2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(五十七) 坐标系 Word版含答案

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2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(五十七) 坐标系

高考达标检测（五十七）坐标系1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解:直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1、故实数a 的值为－5或－1、2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值．解:由ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcos θ＋23ρsin θ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4、3．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解:在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ、4．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解:ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2、ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1、所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6、 5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求: (1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．解:(1)如图，由正弦定理得ρsin 2π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ、即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin 2π3＝32， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32、 (2)作OH ⊥l ，垂足为H ，在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3，则OH ＝OA sinπ3＝32，即极点到该直线的距离等于32、 6．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4、(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解:(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)，当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12、 7．(2017·南京模拟)已知直线l :ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C :ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2、求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解:∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k 、∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2、即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22、 8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解:(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ、由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3、作图如图所示． (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1、高考达标检测（一）集合一、选择题1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析:选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A 、 2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}D ．{－3，－1,2,4}解析:选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝ {－3，－1,2}，故选C 、3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C．(1,2) D．[1,2]解析:选B 依题意得∁U A＝{x|1≤x≤2}，(∁U A)∩B＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，选B、4．(2017·武汉调研)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B＝( )A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B．(2,3]C．(－∞，3]∪(4，＋∞)D．[－2,2)解析:选A 因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A、5．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析:选B ∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25 D．52解析:选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3、所以元素(x，y)的所有结果如下表所示:所以A*B中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是( )A ．{a |a <1}B ．{a |0≤a <1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤1}解析:选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(图略)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B 、8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析:选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．二、填空题9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析:由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18、综上可知，实数a 的值为1或－18、答案:1或－1810．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析:由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ∪(∁R B )＝R ，可得a ≥2、答案:[2，＋∞)11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件:①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A 、则集合A ＝________、(用列举法表示)解析:假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案:{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析:设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知:①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14、所以(43－y )min ＝43－14＝29、答案:①16 ②29 三、解答题13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3、故实数a 的取值范围是(2,3)．14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围．解:(1)证明:若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立．故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1；若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1，即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。

2018年高考数学总复习选考部分坐标系与参数方程

l 的距离为 d=|3cos��+√41s7in��-��-4|. 当 a≥-4 时,d 的最大值为��√��+179.由题设得��√��+179 = √17,所以 a=8;
当 a<-4 时,d 的最大值为-√��1+71.由题设得-√��1+71 = √17,所以 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( × )
(2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标
方程.
(× )
(3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2,
3π 4
.
(4)参数方程
��
= =
-21+-��,��(t
选修4—4 坐标系与参数方程
-2-
考纲要求
五年考题统计
1.了解坐标系的作用,了
解在平面直角坐标系伸
缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方
程. 4.了解参数方程,了解参数的意义. 5.能选择适当的参数写出
①直线过极点:θ=θ0和 θ=π +θ0 ;
②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρcos θ=a ;
③直线过 M
��,
π 2
,且平行于极轴:
ρsin θ=b
.
5.圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+��0.2-r2=0

2018届高三数学(文)高考总复习课时跟踪检测 (五十八) 坐标系 Word版含解析

课时跟踪检测 (五十八) 坐标系1．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．2．(1)把化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)化为极坐标方程；(2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ化为直角坐标方程．解：(1)将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝r 2，ρ＝r ．所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ＜2π)．(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝y ρ代入ρ＝8sin θ，得x 2＋y 2＝8·y x 2＋y 2，即x 2＋y 2－8y ＝0，即x 2＋(y －4)2＝16．法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0．3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4． (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)．(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)，当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12．4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1．从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2．当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2． (2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233．所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． 5．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程； (2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2． (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4．6．在极坐标系中，已知直线l 过点A (1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求： (1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离．解：(1)如图，由正弦定理得ρsin 2π3＝1sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ．即ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝sin 2π3＝32， ∴所求直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32． (2)作OH ⊥l ，垂足为H ，在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3，则OH ＝OA sin π3＝32，即极点到该直线的距离等于32． 7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ．(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1．当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1．8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R)所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图，在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2， ∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4．因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |，所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，验证可知，极点O 与A ⎝⎛⎭⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6为所求． (2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R)交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OPA ＝π2，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝22．法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6．(2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，得ρ＝22，所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R)所截得的弦长为22．。

