高考立体几何妙解-正方体
认识正方体的知识点总结
认识正方体的知识点总结正方体是一种特殊的三维几何体，它的六个面都是正方形。
正方体在几何学中扮演着重要的角色，不仅在日常生活中广泛应用，而且在数学和工程学科中也有广泛的应用。
在本文中，我们将逐步介绍正方体的一些重要知识点。
1.正方体的定义正方体是一种六个面都是正方形的立体几何体。
它具有六个面、八个顶点和12条棱。
所有的面都相互垂直，并且相邻的面之间的边长相等。
2.正方体的性质正方体具有以下一些重要的性质： - 六个面都是相等的正方形，都具有相等的边长。
- 所有的内角都是直角（90度）。
- 对任何一个顶点而言，相邻的三个顶点与它构成的三条边的长度都是相等的。
3.正方体的体积和表面积正方体的体积是指正方体内部所包含的空间的大小。
正方体的表面积是指正方体六个面的总面积。
•体积计算公式：V = a³，其中a是正方体的边长。
•表面积计算公式：A = 6a²，其中a是正方体的边长。
4.正方体的投影当正方体投影到一个平面上时，我们可以观察到不同的形状。
正方体有三个主要的投影形式： - 正视图：从正方体的一个面正对观察，可以看到一个正方形。
- 侧视图：从正方体的一个侧面观察，可以看到一个长方形。
- 俯视图：从正方体的上方观察，可以看到一个正方形。
5.正方体的旋转对称性正方体具有旋转对称性，即它可以绕着不同的轴旋转，并且在旋转过程中保持不变。
正方体的旋转对称轴有三个：通过相对的顶点的对角线的轴、通过相对的棱中心的轴以及通过相对的面的中心的轴。
6.正方体的应用正方体在现实生活中有许多应用。
例如，建筑设计中的建筑模型常常使用正方体来代表建筑物的形状和结构。
在数学中，正方体是理解立体几何和三维空间概念的重要基础。
此外，正方体还在计算机图形学、游戏设计和机械工程等领域中有着广泛的应用。
通过了解正方体的定义、性质、体积和表面积计算方法，以及投影、旋转对称性和应用等方面的知识，我们可以更好地理解正方体的特点和应用。
高中正方体重要知识点总结
一、正方体的定义与性质1. 定义：正方体是一种六个面都是正方形的立方体，也可以说是一个立方体的特例。
2. 性质：a. 六个面都是相等的正方形，因此各个面的面积相等。
b. 所有的对角线相等。
c. 对立面平行且相等。
d. 体对角线长度为a√3，其中a为正方体的边长。
e. 与坐标轴平行，有相交于一个点，并且对称。
二、正方体的表面积和体积1. 表面积：正方体的表面积等于六个面的面积之和。
每个面的面积都是a^2，因此正方体的表面积为6a^2，其中a为正方体的边长。
2. 体积：正方体的体积等于边长的立方。
即V = a^3，其中V为正方体的体积，a为正方体的边长。
三、正方体的对角线正方体共有四条对角线，分别是空间对角线、两个面对角线和三个边对角线。
1. 空间对角线：空间对角线是正方体的两个相对的顶点的连线，其长度等于a√3。
2. 面对角线：面对角线是相对的两个面的对角的连线，其长度等于a√2。
3. 边对角线：正方体的每个面上有一条对角线，其长度等于a。
四、正方体的相关公式1. 表面积S = 6a^2，其中S为正方体的表面积，a为正方体的边长。
2. 体积V = a^3，其中V为正方体的体积，a为正方体的边长。
3. 空间对角线长度d = a√3，其中d为正方体的空间对角线长度，a为正方体的边长。
4. 面对角线长度l = a√2，其中l为正方体的面对角线长度，a为正方体的边长。
5. 边对角线长度s = a，其中s为正方体的边对角线长度，a为正方体的边长。
1. 在计算正方体的表面积和体积时，首先要明确各个面的面积和对角线的长度的关系。
2. 在计算正方体的对角线长度时，可以利用勾股定理或三维几何的相关知识进行推导。
3. 在解体积和表面积的问题时，对于知道其中一个量求另一个量的情况要利用已知条件进行推导。
在学习正方体的过程中，需要掌握上述相关定义、性质、公式以及解题技巧，通过大量的练习来加深理解。
此外，还可以通过立体几何模型或者软件进行实际操作，加深对正方体的认识。
高考数学 正方体是多面体的题根知识分析
题根研究正方体为多面体之根一、正方体高考十年十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体. 其中： （1）直接考正方体的题目占了三分之一； （2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.【考题1】（正方体与其外接球）（1996年）正方体的全面积为a 2，则其外接球的表面积为（B ）A.3 2a πB.22a π C.2πa 2D.3πa 2【解析】外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的（C ）约6倍或（D ）约9倍，否定（C ），（D ）；也不可能与其近似相等，否定（A ），正确答案只能是（B ）.【考题2】（正方体中的线面关系）（1997年）如图，在正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．（1）证明AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1FD 1；（4）设AA 1=2，求三棱锥F -A 1ED 1的体积【说明】 小问题很多，但都不难. 熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要知道棱AD 与后侧面垂直 就够了.【考题3】（正方体的侧面展开图）（2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②与BE 是异面直线；③与BM 成60°角；④DM 与 BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④【解析】考查空间想象能力. 如果能从展开图（右上）想到立体图（下），则能立即判定命题①、②为假，而命题③、④为真，答案是C.【考题4】（正方体中的垂直面）（2002年）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小.【解析】【考题5】（正方体中主要线段的关系）（2002年）在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是【解析】射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.【考题6】（正方体与正八面体）（2003年） 棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.33aB.43aC.63aD.123a【解析】将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的21，再乘31得61. 答案选C.【考题7】（正方体中的异面直线）（2004年）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于A.510 B.515 C.54 D.32【解析】【考题8】（正方体中的线线角）（2005年）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是A.arccos 515B.4 πC.arccos 510D.2π【考题9】（正方体中的射影问题）（2006年）如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)【考题10】（正方体中的三角形）（2006年）在正方体上任选3个顶点连三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角青工的概率为 A.71 B.72 C.73 D.74【解析】在正方体上任选3个顶点连成三角形可得38C 个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得38C 24，所以选C. 二、全国热炒正方体2006年的各地数学考卷中，直涉正方体的考题有13个，隐涉正方体的考题还有更多.其中，某某卷“一大一小”的立几考题，都是考的正方体.某某卷登峰造极，“一小一大”的两个立几考题，都是正方体中的难题. 其中，第18题的第2问还是个开放题目.【考题1】2006年某某卷第13题——正方体的一“角”在三棱锥O —ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA =OB =OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是（用反三角函数表示）.【考题2】2006年某某卷第19题——两正方体的“并” 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点，M 、N 分别是AE 、CD 1的中点，AD =AA 1=a ，AB =2a .（1）求证：MN ∥面ADD 1A 1； （2）求二面角P —AE —D 的大小； （3）求三棱锥P —DEN 的体积.【考题3】（2006年某某卷第18题）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP =m .（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP .并证明你的结论.【分析】熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第(Ⅰ)问，可心算出结果为m =1/3；对第(Ⅱ)问，可猜出这个Q 点在O 1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第（Ⅰ）小题成了大题，第(Ⅱ)小题成了大难题.【考题4】（2006年某某卷第16题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号）三、正四面体与正方体从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考： （1）正方体如何演变出正四面体？ （2）正方体如何演变出正八面体？ （3）正方体如何演变出正三棱锥？ （4）正方体如何演变出斜三棱锥？【考题1】（正四面体化作正方体解）四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A.3πB.4πC.3π3D.6π【说明】本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.【拙解】正四面体棱长为⇒2底面ABC 是边长为2的正三角形△ABC 的高线BD =23·2=26（斜高VD =26）⇒△ABC 的边心距HD =31·26=⇒66正四面体V —ABC 的高 .332)66()26(2222=-=-=HD VD VH 正四面体外接球的半径为高的43，即R =43·.23332= 故其外接球的表面积为3π. 答案是A.【联想】1、2、3的关系正四面体的棱长为2，这个正四面体岂不是由棱长为1的 正方体的6条“面对角线”围成？为此，在棱长为1的正方体B —D 1中，（1）过同一顶点B 作3条面对角线BA 1、BC 1、BD ； （2）将顶点A 1，C 1，D 依次首尾连结.则三棱锥B —A 1C 1D 是棱长为2的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.【妙解】 从正方体中变出正四面体以2长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，这个正方体的体对角线长为3，则其外接球的半径为23，则其外接球的表面积为S =4πR 2=4π (23)2＝3π 以2为棱长的正四方体B —A 1C 1D 以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S =3π.【寻根】 正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有12C 48-=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.四、正方体成为十年大难题按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间. 所以，十年来立几考题——哪怕是解答题也没有出现在压轴题中.从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！【命题】 将正方体一分为二2003年全国卷第18题，某某卷第18题，某某卷第19题等，是当年数学卷的大难题. 其难度，超过了当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱.图中的点E 正是正方体的中心.【考题】如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°.侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .(Ⅰ)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (Ⅱ)求点A 1到平面AED 的距离.【解析】（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即 ∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，∵D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC ⊥平面ABC ， ∴CDEF 为矩形.连结DF ，G 是△ADB 的重心，∴G ∈DF .在直角三角形EFD 中，EF 2=FG ·FD =31FD 2，∵EF =1，∴FD =3. 于是ED =2，EG =36321=⨯. ∵FC =ED =2，∴AB =22，A 1B =23，EB =3. ∴sin ∠EBG =EB EG =36·31=32.∴A 1B 与平面ABD 所成的角是arcsin32. （Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D ADE A V V 11--=.∵ED ⊥AB ，ED ⊥EF ，又EF ∩AB =F ，∴ED ⊥平面A 1AB ， 设A 1到平面AED 的距离为h ，则S △AED ·h =AE A S 1∆·ED . 又AE A S 1∆=A A S AB A 114121=∆·AB =2， S △AED =21AE ·ED =26.∴h =3622622=⨯. 即A 1到平面AED 的距离为362. 本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！ 难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.EFCD 为矩形EF =1（已知）FD =3FG （重心定理）FD =3（射影定理）EG =36（Ⅰ）ED =2（勾股定理）FC =2（正方体！） FB =2EB =3（Ⅱ）sin ∠EBG =32=EB EG .难题（0318）的题图探究正方体立体图常见的画法有两种： （1）斜二测法（图（1））此法的缺点：A1、B、C 三点“共线”导致“三线”重合（2）正等测法（图（2））此法的缺点：A、C、C1、A1“共线”导致“五线”重合难题的图近乎第二种画法（图（3））：将正方体的对角面置于正前面.五、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单.像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！关于正方体你已经知道了多少？正方体，（）个面，线面距转（）面距，（）个顶点（）棱。
立体几何中的正方体
立体几何中的正方体正方体是立体几何中一种常见的立体形状，具有六个相等的正方形面。
它在数学和几何学中具有重要的性质和应用。
本文将对正方体的特点、性质及应用进行介绍。
一、正方体的特点正方体是一种特殊的长方体，其特点如下：1. 具有六个面，每个面都是正方形，且相邻面的边长相等。
2. 具有八个顶点，每个顶点四个面相交，且每个面都有一个顶点。
3. 具有十二条棱，每个棱连接两个顶点，且每个棱都有两个面与之相邻。
4. 具有六个面对面的对称轴，可沿着对称轴进行对称。
二、正方体的性质正方体具有多种性质，下面介绍其中几个重要的性质：1. 对角线长度相等：正方体的对角线长度相等，可以通过勾股定理证明。
2. 体对角线长度：正方体的体对角线长度等于边长的√3倍，可以通过勾股定理证明。
3. 面对角线长度：正方体的面对角线长度等于边长的√2倍，可以通过勾股定理证明。
4. 体积和表面积：正方体的体积等于边长的立方，表面积等于边长的平方的六倍。
5. 对称性：正方体具有多个对称面、对称轴和对称中心。
三、正方体的应用正方体作为一种常见的几何形状，广泛应用于各个领域。
1. 建筑设计：正方体被广泛运用在建筑设计中，如建筑立面、建筑布局等，通过调整正方体的大小、角度和排列方式，可以创造出不同的建筑风格和效果。
2. 产品设计：正方体的简单形状使得它在产品设计中应用广泛，如盒子、骰子等，正方体的规整形状方便制造和使用。
3. 数学教育：正方体作为一种基本的立体形状，被广泛用于数学教育中，教授几何概念和计算体积等基础知识。
4. 计算机图形学：正方体在计算机图形学中也扮演着重要的角色，用于建模和渲染等领域。
总结：正方体作为立体几何中常见的形状，具有多种特点和性质，并被广泛应用在各个领域。
了解正方体的特点和性质，有助于我们更好地理解三维空间，应用几何知识解决实际问题。
正方体是几何学中的基本形状之一，通过研究正方体的性质和应用，我们可以进一步理解立体几何的重要概念。
正方体高考知识点
正方体高考知识点正方体是一种立体图形，它的六个面都是正方形。
在高考数学中，正方体是一个常见的几何形体，涉及到的知识点也很重要。
本文将从不同角度介绍正方体的性质、相关公式和解题方法。
第一部分：正方体的性质和结构1.1 表面积和体积正方体的表面积是指六个面的总面积。
由于每个面都是正方形，所以可以使用边长的平方乘以6来计算表面积。
假设正方体的边长为a，则表面积S=6a²。
正方体的体积是指正方体所占的空间大小。
体积可以通过边长的立方来计算，即体积V=a³。
1.2 空间对角线正方体的空间对角线是指连接相对顶点的线段。
在正方体中，空间对角线的长度可以通过勾股定理计算。
假设正方体的边长为a，则空间对角线的长度D=√(3a²)。
第二部分：相关公式和解题方法2.1 相关公式在解题过程中，我们还会遇到一些与正方体相关的公式。
首先，我们来看一下正方体的对角线长度与边长之间的关系。
设正方体的对角线长度为d，则有公式d=√(3a)。
其次，我们还会遇到正方体的体积、边长和表面积之间的关系。
根据前面的介绍，体积V=a³，表面积S=6a²。
仔细观察这两个公式，我们可以发现它们之间存在一个关系：V=S/6。
这个关系在解题中非常有用，可以帮助我们快速计算出正方体的体积。
2.2 解题方法在高考中，与正方体相关的问题通常是要求我们计算正方体的面积、体积或者边长。
在解题过程中，我们可以采用以下方法：首先，要熟练掌握正方体的表面积和体积的计算公式。
这样，当遇到与正方体相关的题目时，可以迅速应用相关公式进行计算。
其次，要善于利用正方体的对称性质。
正方体的六个面是相似的，每个面上的对应线段是相等的。
这个性质在解题时经常被用到，可以帮助我们简化解题步骤，减少计算量。
第三部分：实例分析为了更好地理解正方体的性质和解题方法，我们来看两道典型的高考题目。
题目一：一个正方体的对角线长为d，求它的边长和体积。
素描正方体讲解知识点总结
素描正方体讲解知识点总结一、正方体的性质1. 正方体的各个面正方体有六个面，它们都是正方形。
每个面都与其他两个面相邻，形成了一个完整的立体。
正方体的各个面具有相同的边长和相同的角度，因此它们是完全相似的。
2. 正方体的各个顶点正方体有八个顶点，每个顶点由三条边相交而成。
在每个顶点处，会形成一个相等的直角三角形，这也是正方体所特有的性质之一。
