高考二轮复习全套之课件专题四第三课时(文)空间角[文]
新教材高考数学二轮专题复习第一部分专题攻略专题四立体几何第二讲空间位置关系空间角与空间距离课件
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2．[2022·广东茂名二模]正三棱锥S - ABC的底面边长为4，侧棱长为
2 3 ， D 为 棱 AC 的 中 点 ， 则 异 面 直 线 SD 与 AB 所 成 角 的 余 弦 值 为
2
________.
4
解析：取BC的中点E，连接SE，DE，则∠SDE(或其补
角)为异面直线SD与AB所成的角，
解决问题；
2．必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观
察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
巩固训练1
1.[2022·湖南衡阳二模]设m、n是空间中两条不同的直线，α、β是两
个不同的平面，则下列说法正确的是(
)
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，则PC与底面ABCD所成角的正切值为
(
)
1
A．
B．3
3
C．
10
10
D． 10
答案：C
解析：因为PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
所以PA⊥AC，则PC与底面ABCD所成角为∠PCA.
设AB＝1，则PA＝1，AD＝3，AC＝ 10.
所以tan
PA
10
∠PCA＝ ＝ .
1 ·2
为θ.则sin θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
3．平面与平面的夹角
若n1，n2分别为平面α，β的法向量，θ为平面α，β的夹角，则cos θ＝
1 ·2
|cos 〈n1，n2〉|＝
.
1 2
4．点到直线的距离：已知A，B是直线l上任意两点， P是l外一点，
高考复习专题--数学空间角教案
2014年高考数学第二轮复习专题立体几何---空间角【考点审视】立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，空间角高考中每年必考，复习时必须高度重视。
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．考试要求考点1：掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、二面角的平面角等概念；考点2：能熟练地在图形中找出相关的角并证明；考点3：能用向量方法和非向量方法进行计算；考点4：通过空间角的计算和应用进一步考察运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．【高考链接】1.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．2． 三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成二面角。
它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos θ=原射S S 来求。
3． 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。
【复习回顾】（一）空间角三种角的定义异面直线所成的角(1)定义：,a b 是两条异面直线，经过空间任意一点o ，分别引直线//'a a ，//'b b ,则'a 和'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：090θ≤≤. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 直线和平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：斜线和平面所成的角 这条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角. 一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)取值范围090θ≤≤° (3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. ③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角二面角及二面角的平面角 (1)半平面 (2)二面角.(3)二面角的平面角 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°②二面角的平面角具有下列性质：二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
高考数学总复习 9.4空间的角课件 人教版
【题后总结】求直线与平面所成角的常用方法：
(1)定义法：关键是找斜线在平面内的射影，找射影的关 键是找出过斜足外的点与此平面垂直的直线(或平面)． (2)最小角定理：cos θ＝cos θ1·cos θ2(如图)． (3)向量法：注意向量夹角与线面角的关系．
【活学活用】1.(2012湖北七市联考)如图，在五棱锥 PABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥DE，AE ∥BC，∠ABC＝45° ，AB＝ 腰三角形． 2 ，BC＝2AE＝2，△PAB是等
(2)建立空间直角坐标系 O－xyz，如图， 则 O(0,0,0)，A(0,0,2 3)，C(2,0,0)， D(0,1， 3)， → ＝(0,0,2 3)，CD → ＝(－2,1， 3)， ∴OA → → OA· CD → → ∴cos〈OA，CD〉＝ → → |OA||CD| 6 6 15 → → ＝ ＝ 4 ，tan〈OA，CD〉＝ 3 2 3· 2 2
1.了解二面角的概念， 二面角的概念；二 二面角的平面角 二面角 面角的平面角及范 2.掌握求二面角的平面 围，求解与计算 角的方法
以棱柱、棱锥、 长方体、正方体 等为载体求二面 角的平面角
一、异面直线所成的角 设a、b是异面直线，过空间任一点O分别作两异面直线 的平行线a′、b′，则a′、b′所成的不大于直角的角叫 π 做两条异面直线a、b所成的角．其取值范围为 (0，2] ．
长； (2)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较 长； (3)垂线段比任何一条斜线段都短．
2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所
成的角．
直线与平面所成的角分三种情况： (1) 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐 角，叫做这条直线与这个平面所成的角； (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角； (3)一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的 角是0°的角．
高三数学-第四讲空间角教师讲义手册课件(全国版)-文-新人教A版
总结评述：求异面直线所成的角，一般总是作其中一 条直线或两条直线的平行线，平移成相交，放在一个三角 形中去求．基本思想有时往往是解题的最佳思想，可以很 快的帮你找到解题思路.
