当0<a ≤2时，由（1）可知，（1）当a =2时，函数f(x)在(0, 2]上单调递增；且f(e −4)=1e 8−4e 4−2<0，f(2)=2+2ln 2>0，所以f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点．（2）当0<a <2时，函数f(x)在(a2，1)上单调递减，在(1, 2]上单调递增；又因为f(1)=a +1>0，所以当x ∈(a2，2]时，总有f(x)>0．因为e−2a+2a<1<a +2，所以f(e −2a+2a)=e −2a+2a[e −2a+2a−(a +2)]+(a ln e −2a+2a+2a +2)<0．所以在区间(0, a2)内必有零点．又因为f(x)在(0, a2)内单调递增，从而当0<a ≤2时，f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点．综上所述，0<a ≤2或a <−2ln 2或a =−1时，f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点．…【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点【解析】（1）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．（2）此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f(x)在区间(0, 2]内有且只有一个零点的条件，结合（1）中确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值，再转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．【解答】解：（1）函数定义域为x >0，且f′(x)=2x −(a +2)+ax =(2x−a)(x−1)x…①当a ≤0，即a 2≤0时，令f ′(x)<0，得0<x <1，函数f(x)的单调递减区间为(0, 1)，令f ′(x)>0，得x >1，函数f(x)的单调递增区间为(1, +∞)． ②当0<a2<1，即0<a <2时，令f ′(x)>0，得0<x <a2或x >1，函数f(x)的单调递增区间为(0,a2)，(1, +∞)．令f ′(x)<0，得a2<x <1，函数f(x)的单调递减区间为(a2，1)．③当a2=1，即a =2时，f ′(x)≥0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0, +∞)．…（2）①当a ≤0时，由（1）可知，函数f(x)的单调递减区间为(0, 1)，f(x)在(1, 2]单调递增．所以f(x)在(0, 2]上的最小值为f(1)=a +1，由于f(1e 2)=1e4−2e2−a e2+2=(1e2−1)2−a e 2+1>0，要使f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点，需满足f(1)=0或{f(1)<0f(2)<0解得a =−1或a <−2ln 2．②当0<a ≤2时，由（1）可知，（1）当a =2时，函数f(x)在(0, 2]上单调递增；且f(e −4)=1e 8−4e 4−2<0，f(2)=2+2ln 2>0，所以f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点．（2）当0<a <2时，函数f(x)在(a2，1)上单调递减，在(1, 2]上单调递增；又因为f(1)=a +1>0，所以当x ∈(a 2，2]时，总有f(x)>0．因为e−2a+2a<1<a +2，所以f(e−2a+2a)=e−2a+2a[e−2a+2a−(a +2)]+(a ln e−2a+2a+2a +2)<0．所以在区间(0, a 2)内必有零点．又因为f(x)在(0, a2)内单调递增，从而当0<a ≤2时，f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点．综上所述，0<a ≤2或a <−2ln 2或a =−1时，f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点．… 【答案】解：（1）由题意，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，依题意得{ a 2=b 2+c 2c a=√321a 2+34b 2=1解之可得a 2=4，b 2=1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）由（1）可知点A 的坐标为(2, 0)．①当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得E(1,√32)，F(1,−√32)，M(3,−√32)，N(3,√32)，所以EM→⋅FN →=1．②当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为y =k(x −1)，显然k =0时，不符合题意．由{y =k(x −1)x 2+4y 2−4=0消y 并整理得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0．设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，则x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1．直线AE ，AF 的方程分别为：y =y 1x 1−2(x −2)，y =y 2x 2−2(x −2)，令x =3，则M(3,y 1x1−2)，N(3,y 2x2−2)．所以EM →=(3−x 1,y 1(3−x 1)x 1−2)，FN →=(3−x 2,y 2(3−x 2)x 2−2)．所以EM →⋅FN →=(3−x 1)(3−x 2)+y 1(3−x 1)x 1−2⋅y 2(3−x 2)x 2−2=(3−x 1)(3−x 2)(1+y 1y 2(x 1−2)(x 2−2))=(3−x 1)(3−x 2)(1+k 2⋅(x 1−1)(x 2−1)(x 1−2)(x 2−2))=[x 1x 2−3(x 1+x 2)+9]×[1+k 2⋅x 1x 2−(x 1+x 2)+1x 1x 2−2(x 1+x 2)+4]=(4k 2−44k 2+1−3⋅8k 24k 2+1+9)⋅(1+k 2⋅4k 2−44k 2+1−8k 24k 2+1+14k 2−44k 2+1−2⋅8k 24k 2+1+4)=(16k 2+54k 2+1)⋅(1+−3k 24k 2)=16k 2+516k 2+4=1+116k 2+4．因为k 2>0，所以16k 2+4>4，所以1<16k 2+516k 2+4<54，即EM →⋅FN →∈(1,54)．综上所述，EM →⋅FN →的取值范围是[1,54)．【考点】平面向量数量积的运算椭圆的标准方程【解析】（1）设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，依题意可得a 、b 、c 的方程组，解之可得方程；（2）由（1）可知点A 的坐标为(2, 0)．①当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，可得EM →⋅FN →=1；②当直线l 的斜率存在时，写直线的方程，联立方程组，消y 并整理得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0．进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为1+116k 2+4，由k 的范围可得其范围，综合可得．【解答】解：（1）由题意，设椭圆的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，依题意得{ a 2=b 2+c 2c a =√321a 2+34b 2=1解之可得a 2=4，b 2=1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）由（1）可知点A 的坐标为(2, 0)．①当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得E(1,√32)，F(1,−√32)，M(3,−√32)，N(3,√32)，所以EM→⋅FN →=1．②当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为y =k(x −1)，显然k =0时，不符合题意．由{y =k(x −1)x 2+4y 2−4=0消y 并整理得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0．