空间几何体体积与表面积ppt课件

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高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积

步骤三
如果计算正确，则可以庆祝问题的解决，并享受数学带来的成就感。
其他的空间几何体常识
名称
圆锥体圆柱体球正方体
特点
底面为圆形，侧面为三角形底面为圆形，侧面为矩形表面积为4πr²，体积为(4πr³)/3 6个面组成，每个面积为a²
小结
知识点
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 解题方法和步骤
高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积 ppt
本课程将带领大家深入理解空间几何体的表面积和体积，掌握重要的公式和概念，并提供多个实例进行演示。
为什么要学习空间几何体的表面积和体积？
1 实际应用广泛
几何体是我们日常生活中常见的物体，如箱子、瓶子、汽车等，熟练掌握空间几何体的表面积和体积可以应用于各种实际计算中。
技能
• 应用公式解决实际问题 • 掌握计算技巧和策略 • 提高自我学习和思考能力
效果
• 成为数学大师 • 提高应对数学竞赛能力 • 在各种实际计算和操作
中表现更加出色
矩形的体积
面积×高：bh
三角形的体积
底面积之和×高的一半：(ah)/2
立体几何体的体积
1
圆柱体的体积
2
பைடு நூலகம்
πr²h
3
球的体积
(4πr³)/3
圆锥体的体积
(πr²h)/3
解题示例：如何计算球的体积？
步骤一
根据题目提供的半径长度，计算球的表面积公式：4πr³/3
步骤二
把计算结果与题目所需体积相比较，如相等则问题解决；如不相等需检查计算过程是否正确。
2 提高数学水平
对于数学专业的学生，掌握空间几何体的表面积和体积是必不可少的，是数学基础中不可或缺的一部分。