【例2】 (2009·北京，16)如图，四棱锥P－ABCD的 底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
[分析] 可用平移法，构造三角形求解．
[解答] 解法一：如图，连结B1C交C1B于O，取AC中 点D，连结DO，BD，则DO∥AB1，∴∠BOD即为所求角 或其补角．
∵DO2＋BO2＝BD2， ∴DO⊥BO，即AB1⊥C1B. ∴AB1与C1B所成角的大小等于90°.
解法二：如图，分别延长正三棱柱ABC－A1B1C1三条 侧棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1A＝AA2，B1B＝ BB2，C1C＝CC2，连结A2B2，B2C2，A2C2，则将原来的正 三 棱 柱 补 成 一 个 新 的 三 棱 柱 ， 连 结 A2B ， A2C1 ， 在 矩 形 A1A2B2B1中，A2B∥AB1，
已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与
底面所成角的余弦值等于
()
答案：A 解析：解法一：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱 长为2a， ∵O为底面中心(OA为△ABC外切圆半径)，
∴侧棱与底面所成的角为∠SAO的余弦值为 故选A.
解法二：设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为 2a，
∵ O 为 底 面 中 心 ， ∴ ∠ SAO 为 SA 与 平 面 ABC 所 成 的 角．
【例3】 (2009·全国Ⅰ，19)如图，四棱锥S－ABCD 中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝ SD＝2.点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.
2021高考数学二轮专题复习4.2空间向量与空间角ppt课件
则 B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，H0，23，0.
设平面 HPB 的法向量 n＝(x，y，z)．
【解析】 (1)证明：由 AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1，可 得 BD＝ 2，
又 BC＝ 2，∴∠BDC＝π4，∴BC⊥BD. 从而 CD＝2，∵PD⊥底面 ABCD，∴BC⊥PD. ∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面 PBD，所以平面 PBD⊥平面 PBC.
(2)由(1)可知∠BPC 为 PC 与底面 PBD 所成角．
(1)证明：PO⊥平面 ABCD； (2)求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值．
【解析】 (1)证明：∵AP⊥平面 PCD，CD⊂平面 PCD， ∴AP⊥CD，
∵AD∥BC，BC＝12AD，E 为 AD 的中点，则 BC∥DE 且 BC＝ DE.
∴四边形 BCDE 为平行四边形，∴BE∥CD，∴AP⊥BE.
不妨设 AC＝4，则 A1(0,0，2 3)，B( 3，1,0)，
B1( 3，3,2 3)，F 23，32，2 3，C(0,2,0)． 因此，E→F＝ 23，32，2 3，B→C＝(－ 3，1,0)． 由E→F·B→C＝0 得 EF⊥BC.
(2)设直线 EF 与平面 A1BC 所成角为 θ. 由(1)可得B→C＝(－ 3，1,0)，A→1C＝(0,2，－2 3)．
n·P→B＝0， x＋y－z＝0
则由n·P→H＝0
得23y－z＝0
，取 n＝(1，－3，－2)
部分专题四第三讲空间夹角(浙江、湖南、天津文科专用)
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解析：作 AO⊥β 于 O， AC⊥l 于 C，连结 OB、OC，则 OC⊥l. 设 AB 与 β 所成角为 θ，则∠ABO＝θ，
∴sinθ＝AAOB＝AACB·AAOC＝sin30°·sin60°＝
3 4.