设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，则x 1+x 2=8k 24k 2+1，x 1x 2=4k 2−44k 2+1．直线AE ，AF 的方程分别为：y =y 1x 1−2(x −2)，y =y 2x2−2(x −2)，令x =3，则M(3,y 1x1−2)，N(3,y 2x2−2)．所以EM →=(3−x 1,y 1(3−x 1)x 1−2)，FN →=(3−x 2,y 2(3−x 2)x 2−2)．所以EM →⋅FN →=(3−x 1)(3−x 2)+y 1(3−x 1)x 1−2⋅y 2(3−x 2)x 2−2=(3−x 1)(3−x 2)(1+y 1y 2(x 1−2)(x 2−2))=(3−x 1)(3−x 2)(1+k 2⋅(x 1−1)(x 2−1)(x 1−2)(x 2−2))=[x 1x 2−3(x 1+x 2)+9]×[1+k 2⋅x 1x 2−(x 1+x 2)+1x 1x 2−2(x 1+x 2)+4]=(4k 2−44k 2+1−3⋅8k 24k 2+1+9)⋅(1+k 2⋅4k 2−44k 2+1−8k24k 2+1+14k 2−44k 2+1−2⋅8k 24k 2+1+4)=(16k 2+54k 2+1)⋅(1+−3k 24k 2)=16k 2+516k 2+4=1+116k 2+4．因为k 2>0，所以16k 2+4>4，所以1<16k 2+516k +4<54，即EM →⋅FN →∈(1,54)．综上所述，EM →⋅FN →的取值范围是[1,54)．【答案】解：（1）∵ τ=(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)，x 11=x 1，依题意，S(τ)=∑|10k=12x k −3x k+1|， ∴ S(T)=∑|10k=12x k −3x k+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57，．… （2）数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍分别如下：20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203−72=131，所以S(τ)≤131．对于排列τ0=(1, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10)，此时S(τ0)=131，所以S(τ)的最大值为131．…（3）由于数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，所以使S(τ)取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面．设x 1=1，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2，3，4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7，8，9，10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当x 1=1时，使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数为6×24×4×5=2880，由轮换性知，使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数为28800．… 【考点】排列及排列数公式数列的求和【解析】（1）依题意，τ=(x 1, x 2,…,x 10)=(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)，代入S(τ)=∑|10k=12x k −3x k+1|计算即可求得S(τ)的值；（2）可求得数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍，从而可求得其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差，从而可得S(τ)的最大值；（3）利用数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，从而使S(τ)取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面，利用排列组合知识即可求得答案．【解答】解：（1）∵ τ=(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)，x 11=x 1，依题意，S(τ)=∑|10k=12x k −3x k+1|， ∴ S(T)=∑|10k=12x k −3x k+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57，．… （2）数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍分别如下：20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203−72=131，所以S(τ)≤131．对于排列τ0=(1, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 10)，此时S(τ0)=131，所以S(τ)的最大值为131．…（3）由于数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，所以使S(τ)取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面．设x 1=1，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2，3，4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7，8，9，10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当x 1=1时，使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数为6×24×4×5=2880，由轮换性知，使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数为28800．…。

2013年北京市顺义区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)

2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x ∈R|2x +1<0}，B ={(x +1)(x −2)<0}，则A ∩B =( ) A.(−∞, −1) B.(−1, −12)C.(−12,2)D.(2, +∞)2. 在复平面内，复数1−2i 2+i对应的点的坐标为（）A.(0, −1)B.(0, 1)C.(45, −35)D.(45, 35)3. 参数方程{x =2−ty =−1−2t （为参数）与极坐标方程ρ=sin θ所表示的图形分别是（）A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线4. 已知向量a →=(2, 1)，b →=(−2, k)且a →⊥(2a →−b →)，则实数k ＝（） A.−14 B.−6C.6D.145. 如图，AB ，AC 分别与圆O 相切于点B ，C ，ADE 是⊙O 的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE ．则（）A.AB 2=AD ⋅DEB.CD ⋅DE =AC ⋅CEC.BE ⋅CD =BD ⋅CED.AD ⋅AE =BD ⋅CD6. 从0，1中选一个数字，从2，4，6中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（） A.36 B.30 C.24 D.127. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ．若圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是（） A.[2√2, 2√5] B.(2√2, 3√2] C.(3√2, 2√5] D.(0, 2√2)∪(2√5, +∞)8. 已知函数f(x)=sin (2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π)．则下列结论正确的是（） A.f(1112π)=−1B.f(7π10)>f(π5)C.f(x)是奇函数D.f(x)的单调递增区间是[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．