空间几何体的表面积与体积

12mm
10mm
练习1
6 25 5
12
； https:///niushi/ 牛市；
来,绿意盎然.可以想象,明年将春色满院.可惜,应了“人面不知何处去,桃花依旧笑春风.”这么一句话,听者心生悲凉.他兀立庭园中,凉风撩起头上细碎の棕色发丝.眼眸深邃,依稀仿佛看到一个满心欢喜の小女人站在田边转着圈,正一脸陶醉地舒展双臂沉浸在美丽の大自然里...没过几天,何玲又带着一个人进村看房子.先前那个说没看中,不要了,问他们什么原因结果对方挂了电筒.不怕,她手上多の是客源.可是,两人进屋不到三分钟,看房子の那个人发疯似の狂奔而出,一路上嘴里嚷嚷那屋里有鬼,把何玲气个半死.隔天又带了几位进村,结果其中两个被抬了出来.连接出事,那些对宅子有几分兴趣の人顿时全部歇了心思.包括余岚和云大少.虽然大家口上说流言属于迷信,但事实胜于雄辩,接二连三有人中招,哪个有钱人吃了熊心豹子胆敢买一栋闹鬼の宅子？钱多扎手の话不如拿去做做善事博个好名声回来.“唉呀,真の是迷信！上回有个十九岁の女生在这里住了一年多,走の时候脸蛋红润活蹦乱跳の！人家也是高校生,还是一个人,你们有两个怕什么？况且对面就是邻居你一喊他们就出来了,都是帅哥哦！所以外边那些讹传你们千万别信.”“知道了知道了,大姐,你不用说了,我们再考虑考虑...”“还考虑什么？过了这村没这店了,哎哎,等等.”两名女生一边往外走,一边窃窃私语：“拍下没有？”“拍了拍了,藏在深山里の鬼屋...嘻嘻,标题不错吧？”“别说了,趁天还早赶紧出去.”“嗯嗯～”看着那两个跑得比兔子还快の姑娘,气得何玲直骂娘猛跺脚.啐,又白跑了一趟...第178部分周定康一直在安心等待何玲の消息,他现在成了打工仔不太自由, 家里负债累累全靠他一个人辛苦承担着.至于儿子の病,现在靠妻子瑞娟の娘家财产在维持.妻子是独女,老丈人夫妇去世之后,所以家产都落在他俩头上.本来可以过得很快活,可惜福无双至.妻儿先后得病,尤其是儿子多灾多难,饶是家里有金山银山也即将被花光.所以,周定康很期待村里の旧屋能卖个好价钱.谁知一等再等,始终等不到何玲の好消息.随着日子一天天过去,他心里开始忐忑不安.前些年洪水多吓跑无数土豪,难得这两年天公作美,趁村里形势大好导致房子行情见涨,铁定能卖个好价钱.之前有人租住时,他经常听说有人想在云岭村买房子,当时蛮心动の,怎么现在连个讲价の客户都没有了呢？万一哪天水位涨了,洪水来了...不,不会の.这天晚上,周定康下班回来又饿又累,妻子瑞娟给他热了饭菜端上来.“这两天何玲来过电筒没有？”他问道.“没有,我给她打了,她说暂时还没人有购买の意向.”瑞娟苦着脸,唉声叹气.周定康见她瘦成纸人似の,心疼之余更多の是心烦.医生说妻子の病不会轻易复发,让她放开胸怀迎接新の人生.她却偏偏钻牛角尖出不来,天天病怏怏の,情绪影响胃口导致越吃越少结果瘦成今天这样.夫妻俩日看夜看,害得他也没了胃口.这些年来,除了在儿子面前强颜欢笑之外,一家人几乎没怎么笑过.他很怕,怕她像儿子那样又熬出新の毛病来.那样の话,眼前住の这栋房子恐怕也不长久.“沫沫呢？睡了？”太早了吧？现在才八点多.“明天周末,她去同学家玩了.对了,这次她死活要去秋游,我看就让她去吧.春游没去她被同学笑话到现在,眼看明年就要上初中了,别让她留下遗憾,家里也不差这点钱.”瑞娟看着丈夫,说话有气无力.呵呵,不差这点钱.“你看着办,别让孩子大手大脚の,如今不比往昔,家里困难个个省着点用...”周定康内心一阵苦涩,家里处处要用钱,每个人都摊开双手问他要钱.只有他一个人在工作,压力山大,原本挺香の饭菜刹时变得味如嚼蜡.吃过饭,他迫不及待地打电筒给何玲问个究竟.“哎唷, 大兄弟,不是我不帮,我带人去看房没十回也有七八回了.”收听那端の何玲很无奈,“每次都有人被吓病.定康,不是我说,你那房子真の是...有点邪门.”“那是谣传！”周定康急了,“姓陆の住了一年多不是好好の吗？”“有人说她本身就是个孤女,命硬,克得住,身边又有四条叩气腾腾の狗护着所以没事.别の人怕是没那福气...”她の话把周定康噎个半死.这叫福气？分明是他晦气好吗？要不是她の怂恿,他家房子也不至于再一次丢空被人说是讲非.“先不说那个,你有没问过那些人到底犯の什么病？如果是因为房子总该有个共同点吧？”他保持理智问.他の问题让何玲稍显迟疑,“呃,问是问过,他们...他们说,好像见到那个啥了...”她还是不敢相信.“什么那个啥？你说清楚啊！”“就是鬼啊！”何玲一急,憋在心里の那句话脱口而出.周定康默了默,“什么鬼？长什么样？”原本の焦急化为冷静.“还能什么样？脸白白眼红红那些.”提起那些东西何玲浑身发冷, 显得有些暴躁,“我就知道这么多,他们不肯多说.我说定康,这事先搁一阵吧.等过了风头我再帮你问问啊！就这样.”然后挂了电筒.黑暗中,周定康の眼神隐隐透出些狠戾之意,左手死死握紧收听,不发一语.他需要钱,太需要了！村里那套房子不值得留恋必须趁现在卖掉,哼,之前有人住の时候, 一个两个眼馋着整天追问他要不要卖.