2018年秋九年级数学上册第3章图形的相似3.5相似三角形的应用同步练习(新版)湘教版
初中数学湘教版九年级上册第3章 图形的相似3.5 相似三角形的应用-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48 mm．【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm，AK＝(80﹣x) mm，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48 mm．2.【答题】如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（）A. 32米B. 米C. 36米D. 米【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA. ∴，即，∴MN＝32（m），∴楼房MN的高度为32m．选A.3.【答题】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，选A.4.【答题】如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）m.A. 2B. 2C.D. 2【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6 m，∴AB（m），∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF AB（m）．选C．5.【答题】如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A. 5mB. 6mC. 125mD. 4m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.7 m，AN＝25 m，BC＝0.14 m，∴EF5（m）．选A．6.【答题】如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是（）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】连接AD、BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴，∵A，D两个端点之间的距离为10 cm，∴BC＝15 cm，选C．7.【答题】如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（）A. 60mB. 50mC. 40mD. 30m【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BF，ED⊥BF，∴AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝40，选C．8.【答题】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为______米．【答案】7【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AC＝7（米），故答案为7．9.【答题】如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE10米远的A处观察广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为______米．【答案】2.5【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】作BF⊥OE于点F交CD于点G，根据题意得：AB＝CG＝OF＝1.5米，BF＝10米，BG＝5米，DG＝CD﹣CG＝2﹣1.5＝0.5米，∵DG∥EF，∴，∴，解得EF＝1，∴EO＝EF+OF＝1+1.5＝2.5（米），故答案为2.5．10.【答题】如图，小亮要测量一座钟塔的高度CD，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记E，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，小亮的眼睛离地面的高度AB＝1.6 m，BE＝1.4 m，DE＝14.7 m，则钟塔的高度CD为______m．【答案】16.8【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝16.8 m，故答案为16.8．11.【答题】如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是______米．【答案】8【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，∠CPD＝90°，QC＝4 m，QD＝16 m，∵PQ⊥CD，∴∠PQC＝90°，∴∠C+∠QPC＝90°，而∠C+∠D＝90°，∴∠QPC＝∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴，即，∴PQ＝8，即旗杆的高度为8 m．故答案为8．12.【题文】某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32 m的点C处（即AC＝32 m），然后沿直线AC 后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5 m，CD＝3 m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）【答案】16 m．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠ECD＝∠BCA，又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，∴△ECD∽△BCA，∴，∵DE＝1.5 m，CD＝3 m，AC＝32 m，∴，解得AB＝16，答：旗杆AB的高度为16 m．13.【题文】“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【答案】9.6米．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即，解得x＝6.6.∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．14.【答题】如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）A. 1.2mB. 1.3mC. 1.4mD. 1.5m【答案】A【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得BC＝3，则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴，∴，解得AG＝1.2（m），选A．15.【答题】如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，∴，即，∴CD＝6cm．选C．16.【答题】如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】D【解答】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC•AB•BC•AC•BP，∴BP．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则，解得x，选D．17.【答题】《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C 往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A. 360步B. 270步C. 180步D. 90步【答案】A【解答】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．选A．18.【答题】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A. 4米B. 4.5米C. 5米D. 5.5米【答案】D【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，即，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．选D．19.【答题】如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A. 4mB. mC. 5mD. m【答案】B【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴，∴，解得MH．选B．20.【答题】用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压______cm．【答案】32【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知△APM∽△BPN；∴，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．故答案为32．。
湘教版九年级数学上册第三章3.5：相似三角形的应用 同步练习
初中数学湘教版九年级上册第三章3.5相似三角形的应用同步练习一、选择题1.如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC=2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE=20m，则A，B两点间的距离是()A. 60mB. 50mC. 40mD. 30m2.如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为()A. 67B. 3037C. 127D. 60373.如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB=BC，横梁EF//AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD=4m，横梁AC=12m，则支架DF长为()A. 2√10B. 2√5C. √13D. 2√134.学校门口的栏杆如下图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A. 0.2mB. 0.3mC. 0.4mD. 0.5m5.如图，身高为1.6m的小芳测量校杆的高度，当她站在C，她头的影子正好与杆顶端的影子重合，并得AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是()A. 6.4mB. 7.0mC. 8.0mD. 9.0m6.如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB=8m，CD=12m，则点M离地面的高度MH为()A. 4mB. 245m C. 5m D. 163m7.如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B.已知小颖的眼睛D离地面的高度CD=1.6m，她离镜子的水平距离CE=1.2m，镜子E离旗杆的底部A 处的距离AE=3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为()A. 2.7mB. 3.6mC. 4.8mD. 6.4m8.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A. 0.2mB. 0.3mC. 0.4mD. 0.5m9.有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为()A. 67B. 3037C. 127D. 603710.小明利用影子长度测量学校水塔高度，小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时水塔在地面上的影长为40米，则水塔的高为()A. 60米B. 40米C. 30米D. 25米二、填空题11.两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是______．12.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为______cm．13.如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD=______米．14.在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是_____________m．三、解答题15.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？16.某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的项端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．17.如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．(1)求路灯AB的高度．(2)请在图1中画出小亮EF的位置，并求出此时的影长．(3)如果小亮继续往前走(如图2)，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵AB⊥BF，ED⊥BF，∴AB//DE，∴△ABC∽△EDC，∴ABDE =BCCD，即AB20=21，解得：AB=40，故选：C．根据相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC∽△EDC解答．2.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BP，∴BP=AB⋅BCAC =3×45=125．∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC =BQBP．设DE=x，则有：x5=125−x125，解得x=6037，故选：D．过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．3.【答案】C【解析】解：∵AB=BC，BD⊥EF，∴AD=DC=6m，∴AB=√AD2+BD2=√62+42=2√13(m)，∵EF//AC，∴△BEF∽△BAC，∴BEAB =BFBC，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF=12AB=√13(m)．故选：C．直接利用等腰三角形的性质得出AD=DC，再利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形中位线的性质得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确得出AB的长是解题关键．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.由∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，据此得AOCO =ABCD，将已知数据代入即可求解．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则AOCO =ABCD，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴41=1.6CD，解得：CD=0.4m．故选C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列方程，建立适当数学模型来解决问题．因人和旗杆均垂直于地面所以构成三角形，利用相似比解题即可．【解答】解：设旗杆高度为h，由题意：1.6ℎ=22+8，ℎ=8m，故选：C．6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH//AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解答】解：∵AB//CD，∴△ABM∽△DCM，∴BHHC =ABCD=812=23，(相似三角形对应高的比等于相似比)，∵MH//AB，∴△MCH∽△ACB，∴MHAB =CHBC=35，∴MH8=35，解得MH=245．故选：B．7.【答案】C【解析】解：由题意可得：AE=1.5m，CE=1.2m，DC=1.6m，∵△ABC∽△EDC，∴DCAB =CEAE，即1.6AB =1.23.6，解得：AB=4.8m，故选：C．