2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年全国高考(理科)数学试题分类汇编：坐标系与参数方程

全国高考理科数学试题分类汇编18：坐标系与参数方程
一、选择题
1 （安徽数学（理）试题）在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为
（）
A ．=0()cos=2R θρρ∈和
B ．=()cos=22R πθρρ∈和
C ．=
()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和*B
二、填空题 2 （天津数学（理）试题）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
, 则|CP | = ______.
*
3 （高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为
__________
4 （高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,
6π)到直线ρsin θ=2的距离等于________*1
5 （重庆数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)相交于,A B 两点,则______AB =*16
6 （广东省数学（理）卷）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C
的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪
⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则
l 的极坐标方程为_____________.
*
sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 7 （高考陕西卷（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则
圆220y x x +-=的参数方程为______ .。

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．＜P（X=6），则p=（）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log2A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考数学总复习(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性含答案

高考达标检测（五）函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2，选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )．又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln 1＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)．答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈0，1，－2x 4x＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上是减函数．。

2018版高考数学(理)第一轮总复习习题：选修4-4坐标系与参数方程含答案

选修4－4错误!坐标系与参数方程第一节坐标系突破点（一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干知识的“源"与“流”设点P （x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：{ x ′＝λ·x (λ＞0)，，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ′(x ′，y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例］求椭圆错误!＋y 2＝1，经过伸缩变换错误!后的曲线方程．［解] 由错误!得到错误!①将①代入x 24＋y 2＝1,得错误!＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1。

因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧］应用伸缩变换公式时的两个注意点（1）曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标（x ，y ）与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式错误!建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f （x ，y ）＝0，一般都要改写为方程f （X ，Y ）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：错误!求点A 错误!经过φ变换所得的点A ′的坐标．解:设A ′（x ′，y ′），由伸缩变换φ：错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!，于是x ′＝3×错误!＝1,y ′＝错误!×（－2）＝－1，本节主要包括2个知识点：1。

平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2。

极坐标系。

所以A′(1，－1）为所求．2．求直线l:y＝6x经过φ:错误!变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′（x′，y′)，由题意，将错误!代入y＝6x得2y′＝6×错误!，所以y′＝x′,即直线l′的方程为y＝x.3．求双曲线C：x2－错误!＝1经过φ：错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′（x′，y′),由题意,将错误!代入x2－错误!＝1得错误!－错误!＝1，化简得错误!－错误!＝1,即错误!－错误!＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1（－5，0）,F2(5,0）．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆错误!＋错误!＝1的一个伸缩变换公式为φ：错误!求a，b的值．解：由错误!知错误!代入x2＋y2＝1中得错误!＋错误!＝1，所以a2＝9，b2＝4,即a＝3，b＝2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流"1．极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地,没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．（3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ）与(ρ，θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，θ）(θ∈R）,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ) 表示;同时，极坐标(ρ，θ）表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y）极坐标（ρ，θ）互化公式错误!错误!考点贯通抓高考命题的“形”与“神"极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式错误!及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标（1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．（2)求直角坐标系中的点（x，y）对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步,根据角θ的正切值tan θ＝错误!(x≠0）求出角θ（若正切值不存在，则该点在y轴上），问题即解．[例1]在极坐标系下，已知圆O:ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin错误!＝错误!。

2018年高考理科数学(全国I卷)试题(含答案)WORD版

2018年高考理科数学(全国I卷)试题(含答案)WORD版2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.选择题用铅笔在答题卡上涂黑对应的答案标号，非选择题在答题卡上作答。

3.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有四个选项，只有一项是正确的。

1.设 $z=\frac{1-i+2i}{1+i}$，则 $|z|$ 等于A。

$\frac{1}{2}$B。

$\sqrt{2}$C。

$1$D。

$2$2.已知集合 $A=\{x|x^2-x-2>0\}$，则 $A$ 等于A。

$\{-1<x<2\}$B。

$\{-1\leq x\leq 2\}$C。

$\{x2\}$D。

$\{x\leq -1\}\cup \{x\geq 2\}$3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。

为了更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A。

新农村建设后，种植收入减少B。

新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C。

新农村建设后，养殖收入增加了一倍D。

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

若$3S_3=S_2+S_4$，$a_1=-12$，则切线方程为A。

$y=-2x$B。

$y=-x$XXXD。

$y=x$5.设函数 $f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax$。

若 $f(x)$ 是奇函数，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为A。

$y=-2x$B。

$y=-x$XXXD。

$y=x$6.在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$E$ 是 $AD$ 的中点，则 $EB$ 等于A。