答案：
3 4
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7
3．(2010·天津高考)如图，在五面体 ABC DEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA ⊥平面 ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝ 2 2，∠BAD＝∠CDA＝45°. (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD⊥平面 ABF； (3)求二面角 B－EF－A 的正切值．
所以二面角 B－EF－A 的正切值为14.
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1．异面直线所成角 (1)定义 (2)范围θ∈(0,90°] (3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的
角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角， 则这个角的补角才为所求．
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2．直线与平面所成的角 (1)定义． (2)范围：θ∈ [0°，90°]． (3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的
直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射 影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解 这个角所在的直角三角形可得．
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3．二面角 (1)二面角的取值范围：θ∈ [0°，180°]． (2)找二面角平面角的方法
①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．
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14
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15
即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2.
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高三数学二轮复习专题空间角与距离的计算与证明公开课一等奖课件省赛课获奖课件
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
最小值是_______.
[简评] 线段AB、CD的中点连线即 为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异 面直线AB、CD的距离.
2. 正四周体ABCD棱长为a，动点 P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的
[长郡演习]
B组
[长郡演习]
B组
1. 在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD， PA=AB=1，BC=2. 求证：
(1) 平面PDC⊥平面PAD；
(2) 若E是PD的中点，求异面直线AE 与PC所成角的余弦；
(3) 在BC边上与否存在一点G，使得 D点到平面PAG的距离为1，如果存在， 求出BG的值，如果不存在，阐明理由.
D1
C1
A1
B1
E
F A
D O
C B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
正方体中
中，O是底
面ABCD的中心，E、F分别是 、AD
的中点. 那么异面直线OE和 所成的
角的余弦值等于 ( )
D1
C1
A1
B1
E
D
C
[解析] 运用空
F
O
间向量求解较简便. A
B
[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的
[解析] △EFG中，∠EFG=60° 或120°，则EG=2或 .
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
2. 两异面直线a, b所成角为60°， 过空间一点P作与a、b都成25°（或 30°或40°或60°或80°或90°）的 直线，分别可作_______________条.
高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。
典型题例示范讲解例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求证 四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；(4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形 ∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中， 易得A ′C =3a ，C P =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515 故A ′C 与DE 所成角为另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为 (3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a则cosADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 另法（向量法）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′， 如图建立坐标系，则 (0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=-3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=='，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 (4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，B故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DEOEOD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为(0,0,),m AA a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴(1,2,1)n =∴6cos ,||||6n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD aAA AB AA AD AB AD AA AB b aab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=1111112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴111cos ,||||4BD AC BD AC BD AC ⋅<>==∴BD 1与AC例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α (1)求证 MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角(1)证明 作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NP A 分别是及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与角，∴∠MPB =∠NP A在Rt △MPB 与Rt △NP A 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBDPN PC ===整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ= 2a ＞PN 不合理，舍去 ∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°。
(新课标)高考数学二轮专题复习-第三部分 讲重点解答题专练 专题4 立体几何课件 理
∴cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝1＋1 λ2＝12，λ∈(0,1]⇒λ＝1.∴λ＝1 为所求．
预测 1．(2015·四川内江期末)如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC 交 AC 于点 M，EA⊥平面 ABC，FC ∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.
∵AB∥CD，∴AB⊥平面 ADE.