根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.由，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，据此得AOCO =ABCD，将已知数据代入即可求解．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则AOCO =ABCD，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴41=1.6CD，解得：CD=0.4m．故选C．9.【答案】D【解析】【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BP，∴BP=AB⋅BCAC =3×45=125．∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC =BQBP．设DE=x，则有：x5=125−x125，解得x=6037，故选：D．10.【答案】C【解析】解：根据题意得：1.5：2=水塔高：40，∴水塔高为30米．答案：水塔高为30米，故选：C．利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．11.【答案】25cm或105cm【解析】解：①如果将两根细木条重叠摆放，则130÷2−80÷2=25cm；②如果将两根细木条相接摆放，则130÷2+80÷2=105cm．分两种情况讨论：①将两根细木条重叠摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的差；②将两根细木条相接摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的和．本题要注意分成重叠和相接两种摆放方法分类讨论．根据题意准确的列出式子是解题的关键．12.【答案】100【解析】解：∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC//BD．∴∠ACB=∠DBC．∵∠A=∠BCD=90°，∴△ABC∽△CDB．∴ACBC =BCBD，∴BC2=AC⋅BD，在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=102+302=1000，∴10BD=1000．∴BD=100(cm)．故答案为100．根据题意可证明出△ABC∽△CDB，利用相似三角形的性质解答．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出BD的长度．13.【答案】8【解析】解：根据题意得∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ABCD =BPPD，即1.2CD=1.812，∴CD=8(m)．故答案为8．根据入射角与反射角的关系得到∠APB=∠CPD，则可证明Rt△ABP∽Rt△CDP，然后利用相似比可计算出CD．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度(测量距离)；借助标杆或直尺测量物体的高度．14.【答案】18【解析】【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．【解答】解：∵，∴1.52.5=旗杆的高度30，解得旗杆的高度=1.52.5×30=18m．故答案为18．15.【答案】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC//EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK= 80−x，∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴EFBC =AKAD，∴x120=80−x80，解得：x=48．答：正方形零件的边长为48mm．【解析】根据正方形的对边平行得到BC//EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80−x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．16.【答案】解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴GHBA =FGFA，DCBA=ECEA，∵DC=HG，∴FGFA =ECEA，∴659+CA =44+AC，∴CA=106(米)，∵DCBA =ECEA，∴2BA =44+106，∴AB=55(米)，答：大雁塔的高度AB为55米．【解析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得GHBA =FGFA，DCBA=ECEA，因为DC=HG，推出FGFA =ECEA，列出方程求出CA=106(米)，由DCBA=ECEA，可得2BA=44+106，由此即可解决问题．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵BO=20米，OD=17米，∴BD=BO−OD=20−17=3米，∵DG=1米，∴BG=BD+DG=3+1=4米，∵AB、CD都与地面BO垂直，∴△ABG∽△CDG，∴CDAB =DGBG，即1.6AB =14，解得AB=6.4米；(2)小亮EF的位置如图1所示，此时，∵△ABO∽△EFO，∴EFAB =FOBO，即1.66.4=FO20，解得FO=5米，即此时影长5米；(3)如图2，设影子在墙上的落点为L，过M作HK//BO交AB于H，交PO于K，∵小亮距离墙2米，∴ON=MK=2米，HM=20−2=18米，∵AB=6.4米，MN=1.6米，∴AH=6.4−1.6=4.8米，∵△AHM∽△LKM，∴KLAH =MKHM，即KL4.8=218，解得KL=815米，∴在墙上的影子为1.6−815=1615米．【解析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．(1)求出BD的长，再求出BG的长，然后根据△ABG和△CDG相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；(2)根据△ABO和△EFO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到影长FO；(3)设影子在墙上的落点为L，过M作HK//BO交AB于H，交PO于K，求出AH、HM 的长，然后根据△AHM和△LKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出KL，再根据MN的长度列式计算即可得解．。
2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.5 相似三角形的应用同步练习 (新版)湘教版
3.5 相似三角形的应用知识点 1 利用相似三角形测量宽度1．如图3－5－1，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE的长是( )A.203cm B.193cm C．7 cm D．6 cm图3－5－1图3－5－22．如图3－5－2，为估算某条河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB为( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m3．教材习题3.5第3题变式如图3－5－3，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在河的北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度．图3－5－3知识点 2 利用相似三角形测量高度(深度)4．如图3－5－4，某学生用长为2.8 m的竹竿AB测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点O处，此时竹竿与这一点的距离OB＝8 m，与旗杆的距离BD＝22 m，则旗杆CD的高为( )A．105 m B．77 m C．10.5 m D．7.7 m图3－5－4图3－5－55．2017·眉山“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图3－5－5获得，则井深为( )A．1.25尺 B．57.5尺C．6.25尺 D．56.5尺6．如图3－5－6是小孔成像实验，火焰AC通过小孔O照射到屏幕上，形成倒立的实像，像长BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝10 cm，求火焰AC的长．图3－5－67．如图3－5－7(示意图)，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB.图3－5－78．2017·绵阳为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C 的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图3－5－8所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于( ) A．10 m B．12 m C．12.4 m D．12.32 m图3－5－89．如图3－5－9所示，某一时刻，一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上．此时，小明竖起1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地面上的影子长为3米，墙壁上的影子CD高为2米．小明利用这些数据很快算出了电线杆AB的高为( )A．5米 B．6米 C．7米 D．8米10．如图3－5－10(示意图)，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB ＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的距离．图3－5－1011．教材复习题第17题变式如图3－5－11(示意图)，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔52 m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4 m 到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，求建筑物的高．图3－5－1112．某校九年级(1)班的一节数学活动课安排了测量操场上旗杆AB 的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图3－5－12(示意图)所示，甲组测得图中BO ＝20米，OD ＝3.4米，CD ＝1.7米；乙组测得图中CD ＝1.5米，同一时刻影长FD ＝0.9米，EB ＝6米；丙组测得图中EF∥AB，FH∥BD，BD ＝30米，EF ＝0.2米，人的臂长(FH)为0.6米．请你任选一种方案，利用试验数据求出该校旗杆的高度．图3－5－121．A [解析] ∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE ∶AB ＝CD ∶AC ，∴DE ∶10＝40∶60，解得DE ＝203(cm)，∴小玻璃管口径DE 的长是203cm.故选A.2．B [解析] ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°. 又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△BAE ∽△CDE ，∴AB CD ＝BE CE.∵BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，∴AB 20＝2010，解得AB ＝40(m)． 故选B.3．解：过点P 作PF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，如图所示．设河宽为x 米． ∵AB ∥CD ，∴∠PDC ＝∠PBF ，∠PCD ＝∠PAB ， ∴△PDC ∽△PBA ，∴PF PE ＝ABCD， ∴15＋x 15＝ABCD. 依题意知CD ＝25米，AB ＝50米， ∴15＋x 15＝5025，解得x ＝15. 答：河的宽度为15米．4．C [解析] ∵AB ⊥OD ，CD ⊥OD ，∴AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OB OD ＝AB CD. 若设旗杆的高为x m ，则88＋22＝2.8x，解得x ＝10.5.故选C.5．B [解析] 依题意有△ABF ∽△ADE ，∴AB ∶AD ＝BF ∶DE ， 即5∶AD ＝0.4∶5，解得AD ＝62.5，∴BD ＝AD －AB ＝62.5－5＝57.5(尺)．故选B. 6．解：∵AC ∥BD ，∴△OBD ∽△OAC ，∴BD AC ＝OB OA ，即2AC ＝1060， ∴AC ＝12(cm)．答：火焰AC 的长为12 cm.7．解：∵∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ， ∴△DEF ∽△DCB ，∴DE EF ＝CD BC ，即4020＝8BC， 解得BC ＝4(m)． ∵AC ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5(m)，答：树高AB 为5.5 m.8．B [解析] 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ，△ABC ∽△EDC ，则AB ED ＝BCDC，即1.5DE ＝0.54，解得DE ＝12(m)．故选B. 9． D [解析] 延长AC 交BD 的延长线于点E ，易知△CDE ∽△PQR ，∴CD PQ ＝DE QR ，即21＝DE 0.5， ∴DE ＝1(米)，∴BE ＝3＋1＝4(米)． 又易知△ABE ∽△PQR ，∴AB PQ ＝BE QR ，即AB 1＝40.5， ∴AB ＝8(米)． 10．连接MN ， ∵AC AM ＝301000＝3100，AB AN ＝541800＝3100，∴AC AM ＝AB AN.又∵∠BAC ＝∠NAM ， ∴△BAC ∽△NAM ， ∴BC MN ＝3100，即45MN ＝3100，∴MN ＝1500(米)． 答：M ，N 两点之间的距离为1500米． 11．解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FHFH ＋DF ＋BD.∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝52 m ，FH ＝4 m ， ∴2AB ＝22＋BD ， 2AB ＝44＋52＋BD ， ∴22＋BD ＝44＋52＋BD ， 解得BD ＝52(m)， ∴2AB ＝22＋52， 解得AB ＝54(m)．答：建筑物的高为54 m.12．解：选择甲组方案计算： 在△ABO 和△CDO 中，因为∠ABO ＝∠CDO ＝90°，∠AOB ＝∠COD ， 所以△ABO ∽△CDO ， 所以AB CD ＝BO OD ，所以AB ＝BO ·CDOD.又BO ＝20米，OD ＝3.4米，CD ＝1.7米， 所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米． 选择乙组方案计算：在△ABE 和△CDF 中，因为∠ABE ＝∠CDF ＝90°，∠AEB ＝∠CFD ， 所以△ABE ∽△CDF ，所以AB CD ＝EBFD. 又CD ＝1.5米，FD ＝0.9米，EB ＝6米， 所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米． 选择丙组方案计算：由FH ∥BD ，可得△CFH ∽△CBD ， 所以CF CB ＝FHBD.由EF ∥AB ，可得△CFE ∽△CBA ， 所以CF CB ＝EF AB ，所以FH BD ＝EFAB.又BD ＝30米，EF ＝0.2米，FH ＝0.6米， 所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米．。
九年级数学上册第3章图形的相似3.5相似三角形的应用作业课件新版湘教版
14．(2019·荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上 A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放 到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C， D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.