五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：第十七章坐标系与参数方程精品

x y
r r
cos θ, sin θ
(θ为参数).
(iii)圆锥曲线的参数方程
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的参数方程为
x
y
a cos θ, bsin θ
(θ为参数),
双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为
x
y
a sec b tan
φ, φ
(φ为参数),
ρ=2cos
θ,θ∈
0,
2
.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= 3 x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为
x y
1 cos sin t
t,
(t为参数,0≤t≤π).
高考理数
第十七章坐标系与参数方程
知识清单
1.坐标系与极坐标 (1)极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做极点 ;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴 ; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径 ,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线 OM为终边的∠xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对 (ρ,θ) 叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. (2)直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则

2018版高考数学一轮总复习坐标系与参数方程1坐标系模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习坐标系与参数方程 1 坐标系模拟演练理1．[2015·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．3．[2017·江西模拟]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3，∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14， ∴|AB |＝2×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝2×154＝152. 4．[2017·保定模拟]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)将直线l 的参数方程化为极坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)消去参数t ，化为普通方程3x －y －23＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入3x －y －23＝0，得3ρcos θ－ρsin θ－23＝0.(2)解法一：C 的普通方程为x 2＋y 2－4x ＝0.由⎩⎨⎧3x －y －23＝0，x2＋y2－4x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ 3.所以l 与C 交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.解法二：由⎩⎨⎧3ρcos θ－ρsin θ－23＝0，ρ＝4cos θ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝0，又因为ρ≥0,0≤θ<2π，。

2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第67讲坐标系

1 ，－2，于是 3
x′＝3x， x′＝3x， φ：得到由于点 1 2y′＝y， y′＝ y. 2
A 的坐标为
1 1 x′＝3×3＝1，y′＝2×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求． 1 2 2 2 x＝ x′， x ′ 4y ′ y 2 3 (2)设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，将代入 x －64＝1 得 9 － 64 ＝1，化简得 y＝2y′ 2 2 x′ y′ －＝ 1 ，即为曲线 C′ 的方程，可见仍是双曲线，则焦点坐标分别为 ( － 5 ， 0) ， (5 ， 9 16 0)．
Q
2 2 2 2 2
π 2sinθ－＝2sin 4
θ－2cos θ，
2 2 ，又曲线 C 的圆心为(－1，1)，半径为 2，， 2 2
2 2 2 2 ＋－ 2＝ 3－ 2. ＋ 1 － 1 2 2
课堂考点探究
[总结反思]
θ
ρ＝2rsin θ (0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R)或 θ＝ π＋α(ρ∈R)
ρcos
θ＝a
与极轴平行的直线
ρsin
θ＝a
课堂考点探究
考点一平面直角坐标系中的伸缩变换
例 1(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换换所得的点 A′的坐标为________． y (2)双曲线 C：x －＝1 经过伸缩变换 64
课堂考点探究
考点二极坐标与直角坐标的互化
例2 [2017· 新疆生产建设兵团二中月考] 在极坐标系中，已知
π 2sinθ－， P 4
曲线 C： ρ＝2
为曲线 C 上的动点，定点
π Q1， . 4

2018年高考总复习数学(理科)基础知识反馈卡8-6空间坐标系与空间向量Word版含解析

基础知识反馈卡·8.6时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知不共线的三点A ，B ，C ，点O 是平面ABC 外一点，下列条件中，能判断M ，A ，B ，C 四点共面的是( )OM →＝12OA →＋12OB →＋12OC → OM →＝OA →＋OB →＋OC →OM →＝13OA →－13OB →＋OC → OM →＝12OA →＋12OB →＋12OC → 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列式子：①AB →－CB →＋CC 1→；②AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C →；③AB →＋BB 1→＋B 1C 1→；④AA 1→＋A 1B 1→＋B 1C 1→.其中表示AC 1→的个数为( )B ．2C ．3D ．43．如图J8-6-1，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )图J8-6-1A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c 4．设平面α的法向量为(－1，－2,2)，平面β的法向量为(2,4，k )，若α∥β，则实数k 的值为( )B ．2C ．－4D ．45．设两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则这两平面所成二面角的大小为( )B ．90°C ．135°D ．45°或135°6．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1 二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图J8-6-2，在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．图J8-6-28．已知A(－2,4,0)，B(3,2,0)，则线段AB的中点坐标是________．9．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝________.三、解答题(共15分)10．如图J8-6-3，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．图J8-6-3基础知识反馈卡·8.61．C 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.12a ＋14b ＋14c 8.⎝⎛⎭⎫12，3，0 9.4 10．解：(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°.∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. |AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋ab ＋a ·c ＋b ·c －ab ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66. ∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.。