等房子空出来了,又一个两个胆小如鼠吓破胆.早知如此...没有早知,人一旦生起欲.念将无法停止,只能硬着头皮继续走下去...第二天是周末,他亲自去了一趟梅林村の何玲家,仔细询问去看房の人们の突发情况.“详细の我不大清楚,就一个敢说了一下,其余几个吓得提都不敢提.去の时候是大白天...”好猛！何玲神色犹豫地看着周定康,“我建议你最好悄悄请个法师来看看.”呵呵,请法师？周定康笑了笑,在何玲家坐一会便走了.他独自回到云岭村,走进自己从未住过一天の房子里.由庭院进入里屋,挨个房间地看了一遍,姓陆の女孩很爱惜房里の一切,没把它弄得乱七八糟,墙上也没贴海报啥の.不像他女儿の房间贴满了小鲜肉の海报,看得眼晕.对方很爱干净,地板连一片纸屑都没有,多日无人打理到处铺满了灰尘.厨房新净明亮,一如初建时.整栋房子の架构是他和妻子の杰作,可惜未能住上一天.他请过风水先生,请过有名气の道士,请过大能高僧帮自己家人祈福.奈何一个个不幸の消息仍然在发生.夫妻俩の美好初衷成了一场噩梦,至今醒不来.想起躺在医馆里の儿子,他心如刀割.为什么出事の人不是他？他才是一家之主,灾福理应由他承担.儿子还那么小.“爸,妈,如果你们在天有灵,帮帮我,救救你们の孙子...”庭院里,桃树下,一个大男人跪在屋前痛哭流涕,深深忏悔着...一直以来,有不少人劝他放手.他们说男人只要有钱不怕娶不到贤妻,不怕生不出儿子.老实说,他没有外界传の那么伟大,他曾经想过放弃给儿子治疗,只是妻子死活不肯放手.后来他偷偷去医馆做过检查,发现自己不能再生育了.他们夫妻从来不避孕,有了就生,结果生了女儿之后一直怀不上.原以为是妻子の问题,没想到问题出在自己身上,医生说与他の生活、工作习惯有关.以前做生意多应酬,经常吸烟酗酒,休息时间不定.后来妻儿相继病倒,他心中抑郁难纾再无激情可言,又怎会有孩子呢？所以他必须救儿子,在俗世中,绝户可是很恶毒の诅咒.第179部分云岭村の居民生活作息很有规律,中午时分基本上都喜欢睡午觉.至于在哪儿睡就不一定了,有の在河边,有の在山上,有の村里の树荫下纳凉,餐厅の服务生中午也回家休息两个小时.休闲居本身不作宣传,缺少外界有心人士の渲染,他们中午一般没什么生意.在一阵犬吠声中,周定康进来了,腆着脸和两位店主尬聊.“晚上你们家有没动静？”德力正在洗擦盘子,闻之愕然,“没有吧？我睡得早没听到.”瞄一眼擦桌子の陆易,“你习惯晚睡有听见什么吗？”陆易正要摇头,忽然想起一件事来,“哦,前天晚上我是听见一些,”在周定康紧张の注视下, 他说,“好像是一群高校生爬墙进屋探险,被我在楼上喊了一声吓跑了.”“高校生？肯定是灵异社团,我以前也参加过.”德力陷入回忆中,无比怀念自己往日の单纯.“什么灵异社团,是白痴社团吧？幼稚.”陆易颇不屑.“你才幼稚,世上有太多无法用科学解释の怪异现象,将来就要靠这些年轻人の想象力去寻找答案,你别小看人.”德力一本正经道.“是,未来嘛,五十年是未来,一百年也是未来...到时候我们都成土了.”“你现在跟土有区别吗？”两人你一句我一语地辩驳反讽,无视周定康の一脸失望.他原以为休闲居の人住在附近可能听到什么,可惜一无所获.他很想查清楚自己家里到底有什么鬼,为什么看房子の人有事,而何玲和自己却安然无恙？是真有鬼,还是有人在搞鬼？是针对他吗？为了报复？他曾经怀疑是休闲居の人,听何玲说,这些老外跟姓陆の女学生比较熟很有可能在为她出气.国外の科学技术比华夏发达很多,做出一些乡民看不透の吓人手段不奇怪.当然, 他承认自己对不起姓陆の,手段卑劣了一些.但人不为己天诛地灭,他是迫于无奈才那么做の,换成别人站在他の立场也会这么做,这是现实.“对了,你们跟陆小姐联系过吗？她现在在哪儿？之前の事我越想越愧疚,真是对不住她.”男子汉大丈夫,能屈能伸.“事情都过去了,你还提来干什么？” 德力脸上挂着招牌表情,目光似笑非笑,“人家在城里玩得乐不思蜀,住着最豪华の别墅和她の朋友到处去旅游,吃遍各地美食,哪里记得跟我们联系？”俩姑娘洒脱得很,在S市呆了不到两个礼拜就出去游山玩水了,拿着相机走到哪儿,拍到哪儿.人物极少,风景挺好,偶尔一张合照证明她俩正身临其境惹人会心一笑.“可惜少君不在,不然铁定跟着她跑.”陆易笑笑说.“呃,”生怕两人再扯淡,周定康忙插嘴说,“能不能麻烦你们跟她联系一下？就说,我可以便宜些把房子卖给她.你们知道の,我那房子被人在外边传得那么厉害,恐怕只有她相信是假の.”“你拉倒吧.”没见过脸皮这么厚の, 德力忍不住出言讽刺,“换了以前她可能考虑考虑,现在？八辆坦克请她都不来了,你以为你是谁呀？”想撵就撵,想让她回来就回来,以为自己是伊丽莎白二世？被他一通讽刺,周定康顿时面红耳赤,好在早有心理准备仍坐得住.“听少君说她以前有心想买,”还是陆易为人忠厚,不忍心同胞太尴尬,“后来经常被人找麻烦她就打消了念头.别说便宜些,你就算便宜一半她也未必肯要,不信你打她电筒问问.她这人怕麻烦不爱计较,你有话直说就好.”周定康忙替自己辩解,“不是我,我从来没找过她の麻烦.”唯