5．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2 m．测得AB
＝1.6 m．BC＝18.4 m．则建筑物的高CD＝.4 m D．20 m
6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置 DC，已知栏杆AB的长为3.5 m，OA的长为3 m，C点到AB的距离为0.3 m，支
使 OD＝13 BO.测得 C，D 间距离为 30 米，则 A，B 两地之间的距离为(D )
A．30 米 B．45 米 C．60 米 D．90 米
3．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC，BC，在AC 上取点E，使AE＝3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF＝6 m，则AB的长为 ___2_4_m__．
10．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点 P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD
＝18米，那么该古城墙的高度是( C )
A．6米 B．8米 C．12米 D．24米
1.5 m，CD＝8 m，则树高AB是( D )
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
8．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平 行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，请你
初中数学湘教版九年级上册第3章 图形的相似3.5 相似三角形的应用-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是______毫米．【答案】【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CA＝DE：AB，∴20：60＝DE：10，∴DE毫米，∴小管口径DE的长是毫米．故答案为.2.【答题】如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是______米．【答案】54【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴，∵CD＝DG＝EF＝2m，DF＝52m，FH＝4m，∴，∴，解得BD＝52，∴，解得AB＝54，即建筑物的高是54m．故答案为54．3.【答题】如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC 与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为______cm．【答案】100【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC∥BD．∴∠ACB＝∠DBC．∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△CDB．∴，∴BC2＝AC•BD，在Rt△ABC中，BC2＝AC2+AB2＝102+302＝1000，∴10BD＝1000．∴BD＝100（cm）．故答案为100．4.【题文】如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE ＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．【答案】4 m.【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE＝90°，∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°，∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，设AB＝EB＝x m，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴，∴，解得x＝4．经检验：x＝4是原方程的解．答：围墙AB的高度是4m．5.【题文】如图，要从一块Rt△ABC的白铁皮零料上截出一块矩形EFGH白铁皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的长与宽的比为2：1，且较长边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，所截矩形的长和宽各是多少？【答案】矩形的长为cm，宽为cm．【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】如图，过点A作AN⊥BC交HF于点M，交BC于点N.∵∠BAC＝90°，∴∠BNA＝∠BAC，BC20（cm）.又∵∠B＝∠B，∴△ABN∽△CBA，∴，∴AN（cm）.∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥HG，∴∠AHF＝∠B，∠AFM＝∠C，∴△AHF∽△ABC，∴.设EF＝x，则MN＝x，由截出的矩形的长与宽的比为2：1可知HF＝2x，，解得x，∴2x.答：截得的矩形的长为cm，宽为cm．6.【答题】如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为______米．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的应用.【解答】根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．∴小明的影长为5米．7.【答题】如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、在一条直线上，且直线与河垂直，在过点且与垂直的直线上选择适当的点，与过点且与垂直的直线的交点为，如果，，，则荆河的宽度为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的对应边的比相等求出PQ的长度.由题意可知：QR∥ST，∴△PQR∽△PST，由相似三角形的性质可知，列出方程即可求出PQ的长度．【解答】由题意可知：QR∥ST，∴△PQR∽△PST，∴.设PQ=x，∴，解得x=120.故PQ=120m.选B．8.【答题】数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量这棵树的影长为米，则树高为______米．【答案】4【分析】本题考查了相似三角形的运用；熟记同一时刻的物高与影长成比例是解答此题的关键．设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．【解答】设这棵树的高度是x米，根据题意得1：0.8=x：3.2，解得x=4；即这棵树的高度为4米．故答案为4．9.【答题】如图，小明用2m长的标杆测量一棵树的高度．根据图示条件，树高为______m．【答案】7【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可．【解答】这棵树高是x米，2：6=x：（6+15），6x=21×2，x=7．故答案是7．10.【题文】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．【答案】90m.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可．【解答】根据题意得出QR∥ST，则△PQR∽△PST，故，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴，解得PQ=90（m），∴河宽度为90米．11.【题文】如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC 上．若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积．【答案】2000平方米或1920平方米.【分析】利用矩形的性质得出△ADG∽△ABC，然后利用相似三角形对应高的比等于相似比求出矩形的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．【解答】∵矩形DEFG中DG∥EF，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，∴△ADG∽△ABC，∴．①若DE为宽，则，∴DG=50，此时矩形的面积是50×40=2000平方米；②若DG为宽，则，∴DE=48，此时矩形的面积是48×40=1920平方米．12.【答题】在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A. B. C. 2倍 D. 3倍【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用．作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【解答】如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴==，∴像CD的长是物体AB长的．故选A．13.【答题】如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是______米．【答案】24【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABP∽△CDP是解题关键．由已知得△ABP∽△CDP，根据相似形的性质可得=，解答即可．【解答】由反射的性质可得∠APB=∠CPD，又∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∴CD===24（米）．故答案为24．14.【题文】如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．【答案】30mm.【分析】【解答】作出示意图.连接AB，同时连结OC并延长交AB于E，∵夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，∴OE⊥ABAE＝BE，∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴，而，即，∴AB＝2AE＝30（mm）.答：AB两点间的距离为30mm．15.【题文】小青同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度．某一时刻他测得长1米的标杆的影长为1.4米，与此同时他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测得其长度为11.2米和2米，如图所示．请你帮他求出旗杆AB的高度．【答案】10米．【分析】利用相似三角形对应线段成比例，求解即可【解答】过点C作CH⊥AB.设AH=x米，，解得x=8，AB=8+2=10米.答：AB的高度为10米．16.【题文】数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH ＝3米；③计算树的高度AB；【答案】15米．【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．【解答】设AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴，∴，∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，∴△ABF∽△GHF，∴，∴，∴，解得y＝20，把y＝20代入中，得x＝15，∴树的高度AB为15米．17.【题文】“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【答案】9.6米．【分析】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．【解答】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．18.【题文】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48mm．【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，∴，解得x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．19.【题文】20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．【答案】30m．【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明△CAB∽△CPQ是本题的关键．通过证明△CAB∽△CPQ可得，可求解．【解答】设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为x m，21.6km/h＝6m/s，∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴，∴，∴x＝30，∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．20.【答题】如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．过点B 作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【解答】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC•AB•BC•AC•BP，∴BP．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴．设DE＝x，则，解得x，选D．。
湘教版九年级数学上册第三章3.5：相似三角形的应用 同步练习