高考数学试题分类汇编_专题坐标系与参数方程_理

2018年高考试卷数学（理科）选修系列：坐标系与参数方程一、选择题:1. (2018年高考安徽理科5)在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（A）2 (B) (C) （D)2. (2018年高考安徽卷理科3)在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A. B. C. D.二、填空题:1．(2018年高考天津卷理科11)已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为 1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x-4）^2+y^2=r^2(r>0)相切，则r=______2.(2018年高考江苏理科)（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为g=2sinx+4cosx,以极点为原点，极轴为X轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为3. (2018年高考湖南卷理科9)在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为。

4. (2018年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .5. (2018年高考湖北卷理科14)如图，直角坐标系Oy所在的平面为，直角坐标系 (其中轴与y轴重合)所在平面为，(Ⅰ)已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为；(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影C的方程是 .6.(2018年高考陕西卷理科15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线为参数）和曲线上，则的最小值为7．(2018年高考上海卷理科5)在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为。

三、解答题:1.(2018年高考辽宁卷理科23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C 1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(II)设当=时，l与C 1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.2. (2018年高考全国新课标卷理科23)（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)M是曲线上的动点，点P满足，（1）求点P的轨迹方程；（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线，交于不同于原点的点A,B求3.(2018年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。

2018届高考数学(文理通用)新课标卷(2015-2017)三年汇编坐标系与参数方程解答题

小值即为 P 到 C 的距离 d ( ) 的最小值， 2
d ( )|
3 c o s s i2 nπ| s .4i n| ( ……8 分)
2
3
2|
当且仅当 2kπ π (k Z ) 时，d ( ) 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标为 6
(3 , 1) . 22
x
y
t t
cos , sin ,
(t
为参数)，l
与
C
交于
A，B
两点，∣AB∣=
10 ，
求 l 的斜率.
【答案】（Ⅰ） 2 12 cos 11 0 ；（Ⅱ）
15
.
3
【解析】
【2016 新课标 3】
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C
1
的参数方程为
x
y
3 cos, (为参数) sin ,
化为直角坐标方程，再解决. 【2015 新课标 2】
在直角坐标系 xoy
中，曲线C
1
:
x y
t t
cos,
（
sin ,
t
为参数，t
0 ），其中0
，在以O
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C : 2sin ，曲线 C : 2 3cos ．
2
3
（Ⅰ）.求 C 与 C 交点的直角坐标；
表达式，最后求出最值与相应点 P 的坐标即可．
x2
试题解析：（ I ） C 的普通方程为 y2 1 . C 的直角坐标方程为
1
3
2
x y40.
……5 分
（II）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos ,sin ) .因为 C 是直线，所以| PQ | 的最 2