3. 正方体的各条边正方体有十二条棱，每条棱都与其他两条棱相邻。
这十二条棱分别连接了正方体的八个顶点，形成了正方体的完整结构。
二、正方体的表面积和体积1. 表面积正方体的表面积等于它的六个面积之和。
每个面积都是正方形，所以可以用边长的平方来表示。
因此，正方体的表面积等于6×(边长×边长)。
2. 体积正方体的体积等于它的长、宽、高三个边长的乘积。
因为每个面都是正方形，所以它们的面积相等，也就是说正方体的体积等于正方形面积的立方。
三、正方体的投影正方体的投影是指正方体在不同方向下的影子。
在数学中，我们通常会涉及到正方体在不同平面上的投影问题，比如正方体在地面上的投影、在墙壁上的投影等等。
四、正方体的展开图正方体的展开图是指将正方体的所有面展开成一个平面图形。
通过展开图，我们可以更直观地看到正方体各个面之间的联系和排列。
通过以上对正方体的性质、表面积、体积、投影和展开图的介绍，我们可以更深入地理解正方体在数学中的应用和意义。
掌握了这些知识点，我们能够更好地解决与正方体相关的问题，并加深对几何学的理解。
高中正方体特殊结论
高中正方体特殊结论一、正方体的定义正方体是一种特殊的立体形状，它的六个面都是正方形，且所有的边长相等。
正方体具有许多独特的性质和结论，在高中数学中被广泛学习和讨论。
本文将深入探讨高中正方体特殊结论。
二、正方体的面、棱和顶点正方体的六个面分别是正方形，它们的面积相等。
正方体的所有棱也相等长，每个面上有四条棱相交。
正方体有八个顶点，每个顶点都会和其他三个面相交。
三、正方体的对角线正方体的对角线是连接正方体两个不相邻顶点的线段。
正方体有四条对角线，每条对角线的长度相等。
对角线也可以通过对称性得出，即通过找到两个对应点的位置关系。
四、正方体的体积和表面积正方体的体积是指正方体所包围的空间大小。
计算正方体的体积非常简单，只需要将正方体的边长相乘即可，即V=a3，其中a为正方体的边长。
正方体的表面积是指正方体六个面的总面积。
正方体的表面积可以通过计算正方体六个面的面积后相加得到，也可以通过计算正方体一个面的面积后乘以6得到。
即A=6a2，其中a为正方体的边长。
五、正方体的直径和内切球半径正方体的直径是指通过正方体中心并且与正方体两个相对顶点相连的线段。
计算正方体的直径简单，只需要将正方体的边长乘以√3即可，即d=√3a，其中a为正方体的边长。
正方体可以内切于一个球形，这个球形被称为内切球。
内切球与正方体的六个面相切。
正方体的内切球半径可以通过正方体的边长乘以12得到，即r =12a ，其中a 为正方体的边长。
六、正方体的对角线和棱角的关系正方体的对角线和棱角有很特殊的关系。
对角线将正方体分为两个等体积的四面体，棱角则将正方体分为六个等体积的四棱锥。
这个结论可以通过数学证明和几何推断得到。
七、正方体的切割和体积比较正方体可以按照不同的方式进行切割，每种切割方式都会得到不同的几何形状。
通过对不同形状的计算，可以比较出正方体的体积和其他形状的体积之间的大小关系。
八、正方体结论的应用正方体结论在实际生活和工作中有着广泛的应用。
高考立体几何妙解-正方体
⾼考⽴体⼏何妙解-正⽅体⾼考⽴体⼏何精髓-正⽅体⼀、基础知识：㈠11种展开图（⼆）⽤⼀个平⾯截正⽅体。
可得到以下三⾓形、矩形、正⽅形、五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。
具体做法：三⾓形——过⼀个顶点与相对的⾯的对⾓线以内的范围内的线。
矩形——过两条相对的棱或⼀条棱。
正⽅形——平⾏于⼀个⾯五边形——过四条棱上的点和⼀个顶点或五条棱上的点。
六边形——过六条棱上的点。
正六边形——过六条棱的中点。
菱形——过相对顶点。
梯形——过相对两个⾯上平⾏不等长的线。
⼆、技巧应⽤①利⽤正⽅体构造反例判断命题的真假.【例１】已知a，b，c是直线，是平⾯，给出下列命题：①若a⊥b，则b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥，b，则a∥b；④若a与b异⾯，且a∥，则b与相交；⑤若a与b异⾯，则⾄多有⼀条直线与a、b都垂直.其中真命题的个数是（）.Ａ. １Ｂ. ２Ｃ. ３Ｄ. ４解：构造如图１所⽰的正⽅体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１.对①选ＡＢ为a，ＢＣ为b，ＣＣ１为c，显然a不平⾏于c，所以①不正确；②显然正确；对③选ＡB为a，平⾯ＣＣ１Ｄ１Ｄ为，ＣＣ１为b，a与b不平⾏，所以③不正确；对④选ＡＢ为a，Ｂ１Ｃ１为b，过ＡＡ１中点且垂直于ＡＡ１的平⾯为，显然a、b都与平⾏，所以④不正确；对⑤所有平⾏于a、b的公垂线的直线（有⽆数条）都与a、b垂直，所以⑤不正确；故选Ａ.②将复杂的点、线、⾯关系置于正⽅体中解题【例2】ＭＮ是两条互相垂直的异⾯直线a，b的公垂线段，点Ｐ是线段ＭＮ上除Ｍ，Ｎ外⼀动点，若点Ａ是a上不同于公垂线垂⾜的⼀点，点Ｂ是b上不同于公垂线垂⾜的⼀点，则△ＡＰＢ是（）.Ａ. 锐⾓三⾓形Ｂ. 钝⾓三⾓形Ｃ. 直⾓三⾓形Ｄ. 以上均有可能解：如图２，把异⾯直线a，b，及公垂线段ＭＮ置于正⽅体中，则ＡＰ２＝ＡＭ２＋ＭＰ２，ＢＰ２＝ＢＮ２＋ＮＰ２，ＡＢ２＝ＢＮ２＋ＡＮ２＝ＢＮ２＋ＡＭ２＋ＭＮ２，∴ＡＰ２＋ＢＰ２－ＡＢ２＝ＭＰ２＋ＰＮ２－ＭＮ２＝ＭＰ２＋ＰＮ２－（ＭＰ＋ＰＮ）２＝－２ＭＰ·ＰＮ<0.∴△ＡＰＢ为钝⾓三⾓形，故选Ｂ.【点评】当点、线⾯关系⽐较复杂时，可以寻找⼀个载体（如正⽅体），将它们置于其中，这是解题的很好途径。
高中数学立体几何解题技巧
高中数学立体几何解题技巧在高中数学中，立体几何是一个重要的考点，也是学生们普遍认为较为困难的部分。
本文将介绍一些解题技巧，帮助学生更好地应对立体几何题目。
一、空间几何体的性质在解决立体几何问题时，首先要熟悉各种空间几何体的性质。
例如，正方体的六个面都是正方形，每个面上的对角线相交于立方体的中心点。
了解这些性质可以帮助我们更好地理解题目，从而更快地找到解题思路。
例如，考虑以下题目：已知正方体ABCD-EFGH，点M，N分别为AE和BF的中点，连接MN并延长交于点P，求证：AP⊥MN。
解题思路：首先，我们要了解正方体的性质。
正方体的六个面都是正方形，对角线相交于中心点。
根据题目中的条件，我们可以画出正方体，并连接MN。
然后，我们观察到点P是MN的延长线上的一个点，可以猜测点P可能与正方体的某个顶点相关。
通过观察，我们可以发现点A与MN的延长线相交于点P。
由于正方体的性质，我们可以得出结论：AP⊥MN。
二、平行关系的运用在解决立体几何问题时，平行关系是一个重要的解题技巧。
通过观察题目中给出的平行线段或平行面，我们可以利用平行关系得到一些有用的信息。
例如，考虑以下题目：已知四棱锥ABCD-A1B1C1D1，AB∥A1B1，CD∥C1D1，E为AB的中点，F为CD的中点，连接EF并延长交于点P，求证：AP⊥EF。
解题思路：首先，我们要注意到题目中给出了平行关系。
根据题目中的条件，我们可以画出四棱锥，并连接EF。
然后，我们观察到点P是EF的延长线上的一个点，可以猜测点P可能与四棱锥的某个顶点相关。
通过观察，我们可以发现点A 与EF的延长线相交于点P。
由于平行关系的性质，我们可以得出结论：AP⊥EF。
三、相似关系的运用在解决立体几何问题时，相似关系也是一个常用的解题技巧。
通过观察题目中给出的相似三角形或相似几何体，我们可以利用相似关系得到一些有用的信息。
例如，考虑以下题目：已知正方体ABCD-EFGH，点M，N分别为AE和BF的中点，连接MN并延长交于点P，求证：BP：PM=2：1。
巧构正方体,妙解高考题
巧构正方体，妙解高考题2006年高考数学试题江西卷的立体几何题是这样的：如图1，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD 3BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形.(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求二面角B －AC －D 的大小；(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.本题用综合法（传统方法）来解难度较大，甚感“山重水复疑无路”，若能根据题目条件构造正方体来解，便能“柳暗花明又一村”了.分析：因为题目条件中有“∆ABD 、∆ACD 是全等的直角三角形”、“AD 3BD ＝CD ＝1”、“正三角形”等条件，所以我们容易联想到正方体，从而构造出如图所示的棱长为1的正方体了.因此以下的解法也就再自然不过了.解 (1) 如图2, 构造棱长为1的正方体. 以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系.则B（1,0,0）,C(0,1,0),A(1,1,1),()1,1,0BC =- ,()1,1,1DA =, ∴0,BC DA ⋅=∴BC ⊥AD.(2)设平面ABC 的法向量为()1,,n x y z =，则由110;n BC n BC x y y x ⊥⋅+=∴= 知： ＝-， 同理由 110,.n CA n CA x z z x ⊥⋅+=∴=- 知： ＝∴()1,,n x x x =- . 不妨取()11,1,1n =- .同理可求得平面ACD 的一个法向量为()21,0,1n =- ，∴cos 12,n n <> =12126||||n n n n ⋅=又由图可以看出，二面角为锐二面角，∴所求的二面角的大小为(3)设E(x,y,z)是线段AC 上的一点，过点E 作面BCD 的垂线段EM ，则MC=EM ，∴x=z > 0,y=1,∴M E x zyDCOBA图2(),1,DE x x = .又平面BCD 的一个法向量为()0,0,1n =，要使ED 与面BCD 成30︒角，由图可知只要,60DE n <>=︒ ，∴cos ,DE n <>=1cos602||||DE n DE n ⋅==︒=,∴2x =∴2=21x CE x =∴=. 故在线段AC 上存在点E ，当CE=1时，ED 与面BCD 成30︒角.正方体是一种特殊且重要的多面体，它含有丰富的线线、线面和面面等位置关系．一道立体几何题，如果能通过构造正方体来解，不仅方法简捷自然，而且还可以利用空间向量这一工具降低思维难度. 