初中数学湘教版九年级上册第三章3.5相似三角形的应用同步练习一、选择题1.如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC=2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE=20m，则A，B两点间的距离是()A. 60mB. 50mC. 40mD. 30m2.如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为()A. 67B. 3037C. 127D. 60373.如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB=BC，横梁EF//AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD=4m，横梁AC=12m，则支架DF长为()A. 2√10B. 2√5C. √13D. 2√134.学校门口的栏杆如下图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A. 0.2mB. 0.3mC. 0.4mD. 0.5m5.如图，身高为1.6m的小芳测量校杆的高度，当她站在C，她头的影子正好与杆顶端的影子重合，并得AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是()A. 6.4mB. 7.0mC. 8.0mD. 9.0m6.如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB=8m，CD=12m，则点M离地面的高度MH为()A. 4mB. 245m C. 5m D. 163m7.如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B.已知小颖的眼睛D离地面的高度CD=1.6m，她离镜子的水平距离CE=1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE=3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为()A. 2.7mB. 3.6mC. 4.8mD. 6.4m8.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A. 0.2mB. 0.3mC. 0.4mD. 0.5m9.有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为()A. 67B. 3037C. 127D. 603710.小明利用影子长度测量学校水塔高度，小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时水塔在地面上的影长为40米，则水塔的高为()A. 60米B. 40米C. 30米D. 25米二、填空题11.两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是______．12.如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为10cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点．若不考虑其它因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为______cm．13.如图是小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙高度CD=______米．14.在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高是_____________m．三、解答题15.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？16.某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的项端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C 与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．17.如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．(1)求路灯AB的高度．(2)请在图1中画出小亮EF的位置，并求出此时的影长．(3)如果小亮继续往前走(如图2)，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵AB⊥BF，ED⊥BF，∴AB//DE，∴△ABC∽△EDC，∴ABDE =BCCD，即AB20=21，解得：AB=40，故选：C．根据相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC∽△EDC解答．2.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BP，∴BP=AB⋅BCAC =3×45=125．∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC =BQBP．设DE=x，则有：x5=125−x125，解得x=6037，故选：D．过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．3.【答案】C【解析】解：∵AB=BC，BD⊥EF，∴AD=DC=6m，∴AB=√AD2+BD2=√62+42=2√13(m)，∵EF//AC，∴△BEF∽△BAC，∴BEAB =BFBC，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF=12AB=√13(m)．故选：C．直接利用等腰三角形的性质得出AD=DC，再利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形中位线的性质得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确得出AB的长是解题关键．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.由∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，据此得AOCO =ABCD，将已知数据代入即可求解．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则AOCO =ABCD，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴41=1.6CD，解得：CD=0.4m．故选C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列方程，建立适当数学模型来解决问题．因人和旗杆均垂直于地面所以构成三角形，利用相似比解题即可．【解答】解：设旗杆高度为h，由题意：1.6ℎ=22+8，ℎ=8m，故选：C．6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH//AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解答】解：∵AB//CD，∴△ABM∽△DCM，∴BHHC =ABCD=812=23，(相似三角形对应高的比等于相似比)，∵MH//AB，∴△MCH∽△ACB，∴MHAB =CHBC=35，∴MH8=35，解得MH=245．故选：B．7.【答案】C【解析】解：由题意可得：AE=1.5m，CE=1.2m，DC=1.6m，∵△ABC∽△EDC，∴DCAB =CEAE，即1.6AB =1.23.6，解得：AB=4.8m，故选：C．根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.由，∠AOB=∠COD可证△ABO∽△CDO，据此得AOCO =ABCD，将已知数据代入即可求解．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则AOCO =ABCD，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴41=1.6CD，解得：CD=0.4m．故选C．9.【答案】D【解析】【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BP，∴BP=AB⋅BCAC =3×45=125．∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC =BQBP．设DE=x，则有：x5=125−x125，解得x=6037，故选：D．10.【答案】C【解析】解：根据题意得：1.5：2=水塔高：40，∴水塔高为30米．答案：水塔高为30米，故选：C．利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．本题考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．11.【答案】25cm或105cm【解析】解：①如果将两根细木条重叠摆放，则130÷2−80÷2=25cm；②如果将两根细木条相接摆放，则130÷2+80÷2=105cm．分两种情况讨论：①将两根细木条重叠摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的差；②将两根细木条相接摆放，那么两根细木条的中点间的距离是两根木条长度的一半的和．本题要注意分成重叠和相接两种摆放方法分类讨论．根据题意准确的列出式子是解题的关键．12.【答案】100【解析】解：∵AB⊥BD，AC⊥AB，∴AC//BD．∴∠ACB=∠DBC．∵∠A=∠BCD=90°，∴△ABC∽△CDB．∴ACBC =BCBD，∴BC2=AC⋅BD，在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=102+302=1000，∴10BD=1000．∴BD=100(cm)．故答案为100．根据题意可证明出△ABC∽△CDB，利用相似三角形的性质解答．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出BD的长度．13.【答案】8【解析】解：根据题意得∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ABCD =BPPD，即1.2CD=1.812，∴CD=8(m)．故答案为8．根据入射角与反射角的关系得到∠APB=∠CPD，则可证明Rt△ABP∽Rt△CDP，然后利用相似比可计算出CD．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度(测量距离)；借助标杆或直尺测量物体的高度．14.【答案】18【解析】【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．【解答】解：∵，∴1.52.5=旗杆的高度30，解得旗杆的高度=1.52.5×30=18m．故答案为18．15.【答案】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC//EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK= 80−x，∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴EFBC =AKAD，∴x120=80−x80，解得：x=48．答：正方形零件的边长为48mm．【解析】根据正方形的对边平行得到BC//EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD=EF=x，AK=80−x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．16.【答案】解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴GHBA =FGFA，DCBA=ECEA，∵DC=HG，∴FGFA =ECEA，∴659+CA =44+AC，∴CA=106(米)，∵DCBA =ECEA，∴2BA =44+106，∴AB=55(米)，答：大雁塔的高度AB为55米．【解析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得GHBA =FGFA，DCBA=ECEA，因为DC=HG，推出FGFA =ECEA，列出方程求出CA=106(米)，由DCBA=ECEA，可得2BA=44+106，由此即可解决问题．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)∵BO=20米，OD=17米，∴BD=BO−OD=20−17=3米，∵DG=1米，∴BG=BD+DG=3+1=4米，∵AB、CD都与地面BO垂直，∴△ABG∽△CDG，∴CDAB =DGBG，即1.6AB =14，解得AB=6.4米；(2)小亮EF的位置如图1所示，此时，∵△ABO∽△EFO，∴EFAB =FOBO，即1.66.4=FO20，解得FO=5米，即此时影长5米；(3)如图2，设影子在墙上的落点为L，过M作HK//BO交AB于H，交PO于K，∵小亮距离墙2米，∴ON=MK=2米，HM=20−2=18米，∵AB=6.4米，MN=1.6米，∴AH=6.4−1.6=4.8米，∵△AHM∽△LKM，∴KLAH =MKHM，即KL4.8=218，解得KL=815米，∴在墙上的影子为1.6−815=1615米．【解析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．(1)求出BD的长，再求出BG的长，然后根据△ABG和△CDG相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；(2)根据△ABO和△EFO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到影长FO；(3)设影子在墙上的落点为L，过M作HK//BO交AB于H，交PO于K，求出AH、HM 的长，然后根据△AHM和△LKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出KL，再根据MN的长度列式计算即可得解．。
九年级数学上册第3章图形的相似3.5相似三角形的应用作业湘教版(2021年整理)
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3.5 相似三角形的应用一、选择题1．如图K－27－1所示,小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m、与旗杆相距22 m,则旗杆的高为( )图K－27－1A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m2．如图K－27－2，A，B两点被池塘隔开,在AB外任取一点C，连接AC，BC，分别取其三等分点M,N(M，N两点均靠近点C)，量得MN＝27 m，则A，B之间的距离是（）图K－27－2A．79 m B．80 m C．81 m D．82 m3．如图K－27－3(示意图),铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计)（）图K－27－3A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m4．相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，如图K－27－4，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一根电线杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（)图K－27－4A．2。