2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时达标68坐标系理

2018 年高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时达标 68 坐标系理[ 解密考纲 ] 高考取，主要波及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与一般方程的互化，两种不一样方式的方程的互化是考察的热门，常以解答题的形式出现．x 212x ′＝ x ，1．求椭圆 4 ＋ y ＝ 1 经过伸缩变换2后的曲线方程．y ′＝ y1获得 x ＝ 2x ′，分析：由x ′＝ 2x ，①y ′＝ yy ＝ y ′.x 2 24x ′ 2 222将①代入 4 ＋ y ＝ 1 得 4 ＋ y ′ ＝ 1，即 x ′ ＋ y ′ ＝ 1.x 222 2所以椭圆 4 ＋ y ＝ 1 经伸缩变换后获得的曲线方程是 x ＋ y ＝ 1.2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已ππ知点 A 的极坐标为 2， 4 ，直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－ 4 ＝ a ，且点 A 在直线 l上．(1) 求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)x ＝ 1＋cos α，( α 为参数 ) ，试判断直线 l 与圆 C 的地点关圆 C 的参数方程为y ＝ sin α系．ππ π分析： (1) 由点 A 2，在直线 l 上，得 2cos －2，故直线 l 的 4 4 4 ＝ a ，则 a ＝方程可化为 ρsin θ＋ ρcos θ ＝ 2，得直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ y － 2＝0.(2) 消去参数α，得圆 C 的一般方程为 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1，圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝|1 ＋ 0－ 2|12＋ 2＝<1，所以直线 l 与圆 C 订交． 1 123．(2017 ·海南模拟 ) 已知曲线 1 的极坐标方程为ρ ＝ 6cos θ ，曲线2的极坐标方程CC为θ ＝ π( ρ ∈ R) ，曲线1， 2 订交于，两点．4CCA B(1) 把曲线 C 1， C 2 的极坐标方程转变为直角坐标方程；(2) 求弦 AB 的长度．分析： (1) 曲线 C 2：θ＝π4 ( ρ∈ R) 表示直线 y ＝ x ，曲线 C 1：ρ＝ 6cos θ 即 ρ2＝ 6ρcos θ，所以 x 2＋y 2＝ 6x ，即 ( x － 3) 2＋ y 2＝ 9.3 2(2) ∵圆心 (3,0) 到直线的距离 d ＝ 2 ， r ＝3，22∴弦长 AB ＝ 2 r － d ＝ 3 2.4．在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线1的极坐标方程为ρ 2＝ 2 2 ，直线 l 的极坐标方程为 ρ ＝ 4 .C1＋ sin θ 2sinθ＋ cos θ(1) 写出曲线 C 1 与直线 l 的直角坐标方程；(2) 设 Q 为曲线 C 1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值．分析： (1) 依据 ρ2＝ x 2＋ y 2， x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ，可得 C 1 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝ 2，直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ 2y ＝ 4.(2) 设 Q ( 2cos θ， sin θ) ，则点 Q 到直线 l 的距离为2cos θ－4| ＝ 2sinπ＝ | 2sin θ＋θ＋ 4 － 4 ≥ 2 ，d333π ππ当且仅当 θ ＋ 4 ＝ 2k π＋ 2 ，即 θ＝ 2k π＋ 4 ( k ∈ Z) 时取等号．2∴ Q 点到直线 l 距离的最小值为.35．(2017 ·泰州模拟 ) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正π半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsinθ－ 4 ＝ 3 2.(1) 把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；x 2y 2(2) 已知 P 为椭圆 C ： 16＋ 9 ＝ 1 上一点，求 P 到直线的距离的最大值．分析：(1) 把直线的极坐标方程为 ρsin θ－π ＝ 32睁开得42 2θ－ ρcos θ＝ 6，获得直角坐标方程 x － yρ2 sin θ－ 2 cos θ ＝ 32，化为 ρsin＋6＝ 0.x 2 y 2(2) ∵P 为椭圆 C ： 16＋ 9 ＝ 1 上一点，|4cos α－ 3sin α＋ 6|∴可设 (4cosα ， 3sin α ) ，利用点到直线的距离公式得d ＝P2|5sin α－ φ－ 6| | －5－ 6|＝ 11 2 .＝2≤ 22当且仅当 sin( α－ φ) ＝－ 1 时取等号．∴ P 到直线的距离的最大值是 11 22 .3， π 4，π6．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为 3 ， 6 ，求△ AOB (此中 O为极点 ) 的面积．分析：由题意知，B 的极坐标分别为3，π， 4， π，则△AOB 的面积△ AOB＝ 1A36S 21πOA · OB ·sin ∠ AOB ＝ 2×3×4×sin 6 ＝ 3.7．在极坐标系 Ox 中，直线 C 的极坐标方程为ρsin θ＝ 2， M 是 C 上随意一点，点P11在射线 OM 上，且| OP |·|OM |＝ 4，记点 P 的轨迹为 C 2，求曲线 C 2 的极坐标方程．分析：设 ( 1， θ ) ， ( ρ2， θ ) ，P ρM由 || ·| | ＝4，得12＝4，即ρ2＝4.OP OM ρ ρρ1∵ M 是 C 1 上随意一点，∴ ρ2sinθ＝ 2，4即 sin θ ＝ 2，ρ 1＝ 2sin θ.ρ 1∴曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ＝ 2sin θ.π8．(2017 ·吉林模拟 ) 在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝ 4cos θ 与直线 l ： θ＝ 4 ( ρ∈ R)交于 A ， B 两点．(1) 求以 AB 为直径的圆 C 2 的极坐标方程；(2) 在圆 C 1 上任取一点 M ，在圆 C 2 上任取一点 N ，求 | MN |的最大值．分析： (1) 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，成立直角坐标系，则由题意得圆C 1：ρ＝ 4cosθ 化为 ρ 2＝ 4ρcos θ，∴圆 C的直角坐标方程 x 2y2＋－4 ＝0.1直线 l 的直角坐标方程 y ＝ x .x 2＋y 2－ 4x ＝ 0，由y ＝x ，x ＝ 0， x ＝ 2，解得或y ＝ 0y ＝ 2，∴ A (0,0) ， B (2,2) ，进而圆 C 2 的直角坐标方程为 ( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2，即 x2＋ y2＝2x＋2y.将其化为极坐标方程为：ρ2＝2ρ cosθ＋2ρsinθ，即ρ＝2cosθ＋2sinθ.(2) ∵C1(2,0) ，r1＝ 2，C2(1,1)，r2＝2，∴ | MN| ＝ | CC| ＋r＋r＝ 2＋ 2＋ 2＝ 2 2＋ 2.max1 212。