所以有关能通过构造正方体来解的题深受高考命题教师的青睐. 下面再通过几个例子来说明这种方法的运用．例1(2003年全国高考题) 2面积为（ ）.(A) 3π (B)4π 3π (D)6π解：以正四面体的各棱为正方体的面对角线，构造棱长为1的正方体，显然所求的球就是棱长为1的正方体的外接球，设球的半径为R ，即有2R ＝3()22423.S R R πππ===球表故选(A)．例2(2002年全国高考题) 如图3，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、 ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a (02a <<.（I ）求MN 的长；（II ）当a 为何值时，MN 的长最小；（III ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.图3 图4AF解：(Ⅰ)可求得 (0a <<．(Ⅱ) 由（I ） ，故当2a =时，min 2MN =． 即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22． (Ⅲ)以正方形ABCD 、ABEF 为相邻面构造正方体，如图4，面MNA 与面MNB 所成的角，即为面MNA 与面CF 1E 所成的角(因为面MNB ∥面CF 1E )．在正四面体AEF 1C 中，易求得两个相邻面所成二面角的余弦为－13， ∴ 二面角A —MN —B 的大小为π－arccos13． 例3(2004年北京春季高考题) 如图5，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，3SB =图5 图6（I ）求证BC ⊥SC ；（II ）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（III ）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小. 解：（I ）∵SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴可以把四棱锥 S ABCD -补形为长方体A 1B 1C 1S-ABCD ，如图6，由正方形ABCD 的边长为1,且SB 3知SD=1，故长方体A 1B 1C 1S-ABCD 是棱长为1的正方体．（I ）在正方体 A 1B 1C 1S-ABCD 中，显然有BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（II ）在正方体A 1B 1C 1S-ABCD 中，面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面 BCSA 1所成的二面角．而∠CSD 即为其平面角, 又∠CSD=45︒， ∴面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为 45︒．（III ）在正方体 A 1B 1C 1S-ABCD 中，M 即是面对角线A 1D 的中点，∴DM ⊥SA ．又SA 是SB 在面ASD 上的射影，由三垂线定理得DM ⊥SB ，∴异面直线DM 与SB 所成的角为 90︒．练习题1、在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC= a ，那么这个球面面积是 .分析 PA 、PB 、PC 两两垂直很容易想到PABC 位于一个正方体中，从而构造正方体.解 如图，满足条件的正方体的四个顶点P 、A 、B 、C 恰好在球面上，∴此时球的直径2R 为正方体的对角线长.即2R=3a ，23a S π=∴球表面积. 2、四面体SABC 的三组对棱分别相等，且依次为52、13、5，则四面体的体积是 .分析 四面体的三组对棱相等，联想到长方体中相对的面的面对角线长度相等，从而构造长方体. 解 如图，将四面体SABC 补形成一个长方体，设长方 体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则有：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+251320222222c a c b b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒9416222c b a 4,2,3.a b c =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩∴三棱锥正方体V V V SABCD 4-=abc abc 21314⨯⨯-=abc 31==8.PCBAPA BCPCBASCBA。
高考正方体知识点
高考正方体知识点高考，有着重要的意义，代表着每个学生的转折点。
而在备战高考的过程中，准备好相关考试知识点是至关重要的。
本文将对高考数学中的正方体知识点进行深入剖析。
1. 正方体的定义正方体是一个具有六个相等正方形面的立体。
它的六个面都是正方形，并且相邻面之间的交线是直线。
正方体有八个顶点和十二条边，每个顶点都是三条棱的交点。
2. 正方体的性质正方体具有多种性质，以下是一些常见的性质：- 所有的面都是正方形，所以每个角度都是90°。
- 对角线相等性质：正方体的对角线互相垂直且相等。
- 空间对称性质：正方体具有空间对称性，即任何一点绕绕正方体的中心旋转180°都能重合。
3. 正方体的体积和表面积公式正方体的体积公式是边长的立方，即V = a³，其中V表示正方体的体积，a表示边长。
由此可知，正方体的体积与边长的立方成正比关系。
正方体的表面积公式是六个面积的和，即S = 6a²，其中S表示正方体的表面积，a表示边长。
通过这个公式可以推算出正方体的几何性质，例如增大边长会使表面积增大。
4. 正方体的解题技巧在高考数学中，正方体常常出现在几何题中。
解题时需要掌握以下几个常见的技巧：- 了解正方体的基本性质，例如对称性等。
- 利用正方体的几何性质推导其他结论，例如对角线相等性质。
- 运用代数和几何方法相结合，通过建立方程求解问题。
举个例子，假设有一个正方体，边长为a，求其对角线长度。
根据对角线相等性质，我们可以得知正方体的对角线长度等于棱长的根号3倍，即√3a。
5. 正方体的应用正方体在现实生活中有许多应用，例如建筑设计、计算机图形学以及物体的包装等领域。
正方体的对称性和稳定性使得它成为建筑设计中的重要元素，许多建筑物的结构都与正方体直接相关。
计算机图形学中的三维模型也经常使用正方体作为基础单元进行构建。
此外，正方体的体积和表面积计算对于物体的包装、运输以及材料的计量也具有重要的意义。
高考数学立方体知识点归纳总结
高考数学立方体知识点归纳总结在高考数学中，立方体是一个重要的几何体，涉及到了立体几何与解析几何的知识点。
本文将对高考数学中关于立方体的知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地掌握和应用这些知识。
1. 立方体的定义和性质立方体是一种特殊的长方体，具有六个面都是正方形的特点。
它的特点包括：(1) 所有边长相等：立方体的六个棱长都相等。
(2) 所有内角都是直角：立方体的六个面都是正方形，因此所有的内角都是90度。
(3) 随意旋转都相同：立方体可以在三维空间中任意旋转，但它的形状不会改变。
2. 立方体的表面积和体积计算(1) 表面积计算：立方体的表面积等于六个正方形的面积之和。
因为立方体的所有面都是正方形，所以可以使用公式：表面积 = 6 × (边长)²。
(2) 体积计算：立方体的体积等于它的边长的三次方，即立方体的体积 = 边长³。
3. 立方体的投影在几何学中，我们可以对立方体进行不同的投影，从而得到不同的图形。
常见的立方体投影包括正投影和斜投影。
(1) 正投影：当投影光线垂直于立方体的一个面时，称为正投影。
正投影可以保持立方体的形状完全不变，只改变立方体的大小。
(2) 斜投影：当投影光线与立方体的一个面不垂直时，称为斜投影。
斜投影不仅改变了立方体的大小，还改变了它的形状。
4. 立方体的旋转和对称性立方体在三维空间中具有多种旋转和对称性。
(1) 旋转对称性：立方体具有多种旋转对称轴，包括连接对立面中心点的线段、连接棱中心点的线段以及连接对角线中点的线段。
通过绕这些对称轴的旋转，立方体的形状不变。
(2) 镜面对称性：立方体具有多个面的镜面对称性。
任意两个相对面之间都存在一个镜面，通过这个镜面可以将立方体折叠成自身。
5. 立方体在解析几何中的应用立方体在解析几何中广泛应用于坐标系中的立体图形表示和计算问题。
(1) 立方体的顶点坐标：通过确定立方体的一个顶点坐标，可以确定其他顶点的坐标。
正方形立体几何结合高二知识点
正方形立体几何结合高二知识点在高二几何学中，立体几何是一个重要的知识点。
而正方形是一种特殊的四边形，它具有许多独特的性质。
本文将介绍正方形在立体几何中的应用，以帮助读者更好地理解该知识点。
正方体是一种由正方形构成的立体图形。
它的六个面都是正方形，每个面都有相同的边长。
正方体具有许多有趣的性质和特点。
首先，正方体的对角线是相等的，由于正方形的对角线相等的性质，正方体的对角线也具有相等的长度。
此外，正方体的表面积和体积也是我们需要了解的重要知识点。
正方体的表面积可以通过将六个正方形的边长相加得到。
假设正方体的边长为a，则它的表面积为6a^2。
而正方体的体积等于边长的立方，即a^3。
这些公式可以帮助我们计算任意正方体的表面积和体积。
除了正方体，正方形还可以应用在其他立体图形中。
例如，正方形可以用来构建棱锥、棱台和棱柱等立体图形。
当正方形作为底面时，它们的性质和计算方法与正方体类似。
通过了解正方形在不同立体图形中的应用，我们可以更好地理解和计算这些图形的性质。
除了立体图形，正方形还与其他高二数学知识点相关联。
例如，正方形的对角线和边长之间存在特定的关系，可以利用勾股定理进行计算。
假设正方形的边长为a，则它的对角线长度可以由公式d = a√2计算得出。
这个关系对于解决各种与正方形相关的问题非常有用。