4米 B．2.8米C．3米 D．高度不能确定二、填空题5．如图K－27－5,零件的外径为16 cm，要求它的壁厚x,需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量．若测得OA∶OD＝OB∶OC＝2∶1，CD＝5 cm，则零件的壁厚x为________．图K－27－56．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中第九章勾股中记载（译文）:今有一座长方形小城，东西向城墙长7里,南北向城墙长9里,各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树．（注：1里＝300步）你的计算结果是：出南门________步能望见这棵树．图K－27－67．如图K－27－7是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD,测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米．图K－27－7三、解答题8．如图K－27－8，一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A,B恰好被南岸的两棵树C，D遮住,并且在这两棵树之间还有3棵树，求河的宽度．图K－27－89．如图K－27－9，一条东西走向的笔直公路，点A,B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路南侧直线PQ上行走，当他到达点P的位置时,观察到树A恰好挡住电视塔，即点P，A，C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q 的位置时，以同样方法观察电视塔，观察到树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．图K－27－910．如图K－27－10，在阳光下一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的标杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？图K－27－1011．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳,如图K－27－11是小然站在地面MN上欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α,此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的高度AD为100 cm.(1）直接写出视角∠ABD（用含α的式子表示)的度数；（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250 cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．图K－27－1112方案设计题已知直角三角形铁片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为6和8，如图K －27－12所示，分别采用①②两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由．图K－27－121．[解析] A 利用平行得出三角形相似，运用相似三角形的性质即可解答．2．[答案] C3．［答案] C4．［解析］ A如图，过点P作PE⊥BC。
【湘教版】九年级数学上册：3.5《相似三角形的应用》 同步试题(含答案)
3.5 相似三角形的应用01 基础题知识点1 利用相似三角形测量宽度1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上.若测得BE ＝20 m ，EC ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于(B )A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m2.如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连接AC ，BC ，分别取其三等分点M ，N ，量得MN ＝38 m ，则AB 的长是(C )A.76 mB.104 mC.114 mD.152 m3.如图，为测得一养鱼池的两端A .B 间的距离，可在平地上取一直接到达A和B 的点O ，连接AO ，BO 并分别延长到C ，D ，使OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，如果量得CD ＝30 m ，那么池塘宽AB ＝60__m .4.如图，在河两岸分别有A .B 两村，现测得A .B .D 在一条直线上，A .C .E 在一条直线上，BC ∥DE ，DE ＝90米，BC ＝70米，BD ＝20米，则A .B 两村间的距离为70米.5.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为10 cm ，AC 被分为60等份.如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处，且DE ∥AB ，那么小玻璃管口径DE 是多大？解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CA B.∴DE AB ＝CD AC. ∴DE 10＝4060. ∴DE ＝203cm . 答：小玻璃管口径DE 是203cm . 知识点2 利用相似三角形测量高度6.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m 的大视力表制作一个测试距离为3 m 的小视力表.如图，如果大视力表中“E ”的高度是3.5 cm ，那么小视力表中相应“E ”的高度是(D )A.3 cmB.2.5 cmC.2.3 cmD.2.1 cm7.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(B)A.6米B.8米C.18米D.24米8.如图，小明用长为3 m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为9m.02中档题9.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶(A)A.0.5 mB.0.55 mC.0.6 mD.2.2 m10.如图，一张等腰三角形纸片，底边长18 cm，底边上的高长18 cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(B)A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张11.如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD 相等，OC＝OD)量零件的内孔直径A B.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5mm.12.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色.共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园，小亮.小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合.这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米.如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度.解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.∴ABED＝BCDC，ABGF＝BFFH.则AB1.5＝BC2，AB1.65＝BC＋182.5.解得AB＝99.03 综合题13.某校九年级同学在一次数学实践活动中，去测量学校的树高，小明这一组的测量方法如下：如图，在B处竖一标杆AB，已知标杆AB＝2.5 m，小明站在点F处，眼睛E目测标杆顶部A与树顶C正好在同一视线上(点F，B，D也在同一直线上).这一组其他同学量得标杆到树的水平距离BD＝3.6 m，小明到标杆的水平距离FB＝2 m，小明的目高(眼睛到脚底的距离)EF＝1.5 m.根据这些数据，小明这一组同学很快就求出了树CD的高度.你会吗？请写出解答过程.解：过E点作EG⊥CD于G，交AB于点H，∵EF∥AB∥CD，∴EF＝HB＝GD＝1.5.∴AH＝1.∵AH∥CG，∴△EAH∽△ECG.∴AHCG＝EHEG，∴1CG＝25.6.∴CG＝2.8 m.∴CD＝2.8＋1.5＝4.3(m). 答：树CD的高度为4.3 m.。
2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.5 相似三角形的应用练习 (新版)湘教版
3.5 相似三角形的应用知|识|目|标1．在回顾相似三角形的性质的基础上，会利用影长测量物高．2．在回顾相似三角形的性质的基础上，会利用标杆测量物高．3．在回顾相似三角形的性质的基础上，会利用镜面反射测量物高．4．在回顾相似三角形的性质的基础上，会利用相似三角形的性质测量河宽(或不能直接测量的距离)．目标一利用影长测量物高例 1 教材补充例题某同学的身高为 1.66 m，在阳光下测得他在地面上的影长为 2.49 m．如果这时测得操场上旗杆的影长为14.4 m，那么该旗杆的高度是多少米？【归纳总结】利用影长测量物高在同一时刻的阳光下，对于垂直于水平面的两个物体甲、乙，总有：物体甲的高度物体甲的影长＝物体乙的高度物体乙的影长(或物体甲的高度物体乙的高度＝物体甲的影长物体乙的影长)．注意这一结论成立的前提条件：①同一时刻；②物体均垂直于同一平面． 目标二 利用标杆测量物高例2 教材补充例题如图3－5－1所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2 m 的标杆CD ，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C 与树的顶端E 重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1 m ，离大树底部的距离为9 m ，王刚的眼睛离地面的高度为1.5 m ，那么大树EF 的高为多少？图3－5－1【归纳总结】 利用标杆测量物高解决此类问题，应先把实际问题转化为数学问题，找到相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，求出某条线段的长度，进而得到所要求的物体的高度．目标三 利用镜面反射测量物高例3 教材补充例题小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度．如图3－5－2(示意图)，在水平地面上E 处放一面平面镜，其与教学大楼的距离EA ＝12米，当她与镜子的距离CE ＝1.28米时，刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面的高度DC ＝1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB .图3－5－2【归纳总结】利用镜面反射测量物高1．利用镜面反射测量物高的依据是物理学知识：入射角＝反射角．2．根据反射定律“入射角＝反射角”得到它们的余角相等，利用有两个角(还有一组直角)对应相等的两个三角形相似，列出两组直角边对应成比例，可以测量物高．目标四会利用相似三角形的性质测量河宽(或不能直接测量的距离)例4 教材补充例题如图3－5－3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，BC与AE的交点记为D.若测得BD＝180 m，DC＝60 m，EC＝50 m，你能知道小河的宽是多少吗？图3－5－3【归纳总结】测量河宽(或不能直接测量的距离)构造相似三角形测量河宽(或不能直接测量的距离)的方法有两种：(1)构造“X”型图(如图3－5－4)，利用相似测量河的宽度，通过测量便于测量的线段BC，CD，DE，利用相似三角形对应边成比例可求出河的宽度AB；图3－5－4(2)构造“A”型图(如图3－5－5)，利用相似测量河的宽度，通过测量便于测量的线段BC，CD，DE，利用相似三角形对应边成比例可求出河的宽度AB.图3－5－5知识点相似三角形的应用1．利用相似三角形测高的方法：(1)如图3－5－6①，利用影长测高；(2)如图②，利用平面镜测高；(3)如图③，利用标杆测高．图3－5－62．利用相似三角形测宽度的方法：利用相似三角形的性质测量宽度时，只需将所测的对象与能测量到的宽度构成相似三角形的一对对应边，利用相似三角形的知识把已知和未知联系起来．如图3－5－7是圆桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图．已知桌面的直径DE为1.2 m，桌面距离地面1 m(即FG＝1 m)．若灯泡距离地面3 m(即AG＝3 m)，求地面上阴影部分的面积．图3－5－7解：依题意知DE＝1.2 m，FG＝1 m，AG＝3 m.∵DE∥BC，∴△DAE∽△BAC，∴DE BC ＝FG AG ，即1.2BC ＝13，解得BC ＝3.6(m)， 故S 阴影＝(12BC )2·π＝1.82·π＝3.24π(m 2)．以上解答是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程．详解详析【目标突破】例1 [解析] 同一时刻的光线是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形求出旗杆的高度．解：如图所示(示意图)，用AC 表示人的身高，BC 表示人的影长，A ′C ′表示旗杆的高度，B ′C ′表示旗杆的影长，由题意得AC ＝1.66 m ，BC ＝2.49 m ，B ′C ′＝14.4 m ，设A′C′＝x m .由△ABC∽△A′B′C′，得AC A′C′＝BCB′C′，即1.66x ＝2.4914.4，解得x ＝9.6. 答：该旗杆的高度是9.6 m .例2 解：过点A 作AH⊥EF，垂足为H ，交CD 于点G ，由题意得AB⊥BF，CD ⊥BF ，EF ⊥BF ，故四边形ABFH 、四边形DGHF 都是矩形，所以AB ＝GD ＝HF ，BF ＝AH ，BD ＝AG ，CD ∥EF ，所以△ACG∽△AEH， 所以AG AH ＝CG EH ，即19＝2－1.5EH ，解得EH ＝4.5(m )，所以EF ＝EH ＋HF ＝4.5＋1.5＝6(m )． 答：大树EF 的高为6 m .例3 [解析] 根据入射角等于反射角，先说明△ABE ∽△CDE ，再根据已知数据求出AB. 解：由题意可知∠BEF＝∠DEF，∠AEF ＝∠CEF， ∴∠BEA ＝∠DEC. ∵AB ⊥AC ，DC ⊥AC ， ∴∠BAE ＝∠DCE＝90°. 又∵∠BEA＝∠DEC， ∴△ABE ∽△CDE ，∴AB CD ＝AE CE.∵AE ＝12米，DC ＝1.6米，CE ＝1.28米， ∴AB 1.6＝121.28，解得AB ＝15(米)． 答：教学大楼的高度AB 为15米．例4 解：由已知，得∠ABD ＝∠ECD ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ， ∴△ABD ∽△ECD ，∴AB EC ＝BD CD.由BD ＝180 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，可知AB 50＝18060，解得AB ＝150(m)．答：小河的宽是150 m. 【总结反思】 [反思] 解：不正确．正解：依题意知DE ＝1.2 m ，FG ＝1 m ，AG ＝3 m. ∵DE ∥BC ，∴△DAE ∽△BAC ，∴DE BC ＝AFAG， 即1.2BC ＝3－13，解得BC ＝1.8(m)， 故S 阴影＝(12BC )2·π＝(1.82)2·π＝0.81π(m 2)．。
2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.4-3.5同步练习 (新版)湘教版