在△ABC 中，若b =4，cos B =−14，sin A =√158，则a =________，c =________．如图是根据50个城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5, 26.5]，样本数据的分组为[20.5, 21.5),[21.5, 22.5),[22.5, 23.5),[23.5, 24.5),[25.5, 26.5]，由图中数据可知a =________；样本中平均气温不低于23.5∘C的城市个数为________．已知定义域为R的偶函数f(x)在(−∞, 0]上是减函数，且f(12)=2，则不等式f(2x)>2的解集为________．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120∘，那么|PF|=________．函数B1的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)= x+1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)=x2−2x(x∈R)是单函数；②函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2是单函数；③若y=f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=cos(2ωx−π6)−cos(2ωx+π6)+1−2sin2ωx，(x∈R, ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f(x)在区间[−π4, π3]上的最大值和最小值．已知{a n}为等差数列，且a2=−1，a5=8．（1）求数列{|a n|}的前n项和；（2）求数列{2n⋅a n}的前n项和．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（1）求该射手恰好命中两次的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX；（3）求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．设函数f(x)=13x3−ax(a>0)，g(x)＝bx2+2b−1．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求a，b的值；(Ⅱ)当a＝1−2b时，若函数f(x)+g(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，求a的取值范围；(Ⅲ)当a＝1−2b＝1时，求函数f(x)+g(x)在区间[t, t+3]上的最大值．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M:x2+y2+6x−2y+7=0相切．过点(0, −12)的直线与椭圆C交于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△APQ的面积达到最大时，求直线的方程．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点(n, S n)在函数y＝2x+1−2的图象上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n}满足：b1＝0，b n+1+b n＝a n，求数列{b n}的前n项和公式；(Ⅲ)在第(II)问的条件下，若对于任意的n∈N∗不等式b n<λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析2013年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先解不等式求出集合A和B；再由交集定义求出结论．【解答】解：∵集合A={x∈R|2x+1<0}={x|x<−12}B={(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}∴A∩B={x|x<−12}∩{x|−1<x<2}=(−1, −12)故选B．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】化简复数1−2i2+i，它在复平面内的对应点为(0, 1)，由此求得结果．【解答】复数1−2i2+i =(1−2i)(2−i)(2+i)(2−i)=−5i5=−i，它在复平面内的对应点为(0, −1)，3.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形；将参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数）的参数方程消去参数后化成直角坐标方程即可得到结论．【解答】解：∵曲线的参数方程{x=2−ty=−1−2t（为参数），消去参数t得：2x−y−5=0．∴它所表示的图形是直线．∵ρ=sinθ∴ρ2=ρsinθ∴x2+y2=y∴直角坐标方程为x2+y2−y=0∴它所表示的图形是圆故选B．4.【答案】D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知易得2a→−b→的坐标，由成立垂直的充要条件可得关于k的方程，解之即可．【解答】∵a→=(2, 1)，b→=(−2, k)，∴2a→−b→=(6, 2−k)，又∵a→⊥(2a→−b→)，∴2×6+1×(2−k)＝0，解得k＝145.【答案】C【考点】与圆有关的比例线段【解析】由已知中AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，根据切割线定理，及相似三角形性质（对应边成比例），逐一分析四个答案，可得结论．【解答】解：∵AB，AC分别与圆O相切于点B，C，ADE是⊙O的割线，由切割线定理可得AB2=AD⋅AE，故A不正确，D不正确；由△ACD∽△AEC，可得CD⋅AE=AC⋅CE，故B不正确；由△ACD∽△AEC，可得AD⋅CE=AC⋅CD，由△ABD∽△AEB，可得AD⋅BE=AB⋅BD，又因为AB=AC，故BE⋅CD=BD⋅CE，故C正确故选C6.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先选后排，特殊元素和特殊位置优先安排的原则即可得出．【解答】解：分以下两类：①当从0，1中选一个数字为0时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则0不能在首位，共可组成C32C21A22=12个偶数；②当从0，1中选一个数字为1时，再从2，4，6中选两个数字可有C32种选法，组成无重复数字的三位数，则1不能放在末位，共可组成C32C21A22=12个偶数．综上可知：共有12+12=24个偶数．故选C．7.【答案】D【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以(−1, −1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，其中M(1, 1)，N(2, 2)，P(1, 3)∵圆C：(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)，表示以C(−1, −1)为圆心，半径为r的圆∴由图可得，当半径满足r<CM或r>CP时，圆C不经过区域D上的点，∵CM=√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP=√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r<2√2或r>2√5时，圆C不经过区域D上的点故选：D8.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用正弦函数的单调性【解析】根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．【解答】解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z．不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．∴D√；故选D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）【答案】−2【考点】程序框图【解析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，输出结果．