二、空间几何体的表面积与体积复习课件

考点探究 • 挑战高考
答案： 3
考向瞭望 • 把脉高考
第8章立体几何
双基研习 • 面对高考
5．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是________．
8π 答案： 3
考点探究 • 挑战高考
考点探究 • 挑战高考
考向瞭望 • 把脉高考
第8章立体几何
双基研习 • 面对高考
2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ . 2 1 ∴S△ABC＝ AB· BC 2 1 ＝ × 2×2＝ 2， 2 1 ∴VEABC＝ S△ ABC· EG 3 1 2 1 ＝ × 2× ＝ . 3 2 3
考向瞭望 • 把脉高考
第8章立体几何
双基研习 • 面对高考
解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．
考点探究 • 挑战高考
考向瞭望 • 把脉高考
考向瞭望 • 把脉高考
第8章立体几何
考点探究•挑战高考
考点突破几何体的表面积求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧面展开图的面积．
双基研习 • 面对高考
考点探究 • 挑战高考

7章第二节空间几何体的表面积与体积

人教Ａ版数学
第七章
立体几何
∵△ABC是边长为6的正三角形， 3 ∴AE＝ ×6＝3 3， 2 2 ∴AH＝ AE＝2 3. 3 1 在△ABC中，S△ABC＝ BC· AE 2
人教Ａ版数学
1 ＝ ×6×3 3＝9 3. 2
第七章
立体几何
在Rt△SHA中，SA＝ 15，AH＝2 3， ∴SH＝ SA2－AH2＝ 15－12＝ 3， 1 ∴V正三棱锥＝ S△ABC· SH 3 1 ＝ ×9 3× 3＝9. 3
第七章
立体几何
【活学活用】 4.如图在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2， ∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、 EC向上折起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
人教Ａ版数学
第七章
立体几何
解：由已知条件知，平面图形中AE＝EB＝BC＝CD＝DA ＝DE＝EC＝1. ∴折叠后得到一个如图1所示的正四面体．
第七章
立体几何
一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．【思路点拨】已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高，再根据体积公式求出其体积．【自主解答】如图所示，正三棱锥S－ABC.设H为正三角
形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高．连接AH
并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.
S π
＝2 πS，故圆柱的侧面积是(2 πS)2＝4πS.
答案：A
第七章
立体几何
3．若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( 2 A. 6 3 C. 3
人教Ａ版数学
)
2 B. 3 2 D. 3

苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件

6π [S＝2π×1×2＋2π×12＝6π.]
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合作探究提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积【例 1】正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的表面积．思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3，所以 DD′＝133 3(cm)，又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正四棱锥的斜高．

高中数学：空间几何体的表面积与体积 (12)

锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？
答案：1，100π 2，C 3, 3 3 12 R
-10-
课堂小结
• 1.球的表面积和体积公式。 • 2.与球有关的接、切问题是近几年高考的热
点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题。
-11-
布置作业
• 课本练习 1、2、3。
-12-
则该球的表面积为S=27π。
2
-7-
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________。答案：14π
-8-
已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面
上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC= 2r ,则球
的体积与三棱锥体积之比是（）
解：
V球
4
3
R3 ,V柱
R2
2R
2
R3
2 V球 3V柱
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
S球 S 圆柱侧
-6-
若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________ ？
解：画出球的轴截面可得，球的直径是
正方体的对角线，所以球的半R= 3 3 ，
A.π B.2π
C.3π
D.4π
答案：D
-9-
作业精选巩固提高
• 1.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.
• 2.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）
• A.1倍
B.2倍
C.倍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

河南省太康县第一高级中学人教版高中数学必修二：1.3空间几何体的表面积和体积课件

第十六页，编辑于星期日：十四点五十九分。
小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式来自S 三棱锥＝1 2
ch'
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S
正棱台＝
1（c＋c' 2
)h'
C’=C
S直棱柱＝ch' ch
S圆台侧=π（r1+r2)l
r1=r2
S圆柱侧= 2πrl
第十七页，编辑于星期日：十四点五十九分。
例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别
是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的
侧面积.
分析：关键是求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角梯形
A
O ED
B
第十四页，编辑于星期日：十四点五十九分。
例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4
，高为，2 求3 其侧面展开图扇环所对
第三十八页，编辑于星期日：十四点五十九分。
规律方法总结
5．如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积
1.3 简单几何体的表面积和体积
第一页，编辑于星期日：十四点五十九分。
回忆复习有关概念
1、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 2、正棱柱：直底面是正多边形的棱柱叫正棱柱
3、正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥
4、正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台
例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已知
正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1， BC的中点，AE＝DE.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；

2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积课件(共24张PPT)

分叫作棱台
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.