(2)由(1)得平面 EAD⊥平面 ABCD.取 AD 中点 O，取 BC 中点 F，连接 EO，OF.∵EA＝ED，∴EO⊥AD，∴EO⊥平面 ABCD.以 OA，OF，OE 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．不 妨设 AB＝2，则 A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,1)．设 M(x，y，z)，则B→M ＝(x－1，y－2，z)，B→E＝(－1，－2,1)．∵B，M，E 三点共线， 设B→M＝λB→E(0≤λ≤1)，∴M(1－λ，2－2λ，λ)，∴A→M＝(－λ，2－2λ，
以点 O 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系 O－xyz，则 A(0，－1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2， 3)，
A→B＝(2,2,0)，B→B1＝C→C1＝(0,1， 3)，设 m＝(x，y，z)是平面
ABB1A1 的法向量，则 m·A→B＝0，m·B→B1＝0，即2y＋x＋23yz＝＝00，. 取 z
又cosnac由图可知二面角apbc为锐角所以二面角abpc的余弦值为2015湖北九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑
第三部分 讲重点•解答题专练
第4讲 立体几何
热点调研
立体几何常见的类型主要有：①考查线线、线面、面面关系 的证明，此类题目常以解答题的第一问出现；②计算空间的角和 距离，此类题目常以解答题的第二问出现；③求简单几何体的截 面积、侧面积、表面积、体积等，此类题目通常以解答题的第三 问出现；④作简单几何体，并求出其中的有关量，此类题目以图 形为基础，形成新题型；⑤考查常见几何体为三棱、四棱、五棱 锥或柱，在条件中一定有一些垂直关系如侧棱与底面垂直的锥体 或柱体、面面垂直、线面垂直等，为建立直角坐标系提供模型．
新高考数学空间角精品课件
课堂考点探究
第42讲 空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .
《空间角的复习》课件
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题4立体几何第3讲空间向量与空间角课件
角)
考查.
真题研究·悟高考
1. (2023·全国乙卷理科)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边， △ABD为等边三角形，若二面角C－AB－D为150°，则直线CD与平面 ABC所成角的正切值为( C )
A．15
B．
2 5
C．
3 5
D．25
【解析】 如图，取AB的中点E，连接CE，DE，
则根据题意易得 AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角 C－AB－D 的平面角
【解析】 (1)连接BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD， 则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD， 所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD， 所以Rt△DAB∽Rt△ABM， 则AADB＝BBMA ， 所以12BC2＝1，解得 BC＝ 2.
(1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为 150°时，求B2P.
【解析】 (1)证明：根据题意建系如图，则有：
B2(0,2,2)，C2(0,0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)，
→
→
∴B2C2＝(0，－2,1)，A2D2＝(0，－2,1)，
∵EF＝DA， ∴F(－ 2，0， 2)， ∴D→A＝(－ 2，0， 2)，A→B＝(0， 2，－ 2)， → AF＝(－ 2，0,0)， 设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝ (x2，y2，z2)，
则－2y12－x1＋2z12＝z10＝，0， 令 x1＝1，解得 y1＝z1＝1， －2y22－x2＝20z，2＝0， 令y2＝1，解得x2＝0，z2＝1， 故n1＝(1,1,1)，n2＝(0,1,1)， 设二面角D－AB－F的平面角为θ，
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（写所有真命题的编号） 写所有真命题的编号）
【阅卷心语】 阅卷心语】 本题主要考查平面与平面位置关系， 本题主要考查平面与平面位置关系，直线和平面所 成的角，点到平面的距离等相关知识，考查空间想象力， 成的角，点到平面的距离等相关知识，考查空间想象力， 推理论证能力，以及计算能力. 推理论证能力，以及计算能力 试题为中档题，考生的平均得分为 分 试题为中档题，考生的平均得分为8.4分，失分的主 要原因是： 未想到OM＝ON＝OA＝OC ② 要原因是：①未想到OM＝ON＝OA＝OC.②第(2)题中考生 OM 题中考生 误认为∠DCM为直线与平面所成的角. 误认为∠DCM为直线与平面所成的角 为直线与平面所成的角
(2009·江西高考 在四棱锥P－ABCD中， 江西高考)在四棱锥 江西高考 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， 底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， ABCD是矩形 ABCD PA＝AD＝ 的中点O为 PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点 为 AB＝ 以AC的中点 球心、AC为直径的球面交PD于点M 球心、AC为直径的球面交PD于点M， 为直径的球面交PD于点 交PC于点N. PC于点N 于点 (1)求证：平面ABM⊥平面PCD； 求证：平面ABM⊥平面PCD； 求证 ABM PCD (2)求直线CD与平面ACM所成的角正弦值； 求直线CD与平面ACM所成的角正弦值； 求直线CD与平面ACM所成的角正弦值
2.(2009·湖南高考 在半径为 的球面上有A、B、C三点， 湖南高考)在半径为 的球面上有A 三点， 湖南高考 在半径为13的球面上有 AB＝ ，BC＝ ，CA＝ ， AB＝6，BC＝8，CA＝10，则 (1)球心到平面ABC的距离为 球心到平面ABC的距离为 球心到平面ABC ；
(2)过A、B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角 的 过 两点的大圆面与平面ABC所成二面角 锐角 ABC所成二面角 锐角)的 正切值为 .