【解答】解：由程序框图，知：第一次循环：i=1+1=2，S=3−13+1=12；第二次循环：i=2+1=3，S=12−112+1=−13；第三次循环：i=3+1=4，S=−13−1−13+1=−2．结束循环，输出S=−2．故答案为：−2．【答案】 2,3【考点】正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin B =√154且B 为钝角，cos A =78，再利用诱导公式求得sin C 的值，再利用正弦定理求得a 、c 的值．【解答】解：∵ 在△ABC 中，b =4，cos B =−14，sin A =√158，∴ sin B =√154 且B 为钝角， ∴ cos A =78，sin C =sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =√158×(−14)+78×√154=3√1516．由正弦定理可得4sin B=a sin A=c sin C，即√154=√158=3√1516，∴ a =2，c =3，故答案为2，3．【答案】 0.18,33【考点】频率分布直方图【解析】先由样本的频率分布直方图，结合总的概率和为1求出a ，再求出平均气温低于23.5∘C 的城市频率，利用频数=频率×样本容量求解平均气温不低于23.5∘C 的城市个数即可．【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a =1−1×(0.10+0.12+0.12+0.22+0.26)=0.18．平均气温低于23.5∘C 的频率，即最右边三个矩形面积之和为0.18+0.22+0.26=0.66， ∵ 总城市数为50，∴ 平均气温不低于23.5∘C 的城市个数为50×0.66=33．故答案为：0.18；33．【答案】 (−1, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合其他不等式的解法【解析】根据偶函数性质可知f(−12)=2，及f(x)在[0, +∞)上是增函数，利用函数单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：因为f(x)为偶函数，且f(12)=2，所以f(−12)=2，又f(x)在(−∞, 0]上是减函数，所以f(x)在[0, +∞)上是增函数，由f(2x )>2得，2x >12或2x <−12（舍），由2x >12解得x >−1．所以不等式f(2x )>2的解集为(−1, +∞)．故答案为：(−1, +∞)．【答案】 4【考点】抛物线的求解【解析】利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P 的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P 的横坐标，从而可求得|PA|．【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴ |PF|=|PA|，F(1, 0)，准线l 的方程为：x =−1；设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ，依题意，∠AFF′=60∘，|FF′|=2，∴ |AF′|=2√3，PA // x 轴，∴ 点P 的纵坐标为2√3，设点P 的横坐标为x 0，则(2√3)2=4x 0， ∴ x 0=3，∴ |PF|=|PA|=x 0−(−1)=3−(−1)=4．故答案为：4．【答案】③【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据已知中“单函数”的定义，可得函数f(x)为单函数时，对任意x1≠x2，均有f(x1)≠f(x2)成立，由此举出反例可判断①②，根据定义可判断③④，进而得到答案．【解答】解：①中函数f(x)=x2−2x(x∈R)，当x=0或x=2时，f(x)=0，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；②中函数f(x)={log2x，x≥22−x,x<2，当x=0或x=4时，f(x)=2，故∃x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时，有x1≠x2，不满足“单函数”的定义；③由“单函数”的定义可得f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，故其逆否命题：x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)成立，故③为真命题④中函数f(x)在定义域内某个区间D上具有单调性，但在整个定义域上有增有减时，可能会存在x1≠x2，使x1≠x2，从而不满足“单函数”的定义；综上真命题只有③故答案为：③三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【考点】求两角和与差的正弦正弦函数的奇偶性正弦函数的定义域和值域正弦函数的单调性【解析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为√2sin(2ωx+π4)，由此根据函数的周期求得ω的值．（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，再根据−π4≤x≤π3，求得函数的最值．【解答】解：（1）f(x)=cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6−cos2ωx⋅cosπ6+sin2ωx⋅sinπ6+cos2ωx=sin2ωx+cos2ω x=√2sin(2ωx+π4)．…因为f(x)是最小正周期为π，所以2π2ω=π，因此ω=1．…（2）由（1）可知，f(x)=√2sin(2x+π4)，因为−π4≤x≤π3，所以−π4≤2x+π4≤11π12．…于是当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)取得最大值√2；…当2x+π4=−π4，即x=−π4时，f(x)取得最小值−1．…【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a2=−1，a5=8，所以{a1+d=−1a1+4d=8解得a1=−4，d=3，…所以a n=−4+3(n−1)=3n−7，…因此|a n|=|3n−7|={−3n+7,n=1,23n−7,n≥3…记数列{|a n|}的前n项和为S n，当n=1时，S1=|a1|=4，当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5，当n≥3时，S n=S2+|a3|+|a4|+...+|a n|=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n−7)=5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n2−112n+10，又当n=2时满足此式，综上，S n={4,n=132n2−112n+10，n≥2…（2）记数列{2n a n}的前n项和为T n，由（1）可知，a1=−4，d=3，a n=3n−7，则T n=2a1+22a2+23a3+⋯+2n a n，①2T n=22a1+23a2+24a3+⋯+2n a n−1+2n+1a n，②①-②可得−T n=2a1+d(22+23+⋯+2n)−2n+1a n=−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n−7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n−7)=−20−(3n−10)2n+1，故T n=20+(3n−10)2n+1…【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=−1，a 5=8，利用等差数列的通项公式能求出a n ，由此能求出数列{|a n |}的前n 项和；（2）记数列{2n a n }的前n 项和为T n ．