椭圆离心率问题

合集下载

椭圆离心率经典题型使用

椭圆离心率专项练习

一、直接求出a c ，或求出的比值，求解e 。

1.倍，则椭圆的离心率等于

2.若椭圆中心在原点，且焦点为)03()0,1(1，

顶点A F ,则椭圆的离心率为

3.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率是

4.短轴端点P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离

心率为=e

5.mn

的离心率为

6.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，

P ∥AB （O 为椭圆中心）时，7.P

，21F F 、是椭圆的左右焦点，已

椭圆的离心率为=e

8.P 是椭圆上一点，若

则椭圆的离心率为

9.A （a,0）B(0,b),若右焦点

∣AF∣，则椭圆的离心率

10.a>b>0）的四个顶点为

A 、

B 、

C 、

D ，若四边形

ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是

11.已知直线L

a>b>0）的顶点

A （a,0）、B(0,b),

如果坐标原点到直线L

，则椭圆的离心率是

12.，右焦点为(0)F c ，

，方）

Ａ．必在圆222x y +=内Ｃ．必在圆

222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能二、构造a c ，的关系式，求出e

1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心

率是。 2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭

圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是。

3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O

并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是。

椭圆的离心率的问题

反馈练习1
x2 y2 2 1 2 a b
(D)
Y B P A
F
O
X
反馈练习2
Y A P O B X
• 题型二 • 求椭圆离心率的取值范围 • 根据已知条件寻找含有a、b、c的不等式，求出离心率。
例3、设M点是椭圆
x y y x 2 1(a b )1 0 上一 22 2 a a b b
椭圆的离心率的问题
椭圆的标准方程与几何性质
标准方程焦点焦距范围性质对称性顶点轴离心率
x2 y2 ＋＝1(a>b>0) a2 b2 F1(－c,0)，F2(c,0) |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) |x|≤a，|y|≤b
x2 y2 ＋＝1(a>b>0) b2 a2 F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) |x|≤b，|y|≤a
关于 x 轴、y 轴和原点对称 (± a,0)，(0，± b) (0，± a)，(± b,0)
长轴长 2a，短轴长 2b c e＝ a (0<e<1)
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为
1 2
。
3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其

离心率问题的7种题型和15种方法

离心率（eccentricity）是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。在天文学、航天学等相关领域，经常需要解决各种与离心率相关的问题，下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。

一、离心率的定义及性质

离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，当离心率为1时，椭圆变成了一条直线。离心率越大，椭圆的形状越扁平，轨道越偏心。

二、离心率问题的7种题型

1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度；

2. 已知椭圆的长半轴和离心率，求短半轴长度；

3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度，求离心率；

4. 求给定行星或卫星的轨道离心率；

5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度，求轨道的半短轴长度；

6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度，求轨道的半长轴长

度；

7. 求给定行星或卫星的轨道周期。

三、离心率问题的15种解题方法

1. 利用椭圆轨道的定义和性质，直接计算出椭圆的长短半轴；

2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴；

3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率；

4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率；

5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率；

6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计

算出轨道离心率；

7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率；

椭圆离心率问题

一、椭恻离心率的

1.运川几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图• 0为椭圆的中心，F为焦点• A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.

QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I

⑤ *1757

评：AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得，

V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。

题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。

解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l

*2 u2

变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形•求椭恻离心

解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图，

变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.

•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕又"b=毎疋

椭圆离心率经典题型

椭圆离心率经典习题

一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。

在椭圆中，a c e =，222

22221a

b a b a a

c a c e -=-===

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2

2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为

2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为

1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为

。 5.若椭圆)0(,122

22>>=+b a b

y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，

则椭圆的离心率为=

e 2

。 6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆1

22=+n

y m x 的的离心率为2

7.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点

分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是

1⎫

⎪⎪⎣⎭

8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=

e 2

。 9.P 是椭圆22a x +22

y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知

,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13-

10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e

的不等式。

一、利用曲线的范围，建立不等关系

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右

顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

小改写：已知椭圆方程

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，

点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值

范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系

已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆

内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

小改写：已知F1、F2是椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满

足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系

已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆

的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

小改写：已知椭圆方程

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端

点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好

椭圆离心率变化

椭圆的离心率随其形状和大小的变化而变化。

椭圆的离心率定义为椭圆离心率的公式为e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴长度。从这个公式中我们可以看出，当c增大时，e也增大；当a增大时，e 减小。