另一个与正方形相关的高二知识点是平行四边形的面积计算。
平行四边形可以看作两个相等的正方形组成，因此可以将平行四边形的面积公式简化为正方形的公式。
假设平行四边形的底边长为a，高为h，则它的面积为a*h，这与正方形的面积计算方法相同。
正方形立体几何结合高二知识点的应用非常广泛。
通过深入研究正方形的性质和特点，我们可以更好地理解和应用高二数学中的相关知识。
掌握正方形在立体几何中的应用，将有助于我们解决各种与正方形和其他立体图形相关的问题。
总结起来，正方形在立体几何中具有独特的应用，包括构建正方体和其他立体图形、计算表面积和体积、以及与其他高二知识点的相关性。
高中数学第八章立体几何初步解题方法技巧(带答案)
高中数学第八章立体几何初步解题方法技巧单选题1、若一个正方体的体对角线长为a ，则这个正方体的全面积为（ ）A ．2a 2B ．2√2a 2C ．2√3a 2D ．3√2a 2答案：A分析：设正方体的棱长为x ，求出正方体的棱长即得解.解：设正方体的棱长为x ，则√3x =a ，即x 2=13a 2，所以正方体的全面积为6x 2=6×13a 2=2a 2． 故选：A2、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．MN//平面ABEB ．MN//平面ADEC ．MN//平面BDHD ．MN//平面CDE答案：C解析：根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN 与平面BCF 的关系，利用面面平行的性质可以判定MN 与平面ADE 的关系，进而对选择支B 作出判定；利用线面平行的判定定GH理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE 的关系，进而对D作出判定.根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.小提示：本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.3、球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正△ABC的项点都在半径为2的球面上，球心到△ABC所在平面距离为2√63，则A、B两点间的球面距离为（）A．πB．π2C．2π3D．3π4答案：C分析：设球心为点O，计算出∠AOB，利用扇形弧长公式可求得结果.设球心为点O ，平面ABC 截球O 所得截面圆的半径为r =√22−(2√63)2=2√33， 由正弦定理可得4√33=AB sin∠ACB ，∴AB =4√33sin π3=2，又∵OA =OB =2，所以，△AOB 为等边三角形，则∠AOB =π3，因此，A 、B 两点间的球面距离为2×π3=2π3.故选：C.小提示：思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式r =√R 2−d 2（其中r 为截面圆的半径，R 为球的半径，d 为球心到截面的距离）来计算.4、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为（ ）A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．矩形答案：B解析：利用面面平行的性质判断EF 与的平行、EH 与FG 平行.因为平面ABFE //平面CGHD ,且平面EFGH ∩平面ABFE =EF ,平面EFGH ∩平面CGHD =GH ,根据面面平行的性质可知EF //,同理可证明EH //FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.GH GH5、空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或3条答案：D分析：根据平面与平面的位置关系即可得出结论.三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：故选：D6、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1B 1的中点，则异面直线D 1E 与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．√55B ．√105C ．√155D ．2√55 答案：B分析：连接AD 1，，得到AD 1//BC 1，把异面直线D 1E 与BC 1所成角转化为直线D 1E 与AD 1所成角，取AD 1的中点F ，在直角△D 1EF 中，即可求解.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，连接AD 1，，可得AD 1//BC 1，所以异面直线D 1E 与BC 1所成角即为直线D 1E 与AD 1所成角，即∠AD 1E 为异面直线D 1E 与BC 1所成角，不妨设AA 1=2，则AD 1=2√2，D 1E =AE =√5，取AD 1的中点F ，因为D 1E =AE ，所以EF ⊥AD 1，在直角△D 1EF 中，可得cos∠AD 1E =D 1F D 1E =√2√5=√105. 故选：B.AE AE7、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π6答案：D分析：平移直线AD1至BC1，将直线PB与AD1所成的角转化为PB与BC1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D8、甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V 乙．若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙=（ ）A ．√5B ．2√2C ．√10D ．5√104答案：C 分析：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，根据圆锥的侧面积公式可得r 1=2r 2，再结合圆心角之和可将r 1,r 2分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，则S 甲S 乙=πr 1l πr 2l =r 1r 2=2，所以r 1=2r 2，又2πr 1l +2πr 2l =2π， 则r 1+r 2l =1，所以r 1=23l,r 2=13l ，所以甲圆锥的高ℎ1=√l 2−49l 2=√53l ， 乙圆锥的高ℎ2=√l 2−19l 2=2√23l ， 所以V 甲V 乙=13πr 12ℎ113πr 22ℎ2=49l 2×√53l 19l ×2√23l =√10.故选：C.多选题9、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE⏜,AC ⏜所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC =120∘，则该圆台的（ ）A．高为4√2B．体积为50√23πC．表面积为34πD．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22答案：AC分析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，求出r=1,R=3，即可判断选项A正确；利用公式计算即可判断选项BCD的真假得解.解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr=13×2π×3,2πR=13×2π×9，解得r=1,R=3．圆台的母线长l=6，圆台的高为ℎ=√62−(3−1)2=4√2，则选项A正确；圆台的体积=13π×4√2×(32+3×1+12)=52√23π，则选项B错误；圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为π(1+3)×6=24π，则圆台的表面积为π+9π+24π=34π，则C正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D错误．故选：AC．10、如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1容器内灌进一些水(未满)，现将容器底面一边BC固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（）A．水的部分始终呈棱柱状B．水面四边形EFGH的面积为定值C ．棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行D ．若E ∈AA 1，F ∈BB 1，则AE +BF 是定值答案：ACD分析：利用棱柱的定义即可判断选项A ，由水面四边形EFGH 的边长在变化，即可判断选项B ，利用线面平行的判定定理即可判断选项C ，由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出AE +BF 为定值，即可判断选项D 解：由于四边形ABFE 与四边形DCGH 全等，且平面ABFE ‖平面DCGH ，则由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A 正确，因为BC ‖FG ，BC ⊥平面，所以FG ⊥平面，因为EF ⊂平面，所以FG ⊥EF ，因为FG ‖EH ，FG =EH ，所以因为四边形EFGH 为矩形，所以水面四边形EFGH 的面积等于EF ⋅FG ，因为水面四边形EFGH 的边长FG 不变，EF 在变化，所以水面四边形EFGH 的面积在变化，所以B 错误，容器底面一边BC 固定在底面上时，BC ‖FG ‖A 1D 1，所以由线面平行的判定定理可知，棱A 1D 1始终与水面四边形EFGH 平行，所以C 正确，如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值ℎ，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度a ，设BF =ℎ−a ，则AE =ℎ+a ，所以BF +AE =ℎ−a +ℎ+a =2ℎ为定值，所以当E ∈AA 1，F ∈BB 1时， AE +BF 是定值，所以D 正确，故选：ACD11、已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M 、N ，若线段MN 的最小值为√6，则（ ）A ．