2 第2讲空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝ π(r ＋r ′)l表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2V ＝43πR 3常用知识拓展1．正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，内切球的半径为r . (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝3a . (2)若球为正方体的内切球，则2r ＝a . (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ′＝2a .2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×以长为a ，宽为b 的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为( )A ．abB ．πabC ．2πabD ．2ab解析：选C.若以长边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πab ，若以短边所在的直线为轴旋转，则S 侧＝2πba .所以S 圆柱侧＝2πab ，故选C.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．(2018·高考天津卷)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为____________．解析：法一：连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22，矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1，故VA 1BB 1D 1D ＝13×1×2×22＝13.法二：连接BD 1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，V A 1BB 1D 1D＝V B A 1DD 1＋V B A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.答案：13(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π. 答案：14π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质量检测(一))某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D. 83【解析】 (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. 【答案】 (1)B (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．1．(2019·湖南五市联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋4 5B ．12＋4 5C ．20＋2 5D ．12＋2 5解析：选A.由三视图知该几何体是一个直三棱柱，底面是直角边分别为4，2的直角三角形，高为2，所以该几何体的表面积是(2＋4＋22＋42)×2＋2×12×2×4＝20＋45，故选A.2．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )A ．1－π4B ．3＋π2C ．2＋π4D ．4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D.空间几何体的体积(多维探究)角度一求简单几何体的体积(1)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________．【解析】 (1)法一(补形法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二(估值法)：由题意，知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．(2)如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC 于点F .由题意知PE ＝PF ＝ 3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH 为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为 2.【答案】 (1)B (2) 2角度二求组合体的体积(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π12＋3 B.π12＋6 C.π3＋3 D.π3＋6【解析】由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示．由题设得，V 四棱柱＝12×(1＋2)×2×1＝3，V 圆锥＝13π⎝⎛⎭⎫122×1＝π12，所以该几何体的体积V＝V 四棱柱＋V 圆锥＝3＋π12.故选A.【答案】 A求空间几何体的体积的常用方法1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________g.解析：长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 1＝6×6×4＝144(cm 3)，而四棱锥O -EFGH 的底面积为矩形BB 1C 1C 的面积的一半，高为AB 长的一半，所以四棱锥O -EFGH 的体积V 2＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)，所以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得几何体的体积V ＝V 1－V 2＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，则几何体的体积为____________．解析：过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°，则V ＝V A1B 1C 1A 2B 2C ＋V C ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. 答案：6球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.【答案】 (1)B (2)B处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．正四棱锥P -ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．12π C ．8πD ．4π解析：选A.设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝12AC＝12AB 2＋BC 2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO ＝P A 2－OA 2＝（22）2－22＝2.又OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π.2．设球O 内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 半径为R ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R ，又正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27直观想象——数学文化与三视图(2019·长春市质量检测(一))《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E -ADHG ＋V 三棱柱EHG -FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B. 【答案】 B本题是数学文化与三视图结合，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．(2019·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.[基础题组练]1．(2019·安徽合肥质检)已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( )A ．5 B. 5 C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πrl ＝20π，设球的半径为R ，则4πR 2＝20π，所以R ＝5，故选B.2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A.设球的半径为R ，则由题意知球被正方体上面截得的圆的半径为4 cm ，球心到截面圆的距离为(R －2)cm ，则R 2＝(R －2)2＋42，解得R ＝5，所以球的体积为4π×533＝500π3cm 3.4．(2019·福建市第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163π C.323π D ．16π解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.5．(2019·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，所以组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝⎛⎭⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.6.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF 的体积为________．解析：三棱锥D 1EDF 的体积即为三棱锥F DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以V D 1EDF ＝V F DD 1E ＝13×12×1＝16.答案：167.(2017·高考江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr 3＝32. 答案：328．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面积＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π. [综合题组练]1．(2019·蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＝ 2.故选B. 2．(2019·福州市质量检测)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C.如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋（3）2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.3．(2019·福建泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸．若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于( )A ．8πB ．18πC ．24πD ．86π解析：选C.设球的半径为R .多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)．两顶点之间的距离为2R ，底面是边长为2R 的正方形，由R 2＋⎝⎛⎭⎫2R 22＝32⇒R 2＝6，故该球的表面积S ＝4πR 2＝24π.选C.4．(2019·辽宁五校协作体模考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．36B ．48C ．64D ．72解析：选B.由几何体的三视图可得几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B.5．(2019·洛阳市第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.6.(应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解：由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PQ 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．故仓库的容积是312 m 3.。

高一数学空间几何体的表面积与体积 ppt

15 cm
15 cm
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取 3.14, 结果精确到1毫升，可用计算器）？解：花盆外壁的表面积：
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
S r 2 rl r (r l )
2r
l
r
圆锥的侧面展开图是扇形
O
(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想象圆台展开图的形状并且画出它吗?
(2)如果圆台的上,下底面半径分别为 r , r ,母线长为l,你能计算出它的表面积吗?
S [( 15 2 15 20 1.5 ) 15 15] ( )2 2 2 2 2
20cm
1000(cm 2 ) 0.1( m 2 )
15 cm
15 cm
涂100个花盆需油漆： 0.1 100 100 1000 (毫升) 答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆．
圆柱 S 2r 2 rl 柱体、锥体、台体的表面积圆台S r2 r 2 rl rl 圆锥 S r rl
2
展开图
各面面积之和
作业:
P28. 习题1.3 A组第1,2题
∵ BC a , SD SB 2 BD 2 a 2 ( )2
S A B D C
SSBC
a 2
3 a 2
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件ppt

连接 AC,BD,交于 O,连接 PO,则 PO⊥底面
1
1
ABCD,OC=2AC=2×3 2 ×
2=3(cm),
又棱长 PC=5 cm,∴OP= 52 -32 =4(cm),
1
∴VP-ABCD=3×18×4=24(cm3).
取 BC 边的中点 E,连接 PE,则 PE 为等腰三角形 PBC 的高,在 Rt△PBE
所以 A1B1=A1O1= 42 -22 =2 3(m),
取 A1B1 的中点为 Q,连接 O1Q,PQ,易得 PQ⊥A1B1.
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
(
27
A． 4
9
B．4
27 3
C． 4
9 3
D． 4
)
【答案】D
1
3 2
【解析】
由题意可得底面正三角形的边长为 3，
所以 V＝3× 4 ×3 ×3
9 3
＝ 4 .故选 D．
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(
A.48
B.12 7
C.84
D.36+12 7
)
答案 C
2
6
解析正四棱锥的底面积为 6×6=36,侧面等腰三角形的高为 52 - 2 =4,则
2
2
所以 A1H= 1
2 - 2
=
1
1
其面积 S1= BD·A1H= ×
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
( 2) -

高考数学空间几何体及其表面积、体积ppt课件

21
2．(多选)下列命题，正确的有( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 √C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直
四棱柱
√D．存在每个面都是直角三角形的四面体
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第八章立体几何与空间向量
22
解析：A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；C 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D 正确，如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形．
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第八章立体几何与空间向量
32
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x 轴的线段平行性不
变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关
系：S
＝直观图
2 4S
原图形．
第八章立体几何与空间向量
11
3．正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为 a，球的半径为 R， (1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.
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第八章立体几何与空间向量
12
常见误区 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．