求二面角的题目应注意： 已知两个平面垂直时， 求二面角的题目应注意：①已知两个平面垂直时， 过其中一个平面内的一点作交线的垂线是常用的处 理办法； 在已经确定了平面的垂线时， 理办法；②在已经确定了平面的垂线时，由三垂线 定理或其逆定理作二面角的平面角是非常简捷的方 法.这样通常可以把所求二面角的平面角转化到一个 这样通常可以把所求二面角的平面角转化到一个 直角三角形中，使得求解比较容易 直角三角形中，使得求解比较容易.
考点二
直线与平面所成的角
求直线和平面所成的角的关键是： 求直线和平面所成的角的关键是：作出直线在平 面内的射影，一般垂足也是一些特殊的位置， 面内的射影，一般垂足也是一些特殊的位置，把直线 和平面所成的角转化为平面内两条直线所成的角进行 求解.其一般步骤可以概括为： 求解 其一般步骤可以概括为：①找出斜线在平面上的 其一般步骤可以概括为 射影及其斜线与其射影所成的角； 射影及其斜线与其射影所成的角；②说明所找的角就 是所要求的角； 在直角三角形 垂线 斜线、 垂线、 是所要求的角；③在直角三角形(垂线、斜线、射影所 组成的直角三角形)中解出所求角的大小 组成的直角三角形 中解出所求角的大小. 中解出所求角的大小
2.至于距离，高考命题多以正方体、三棱锥等多面体 至于距离，高考命题多以正方体、 至于距离 为载体，考查点到面、线到面的距离，综合性较强(如题 如题1). 为载体，考查点到面、线到面的距离，综合性较强 如题 题型灵活多样，也有可能命制开放性试题，是高考命题的 题型灵活多样，也有可能命制开放性试题，是高考命题的“ 生长点”. 生长点
如图，四棱锥P 如图，四棱锥P－ ABCD中 底面ABCD为矩形， ABCD中，底面ABCD为矩形， ABCD为矩形 PD⊥底面ABCD，AD＝PD， PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F ABCD 分别为CD、PB的中点 分别为CD、PB的中点. CD 的中点 (1)求证：EF⊥平面PAB； 求证：EF⊥平面PAB； 求证 PAB (2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值 设AB＝ BC BC， AC与平面AEF所成角的正弦值 与平面AEF所成角的正弦值.
