高中数学必修1知识点

高中数学必修1知识点

1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

2、元素与集合的关系：∈、∉

3、数集的符号：自然数集N ；正整数集*N 或N +；整数集Z ；有理数

集Q ；实数集R .

4、集合与集合的关系：⊆、≠

⊂、= 5、若集合中有n 个元素，则它的子集个数为2n ；真子集个数为21n -；非空子集个数为21n -；非空真子

集个数为22n -.

6、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

7、子集的性质：

（1）A ⊆A （即任何一个集合是它本身的子集）；

（2）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；

（3）若A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，则A ≠

⊂C. 8、集合的基本运算

（1）并集：}{x x x A

B =∈A ∈B 或 （2）交集：}{x x x A

B =∈A ∈B 且 （3）补集：}{

U x x U x A =∈∉A 且 （4）性质：①A

A =A ，A ∅=A ；②A A =A ，A ∅=∅； ③(

)U A A =∅，()U U A A =，()U U A =A ， ()()()U U U A B =A B ，()()()

U U U A B =A B . 9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则.

10、（一）求函数定义域的原则：

（1）若

()f x 为整式，则其定义域是R ； （2）若

()f x 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合； （3）若()f x 是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；

（4）若()0f x x =，则其定义域是

}{0x x ≠； （5）若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是R ；

（6）若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则其定义域是}{

0x x >. （二）求函数值域的方法以及分段函数求值

（三）求函数的解析式

11、函数的单调性：

（1）增函数：设12

,x x ∈I （()f x 的定义域），当12x x <时，有12()()f x f x <. （2）减函数：设12

,x x ∈I （()f x 的定义域），当12x x <时，有12()()f x f x >. 强调四点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在B A 上是增（或减）函数．

④定义的变形应用：如果证得对任意的),(,21b a x x ∈，且21x x ≠有0)()(1

212>--x x x f x f 或者2121(()())()0f x f x x x -->，能断定函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数；如果证得对任意的),(,21b a x x ∈，且21x x ≠有

2121

()()0f x f x x x -<-或者2121(()())()0f x f x x x --<，能断定函数)(x f 在区间),(b a 上是减函数。 几点说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而

在另一些区间上不是增函数；函数的单调区间是其定义域的子集；该区间内任意的两个实数，

忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；讨论函数的单调性必须在定

义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定

义域。

（3）三类函数的单调性：

①一次函数

()f x kx b =+ 当0k >时，函数()f x 在R 上是增函数；当0k <时，函数()f x 在R 上是减函数.

②反比例函数

()k f x b x a =++ 当0k

>时，函数()f x 在()(),,,a a -∞--+∞上是减函数； 当0k <时，函数()f x 在()(),,,a a -∞--+∞上是增函数.

③二次函数()2f x ax bx c =++

0a >时，函数()f x 在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦

上是减函数； 当0a <时，函数()f x 在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数，在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝

⎦上是增函数. （4）证明函数单调性的方法步骤：（i ）定义：设值、作差、变形、断号、定论．

即证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.

（ii ）导数

（5）如何求函数的单调区间

（6）复合函数的单调性：同增异减

（7）函数()f x 在(,)a b 上是减函数和函数()f x 的单调递减区间是(,)a b 的区别。

12、函数的奇偶性： （1）奇函数：

()()f x f x -=- （2）偶函数：()()()()f x f x f x f x -===- 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性

②由于任意x 和x -均要在定义域内，故奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．所以我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称

③若奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f =.

④函数的单调性是对区间而言，它是“局部”性质；而函数的奇偶性是对整个定义域而言的，它是“整体”性质

⑤偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同。

（3）证明和判断函数奇偶性的方法步骤：

利用定义判断函数奇偶性的一般步骤：

① 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

② ②确定()()f x f x -与的关系；

③作出相应结论：

若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；

若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．

（4）奇偶函数图象的性质特点：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（5）函数()f x a +为奇函数可推得：