3.4.～3.5一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶162．两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是( )A．75 cm，115 cm B．60 cm，100 cmC．85 cm，125 cm D．45 cm，85 cm3．如图4－G－1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比为( )A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4图4－G－1图4－G－24．如图4－G－2，△ADE∽△ABC，AF⊥DE，AG⊥BC，AF∶AG＝2∶3，若AE＝5，则EC 的长为( )A．7.5 B．4.5 C．2.5 D．25．如图4－G－3，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm.当它的一端B着地时，另一端A与地面的距离AC为( )A．25 cm B．50 cm C．75 cm D．100 cm图4－G－3图4－G－4.如图4－G－4，身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC ＝3.2 m ，CA ＝0.8 m ，则树的高度为( )A ．4.8 mB ．6.4 mC ．8 mD ．10 m7．如图4－G －5，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (DE ＝BC ＝0.5米，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG ＝15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG ＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB 约为( )A ．8.5米B ．9米C ．9.5米D ．10米图4－G －5图4－G －68．如图4－G －6，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF ＝4，则下列结论：①AF FD ＝12；②S △BCE ＝36；③S △ABE ＝12；④△AEF ∽△ACD .其中一定正确的是( )A ．①②③④ B．①④ C ．②③④ D．①②③二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)9．两个相似三角形对应中线的比为27，则它们对应角平分线的比是________．10．如图4－G －7，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AE EC ＝23，则△ADE 与△ABC 的面积之比为________．图4－G －7图4－G －811．如图4－G －8所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F .若S △AEF ＝13S 四边形EBCF ，则CEAB＝________.图4－G －912．如图4－G －9，E 是▱ABCD 的边AD 的中点，连接CE 交BD 于点F .如果S △DEF ＝a ，那么S △BCF ＝________．13．如图4－G －10，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE ，已知亮区DE 到窗口下的墙角距离CE ＝5米，窗口高AB ＝2米，那么窗口底边离地面的高BC ＝________米．图4－G －10图4－G －1114．如图4－G －11，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是________m.三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)已知两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm 和14 cm. (1)已知它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长；(2)已知它们的面积相差588 cm 2，求这两个三角形的面积．16．(10分)如图4－G －12，有一块三角形的土地，它的一条边BC ＝100米，BC 边上的高AH ＝80米．某单位要沿着边BC 建一座底面是矩形DEFG 的大楼，D ，G 分别在边AB ，AC 上．若大楼的宽是40米(即DE ＝40米)，求这个矩形的面积．图4－G－1217．(12分)如图4－G－13所示，在离某建筑物4 m处有一棵树AB，在某一时刻，1.2 m 长的竹竿A′B′垂直于地面，影长为2 m，此时，树的影子有一部分落在地面上，还有一部分影子落在建筑物的墙上，墙上的影高CD为2 m，那么这棵树的高度为多少米？图4－G－1318．(12分)已知△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝12，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm，△A′B′C′的面积为64 cm2.求：(1)A′B′边上的中线C′D′的长；(2)△A′B′C′的周长；(3)△ABC的面积．详解详析1．C [解析] ∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶4，∴△ABC与△DEF的周长比＝相似比＝1∶4，故选择C.2．A [解析] 根据题意知两个三角形的相似比是15∶23，则周长比就是15∶23，它们的周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5(cm)，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75(cm)，5×23＝115(cm)．故选A.3．C [解析] ∵D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 的面积∶△ABC 的面积＝(12)2＝1∶4，∴△ADE 的面积∶四边形BCED 的面积＝1∶3.故选C. 4．C [解析] ∵△ADE ∽△ABC ，AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴AF AG ＝AE AC ＝23，∴5AC ＝23，解得AC ＝7.5，∴EC ＝7.5－5＝2.5.5．D6．C [解析] 因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，设树高为x m ，则AC AB ＝1.6x ，即0.80.8＋3.2＝1.6x，∴x ＝8，故选C.7．A [解析] 由题意得∠AGC ＝∠FGE .又∵∠ACG ＝∠FEG ＝90°，∴△ACG ∽△FEG ，∴ACEF＝CG GE ，∴AC 1.6＝153，解得AC ＝8(米)， ∴AB ＝AC ＋BC ＝8＋0.5＝8.5(米)．故选A. 8．D [解析] 在▱ABCD 中，AO ＝12AC .∵E 是OA 的中点，∴AE ＝13CE .∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ，∴AF BC ＝AE CE ＝13. ∵AD ＝BC ，∴AF ＝13AD ，∴AF FD ＝12.故①正确．∵S △AEF ＝4，S △AEF S △BCE ＝(AF BC )2＝19，∴S △BCE ＝36. 故②正确．∵EF BE ＝AE CE ＝13，∴S △AEF S △ABE ＝13，∴S △ABE ＝12.故③正确．∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误．故选D.9.2710．4∶25 [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵AE EC ＝23，∴AE AC ＝25，∴S △ADE ∶S △ABC ＝4∶25. 11.1212．4a [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴△EFD ∽△CFB . ∵E 是边AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝12BC ，∴S △DEF ∶S △BCF ＝1∶4.∵S △DEF ＝a ，∴S △BCF ＝4a .13．2.5 [解析] ∵AD ∥BE ，∴△BCE ∽△ACD ，∴BC AC ＝CECD，CD ＝CE ＋ED ＝4＋5＝9，AC ＝BC ＋AB ＝BC ＋2，∴BC BC ＋2＝59，解得BC ＝2.5. 14．30 [解析] ∵MP ∥BD ，∴MP BD ＝AP AB .同理，NQ AC ＝BQAB.∵AC ＝BD ，∴AP ＝BQ .设AP ＝BQ ＝x ，则AB ＝2x ＋20.∵NQ ∥AC ，∴△BQN ∽△BAC ，∴NQ CA ＝BQ BA ，即1.59＝x2x ＋20，解得x ＝5.则两路灯之间的距离是2×5＋20＝30(m)．15．解：(1)∵相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm 和14 cm ， ∴这两个三角形的相似比为5∶2， ∴这两个三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm ，则较小的三角形的周长为2x cm ， ∵它们的周长相差60 cm ， ∴3x ＝60，解得x ＝20，∴5x ＝5×20＝100，2x ＝2×20＝40，∴较大的三角形的周长为100 cm ，较小的三角形的周长为40 cm. (2)∵这两个三角形的相似比为5∶2， ∴这两个三角形的面积比为25∶4.设较大的三角形的面积为25y cm 2，则较小的三角形的面积为4y cm 2，∵它们的面积相差588 cm 2， ∴(25－4)y ＝588，解得y ＝28，∴25y ＝25×28＝700，4y ＝4×28＝112，∴较大的三角形的面积为700 cm 2，较小的三角形的面积为112 cm 2. 16．解：设AH 交DG 于点M .由已知得DG ∥BC ， ∴△ADG ∽△ABC . ∵AH ⊥BC ，∴AM ⊥DG ，AM ＝AH －MH ＝80－40＝40(米)．∵DG BC ＝AM AH ，∴DG ＝AM ·BCAH＝50米， ∴S 矩形DEFG ＝DE ·DG ＝40×50＝2000(米2)． 答：这个矩形的面积为2000平方米． 17．过点C 作CE ∥AD 交AB 于点E ， 则CD ＝AE ＝2 m ，△B ′BA ′∽△BCE ， ∴A ′B ′B ′B ＝BE BC ，即1.22＝BE4， 解得BE ＝2.4(m)．∴AB ＝2.4＋2＝4.4(m)． 答：这棵树的高度为4.4 m.18．解：(1)∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ， ∴CD C ′D ′＝12，∴C ′D ′＝4×2＝8(cm)， ∴A ′B ′边上的中线C ′D ′的长为8 cm. (2)∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，△ABC 的周长为20 cm ， ∴△A ′B ′C ′的周长＝20×2＝40(cm)， 即△A ′B ′C ′的周长为40 cm. (3)∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，△A ′B ′C ′的面积是64 cm 2，∴S △ABC S △A ′B ′C ′＝(12)2＝14， ∴S △ABC ＝64÷4＝16(cm 2)，即△ABC 的面积是16 cm 2.。
2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.1-3.4同步练习 (新版)湘教版
3.1～3.4一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．下列各组线段中，不是成比例线段的是( )A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝2，d＝3，c＝ 6C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝5，d＝2 3，c＝152．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为( )A．320 cm B．320 m C．2000 cm D．2000 m3．如图3－G－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( )A.ADAB＝12B.AEEC＝12C.ADEC＝12D.DEBC＝12图3－G－1图3－G－2.如图3－G－2，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，需添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB5．如图3－G－3①、②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )图3－G－3A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似图3－G －46．如图3－G －4，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．如图3－G －5，P 是▱ABCD 的边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对图3－G －5图3－G －68．如图3－G －6，M 是Rt△ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)9．已知x y ＝34，则x －yy＝________．10．如图3－G －7，若△ABC ∽△DEF ，则∠D ＝________°.11．一根2米长的竹竿直立在广场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17.6米，则旗杆高________米．图3－G －7图3－G －812．如图3－G －8，已知△ABC 中，E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是________．(写出一个即可) 13．如图3－G－9，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝________．图3－G－9图3－G－1014．如图3－G－10，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为________．三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)如图3－G－11，在▱ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB 于点E，连接EN并延长交CD于点F，求DF∶AB的值．图3－G－1116．(10分)如图3－G－12，ABAD＝BCDE＝ACAE.求证：∠BAD＝∠CAE.图3－G－1217．(12分)如图3－G－13，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.图3－G－1318．(12分)如图3－G－14，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB 交AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长；(2)当点P在何处时，△PFD∽△BFP？并说明理由．图3－G－14详解详析1．C 2.D3．B [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ＝13，则AE EC ＝12.故选B.4．D [解析] 选项A ，B ，C 中结合条件∠A ＝∠A 均可判定△ABP ∽△ACB ，只有选项D 无法得到△ABP ∽△ACB ，故选D.5．A [解析] 图①中，∵∠A ＝35°，∠B ＝75°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵∠E ＝75°，∠F ＝70°，∴∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ； 图②中，∵OA ＝4，OD ＝3，OC ＝8，OB ＝6，∴OA OD ＝OCOB.又∵∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC ∽△DOB .6．