则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，由错位相减法可求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2=−1，a 5=8，所以{a 1+d =−1a 1+4d =8解得a 1=−4，d =3，…所以a n =−4+3(n −1)=3n −7，… 因此|a n |=|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3…记数列{|a n |}的前n 项和为S n ，当n =1时，S 1=|a 1|=4，当n =2时，S 2=|a 1|+|a 2|=5，当n ≥3时，S n =S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |=5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) =5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10，又当n =2时满足此式，综上，S n ={4,n =132n 2−112n +10，n ≥2…（2）记数列{2na n }的前n 项和为T n ，由（1）可知，a 1=−4，d =3，a n =3n −7，则T n =2a 1+22a 2+23a 3+⋯+2n a n ，①2T n =22a 1+23a 2+24a 3+⋯+2n a n−1+2n+1a n ，② ①-②可得−T n =2a 1+d(22+23+⋯+2n )−2n+1a n =−8+3×22(1−2n−1)1−2−2n+1(3n −7)=−8+3(2n+1−4)−2n+1(3n −7) =−20−(3n −10)2n+1，故T n =20+(3n −10)2n+1…【答案】解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ．由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D) =34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716．（2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18，P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14，P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38，故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2，则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）该射手恰好命中两次共有C 32=3种情况，根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出；（2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可．（3）该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次可分为以下两种情况：“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”事件，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”事件，且上述两种事件互斥，利用相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式解出即可．【解答】解：（1）记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D ．由题意知，P(B)=P(C)=34，P(D)=23，所以P(A)=P(BCD ¯)+P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=P(B)P(C)P(D ¯)+P(B)P(C ¯)P(D)+P(B ¯)P(C)P(D)=34×34×(1−23)+34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=716．（2）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=P(B ¯C ¯D ¯)=(1−34)×(1−34)×(1−23)=148，P(X =1)=P(BC ¯D ¯)+P(B ¯CD ¯)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)=18， P(X =2)=P(BCD ¯)+P(B ¯C ¯D)=34×34×(1−23)+(1−34)×(1−34)×23=1148，P(X =3)=P(BC ¯D)+P(B ¯CD)=34×(1−34)×23+(1−34)×34×23=14， P(X =4)=P(BCD)=34×34×23=38，故X 的分布列是∴ EX =0×148+1×18+2×1148+3×14+4×38=176．（3）设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2，则A 1=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P(A 1)=P(B 1)+P(B 2)=34×(1−34)×(1−23)+(1−34)×34×(1−23)+34×34×23=12． ∴ 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12．【答案】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ，解得a =13,b =13． (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)，故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增，而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5； ④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5．【考点】函数的零点利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I ）求出f ′(x)，g ′(x)，由题意得f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，解该方程组即可； (II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，利用导数可研究其单调性、极值情况，由函数在(−2, 0)内有两零点可得端点处函数值及极值符号，由此得一不等式组，解出即可； (III)当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调区间及极值点，按照在区间[t, t +3]内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最大值；【解答】(I)f ′(x)＝x 2−a ，g ′(x)＝2bx ．因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13−a =b +2b −1，且1−a ＝2b ，解得a =13,b =13．(II)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b 时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a ，ℎ′(x)＝x 2+(1−a)x −a ＝(x +1)(x −a)，令ℎ′(x)＝0，得x 1＝−1，x 2＝a >(0)当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(a, +∞)；单调递减区间为(−1, a)，故ℎ(x)在区间(−2, −1)内单调递增，在区间(−1, 0)内单调递减，从而函数ℎ(x)在区间(−2, 0)内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0 ，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13)．(III)记ℎ(x)＝f(x)+g(x)，当a ＝1−2b ＝1时，ℎ(x)=13x 3−x −1．由(II)可知，函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)． ①当t +3<−1时，即t <−4时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13(t +3)3−(t +3)−1=13t 3+3t 2+8t +5；②当t <−1且−1≤t +3<1，即−4≤t <−2时，ℎ(x)在区间[t, −1)上单调递增，在区间[−1, t +3]上单调递减，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；当t <−1且t +3≥1，即−2≤t <−1时，t +3<2且ℎ(2)＝ℎ(−1)=−13，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(−1)=−13；③当−1≤t <1时，t +3≥2>1，ℎ(x)在区间[t, 1)上单调递减，在区间[1, t +3]上单调递增，而最大值为ℎ(t)与ℎ(t +3)中的较大者．