正四面体的棱长为6B ．正四面体的内切球的表面积为6πC ．正四面体的外接球的体积为8√6πD ．线段MN 的最大值为2√6答案：ABD分析：设这个四面体的棱长为a ，利用分割补形法求出其外接球的半径，由等体积法求其内切球半径，再由已知列式求解a ，然后逐个分析判断即可设这个四面体的棱长为a ，则此四面体可看作棱长为√22a 的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，设外接球的半径为R ，内切球的半径为r ，则 11ABB A 11ABB A 11ABB A2R=√3×(√22a)2=√62a，所以R=√64a，四面体的高为ℎ=√a2−(√33a)2=√63a，则等体积法可得1 3Sℎ=4×13Sr，所以r=14ℎ=√612a，由题意得R−r=√6，所以√64a−√612a=√6，解得a=6所以A正确，所以R=√64×6=3√62，所以外接球的体积为43πR3=43π⋅(3√62)3=27√6π，所以C错误，因为内切球半径为r=√612×6=√62，所以内切球的表面积为4πr2=4π⋅(√62)2=6π，所以B正确，线段MN的最大值为R+r=3√62+√62=2√6，所以D正确，故选：ABD12、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（）A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD答案：ABD分析：由PA⊥矩形ABCD，得PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确．解：∵PA⊥矩形ABCD，BD⊂矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正确．若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴由三垂线定理得PB⊥BC，故A正确；故选：ABD．13、(多选题)下列命题中，错误的结论有（）A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行答案：AC分析：由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；对于选项B：由等角定理可知B正确；对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B，C1D1⊥C1B，但是∠A1D1C1=π2，∠A1BC1=π3，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.故选：AC.填空题，则这个圆锥的底面半径为______.14、已知圆锥的表面积为28π，其侧面展开扇形的圆心角大小为π3答案：2分析：根据圆锥展开图的特征列出关于半径r，母线长l的方程组，解出即可.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意，有πrl+πr2=28π①，由于侧面展开扇形的圆心角大小为π，3l=2πr，即l=6r②，所以π3由①②得l=12，r=2，即圆锥的底面半径为2，所以答案是：2.15、如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高ℎ=_______cm．答案：8解析：根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可.解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径r =4，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积所以12×43π×43=13×(π×42)ℎ⇒ℎ=8 所以答案是：816、如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为上一点，若PA//平面EBF ，则PF FC =_______答案：12##0.5分析：连接AC 交BE 于点M ，连接，由线面平行的性质得线线平行，由平行线性得结论．连接AC 交BE 于点M ，连接，PC FM FM∵PA//平面EBF ，PA ⊂平面，平面PAC ∩平面EBF =EM ，∴PA//EM ，又AE//BC ，∴PF FC =AM MC =AE BC =12. 所以答案是：12． 解答题17、已知四边形ABCD ，∠ABC =∠CAD =90°，AB =BC =√22AD ，将△ABC 沿AC 翻折至.（Ⅰ）若PA =PD ，求证：AP ⊥CD ；（Ⅱ）若二面角P −AC −D 的余弦值为−14，求PD 与面所成角的正弦值.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√10514. 分析：（Ⅰ）由平面几何的性质可得；（Ⅱ）作出二面角P −AC −D 的平面角，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦.（Ⅰ）取CD 的中点E ，连接，PEPAC PAC△PACAE不妨设AD =2，则AB =BC =√2，即AP =PC =√2因为∠ABC =∠CAD =90°，所以AC =2，则AE ⊥CD,CD =2√2，又因为PC =PD =PA =√2，所以P,E 重合，则AP ⊥CD .（Ⅱ）取AC 的中点O ，连接PO ，OE ，PE ，不妨设AD =2，则AB =BC =√2，即AP =PC =√2因为∠ABC =∠CAD =90°，则，又因为O 为AC 中点，E 为CD 的中点，则OE//AD ，所以OE ⊥AC ，所以∠POE 为二面角P −AC −D 的平面角.因此以点O 为坐标原点，以OA ，OE ，Oz 分别为x ，y ，z 轴建空间直角坐标系如图：A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (−1,0,0)，P (0,−14,√154) 设面的法向量为n ⃗ =(x,y,z )，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−14,√154)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−94,√154) 则{2x =0−14y +√154z =0，所以x =0，令y =√15，则z =1， 所以面的一个法向量为n ⃗ =(0,√15,1)，设PD 与面所成的角为θ，则sinθ=|n →⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n →||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√10514. 18、如图所示，已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形.PO ACPAC PAC PAC（1）证明：平面AB1C//平面A1C1D；（2）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面A1C1D？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）存在；在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP.解析：（1）由棱柱ABCD−A1B1C1D1的性质知，AB1//DC1，得到AB1//平面A1C1D，同理可得B1C//平面A1C1D，再利用面面垂直的判定定理.（2）易知四边形A1B1CD为平行四边形，A1D//B1C，在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，则四边形BB1CP为平行四边形，得到BP//A1D，再利用线面平行的判定定理证明.（1）由棱柱ABCD−A1B1C1D1的性质可知，AB1//DC1，∵AB1⊄平面DA1C1，DC1⊂平面A1C1D，∴AB1//平面A1C1D，同理可证B1C//平面A1C1D，而AB1∩B1C=B1，AB1、B1C⊂平面AB1C，∴平面AB1C//平面A1C1D；（2）存在这样的点P，使BP//平面A1C1D，∵A1B1//CD,A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D//B1C，如图所示：在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，∵B1B//C1C，B1B=C1C，∴B1B//C1P,B1B=C1P，∴四边形BB1CP为平行四边形，则BP//B1C,BP=B1C，∴BP//A1D，又BP⊄平面A1C1DA1D⊂平面A1C1D，∴BP//平面A1C1D.小提示：方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（3）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．。
高中正方体知识点归纳总结
高中正方体知识点归纳总结一、正方体的定义和性质正方体是一种六个面都是正方形的立体图形，每条边都相等，每个内角是90度。
正方体具有以下特性：1. 六个面都是正方形，每个面都有四条边和四个顶点，每个面都是相等的。
2. 每个内角都是90度，因此正方体的六个内角是直角。
3. 每条边相等，正方体是一种等边立方体，具有对称性。
二、正方体的表面积和体积计算1. 表面积的计算正方体的表面积等于六个正方形面积的总和。
