高中数学必修1知识点

高中数学必修1知识点1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

2、元素与集合的关系：∈、∉3、数集的符号：自然数集N ；正整数集*N 或N +；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R .4、集合与集合的关系：⊆、≠⊂、= 5、若集合中有n 个元素，则它的子集个数为2n ；真子集个数为21n -；非空子集个数为21n -；非空真子集个数为22n -.6、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.7、子集的性质：（1）A ⊆A （即任何一个集合是它本身的子集）；（2）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；（3）若A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，则A ≠⊂C. 8、集合的基本运算（1）并集：}{x x x AB =∈A ∈B 或 （2）交集：}{x x x AB =∈A ∈B 且 （3）补集：}{U x x U x A =∈∉A 且 （4）性质：①AA =A ，A ∅=A ；②A A =A ，A ∅=∅； ③()U A A =∅，()U U A A =，()U U A =A ， ()()()U U U A B =A B ，()()()U U U A B =A B . 9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则.10、（一）求函数定义域的原则：（1）若()f x 为整式，则其定义域是R ； （2）若()f x 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合； （3）若()f x 是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；（4）若()0f x x =，则其定义域是}{0x x ≠； （5）若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是R ；（6）若()()log 0,1a f x x a a =>≠，则其定义域是}{0x x >. （二）求函数值域的方法以及分段函数求值（三）求函数的解析式11、函数的单调性：（1）增函数：设12,x x ∈I （()f x 的定义域），当12x x <时，有12()()f x f x <. （2）减函数：设12,x x ∈I （()f x 的定义域），当12x x <时，有12()()f x f x >. 强调四点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在B A 上是增（或减）函数．④定义的变形应用：如果证得对任意的),(,21b a x x ∈，且21x x ≠有0)()(1212>--x x x f x f 或者2121(()())()0f x f x x x -->，能断定函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数；如果证得对任意的),(,21b a x x ∈，且21x x ≠有2121()()0f x f x x x -<-或者2121(()())()0f x f x x x --<，能断定函数)(x f 在区间),(b a 上是减函数。

几点说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数；函数的单调区间是其定义域的子集；该区间内任意的两个实数，忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域。

（3）三类函数的单调性：①一次函数()f x kx b =+ 当0k >时，函数()f x 在R 上是增函数；当0k <时，函数()f x 在R 上是减函数.②反比例函数()k f x b x a =++ 当0k>时，函数()f x 在()(),,,a a -∞--+∞上是减函数； 当0k <时，函数()f x 在()(),,,a a -∞--+∞上是增函数.③二次函数()2f x ax bx c =++0a >时，函数()f x 在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函数； 当0a <时，函数()f x 在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数，在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函数. （4）证明函数单调性的方法步骤：（i ）定义：设值、作差、变形、断号、定论．即证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.（ii ）导数（5）如何求函数的单调区间（6）复合函数的单调性：同增异减（7）函数()f x 在(,)a b 上是减函数和函数()f x 的单调递减区间是(,)a b 的区别。

12、函数的奇偶性： （1）奇函数：()()f x f x -=- （2）偶函数：()()()()f x f x f x f x -===- 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性②由于任意x 和x -均要在定义域内，故奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．所以我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称③若奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f =.④函数的单调性是对区间而言，它是“局部”性质；而函数的奇偶性是对整个定义域而言的，它是“整体”性质⑤偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同。

（3）证明和判断函数奇偶性的方法步骤：利用定义判断函数奇偶性的一般步骤：① 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；② ②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．（4）奇偶函数图象的性质特点：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（5）函数()f x a +为奇函数可推得：（6）函数()f x a +为偶函数可推得：（7）两个函数的定义域的交集非空，则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数，奇函数与奇函数的成绩是偶函数，偶函数与偶函数的乘积是偶函数。

13、函数的图象及其变换、对称性、双对称以及函数的周期性：（1）函数的轴对称：定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称.推论1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称. 推论2：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.（2）函数的点对称：定理2：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称. 推论3：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 对称. 推论4：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.（3）函数周期性的性质：定理3：若函数()f x 在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-（其中a b ≠），则函数()y f x =以()2a b -为周期.定理4：若函数()f x 在R 上满足()()f a x f a x +=--，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以()2a b -为周期.定理5：若函数()f x 在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以()4a b -为周期.14、指数幂的运算性质：（1）若n x a =，则))n x n =⎪⎩为奇数为偶数；（2()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数； （3）n a =；（4）*0,,,1)m n a a m n N n =>∈>且； （5）*0,,1)mn a a m n N n -=>∈>,且；（6）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.（7）()0,,r s r s a a a a r s R +⋅=>∈；（8）()()0,,r s rs a a a r s R =>∈；（9）()()0,0,,r r r ab a b a b r s R =⋅>>∈.15、对数函数的运算性质：（1）()log 0,1x a a N x N a a =⇔=>≠；（2）()log 100,1a a a =>≠；（3）()log 10,1a a a a =>≠；（4）；()log 0,1a N aN a a =>≠； （5）()log 0,1m a a m a a =>≠；（6）()log ()log log 0,1,0,0a a a MN MN a a =+>≠M >N >； （7）()log log log 0,1,0,0a a a M M N a a N=->≠M >N >； （8）()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >；（9）()log log 0,1,0,0,1log c a c b b a a b c c a=>≠>>≠； （10）()log log 0,1,,*m n a a n b b a a n m N m =>≠∈； （11）()1log log 0,1,0,a a M a a M n R n=>≠>∈； （12）()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠. 16、基本初等函数的性质：（1）指数函数()()0,1x f x a a a =>≠性质： ①定义域为(),-∞+∞； ②值域为()0,+∞；③过定点()0,1；④单调性：当1a >时，函数()f x 在R 上是增函数；当01a <<时，函数()f x 在R 上是减函数.⑤指数函数的图象不经过第四象限，在第一象限内，当1x >时，图象离y 轴越近的指数越大。