由ℎ(t +3)−ℎ(t)＝3(t +1)(t +2)知，当−1≤t <1时，ℎ(t +3)≥ℎ(t)，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5；④当t ≥1时，ℎ(x)在区间[t, t +3]上单调递增，所以ℎ(x)在区间[t, t +3]上的最大值为ℎ(t +3)=13t 3+3t 2+8t +5．【答案】解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0．由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3，解得c =√2或c =−√2（舍去）．当c =√2时，a 2=c 2+1=3，故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12．因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点．由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k 1+3k 2，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k ．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k2，则0<t ≤1且k 2=13t−13，S =94t ⋅√43t−13=94√4t 3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大，此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12．【考点】圆锥曲线的综合问题直线的一般式方程椭圆的标准方程【解析】（1）写出直线AF 的方程，由直线AF 与圆M 相切得关于c 的方程，解出c 再由a 2=c 2+b 2即可求得a 值；（2）易判断直线PQ 的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ ，根据点到直线的距离公式表示出点A(0, 1)到直线PQ 的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ 的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k 的值；【解答】解：（1）将圆M 的一般方程x 2+y 2+6x −2y +7=0化为标准方程(x +3)2+(y −1)2=3，则圆M 的圆心M(−3, 1)，半径r =√3．由A(0,1),F(−c,0)(c =√a 2−1)得直线AF 的方程为x −cy +c =0．由直线AF 与圆M 相切，得√1+c 2=√3，解得c =√2或c =−√2（舍去）．当c =√2时，a 2=c 2+1=3，故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）由题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y =kx −12．因为点(0,−12)在椭圆内，所以对任意k ∈R ，直线都与椭圆C 交于不同的两点．由{y =kx −12x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2−3kx −94=0．设点P ，Q 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则y 1=kx 1−12，y 2=kx 2−12，x 1+x 2=3k1+3k ，x 1x 2=−94(1+3k 2)，所以|PQ|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=3√(1+k 2)(1+4k 2)1+3k 2．又因为点A(0, 1)到直线y =kx −12的距离d =2√k 2+1，所以△APQ 的面积为S =12|PQ|⋅d =9√1+4k 24(1+3k 2)．设t =11+3k 2，则0<t ≤1且k 2=13t −13，S =94t ⋅√43t −13=94√4t3−t 23=94√−13(t −2)2+43．因为0<t ≤1，所以当t =1时，△APQ 的面积S 达到最大，此时11+3k 2=1，即k =0．故当△APQ 的面积达到最大时，直线的方程为y =−12．【答案】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ，当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式，所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)．当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1=2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0，所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43．故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b nbn+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b n b n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nb n+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1，故实数λ的取值范围是(1, +∞)．【考点】数列的求和数列的函数特性等差数列与等比数列的综合【解析】（I ）由题意可知S n =2n+1−2，分当n ＝1，和n ≥2两种情况，可得数列{a n }的通项公式；第21页共22页 ◎ 第22页共22页(II)可得b n+1+b n =2n ，分n 为奇数和n 为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，分当n 为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得b nbn+1的最大值是1，进而可得结论．【解答】（I ）由题意可知，S n =2n+1−2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ，当n ＝1时，a 1=S 1=21+1−2=2也满足上式，所以a n =2n (n ∈N ∗)．(II)由(I)可知b n+1+b n =2n (n ∈N ∗)，即b k+1+b k =2k (k ∈N ∗)．当k ＝1时，b 2+b 1=21，…①当k ＝2时，b 3+b 2=22，所以−b 3−b 2=−22，…② 当k ＝3时，b 4+b 3=23，…③当k ＝4时，b 5+b 4=24，所以−b 5−b 4=−24，…④ … …当k ＝n −1时（n 为偶数），b n +b n−1=2n−1，所以−b n −b n−1=−2n−1⋯n −1 以上n −1个式子相加，得b n +b 1=2−22+23−24+⋯+2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2(1+2n−1)3=2n 3+23，又b 1＝0，所以，当n 为偶数时，b n =2n 3+23．同理，当n 为奇数时，−b n +b 1=2−22+23−24+⋯−2n−1 =2[1−(−2)n−1]1−(−2)=2−2n 3，所以，当n 为奇数时，b n =2n 3−23．因此，当n 为偶数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n =(23−23)+(223+23)+(233−23)+(243+23)+⋯+(2n 3+23) =23+223+⋯+2n 3=13⋅2(1−2n )1−2=2n+13−23；当n 为奇数时，数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1+b 2+...+b n−1+b n =(23−23)+(223+23)+⋯+(2n−13+23)+(2n 3−23) =(23+223+⋯+2n3)−23=2n+13−43．故数列{b n }的前n 项和T n ={2n+13−23(n)2n+13−43(n)．(III)由(II)可知b n ={2n3+23(n)2n3−23(n)，①当n 为偶数时，b nb n+1=2n 3+232n+13−23=2n +22n+1−2=12+32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而减小，从而，当n 为偶数时，b nb n+1的最大值是b2b 3=1．②当n 为奇数时，b nb n+1=2n 3−232n+13+23=2n −22n+1+2=12−32n+1+2，所以b n b n+1随n 的增大而增大，且b nb n+1=12−32n+1+2<12<1．综上，b nbn+1的最大值是1．因此，若对于任意的n ∈N ∗，不等式b n <λb n+1恒成立，只需λ>1，故实数λ的取值范围是(1, +∞)．。