每个正方形的面积等于边长的平方，因此正方体的表面积等于6倍的边长的平方。
表面积=6a^2其中，a代表正方体的边长。
2. 体积的计算正方体的体积等于底面积乘以高。
因为正方体的底面积是正方形的面积，等于边长的平方，所以正方体的体积等于边长的立方。
体积=a^3其中，a代表正方体的边长。
三、利用正方体的性质解决实际问题正方体的表面积和体积在实际问题中经常用到，例如建筑工程、材料焊接、装箱等方面。
通过利用正方体的性质和计算公式，可以帮助解决实际问题，提高工作效率。
1. 建筑工程在建筑工程中，使用正方体的表面积和体积来计算建筑材料的用量，例如瓷砖的铺贴、油漆的刷涂等。
通过精确计算，可以减少材料的浪费，达到节约成本的效果。
2. 材料焊接在工业生产中，常常需要对金属材料进行焊接。
通过计算正方体的表面积和体积，可以精确确定焊接面积和焊接材料的使用量，提高焊接质量和效率。
3. 装箱在物流运输中，如何合理地进行装箱是一个重要的问题。
通过计算正方体的表面积和体积，可以确定最佳的装箱尺寸和容量，提高运输效率。
四、正方体的立体图形正方体的立体图形是一个重要的几何学习内容，通过绘制和观察正方体的立体图形，可以加深对正方体的理解，并为解决相关问题提供直观的帮助。
1. 正方体的投影正方体在不同角度下的投影对应不同的几何图形，例如正方体在平面上的正投影、侧投影、俯视图、沿面视图等。
通过观察和描绘正方体的投影，可以帮助理解正方体的空间结构和形状特点。
正方体的性质与特点解析
正方体的性质与特点解析正方体是指所有的边长相等的立方体。
它是一种简单而特殊的立体几何体，具有一些独特的性质与特点。
本文将对正方体的性质与特点进行详细解析。
一、定义与基本性质正方体是指所有的边长相等的立方体，它由六个正方形的面组成。
由于正方体的六个面都相等且互相平行，因此它是一种对称的立体，具有以下基本性质：1. 六个面积相等：正方体的六个面积相等，每个面的面积为边长的平方。
2. 所有边长相等：正方体的六条边都相等，记为a。
3. 所有面对面的角度相等：正方体的任意两个相对的面之间夹角为90度。
4. 所有顶点具有相同的度数：正方体的每个顶点都被三条边所围绕，因此每个顶点的度数为3。
二、体积与表面积正方体的体积和表面积是其重要的几何指标，可以通过边长来计算。
1. 体积：正方体的体积表示正方体所占的空间大小，可以用公式V = a³来计算，其中V表示体积，a表示边长。
由于正方体的边长都相等，因此体积公式可以简化为V = a³。
2. 表面积：正方体的表面积表示正方体外部各个面的总面积，可以用公式S = 6a²来计算，其中S表示表面积，a表示边长。
由于正方体的六个面积相等，因此表面积公式可以简化为S = 6a²。
三、对角线与空间对角线正方体的对角线是连接两个相对顶点的线段，正方体有四条对角线：1. 面对面的对角线：连接正方体相对的两个面对面的顶点，长度为边长的根号2，记为d₁。
2. 面对角线：连接正方体相对面上的两个顶点，长度为边长的根号3，记为d₂。
3. 体对角线：连接正方体相对的两个顶点，长度为边长的根号4，即边长的2倍，记为d₃。
四、正方体的对称性质正方体具有多重对称性，其中最常见的有以下几种：1. 面对称：正方体的每个面都具有面对称性，即以中心点为对称中心，可以将面上的任意一条线段对折，使得两边完全重合。
2. 对角线对称：正方体还具有对角线的对称性，以任意一条对角线为中轴线，可以将正方体分成两个完全对称的部分。
正方体的六个知识点总结
正方体的六个知识点总结知识点一：定义与特征正方体是一种特殊的六面体，它的六个面都是正方形，每个面都与其他三个面互相垂直，并且具有相同的边长。
因此，正方体具有六个面、八个顶点和12条棱。
其中，每个顶点由三条棱围成，每条边都连接两个顶点，每个面都由四条边组成。
知识点二：性质与公式正方体具有一些特殊的性质和公式。
首先，它的六个面积相等，每个面的面积为边长的平方。
其次，正方体的体积等于边长的立方，即V=a^3，其中V表示体积，a表示边长。
此外，正方体的对角线长度为a√3，其中a表示边长；表面积等于6a^2，其中a表示边长。
知识点三：正方体的应用正方体在生活中和工程领域都有广泛的应用。
在建筑设计和制造中，正方体常被用来设计建筑物的结构和立面。
在数学教学中，正方体也常被用来教授几何学知识，帮助学生理解立体几何的概念。
此外，正方体还常被用来制作玩具、家具和其他日常用品。
知识点四：表面积与体积的计算表面积和体积是正方体的两个重要特征。
计算正方体的表面积可以使用公式S=6a^2，其中S表示表面积，a表示边长。
计算正方体的体积可以使用公式V=a^3，其中V表示体积，a表示边长。
这些公式可以帮助我们快速准确地计算正方体的表面积和体积。
知识点五：正方体的相关概念正方体还与一些相关概念有密切的联系，例如立方体、长方体和晶体等。
立方体是一种特殊的正方体，其六个面都是正方形。
长方体是一种长方形的立方体，其六个面中有两对相等的矩形面。
晶体是指由原子、离子或分子按一定的规律排列组合而成的固体结晶物质，其晶体结构中也包括立方体结构。
知识点六：正方体的性质研究正方体的性质研究主要包括表面积、体积、对角线长度、棱长等方面。
通过对正方体的性质进行研究，可以深入理解其特点和特性，进而应用于数学、物理、工程等领域，为相关领域的发展和应用提供重要的基础。
总结：正方体是一种特殊的六面体，具有六个面、八个顶点和12条棱。
它的性质和公式包括表面积、体积、对角线长度等。
几何正方体知识点总结
几何正方体知识点总结介绍几何正方体是一种立体图形，其表面由六个正方形组成，每个正方体的边都相等，每个角都是直角。
正方体是一种非常基本的几何体，具有广泛的应用，例如建筑、工程和设计等领域。
本文将总结几何正方体的基本知识点，包括定义、性质、公式和一些相关的例题和解析。
定义几何正方体是一个有六个相等正方形面的立体，这六个面周围都有相等的边，每个角都是直角的立体。
正方体的六个面可以分别用ABCDEF来表示，相对的面有相等的边，因此AB=CD=EF，AD=BC=EF。
正方体的八个顶点可以用ABCDEFGH来表示，相邻顶点之间的距离相等。
性质1. 正方体的每个面都是正方形，因此具有相等的边和直角的性质。
2. 正方体的对角线相等，即AC=BD=EG=FH=√3×边长。
3. 正方体的表面积S=6×边长的平方，体积V=边长的立方。
4. 正方体的对角线平分正方体的体对角线，两者的长度比为1：√3。
5. 正方体的顶点、边、面的数量分别为8、12、6。
公式1. 正方体的表面积公式S=6×a^2其中a为边长。
2. 正方体的体积公式V=a^3其中a为边长。
3. 正方体的对角线长度d=√3×a其中a为边长。
例题与解析1. 若正方体的体积为64cm³，求它的边长和表面积。
解：已知V=64cm³，由V=a³可以得到a=4cm，带入S=6×a²和S=96cm²，可以得到正方体的表面积为96cm²。
2. 若正方体的体对角线长为12cm，求它的表面积。
解：已知d=12cm，由d=√3×a可以得到a=4√3cm，带入S=6×a²可以得到正方体的表面积为96cm²。
结论几何正方体是一种非常基本的几何体，具有丰富的性质和应用。
通过本文的总结，我们了解了正方体的定义、性质、公式和一些例题的解析，希望对大家有所帮助。
正方体几何知识点总结
正方体几何知识点总结一、定义正方体是一种具有6个面、8个顶点和12条棱的空间立体图形，每个面都是正方形，且各个面相对的面平行且相等。
正方体为一种特殊的立方体，具有独特的性质和几何特征。
二、性质1. 正方体的特征正方体的特征包括6个面、8个顶点和12条棱。
每个面都是正方形，且各个面相对的面平行且相等。
2. 对角线正方体的对角线有4条，分别是空间对角线、面对角对角线、棱对角线和顶点对角对角线。
其中，空间对角线连接正方体的两个相对的顶点，面对角对角线连接正方体的两个相对的面的对角点，棱对角线连接正方体两个相邻的棱的对角点，顶点对角对角线连接正方体的两个相对的顶点。
3. 三视图在三维空间中，可以用正方体的三视图来描述其形状和特征。
正方体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图，可以帮助我们更直观地了解正方体的形态和结构。
4. 对称性正方体具有多种对称性，包括旋转对称、轴对称和面对称。
在正方体中，可以找到多个旋转中心，每个面对称轴和多个对角面对称轴。
5. 空间角度正方体的每个面的所有内角均为90度，因此正方体内部的空间角度为90度。
6. 体对角线正方体的体对角线可以通过勾股定理求得，即体对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号3。
三、表面积和体积计算1. 表面积正方体的表面积等于6倍一个面的面积，即6a^2，其中a为正方体的边长。
2. 体积正方体的体积等于一个面的面积与其高的乘积，即a^3，其中a为正方体的边长。
四、正方体的相关定理1. 正方体的体对角线长度正方体的体对角线长度可以通过勾股定理求得，即体对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号3。
2. 正方体的空间对角线长度正方体的空间对角线长度可以通过勾股定理求得，即空间对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号2。
3. 正方体的面对角线长度正方体的面对角线长度可以通过勾股定理求得，即面对角线的长度等于棱长的平方根乘以根号2。
五、正方体的相关定理证明1. 正方体的体对角线长度定理证明正方体的体对角线长度可以通过利用直角三角形的勾股定理求得。
高考数学复习点拨 活跃在高考中的正方体问题