当椭圆变得更扁平（即长轴长度a增大而短轴长度b减小）时，离心率e 会增大。这是因为长轴的增加使得焦点到中心的距离变远，因此需要更大的离心率来保持椭圆形状。

反之，当椭圆变得更圆（即长轴长度a减小而短轴长度b增大）时，离心率e会减小。这是因为短轴的增加使得焦点到中心的距离变近，因此需要的离心率变小。

以上内容仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询专业数学老师获取更全面和准确的信息。

椭圆离心率专题

1．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0

120，则此椭圆的离心率e 为

2．F 1，F 2分别是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，以1OF 为

半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为

3．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为

4．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是

5．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是

6．椭圆22

22x y a b

+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线

与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．

7．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆22

22x y +＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭

圆的离心率为________．

8．已知椭圆122

22=+b

y a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若

BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为。

9．以1F 、2F 为焦点的椭圆22

22x y a b +＝１（0a b >>）上一动点P ，当12F PF ∠最大时

12PF F ∠的正切值为2，则此椭圆离心率e 的大小为。

10．

对于椭圆22221(0,x y a b c a b +=>>=，定义c e a

椭圆曲线中的离心率定值问题的四种模型

摘要

本文讨论了椭圆曲线中的离心率定值问题，并提出了四种模型。通过对这四种模型的介绍和比较，我们可以更好地理解椭圆曲线的

离心率定值问题。

引言

椭圆曲线是数学中一种重要的曲线形式，在密码学和通信领域

有着广泛的应用。离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它描述了曲

线的形状。离心率定值问题旨在找到使得离心率满足特定条件的曲线，其中离心率的取值范围为0到1。

模型一：参数化模型

该模型通过设定一组参数来定值离心率。将这些参数代入椭圆

曲线方程中，可以求解出满足条件的离心率定值。这种方法适用于

特定的离心率取值范围，并需要数值计算的支持。

模型二：基于半长轴和焦距的模型

该模型以椭圆曲线的半长轴和焦距作为参数，通过调整这两个参数的值来实现离心率定值。这种方法简单易懂，可以在不进行复杂计算的情况下找到满足要求的离心率定值。

模型三：基于椭圆面积的模型

该模型利用椭圆的面积和半长轴来确定离心率。通过设定面积和半长轴的取值，可以计算得到满足条件的离心率定值。这种方法相对直观，但需要数值计算的支持。

模型四：基于椭圆周长的模型

该模型以椭圆的周长和半长轴为参数，通过调整这两个参数的值来实现离心率定值。这种方法相对简单，并且可以在不进行复杂计算的情况下找到满足要求的离心率定值。

结论

通过对这四种模型的介绍和比较，我们可以发现每种模型都有其优缺点，适用于不同的场景和要求。在椭圆曲线中的离心率定值问题中，可以根据具体情况选择适合的模型进行计算和研究。这些模型的使用将有助于我们更好地理解和应用椭圆曲线中的离心率定值问题。

求椭圆离心率常用的三种方法

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭

圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类

问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，

侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求

椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.

一、公式法

我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=

a.因此要

求椭圆

+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方

程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.

例1.已知椭圆E:

+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短

轴长的2倍，则E的离心率为_______.

解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，

所以2a=4b，所以

2，

可得e=

本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数

a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、

b、c之间的

关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的

离心率.

例2.已知椭圆C：

+y2b2=1()

a>b>0的右焦点为

F()

2,0，P为椭圆的左顶点，且|

|PF=5，则椭圆C的离心

率为（）.

A.23

B.12

C.25

D.13

解：因为椭圆的右焦点为F()

2,0，所以c=2，

因为P为椭圆的左顶点，

所以|

|PF=a+c=a+2=5，解得a=3，

所以椭圆C的离心率为e=

3.故选A.

我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点

的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问

题的答案.

