高中数学专题讲义：四种命题及其相互关系的智能转化

高中数学专题讲义：四种命题及其相互关系的智能转化

考纲要求:

1、了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关

系；

2、给出四种命题中的一种，能够写出其他的三种.

基础知识回顾:

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

（1）四种命题

原命题：若p则q；原命题的逆命题：若q则p；

原命题的否命题：若p

⌝。

⌝则q

⌝则p

⌝；原命题的逆否命题：若q

【注】命题的否定：若p则q

⌝。（命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论。）

（2）四种命题间的关系

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

应用举例:

类型一、四种命题之间的关系

例1．【河北省衡水中学高三第十六次模拟考试】下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若，则

”的否命题为“若

，则

”

B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题

C. 命题“，使得

”的否定是“

，都有

”

D. 命题“若，则

”的逆否命题为真命题

【答案】B

例2．【上海市虹口区高三上学期期末教学质量监控】命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）

A. 若1x ≠，则1x ≠或1x ≠-

B. 若1x =，则1x =或1x =-

C. 若1x ≠，则1x ≠且1x ≠-

D. 若1x =，则1x =且1x =- 【答案】C

【解析】命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为若1x ≠，则1x ≠且1x ≠-。 故答案为：C.

类型二、命题的真假判断

例3．【新疆乌鲁木齐市高三第二次质量监测】命题:p 若0x <，则()ln 10x +<； q 是p 的逆命题，则（ ）

A. p 真， q 真

B. p 真， q 假

C. p 假， q 真

D. p 假， q 假 【答案】C

【解析】由题意， ()ln 10x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，

又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若()ln 10x +<，则0x <为真命题，故选C. 例4．【河南省南阳市第一中学高三第十二次考试】设有下面四个命题： ①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题

②若,则

③“”是“

或

”的充分不必要条件 ④命题“

中，若

，则

”的逆命题为真命题

其中正确命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】①“若

，则与的夹角为锐角,” 向量同向时不是锐角，故原命题为假，逆命题

均为真，故①错误；命题②若,则

，

，故②错误；③原命题等价于“且

”是“

”的充分不必要条件，故③正确；④命题

中，若

，

故 ④正确，故选B.

类型三、命题的否定与否命题

【例5】【河北邯郸市成安一中高三入学考试】“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为______________________________．该命题的否定为

______________________________．

【答案】在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 不都是锐角

例6．【河北省衡水中学高三第十六次模拟考试】下面几个命题中，假命题是（ ） A. “若a b ≤，则221a b ≤-”的否命题

B. “()0,a ∀∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定

C. “π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数sin2y x =的一个周期”

D. “220x y +=”是“0xy =”的必要条件 【答案】D

【解析】分析：对A ，利用否命题的定义可判断；对B ，利用指数函数的单调性即可得出；对

C ，利用正弦函数的单调性与“或命题”的定义可判断；对

D ，利用实数的性质和充分必要条件

可判断.

详解：对A .“若a b ≤，则221a b ≤-”的否命题是“若a b >，则221a b >-” ， A 是真命题； 对B ，“()0,a ∀∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定为“()0,a ∃∈+∞，函数x y a =在

定义域内不单调递增”正确，例如12a =时，函数12x

y ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

在R 上单调递减， B 为真命题；

对C ，“π是函数sin y x =的一个周期”，不正确，“2π是函数sin2y x =的一个周期”正确，根据或命题的定义可知， C 为真命题；

对D ，“220x y +=” → “0xy =”反之不成立，因此“220x y +=”是“0xy =”的充分不必要条件，

D 是假命题，故选D.

点睛：本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.

类型四、已知命题真假求参数范围

例7．【普通高校招生全国卷 I A 信息卷】命题p ：若0x >，则x a >；命题q ：若2m a ≤-，则()sin m x x R <∈恒成立.若p 的逆命题， q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[)0,1

例8．【高考数学人教A 版理科第一轮复习单元测试题】设p :方程x 2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q :方程x 2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,则使p ∨q 为真,p ∧q 为假的实数m 的取值范围是_________________. 【答案】(-∞,-2]∪[-1,3)