《空间几何体》课件

02
空间几何体的定义包括多面体、旋转体和组合体等。
空间几何体的分类
1 2
3
多面体
由多个平面围成的立体图形，如长方体、正方体、三棱锥等。
旋转体
由一个平面图形围绕其一条边旋转形成的立体图形，如圆柱、圆锥、圆台等。
组合体
由两个或多个简单几何体组合而成的立体图形，如房屋、机械零件等。
空间几何体的性质
数学建模
教学辅助
在中学数学教学中，通过《空间几何体》ppt课件可以帮助学生更好地理解空间几何体的表面积和体积的计算方法，提高学习效果。
表面积和体积的计算是数学建模的基础，通过解决几何问题可以培养数学思维和解决问题的能力。
04
空间几何体的画法
投影法的基本原理
01
02
03
投影法定义
通过光线将物体投影到平面上，以呈现物体的轮廓和形状。
建筑设计中的应用
建筑设计中的空间几何体应用广泛，如建筑物的外观、内部结构和装饰等。
建筑设计中的空间几何体可以通过与自然环境的融合，实现建筑与环境的和谐统一。
建筑设计中的空间几何体可以创造出独特的视觉效果，增强建筑的艺术性和实用性。
建筑设计中的空间几何体可以通过合理的布局和设计，提高建筑物的空间利用率和使用舒适度。
主视图、俯视图和左视图相互垂直，且主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等。
空间几何体的画法步骤
确定观察角度
选择合适的角度，以便清晰地呈现几何体的特征。
绘制投影线
根据投影法的基本原理，确定投影线的方向和位置。
绘制轮廓线
根据几何体的形状，使用平滑的曲线或直线绘制轮廓线。
05
空间几何体的实际应用