2018年高考数学(理)(江苏专用)总复习教师用书第十二章系列4选考部分第3讲坐标系与参数方程Word版含答案

第3讲坐标系与参数方程考试要求 1.坐标系的有关概念及其作用，A 级要求；2.点的极坐标，极坐标与直角坐标、极坐标方程与直角坐标方程的互化，B 级要求；3.简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的极坐标方程，B 级要求；4.参数方程、参数的意义，B 级要求；5.直线、圆及椭圆的参数方程，B 级要求；6.参数方程与普通方程的互化，B 级要求；7.参数方程的简单应用，B 级要求．知识梳理1．极坐标系(1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos_θ，y ＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．2．常用简单曲线的极坐标方程 (1)几个特殊位置的直线的极坐标方程： ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； ②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程： ①当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；②当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；③当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t并且对于t 的每一个允许值，上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数．4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，(θ为参数)．5．直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)． (2)M 1M 2＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离MM 0＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.(4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.诊断自测1．(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2．(2017·南京、盐城模拟)在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(22，－π4)，圆E 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A 和圆E 的位置关系，解点A 的直角坐标为(2，－2)，圆E 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，则点A 到圆心E (2,2)的距离d ＝－2＋－2－2＝4>r ＝22，所以点A 在圆E 外.3．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837.故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.考点一直角坐标方程与极坐标方程的互化【例1】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解 (1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233.∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33， P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．规律方法 (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．【训练1】 (2017·南京模拟)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sinθ(圆心为点C )，求直线AC 的极坐标方程．解法一以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy . 圆C 的平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋(y －22)2＝8，圆心C (0,22)．A 的直角坐标为(2，2)．直线AC 的斜率k AC ＝22－20－2＝－1.所以直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22，极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝22，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 法二在直线AC 上任取一点M (ρ，θ)，不妨设点M 在线段AC 上．由于圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫22，π2，S △OAC ＝S △OAM ＋S △OCM ，所以12×22×2sin π4＝12×2×ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋12×ρ×22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ(cos θ＋sin θ)＝22，化简得直线AC 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 考点二参数方程与普通方程的互化【例2】已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.规律方法 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形．【训练2】 (2017·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a >0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．解直线C 1：2x ＋y ＝9，椭圆C 2：y 29＋x 2a2＝1(0<a <3)，准线为y ＝±99－a2，由99－a2＝9得a ＝2 2.考点三参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解 (1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.又曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4. 因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值．d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 【例4】 (2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，m 为常数)．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．解圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 直线l 的极坐标方程化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝2，即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝0. 因为圆C 的圆心为C (m,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2，所以d ＝|m －2|2<2，解得2－22<m <2＋2 2.规律方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．【训练3】 (1)(2017·盐城模拟)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3消去t 得曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2得ρ2＝4，则曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x x，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.(2)(2017·苏州调研)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝3 2. ①把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；②已知P 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 ①因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.②因为P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点，所以设P (4cos θ，3sin θ)，所以点P 到直线l 的距离d ＝|4cos θ－3sin θ＋6|2＝θ＋φ＋6|2，其中cos θ＝45，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取最大值1122.[思想方法]1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ. 3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． [易错防范]1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.(建议用时：70分钟)1．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．(2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．如图所示，因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．(2017·苏北四市联考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解由ρ＝2sin θ－2cos θ得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.直线l 的参数方程化成普通方程为x －y ＋1＝0. 圆心到直线l 的距离为d ＝|－1－1＋1|2＝22，所求弦长L ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫222＝ 6. 4．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解因为直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.5．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，AB ＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.AB ＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由AB ＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 6．(2017·南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝32，所以直线l 的直角坐标方程为32x －12y ＝32，化简得y ＝3x －3，即直线l 的直角坐标方程是y ＝3x － 3.由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝cos 2t ＋sin 2t ＝1得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立直线方程与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85，所以A (0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335，B (0，－3)．所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－3352＝165. 7．(2017·盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．解由ρ＝23sin θ得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，即x 2＋(y －3)2＝3，则C (0，3)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，则PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0)．8．(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－ 2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.。

2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(五十七) 坐标系 Word版含答案