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB＝AD AD ＋BD ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，∴DE ＝10.故选C. 7．D [解析] △EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，∴共有3对相似三角形．故选D.8． C [解析] 如图，分别过点M 作△ABC 三边的垂线l 1，l 2，l 3，易证此时分别形成的三角形均与原三角形相似，所以共有3条．9．－1410.3011．22 [解析] 设旗杆的高为x 米，∵在同一时刻物高与影长成正比，∴x 17.6＝21.6，∴x ＝22.12．答案不唯一，如AF ＝12AC 或∠AFE ＝∠ABC 等13.35 [解析] 由题意可知CD ∥AE ，CD ＝AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴CD BE ＝CF BF. ∵CD BE ＝AB BE ＝32，∴CF BF ＝32，∴CF BC ＝35. ∵AD ＝BC ，∴CF BC ＝CF AD ＝35.14 43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况： (1)当△BAC ∽△ECD 时，BA CE ＝ACCD， ∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，BA CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.15．解：由题意可得DN ＝NM ＝MB ，△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ， ∴DF ∶BE ＝DN ∶NB ＝1∶2，BE ∶DC ＝BM ∶MD ＝1∶2. 又∵AB ＝DC ， ∴DF ∶AB ＝1∶4＝14.16．[解析] 将已有的比例线段归属在两个三角形中观察，以寻找相似三角形，利用相似三角形的对应角相等证明．证明： ∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE .17．证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ， ∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ， 又∵∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF ， ∴△BDE ∽△CEF .(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DE EF ，∴CE DE ＝CFEF.又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ， ∴△DEF ∽△ECF ， ∴∠DFE ＝∠CFE ， ∴FE 平分∠DFC .18． (1)根据题意，得PD ＝PE ，∠DPE ＝90°， ∴∠APD ＋∠QPE ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE .∵EQ ⊥AB ，∴∠Q ＝90°＝∠A . 在△ADP 和△QPE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，∴△ADP ≌△QPE (AAS)， ∴PQ ＝AD ＝1.(2)假设△PFD ∽△BFP ，则有PB BF ＝PD PF. ∵∠ADP ＝∠BPF ，∠FBP ＝∠A ， ∴△DAP ∽△PBF ， ∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PBBF.∴AP ＝PB ，∴AP ＝12AB ＝12.即当P 为AB 的中点时，△PFD ∽△BFP .。
【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.1-3.4同步练习 (新版
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3.1～3.4一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．下列各组线段中，不是成比例线段的是( )A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝2，d＝3，c＝ 6C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝5，d＝2 3，c＝152．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为( )A．320 cm B．320 m C．2000 cm D．2000 m3．如图3－G－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( )A.ADAB＝12B.AEEC＝12C.ADEC＝12D.DEBC＝12图3－G－1图3－G－2.如图3－G－2，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，需添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB5．如图3－G－3①、②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )图3－G－3A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似图3－G －46．如图3－G －4，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．如图3－G －5，P 是▱ABCD 的边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对图3－G －5图3－G －68．如图3－G －6，M 是Rt△ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)9．已知x y ＝34，则x －yy＝________．10．如图3－G －7，若△ABC ∽△DEF ，则∠D ＝________°.11．一根2米长的竹竿直立在广场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17.6米，则旗杆高________米．图3－G －7图3－G －812．如图3－G －8，已知△ABC 中，E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是________．(写出一个即可) 13．如图3－G－9，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝________．图3－G－9图3－G－1014．如图3－G－10，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为________．三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)如图3－G－11，在▱ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB 于点E，连接EN并延长交CD于点F，求DF∶AB的值．图3－G－1116．(10分)如图3－G－12，ABAD＝BCDE＝ACAE.求证：∠BAD＝∠CAE.图3－G－1217．(12分)如图3－G－13，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.图3－G－1318．(12分)如图3－G－14，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB 交AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长；(2)当点P在何处时，△PFD∽△BFP？并说明理由．图3－G－14详解详析1．C 2.D3．B [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ＝13，则AE EC ＝12.故选B.4．D [解析] 选项A ，B ，C 中结合条件∠A ＝∠A 均可判定△ABP ∽△ACB ，只有选项D 无法得到△ABP ∽△ACB ，故选D.5．A [解析] 图①中，∵∠A ＝35°，∠B ＝75°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵∠E ＝75°，∠F ＝70°，∴∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ； 图②中，∵OA ＝4，OD ＝3，OC ＝8，OB ＝6，∴OA OD ＝OCOB.又∵∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC ∽△DOB .6．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB＝AD AD ＋BD ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，∴DE ＝10.故选C. 7．D [解析] △EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，∴共有3对相似三角形．故选D.8． C [解析] 如图，分别过点M 作△ABC 三边的垂线l 1，l 2，l 3，易证此时分别形成的三角形均与原三角形相似，所以共有3条．9．－1410.3011．22 [解析] 设旗杆的高为x 米，∵在同一时刻物高与影长成正比，∴x 17.6＝21.6，∴x ＝22.12．答案不唯一，如AF ＝12AC 或∠AFE ＝∠ABC 等13.35 [解析] 由题意可知CD ∥AE ，CD ＝AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴CD BE ＝CF BF. ∵CD BE ＝AB BE ＝32，∴CF BF ＝32，∴CF BC ＝35. ∵AD ＝BC ，∴CF BC ＝CF AD ＝35.14 43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况： (1)当△BAC ∽△ECD 时，BA CE ＝ACCD， ∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，BA CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.15．解：由题意可得DN ＝NM ＝MB ，△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ， ∴DF ∶BE ＝DN ∶NB ＝1∶2，BE ∶DC ＝BM ∶MD ＝1∶2. 又∵AB ＝DC ， ∴DF ∶AB ＝1∶4＝14.16．[解析] 将已有的比例线段归属在两个三角形中观察，以寻找相似三角形，利用相似三角形的对应角相等证明．证明： ∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE .17．证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ， ∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ， 又∵∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF ， ∴△BDE ∽△CEF .(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DE EF ，∴CE DE ＝CFEF.又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ， ∴△DEF ∽△ECF ， ∴∠DFE ＝∠CFE ， ∴FE 平分∠DFC .18． (1)根据题意，得PD ＝PE ，∠DPE ＝90°， ∴∠APD ＋∠QPE ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE .∵EQ ⊥AB ，∴∠Q ＝90°＝∠A . 在△ADP 和△QPE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，∴△ADP ≌△QPE (AAS)， ∴PQ ＝AD ＝1.(2)假设△PFD ∽△BFP ，则有PB BF ＝PD PF. ∵∠ADP ＝∠BPF ，∠FBP ＝∠A ， ∴△DAP ∽△PBF ， ∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PBBF.∴AP ＝PB ，∴AP ＝12AB ＝12.即当P 为AB 的中点时，△PFD ∽△BFP .。
九年级数学上册第3章图形的相似3.13.4同步练习(新版)湘教版
3.1～3.4一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．下列各组线段中，不是成比例线段的是( )A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝2，d＝3，c＝ 6C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝5，d＝2 3，c＝152．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约为( )A．320 cm B．320 m C．2000 cm D．2000 m3．如图3－G－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( )A.ADAB＝12B.AEEC＝12C.ADEC＝12D.DEBC＝12图3－G－1图3－G－2.如图3－G－2，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，需添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB5．如图3－G－3①、②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )图3－G－3A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似图3－G －46．如图3－G －4，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．127．如图3－G －5，P 是▱ABCD 的边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对图3－G －5图3－G －68．如图3－G －6，M 是Rt△ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)9．已知x y ＝34，则x －yy＝________．10．如图3－G －7，若△ABC ∽△DEF ，则∠D ＝________°.11．一根2米长的竹竿直立在广场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17.6米，则旗杆高________米．图3－G －7图3－G －812．如图3－G －8，已知△ABC 中，E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是________．(写出一个即可) 13．