第二节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．[知识排查·微点淘金]知识点1 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l[微拓展] 圆台、圆柱、圆锥之间的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝rS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 知识点2 空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋ S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[微拓展]柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：V 柱体＝Sh ――→S ′＝SV 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 常用结论几个与球有关的切、接问题的常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高的乘积．(×) (2)球的体积之比等于半径比的平方．(×) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√) (4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .(√) 2．(链接教材必修2 P 27T 1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm解析：选B.S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2.3．(链接教材必修2P 28A 组T 3)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比为．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ·12b ·12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. 答案：1∶474．(忘记分类讨论)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为．解析：分两种情况：①以长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，所以S底＝4π，S侧＝6π·4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3，所以S底＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．答案：6π(4π＋3)或8π(3π＋1)5．(对组合体不能合理分割)如图所示，由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．解析：设圆柱底面半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由题中三视图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋（23）2＝4，S表＝πr2＋ch＋12cl＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：28π一、基础探究点——空间几何体的表(侧)面积(题组练透)1．(2021·新高考卷Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．22C．4D．4 2解析：选B由题意知圆锥的底面周长为22π.设圆锥的母线长为l，则πl＝22π，即l＝2 2.故选B.2．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．6＋4 2B．4＋4 2C ．6＋2 3D ．4＋2 3解析：选C 由三视图还原几何体知，该几何体为如图所示的三棱锥P -ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AP ＝2，故其表面积S ＝⎝⎛⎭⎫12×2×2×3＋12×(22)2×sin 60°＝6＋2 3.3．如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为．解析：设正四棱柱的底面边长为m ，则4(42－m 2)＝60，解得m ＝1，则该几何体的表面积为42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.答案：1104．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．解析：设圆锥的高为h ，母线长为l ，则圆锥的体积V ＝13×π·62·h ＝30π，解得h ＝52.所以l ＝r 2＋h 2＝62＋⎝⎛⎭⎫522＝132，故圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π·6×132＝39π.答案：39π求空间几何体表面积时应注意(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．二、综合探究点——空间几何体的体积(多向思维)[典例剖析]思维点1直接利用公式求体积问题[例1](1)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为．解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝OQ2－O′Q2＝52－42＝3. 据此可得圆台的体积V＝1π×3×(52＋5×4＋42)＝61 π.3答案：61π对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解. 要注意准确记忆基本体积公式．思维点2割补法求体积问题[例2]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为()A．12 000立方尺B．11 000立方尺C．10 000立方尺D．9000立方尺解析：由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V 1＝12×3×2×2＝6，四棱锥的体积V 2＝13×1×3×2＝2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V ＝V 1＋2V 2＝10立方丈＝10 000立方尺．故选C ．答案：C割补法求体积的解题思路首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．思维点3 等积转换法求体积[例3] 如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1ABC 1的体积为( )A ．312 B ．34 C ．612D ．64解析：易知三棱锥B 1ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，又三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 答案：A等积转化法求体积的解题思路选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换．[学会用活]1．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E -BCD 的体积是( )A ．3B ．4C ．6D ．12解析：选B 因为S △BCD ＝12S 四边形ABCD ，CE ＝23CC 1，VABCD A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ·CC 1＝36，所以V E BCD ＝13S △BCD ·CE ＝13×12S 四边形ABCD ·23CC 1＝19×36＝4.故选B.2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：选B 解法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π·32×4＋π·32×6×12＝63π.故选B.解法二：(估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π·32×10＝90π，∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.3．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4，2，3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C ．三、应用探究点——与球有关的切、接问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 几何体的外接球问题[例4] 设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：由等边△ABC 的面积为93可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B.答案：B [拓展变式][变条件、变结论]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．解：将直三棱柱补形为长方体ABEC -A ′B ′E ′C ′(图略)，则球O 是长方体ABEC -A ′B ′E ′C ′的外接球，∴体对角线BC ′的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13，故S 球＝4πR 2＝169π.处理“相接”问题，要抓住空间几何体“外接”的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．思维点2 几何体的内切球问题[例5] 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．解析：解法一：如图，在圆锥的轴截面ABC 中，CD ⊥AB ，BD ＝1，BC ＝3，圆O 内切于△ABC ，E 为切点，连接OE ，则OE ⊥B C ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC 2－BD 2＝2 2.易知BE ＝BD ＝1，则CE ＝2.设圆锥的内切球半径为R ，则OC ＝22－R ，在Rt △COE 中，OC 2－OE 2＝CE 2，即(22－R )2－R 2＝4，所以R ＝22，圆锥内半径最大的球的体积为43πR 3＝23π. 解法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC ，其中AC ＝BC ＝3，AB ＝2，CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中，CD ＝BC 2－BD 2＝22，则S △ABC ＝2 2.设△ABC 的内切圆O 的半径为R ，则R ＝2·S △ABC 3＋3＋2＝22，所以圆锥内半径最大的球的体积为43πR 3＝23π. 答案：23π处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．[学会用活]4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球的表面积为．解析：因为长方体的外接球O 的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，所以长方体的外接球O 的直径为4＋4＋1＝3，故长方体的外接球O 的半径为r ＝32，所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝9π.答案：9π5．已知正四面体P -ABC 的表面积为S 1，此四面体的内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝．解析：设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 答案：63π限时规范训练基础夯实练1．(2021·四川乐至中学月考)已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )A ．33π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选B 由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，即圆锥的底面圆的半径为r ＝1，母线长为l ＝2，所以该圆锥的侧面积为S ＝πrl ＝π·1×2＝2π. 故选B.2．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π解析：选C 由题意可知旋转后的几何体如图所示，直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·12×2－13·π·12×1＝53π，故选C ．3．(2021·云南昆明月考)某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．533C ．433D ．233解析：选C 由三视图还原几何体得，原几何体是一个四棱锥E -ABCD ，如图所示，四棱锥的高为3，底面是边长为2的正方形，因此体积为13×2×2×3＝433，故选C ． 4. 《九章算术》中给出了一个圆锥体积近似计算公式V ≈l 2·h36，其中l 为底面周长，它实际上是将圆锥体积中圆周率近似取为3得到的，那么若圆锥体积近似公式为V ≈l 2·275·h ，则相当于圆周率近似取值为( )A ．227B ．217C ．238D ．258解析：选D 设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则l ＝2πr ，13πr 2h ＝275(2πr )2 h ，所以π＝258. 故选D.5．(2021·四川石室中学开学考试)某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，且S 1＝λS 2，则λ＝( )A ．1B ．23C ．43D ．32解析：选D 由已知可得，此柱体为底面直径与高相等的圆柱，设底面圆的半径为r ，则高为2r ，则S 1＝2πr 2＋2πr ·(2r )＝6πr 2，又此柱体内切球的半径为r ，则S 2＝4πr 2, 则λ＝S 1S 2＝6πr 24πr 2＝32，故选D. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π＋43B ．2π＋4C ．3π＋4D ．4π＋43解析：选A 由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，∴该几何体的体积为12π·12×2＋13×22×1＝π＋43.故选A ．7．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆锥的表面积为．解析：因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设其边长为a ，则13×32a ＝1，a ＝23，所以圆锥的底面圆半径为3，从而利用圆锥的表面积公式可得S ＝πrl ＋πr 2＝π·3×23＋π·(3)2＝9π.答案：9π8．(2021·陕西渭南月考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体称为正八面体，则图中正八面体体积为．若图中正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为．解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的对角线是正方体的棱长2，故正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×(2)2×1＝43.由图中几何关系知正八面体的外接球，即正方体的内切球，故半径R ＝1，所以体积V ＝43π·13＝43π.答案：43 43π9．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积．解析：由三视图知，该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为43π·13＋13π·22×7＝323π，设制成的大铁球半径为R ，则43πR 3＝323π，解得R ＝2，故大铁球的表面积为4πR 2＝16π.答案：16π综合提升练10．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年)．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸(注：1尺＝10寸)时，平地降雨量是( )A ．9寸B ．7寸C ．8寸D ．3寸解析：选D 由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为12×(14＋6)＝10寸，则盆中水的体积为13π·9×(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平地降雨量为588ππ·142＝3(寸)，故选D.11．(2021·四川成都月考)一块边长为10 cm 的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积为( )A ．2894πB ．28916πC ．28948πD ．28964π解析：选A 由题设知：底面ABCD 的外接圆半径为r ＝32，且EO ＝4，令正四棱锥外接球的半径为R ，且外接球的球心必在直线EO 上，∴(R －EO )2＋r 2＝R 2，即R ＝174.∴正四棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝289π4.故选A ．12．(2021·安徽合肥一中模拟)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作一个机械零件模型，该零件模型是由两个相同的正四棱柱镶嵌而成的几何体，其三视图如图所示．这个几何体的体积为( )A ．16B ．403C ．16－423D ．163解析：选B 由三视图还原几何体如图所示，两个四棱柱的体积均为V 1＝12×2×2×4＝8，中间重复的部分为两个小正四棱锥，其体积为2V 2＝13×2×2×2＝83，故该几何体体积为V ＝16－83＝403，故选B.13．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的倍．解析：设圆柱的高为h ，底面半径为r ，圆柱的外接球的半径为R ，则R 2＝⎝⎛⎭⎫h 22＋r 2. ∵母线长l ＝2r ，∴圆锥的高为3r ，∴圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2，∴4πR 2＝4π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫h 22＋r 2＝6×2πr 2，∴h 24＋r 2＝3r 2，整理得h 2＝8r 2，∴hr ＝2 2.答案：2 214．某市民广场有一批球形路障球(如图1所示). 现公园管理处响应市民要求，决定将每个路障球改造成方便市民歇脚的立方八面体石凳(如图2所示). 其中立方八面体有24条棱、12个顶点、14个面(6个正方形、8个正三角形)，它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．经过测量，这批球形路障球每个直径为60 cm ，若每个路障球为改造后所得的立方八面体的外接球，则每个改造后的立方八面体表面积为 cm 2.解析：由题意知，立方八面体表面有8个正三角形，再加上6个小正方形，且正方形边长与正三角形边长相等，路障球为立方八面体的外接球. 设立方八面体的棱长为a ，则外接球直径d ＝2a 2＋2a 2＝2a ＝60，则a ＝30.立方八面体表面积S ＝6a 2＋8×34a 2＝5400＋1800 3.答案：5400＋1800 315．如图1，在一个正方形S 1S 2S 3S 4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形．将四个等边三角形折起来，使S 1，S 2，S 3，S 4重合于点S ，且折叠后的四棱锥S -ABCD 的外接球的表面积是16 π(如图2)，则四棱锥的体积是．解析：在题图2中，连接AC ，BD 交于点O ，连接OS ，如图，因为SD ＝SB ＝CD ，BD ＝2CD ，所以SD ⊥SB ，故OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OS ，则O 是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设棱长为x ，则外接球的半径是OA ＝22x ，所以4π⎝⎛⎭⎫22x 2＝16π，x ＝2 2.因此SO ＝OA ＝22x ＝2.故四棱锥S -ABCD 的体积是13·x 2·SO＝13×(22)2×2＝163. 答案：163创新应用练16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )A ．2B ．4C ．26D ．4 6解析：选B 设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23，根据截面圆的周长可得4π＝2πr ，得r ＝2，故由题意知R 2＝r 2＋(23)2，即R 2＝22＋(23)2＝16，所以R ＝4，故选B.17．(2021·安徽黄山二模)棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为( )A ．32＋22π3B ．36＋4π3C ．44＋13π3D ．12＋12π解析：选A 在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为8⎣⎡⎦⎤13－18⎝⎛⎭⎫4π3·13＝8－4π3，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×2的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为12×⎣⎡⎦⎤1×1×2－14（π·12）×2＝24－6π.其他空间小球均能到达．故小球不能到达的空间体积为⎝⎛⎭⎫8－43π＋24－6π＝32－223 π.∴小球可以经过的空间的体积V ＝43－⎝⎛⎭⎫12－π4·12×2×12－⎝⎛⎭⎫8－43 π＝32＋22π3.故选A ．。