北京市2013高考数学一模试题解析分类汇编系列五 11 统计文

【解析分类汇编系列五：北京2013高三（一模）文数】11：统计1．（2013届房山区一模文科数学）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则甲乙A ．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B ．甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数C ．甲成绩的方差小于乙成绩的方差D ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 C甲成绩的平均数为6，乙成绩的平均数为1(5369)65⨯++=，所以甲乙平均数相同。

甲成绩的中位数为6，乙成绩的中位数5，所以B 错误。

甲成绩的方差为2221[2112]25s =+++=，乙成绩的方差22211[323]455s =⨯+=，所以甲成绩的方差小于乙成绩的方差，正确，所以选C.2．（2013届北京东城区一模数学文科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图,则甲5次测试成绩的平均数是___,乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是___.84 2甲的测试成绩的平均数是180(434710)845+-++++=，乙的测试成绩的平均数是180(12811)845+-+++=，乙的测试成绩的中位数为82，所以乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是84822-=。

3．（2013届北京丰台区一模文科）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:[40,50),[50,60),,[90,100]后得到频率分布直方图(如图所示).则分数在[70,80)内的人数是________30由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。

4．（2013届北京门头沟区一模文科数学）为了解本市的交通状况,某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组,从下午13点到18点,分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查,并绘制了频率分布直方图(如图),记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为321,,s s s ,则它们的大小关系为_____________.(用“>”连结)123>s s s >根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，而第三组数甲乙丙据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，总上可知123>s s s >.5．（2013届北京西城区一模文科）某厂对一批元件进行抽样检测.经统计,这批元件的长度数据 (单位:m m )全部介于93至105之间.将长度数据以2为组距分成以下6组:[9395)，,[9597)，,[9799)，,[99101)，,[101103)，,[103,105],得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97,103)内的元件为合格品,根据频率分布直方图,估计这批产品的合格率是_____.80%不合格的频率为0.027522+0.0452=0.20⨯⨯⨯，所以合格的频率为10.20.8-=，所以根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是80%。

2013年高考真题解析——北京卷(数学文)纯word版

2013·北京卷(文科数学)1．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{－1，0，1}1．B [解析] ∵－1∈B ，0∈B ，1∉B ，∴A ∩B ＝{－1，0}，故选B. 2．设a ，b ，c ∈，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 32．D [解析] ∵函数y ＝x 3在上是增函数，a >b ， ∴a 3>b 3. 3．，下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x |3．C [解析] 对于A ，y ＝1x 是奇函数，排除．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D ，y ＝lg |x |是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lg x ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．4．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．A [解析] ∵i(2－i)＝2i ＋1，∴i(2－i)对应的点为(1，2)，因此在第一象限．5．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 5．B [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，解得sin B ＝59. 6．执行如图1－1所示的程序框图，输出的S 值为( )图1－1A ．1 B.23C.1321D.6109876．C [解析] 执行第一次循环时S ＝12＋12×1＋1＝23，i ＝1；执行第二次循环时S ＝⎝⎛⎭⎫232＋12×23＋1＝1321，i ＝2，此时退出循环，故选C. 7．，双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12 B ．m ≥1C ．m >1D ．m >27．C [解析] 双曲线的离心率e ＝ca＝1＋m >2，解得m >1.故选C.8．，如图1－2，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )图1－2A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．B [解析] 设棱长为1，∵BD 1＝3，∴BP ＝33，D 1P ＝2 33.联结AD 1，B 1D 1，CD 1，得△ABD 1≌△CBD 1≌△B 1BD 1，∴∠ABD 1＝∠CBD 1＝∠B 1BD 1，且cos ∠ABD 1＝33，联结AP ，PC ，PB 1，则有△ABP ≌△CBP ≌△B 1BP ， ∴AP ＝CP ＝B 1P ＝63，同理DP ＝A 1P ＝C 1P ＝1， ∴P 到各顶点的距离的不同取值有4个．9．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________. 9．2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.10．，某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V ＝13×(3×3)×1＝3.11．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n＝________．11．2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.12．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．12.2 55[解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|5＝2 55.13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．