二、几何性质法

几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在

求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将

椭圆离心率问题

一.椭圆离心率的

1、运用几何图形中线段的几何总义.

基础®n：如图• 0为椭圆的中心，F为优点• A为顶点.交OATB. P、Q在櫛圆上・PD丄L T D.

V I AO I =a, I OF I =c, M⑤：••T AO I I BO I =牛.••有③.

g 椭圆* &皿〉b〉0）的两焦点为Fl、F：.以F用为边作正二角形，若椭圆恰好平分正二角形

的常边•则椭岡的离心率e?

思路：A点在椭圆外•找"b. C的关系应借助椭圆.所以取AF：的屮点B.连接BF：，把己知条件放在椭圆内.构造△F：BF：分析三角形的存边长及关系.

解：V I F1F： I =2c I BF11 =c I BF： I pc c*^c=2a /.e= -^-=萌T

V* Y"

变形1： tfW古P"=2b >0）的两焦点为F「F：.点Mtfm上，使△OPR为正三角形，求椭财

心率？解；逢接 PF ：，则 I OF ： I = I OF J = I OP L ZFxPF ： =90° 图形如上图.0=^3-1

变形2:椭凤忖 &gb 〉。）的两焦点为Fl 、F ： , AB 为椭酗顶点，P 址椭圆上-点•且PF ；丄X 轴,

PF ： "AB,求椭圆离心率？

U ：解 S 7 I PF11 = — I F ： F J =2c I OB I =b I OA I =a a

I PF" b … 厂LT PF ： //AB

IF 旧 | —- 又 TX .•.a：=5r e 妾

椭圆离心率问题

一、椭圆离心率的

1、运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=

②e=

③e=

④e=

⑤e=

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=

∴有③。

题目1：椭圆

=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=

c=2a ∴e=

-1

变形1：椭圆

=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e= -1

变形2: 椭圆

=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？

解：∵｜PF1｜=

｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a

PF2 ∥AB∴

又∵b=

∴a2=5c2 e=

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。

(完整版)椭圆离心率高考练习题

椭圆的离心率专题训练

一．选择题（共29 小题）

1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）

A．B．C．D．

3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若

AF⊥BF，

设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）

A．B．C． D ．

4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）

A． B ．C． D ．

5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，

PF2⊥F1F2，

∠PF1F2=30°，则 C的离心率为（）

A． B ．C．D．

6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心

率 e=（）

A．B．C．D．

7．已知F（1﹣ c，0），F（2 c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）

A．B． C ．D．

8．椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为120°的直线与

椭圆的一个交点为 M，若A． B．2﹣MF1垂直于

x C．2（2

椭圆离心率50道题训练含详解

A． B． C． D．
13．已知椭圆为C的左､右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（）
A． B． C． D．3
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．设椭圆，的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
12．已知是椭圆的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴，若，则该椭圆的离心率是（）
37．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
38．已知点，是椭圆上的两点，且线段恰为的一条直径，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，且直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为____.
A． B． C． D．
7．已知F1，F2分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（）

离心率问题的7种题型15种方法

离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式

题型一椭圆离心率的求值

方法一定义法求离心率

1. 已知椭圆C 14

22=+

y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（） A .

31 B .21 C .22 D .3

2 【解析】 14

222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√2

2 ，选C

2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

，则该椭圆的离心率为( )

A ．

13 B ．12 C ．23 D ．34

【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12

c e a ==，选B

3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .

45 B .35 C .25

D . 1

【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即2

2()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2

5230,5230c ac a e e +-=+-=，选B

4. 椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若

|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为

【解析】椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2

若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=

椭圆离心率问题

椭圆离心率经典题型 使用

椭圆的离心率的问题

离心率问题的7种题型和15种方法

椭圆离心率问题

椭圆离心率经典题型

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

椭圆离心率变化

椭圆离心率专题

椭圆曲线中的离心率定值问题的四种模型

求椭圆离心率常用的三种方法

椭圆离心率问题

椭圆离心率问题

(完整版)椭圆离心率高考练习题

椭圆离心率50道题训练含详解

离心率问题的7种题型15种方法

椭圆离心率经典题型使用