如图，在直三棱柱ABC 如图，在直三棱柱ABC AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ， －A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1 AB的中点 的中点. ＝4，点D是AB的中点 ， (1)求证：AC⊥BC1； 求证：AC⊥ 求证 (2)求证：AC1∥平面CDB1； 求证： 平面CDB 求证 (3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值 求异面直线AC 所成角的余弦值. 求异面直线
证明： 直三棱柱ABC ABC－ 【自主解答】 (1)证明：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面 自主解答】 证明 三边长AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ， 三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， AC 在平面ABC内的射影为BC ABC内的射影为BC， ∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， AC⊥BC， ∴AC⊥BC1. AC⊥ (2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DE 证明： 的交点为E 连结DE DE. 证明 的中点， 的中点， ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， 是AB的中点 ∴DE∥AC1. DE∥ 平面CDB ∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， DE⊂平面CDB ∴AC1∥平面CDB1. 平面CDB
考点三
二
面
角
二面角的取值范围是[0， ， 二面角的取值范围是 ，π)，求二面角的关键是 作出二面角的平面角，基本方法有以下几种： 作出二面角的平面角，基本方法有以下几种： (1)定义法：根据定义直接作出二面角的平面角； 定义法：根据定义直接作出二面角的平面角； 定义法 (2)由线面的关系证二面角的平面角 由线面的关系证二面角的平面角
证明： EP. 【自主解答】 (1)证明：连结EP 自主解答】 证明 连结EP ∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内， PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内 ABCD 在平面ABCD ∴PD⊥DE.又CE＝ED，PD＝AD＝BC PD⊥DE 又CE＝ED，PD＝AD＝BC. BCE≌ PDE.∴PE＝ ∴Rt△BCE≌Rt△PDE ∴PE＝BE ∵F为PB中点，∴EF⊥PB.又BA⊥平面 PB中点， EF⊥PB.又BA⊥ 中点 PAD，PA⊂平面PAD，PA⊥AB PAD，PA⊂平面PAD，PA⊥AB. PAD PAB中PF＝AF， ∴在Rt△PAB中PF＝AF， 又PE＝BE＝EA. PE＝BE＝EA
思想方法
转化与化归想
解析： AD的中点G 连结EG、GF， 解析：取AD的中点G，连结EG、GF， 的中点 EG GE， ＝ GF GF， 则GE∥CD，CD＝2GE，AB＝2GF， GE∥CD，CD＝ GE 因为CD＝ AB 所以GE AB， GE＝ GF GF， 因为CD＝2AB，所以GE＝2GF， CD 因为EF⊥AB，所以EF⊥GF。 因为EF⊥AB，所以EF⊥GF。 EF EF 所以∠GEF＝ ° 所以∠GEF＝30°. 答案： 答案：A
两条异面直线所成角的范围是 求异面直线所成的角，最关键是要找出一个点， 求异面直线所成的角，最关键是要找出一个点，把其 作为角的顶点，然后把两个异面直线 平行平移 过来， 平行平移”过来 作为角的顶点，然后把两个异面直线“平行平移 过来，这 个点也许在异面直线上，也许在空间 这个点有时很好找 这个点有时很好找， 个点也许在异面直线上，也许在空间.这个点有时很好找， 如例1中直线过 中点 ，则找 中点 的可能性大；若一条 中点”的可能性大 如例 中直线过“中点 则找“中点 的可能性大； 中直线过 中点”， 直线在平面内，另一条与平面相交， 直线在平面内，另一条与平面相交，这个点就可能是这个 “交点 ；直线要在对称体中，在对称中找 点”、找直线可 交点”；直线要在对称体中，在对称中找“点 、 交点 能就行.总之，这个 点 找出后 作角就容易了， 找出后， 能就行 总之，这个“点”找出后，作角就容易了，计算也 总之 不难. 不难
分析以上几个试题及近几年高考试题， 分析以上几个试题及近几年高考试题，可以发现本 课时高考命题有以下特点： 课时高考命题有以下特点： 1.空间角是历年高考考查的重点和热点 求两异面直 空间角是历年高考考查的重点和热点.求两异面直 空间角是历年高考考查的重点和热点 线所成的角、直线和平面所成的角，一般在选择、填空 线所成的角、直线和平面所成的角，一般在选择、 题中出现，也可能在解答题中以一个设问的形式考查； 题中出现，也可能在解答题中以一个设问的形式考查； 求二面角是重中之重， 求二面角是重中之重，它和几何体中线面关系的证明与 运算密切相关， 运算密切相关，一般在解答题中以一个设问的形式求二 面角的大小(如题 ，还可能给出一个二面角的环境进行 面角的大小 如题2)， 如题 论证推理和计算. 论证推理和计算