13．(－∞，2) [解析] 函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，当x ≥1时，函数y ＝log12x 的值域为(－∞，0]；函数y ＝2x 在上是增函数，当x <1时，函数y ＝2x 的值域为(0，2)，所以原函数的值域为(－∞，2)．14．已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．14．3 [解析] 设P (x ，y )，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3. 又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A (3，0)，B (5，1)，所以|AB |＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B (5，1)到直线x－2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3.15．，，，已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 15．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.16．，，图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－4(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：(1)在3 月1日至3 月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．，，如图1－5，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .图1－517．证明：(1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ，所以ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD . 由(1)知P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .又因为AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，所以CD ⊥平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PCD . 18．，，，已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得 f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0. f (x )与f ′(x )的情况如下：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )1所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ，f (0)＝1<b ，所以存在x 1∈(－2b ，0)，x 2∈(0，2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．19．，，直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A ⎝⎛⎭⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3. 所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形． 20．，，，给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q (i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1，2，…，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，…，a n－1是等差数列．。

2013北京高考数学试题(文科)完整word精校解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =（）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（）A ．15B ．59C ．3D ．1 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．1B ．23C ．1321D ．6109877．双曲线221y x m -=的充分必要条件是 A ．12m > B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个 D ．6个第二部分（选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为。

10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。

11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。

2013年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．，但是B根据函数，函数满足=5．（5分）（2013•北京）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）BsinA=，=．6．（5分）（2013•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）的值为7．（5分）（2013•北京）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）Bb=．利用离心率建立解：双曲线，说明b=，等价于∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是8．（5分）（2013•北京）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）=，=到各顶点的距离的不同取值有，，二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•北京）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=2；准线方程为x=﹣1．=1=110．（5分）（2013•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为3．所以体积11．（5分）（2013•北京）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前n 项和S n=2n+1﹣2．项和公式即可得出，∴12．（5分）（2013•北京）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．=故答案为：13．（5分）（2013•北京）函数的值域为（﹣∞，2）．所以函数14．（5分）（2013•北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．，根据，，，，解之得坐标满足不等式组|CF|=，d==×三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•北京）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．（Ⅱ）通过，且T=，函数的最大值为：，，，又∵16．（13分）（2013•北京）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）P=17．（13分）（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．18．（13分）（2013•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．，19．（14分）（2013•北京）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．，（与椭圆的交点，从而解得y=代入椭圆方程得±，）AC=2与椭圆（20．（14分）（2013•北京）给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．从而可证时，。