活跃在高考中的正方体问题正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中许多概念、定理都可以用正方体的点、线、面的关系说明，因此正方体有“百宝箱”的美称．故也成为考查立体几何知识的主要载体，下面加以分类说明．一、探求正方体的截面问题作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出交线．例1 正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R ，，分别是11AB AD B C ，，的中点．那么，正方体的过P Q R ，，的截面图形是（ ）Ａ．三角形 Ｂ．四边形 Ｃ．五边形 Ｄ．六边形解析：如图1，设11C D 的中点是S ，则P Q R S ∥，所以S 在平面PQR 上，容易看出平面PQR 与11BB DD ，都有交点（由对称性可知这两个交点分别是11BB DD ，的中点），所以P Q R ，，的截面图形是六边形，选（Ｄ）．点评：正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形这四种图形，特别要注意以下几个结论：①当截面是三角形时，必然是锐角三角形；②当截面是四边形时，可以是正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形，一定是至少一组对边平行，但不可能是直角梯形；③当截面是五边形时，不可能是正五边形；④当截面是六边形时，可以是正六边形．二、求解正方体中有关元素间的距离例2 如图2，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ） Ａ．12解析：取11B C 的中点M ，连结1B C 交1BC 于O '，取1O C '的中点N ，连结MN ，则1MN BC ⊥，又在正方体1111ABCD A B C D -中OM 平行于平面11ABC D ．则O 到平面11ABC D 距离转化为M 到平面11ABC D的距离，即MN =． 点评：立体几何中“点面距离”其解法有：①直接法，②转化为“线面距离”，③运用“等积法”求解．本题转化为“线面距离”求解．三、以正方体为载体考查线面的位置关系例3 在正方体ABCD A B C D ''''-中，过对角线BD '的一个平面交AA '于E ，交CC '于F ，则① 四边形BFDE'一定是平行四边形； ② 四边形BFDE'有可能是正方形； ③ 四边形BFDE'在底面ABCD 内的的投影一定是正方形； ④ 四边形BFDE'有可能垂直于平面BB D '． 以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）解析：如图3，①平面BFDE '与相对侧面相交，交线互相平行，∴四边形BFDE'一定是平行四边形， ②四边形BFDE'若是正方形，则BE ED '⊥，又AD EB ⊥， BE ⊥∴平面ADDA '，这与实际产生矛盾；③四边形BFDE'在底面ABCD 内的投影是正方形ABCD ； ④当E F ，分别是AA CC ''，的中点时，EF AC ∥．又AC ⊥平面BB D '，∴四边形BFDE'有可能垂直于平面BB D '， 故填①③④．点评：本题是多选题，是近年高考填空题的热点题型．它弥补了数学选择题是单选题的 缺陷，有时也在选择题中以多选组合型给出．此类题应逐一判断真假，不能多选，也不能少选．。
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高考立体几何精髓-正方体
一、基础知识：
㈠11种展开图
（二）用一个平面截正方体。
可得到以下三角形、矩形、正方形、五边形、六边形、正六边形、菱形、梯形。
具体做法：
三角形——过一个顶点与相对的面的对角线以内的范围内的线。
矩形——过两条相对的棱或一条棱。
正方形——平行于一个面
五边形——过四条棱上的点和一个顶点或五条棱上的点。
六边形——过六条棱上的点。
正六边形——过六条棱的中点。
菱形——过相对顶点。
梯形——过相对两个面上平行不等长的线。
二、技巧应用
①利用正方体构造反例判断命题的真假.
【例１】已知a，b，c是直线，是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，则b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥，b，
则a∥b；④若a与b异面，且a∥，则b与相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直.其中真命题的个数是（）.
Ａ. １Ｂ. ２Ｃ. ３Ｄ. ４
解：构造如图１所示的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１.对①选ＡＢ为a，ＢＣ为b，ＣＣ１为c，显然a不平行于c，所以①不正确；②显然正确；对③选
ＡB为a，平面ＣＣ１Ｄ１Ｄ为，ＣＣ１为b，a与b不平行，所以③不正确；
对④选ＡＢ为a，Ｂ１Ｃ１为b，过ＡＡ１中点且垂直于ＡＡ１的平面为，显然
a、b都与平行，所以④不正确；对⑤所有平行于a、b的公垂线的直线（有无数
条）都与a、b垂直，所以⑤不正确；故选Ａ.
②将复杂的点、线、面关系置于正方体中解题
【例2】ＭＮ是两条互相垂直的异面直线a，b的公垂线段，点Ｐ是线段ＭＮ上除Ｍ，Ｎ外一动点，若点Ａ是a上不同于公垂线垂足的一点，点Ｂ是b上不同
于公垂线垂足的一点，则△ＡＰＢ是（）.
Ａ. 锐角三角形
Ｂ. 钝角三角形
Ｃ. 直角三角形
Ｄ. 以上均有可能
解：如图２，把异面直线a，b，及公垂线段ＭＮ置于正方体中，
则ＡＰ２＝ＡＭ２＋ＭＰ２，ＢＰ２＝ＢＮ２＋ＮＰ２，
ＡＢ２＝ＢＮ２＋ＡＮ２＝ＢＮ２＋ＡＭ２＋ＭＮ２，
∴ＡＰ２＋ＢＰ２－ＡＢ２＝ＭＰ２＋ＰＮ２－ＭＮ２＝ＭＰ２＋ＰＮ２－（ＭＰ＋ＰＮ）２＝－２ＭＰ·ＰＮ<0.
∴△ＡＰＢ为钝角三角形，故选Ｂ.
【点评】当点、线面关系比较复杂时，可以寻找一个载体（如正方体），将它
们置于其中，这是解题的很好途径。
③将正四面体补成正方体
例1 （2006年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E 为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三
棱锥P—DCE的外接球的体积为（）
A. B.
C. D.
解析：根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体，且棱长为1。
以此正四面体来构造正方体，使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线，如图2。
则正方体的棱长为
，正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为。
又正方体的外接球也为正四
面体的外接球，所以外接球的半径为。
所以，
故选C。
④。
、将三棱锥补成正方体
例2 （2006年全国I卷）如图3，l1、l2是相互垂直的异面直线，
MN是它们的公垂线段。
点A、B在l1上，AM=MB=MN。
（I）证明AC⊥NB；
（II）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。
解析：（I）证明略。
（II）由（I）及∠ACB=60°，可知NA、NB、NC两两垂直且
相等，故可将三棱锥C—ABN补成正方体NASB—CQPR，如图4
所示。
连结PN，由RN⊥BC，知PN⊥BC。
同理，PN⊥AC。
所以PN⊥平面ABC。
设垂足为O，则∠OBN就是NB与平面ABC所成角。
设正方体棱长为1，则
由sin∠OBN，得cos∠OBN=
⑤、将三棱柱补成正方体
例3 （2006年全国II卷）如图5，在直三棱柱中，AB=BC，D、E分
别为BB1、AC1的中点。
（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（II）设AA1=AC=，求二面角A1—AD—C1的大小。
解析：（1）证明略。
（2）由题设AA1=AC=，可知为正方形，∠ABC=90°。
将棱柱补成正方体，如图6所示。
易知所求二面角恰是二面角
的一半。
作正方体的截面。
由图知
，，所以。
同理，。
于是∠是二面角的平面角的补角。
而△是正三角形，
∠=60°，故二面角为120°，从而二面角是60°。
⑥. 将四棱柱体特殊化为正方体解题
【例3】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα=.
解：∵本题为填空题，∴不妨设正四棱柱为一个正方体，而在正方体中与各个面所成角都相等的直线是体对角线，如图3，即图中∠ＣＡ１Ｄ是所求的α.若令正方体棱长为
１，则Ａ１Ｄ＝，Ａ１Ｃ＝，
【点评】用特殊化思想是解决本题的捷径.
⑦、由共点且两两垂直的三条相等线段构造正方体
例4 （2001年高考题）如图7，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90o，
SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。
（I）求四棱锥S—ABCD的体积；
（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
解析：延长AD到E，使DE=AD，以AE、AB、AS为棱构造正方体，如图8所示。
则有：
图8
（I）
（II）延长CD、BA相交于F，连结SF，易知SF//AB'。
又可知AB'⊥面CBS，所以SF⊥面SBC，故∠BSC为面SCD与面SBA所成的角。
在直角△SBC中，SB=从而tan∠BSC=
⑧、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体
例5 （2002年高考题）如图9，正方形ABCD、ABEF的边长
都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。
点M在AC上移动，
点N在BF上移动，若CM=BN=a（0<a<）。
（I）求MN的长；
（II）当a为何值时，MN的长最小；
（III）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。
解析：（I）与（II）略。
（III）以正方形ABCD、ABEF为相邻面构造正方体如图10所示，面MNA与面MNB 所成的角，即面ACE与面CF'E所成的角的补角（因为面MNB//面CF'E）。
在正四面体ACEF'中，易求相邻面所成的二面角的余弦为。
所以二面角A—MN—B的平面角为。