如图3－G－9，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝________．图3－G－9图3－G－1014．如图3－G－10，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为________．三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)如图3－G－11，在▱ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB 于点E，连接EN并延长交CD于点F，求DF∶AB的值．图3－G－1116．(10分)如图3－G－12，ABAD＝BCDE＝ACAE.求证：∠BAD＝∠CAE.图3－G－1217．(12分)如图3－G－13，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.图3－G－1318．(12分)如图3－G－14，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB 交AB的延长线于点Q.(1)求线段PQ的长；(2)当点P在何处时，△PFD∽△BFP？并说明理由．图3－G－14详解详析1．C 2.D3．B [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ＝13，则AE EC ＝12.故选B.4．D [解析] 选项A ，B ，C 中结合条件∠A ＝∠A 均可判定△ABP ∽△ACB ，只有选项D 无法得到△ABP ∽△ACB ，故选D.5．A [解析] 图①中，∵∠A ＝35°，∠B ＝75°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵∠E ＝75°，∠F ＝70°，∴∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ∽△DEF ； 图②中，∵OA ＝4，OD ＝3，OC ＝8，OB ＝6，∴OA OD ＝OCOB.又∵∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC ∽△DOB .6．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF .∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB＝AD AD ＋BD ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，∴DE ＝10.故选C. 7．D [解析] △EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，∴共有3对相似三角形．故选D.8． C [解析] 如图，分别过点M 作△ABC 三边的垂线l 1，l 2，l 3，易证此时分别形成的三角形均与原三角形相似，所以共有3条．9．－1410.3011．22 [解析] 设旗杆的高为x 米，∵在同一时刻物高与影长成正比，∴x 17.6＝21.6，∴x ＝22.12．答案不唯一，如AF ＝12AC 或∠AFE ＝∠ABC 等13.35 [解析] 由题意可知CD ∥AE ，CD ＝AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴CD BE ＝CF BF. ∵CD BE ＝AB BE ＝32，∴CF BF ＝32，∴CF BC ＝35. ∵AD ＝BC ，∴CF BC ＝CF AD ＝35.14 43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况： (1)当△BAC ∽△ECD 时，BA CE ＝ACCD， ∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，BA CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.15．解：由题意可得DN ＝NM ＝MB ，△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ， ∴DF ∶BE ＝DN ∶NB ＝1∶2，BE ∶DC ＝BM ∶MD ＝1∶2. 又∵AB ＝DC ， ∴DF ∶AB ＝1∶4＝14.16．[解析] 将已有的比例线段归属在两个三角形中观察，以寻找相似三角形，利用相似三角形的对应角相等证明．证明： ∵AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE .17．证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ， ∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ， 又∵∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF ， ∴△BDE ∽△CEF .(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DE EF ，∴CE DE ＝CFEF.又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ， ∴△DEF ∽△ECF ， ∴∠DFE ＝∠CFE ， ∴FE 平分∠DFC .18． (1)根据题意，得PD ＝PE ，∠DPE ＝90°， ∴∠APD ＋∠QPE ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE .∵EQ ⊥AB ，∴∠Q ＝90°＝∠A . 在△ADP 和△QPE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，∴△ADP ≌△QPE (AAS)， ∴PQ ＝AD ＝1.(2)假设△PFD ∽△BFP ，则有PB BF ＝PD PF. ∵∠ADP ＝∠BPF ，∠FBP ＝∠A ， ∴△DAP ∽△PBF ， ∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PBBF.∴AP ＝PB ，∴AP ＝12AB ＝12.即当P 为AB 的中点时，△PFD ∽△BFP .。
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3.5 相似三角形的应用知识点 1 利用相似三角形测量宽度1．如图3－5－1，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE的长是( )A.203cm B.193cm C．7 cm D．6 cm图3－5－1图3－5－22．如图3－5－2，为估算某条河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB为( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m3．教材习题3.5第3题变式如图3－5－3，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在河的北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度．图3－5－3知识点 2 利用相似三角形测量高度(深度)4．如图3－5－4，某学生用长为2.8 m的竹竿AB测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点O处，此时竹竿与这一点的距离OB＝8 m，与旗杆的距离BD＝22 m，则旗杆CD的高为( )A．105 m B．77 m C．10.5 m D．7.7 m图3－5－4图3－5－55．2017·眉山“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图3－5－5获得，则井深为( )A．1.25尺 B．57.5尺C．6.25尺 D．56.5尺6．如图3－5－6是小孔成像实验，火焰AC通过小孔O照射到屏幕上，形成倒立的实像，像长BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝10 cm，求火焰AC的长．图3－5－67．如图3－5－7(示意图)，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB.图3－5－78．2017·绵阳为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C 的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图3－5－8所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于( ) A．10 m B．12 m C．12.4 m D．12.32 m图3－5－89．如图3－5－9所示，某一时刻，一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上．此时，小明竖起1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地面上的影子长为3米，墙壁上的影子CD高为2米．小明利用这些数据很快算出了电线杆AB的高为( )A．5米 B．6米 C．7米 D．8米10．如图3－5－10(示意图)，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB ＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的距离．图3－5－1011．教材复习题第17题变式如图3－5－11(示意图)，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔52 m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C 在同一条直线上；从标杆FE 后退4 m 到点H 处，在H 处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E 在同一条直线上，求建筑物的高．图3－5－1112．某校九年级(1)班的一节数学活动课安排了测量操场上旗杆AB 的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图3－5－12(示意图)所示，甲组测得图中BO ＝20米，OD ＝3.4米，CD ＝1.7米；乙组测得图中CD ＝1.5米，同一时刻影长FD ＝0.9米，EB ＝6米；丙组测得图中EF∥AB，FH∥BD，BD ＝30米，EF ＝0.2米，人的臂长(FH)为0.6米．请你任选一种方案，利用试验数据求出该校旗杆的高度．图3－5－121．A [解析] ∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE ∶AB ＝CD ∶AC ，∴DE ∶10＝40∶60，解得DE ＝203(cm)，∴小玻璃管口径DE 的长是203cm.故选A.2．B [解析] ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°. 又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△BAE ∽△CDE ，∴AB CD ＝BE CE.∵BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，∴AB 20＝2010，解得AB ＝40(m)． 故选B.3．解：过点P 作PF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，如图所示．设河宽为x 米． ∵AB ∥CD ，∴∠PDC ＝∠PBF ，∠PCD ＝∠PAB ， ∴△PDC ∽△PBA ，∴PF PE ＝ABCD， ∴15＋x 15＝ABCD. 依题意知CD ＝25米，AB ＝50米， ∴15＋x 15＝5025，解得x ＝15. 答：河的宽度为15米．4．C [解析] ∵AB ⊥OD ，CD ⊥OD ，∴AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OB OD ＝AB CD. 若设旗杆的高为x m ，则88＋22＝2.8x，解得x ＝10.5.故选C.5．B [解析] 依题意有△ABF ∽△ADE ，∴AB ∶AD ＝BF ∶DE ， 即5∶AD ＝0.4∶5，解得AD ＝62.5，∴BD ＝AD －AB ＝62.5－5＝57.5(尺)．故选B. 6．解：∵AC ∥BD ，∴△OBD ∽△OAC ，∴BD AC ＝OB OA ，即2AC ＝1060， ∴AC ＝12(cm)．答：火焰AC 的长为12 cm.7．解：∵∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ， ∴△DEF ∽△DCB ，∴DE EF ＝CD BC ，即4020＝8BC， 解得BC ＝4(m)． ∵AC ＝1.5 m ，∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5(m)，答：树高AB 为5.5 m.8．B [解析] 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ，△ABC ∽△EDC ，则AB ED ＝BCDC，即1.5DE ＝0.54，解得DE ＝12(m)．故选B. 9． D [解析] 延长AC 交BD 的延长线于点E ，易知△CDE ∽△PQR ，∴CD PQ ＝DE QR ，即21＝DE 0.5， ∴DE ＝1(米)，∴BE ＝3＋1＝4(米)． 又易知△ABE ∽△PQR ，∴AB PQ ＝BE QR ，即AB 1＝40.5， ∴AB ＝8(米)． 10．连接MN ， ∵AC AM ＝301000＝3100，AB AN ＝541800＝3100，∴AC AM ＝AB AN.又∵∠BAC ＝∠NAM ， ∴△BAC ∽△NAM ， ∴BC MN ＝3100，即45MN ＝3100，∴MN ＝1500(米)． 答：M ，N 两点之间的距离为1500米． 11．解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FHFH ＋DF ＋BD.∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝52 m ，FH ＝4 m ， ∴2AB ＝22＋BD ， 2AB ＝44＋52＋BD ， ∴22＋BD ＝44＋52＋BD ， 解得BD ＝52(m)， ∴2AB ＝22＋52， 解得AB ＝54(m)．答：建筑物的高为54 m.12．解：选择甲组方案计算： 在△ABO 和△CDO 中，因为∠ABO ＝∠CDO ＝90°，∠AOB ＝∠COD ， 所以△ABO ∽△CDO ， 所以AB CD ＝BO OD ，所以AB ＝BO ·CDOD.又BO ＝20米，OD ＝3.4米，CD ＝1.7米， 所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米． 选择乙组方案计算：在△ABE 和△CDF 中，因为∠ABE ＝∠CDF ＝90°，∠AEB ＝∠CFD ， 所以△ABE ∽△CDF ，所以AB CD ＝EBFD. 又CD ＝1.5米，FD ＝0.9米，EB ＝6米， 所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米． 选择丙组方案计算：由FH ∥BD ，可得△CFH ∽△CBD ， 所以CF CB ＝FHBD.由EF ∥AB ，可得△CFE ∽△CBA ， 所以CF CB ＝EF AB ，所以FH BD ＝EFAB.又BD ＝30米，EF ＝0.2米，FH ＝0.6米， 所以AB ＝10米，即该校旗杆的高度为10米．。