1、3 空间几何体的表面积与体积

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例1、已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四面体S ABC (如下图), 求它的表面积.
S
A B D C
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圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么圆柱 r 2，侧面积为 2rl 。因此圆柱的的底面积为表面积为
S 2r 2rl 2r (r l )
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1
C1
(2 R) 2 a 2 ( 2a) 2 , 得：R S 4R 2 3a 2
1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观点. 3.二个公式
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'2 2 '
2Байду номын сангаас `
O`
2r
O
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例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 cm, 盆底 20 直径为 cm, 底部渗水圆孔直径为 .5cm, 盆壁长 15 1 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(取 3.14, 结果精确到 cm) ? 1
10cm
15cm
7.5cm
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第二步：求近似和
S i
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件

在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝12A1B1＝3
cm，OE＝1AB＝5 2
cm，
∴O1O＝ 142 -5-32 ＝8 3 (cm).
故该正四棱台的体积为 V＝1×8 3
1568
3 ×(62＋102＋6×10)＝ 3
3
(cm3).
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1.等积变换法
如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
故侧棱长即为直棱柱的高.
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问题5 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
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课本P 121-122
祖暅[gèng]原理 “幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598 年--1647年）提出上述结论.
(Sh
(S
S'
)h1
)
S' h S S'
1 (Sh (S S' ) S' h) 1 h(S (S S ' ) S'( S S')) 1 (S
3
S S' 3
S S'