新人教版高中数学必修第一册：章末双测滚动验收达标(五) 三角函数

章末双测滚动验收达标（五） 三角函数
A 卷——学考合格性考试滚动检测卷 (时间：100分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 由tan α＜0，cos α＜0， ∴角α的终边在第二象限．
2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( ) A ．－
3
2
B ．
32 C ．－12
D ．12
解析：选D sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°＋cos(180°＋45°)sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12
.
3．已知角A 为△ABC 的内角，cos A ＝－4
5，则sin 2A ＝( )
A ．－
2425
B ．－1225
C ．1225
D ．2425
解析：选A ∵角A 为△ABC 的内角，∴0＜A ＜π， ∴sin A ＝
1－cos 2A ＝
1－⎝⎛⎭⎫－452
＝35
， ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425
. 4．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋
1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )
A ．M ＝N
B ．M
N
C ．N
M
D ．M ∩N ＝∅
解析：选B 因为log 2x ＋log 2(x －1)＝1，即log 2[x (x －1)]＝log 22，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞1，所以x ＝2，即M ＝{2}.22x ＋1－9·2x ＋4＝0，即2·(2x )2－9·2x ＋4＝0，解得2x ＝4或2x ＝1
2
，所以x ＝2或x ＝－1，即N ＝{－1，2}．所以M
N ，故选B.
5．函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫x －1
x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )
解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭
⎫x －1
x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A 、B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1
π
－π<0，排除选项C ，故选D. 6．如果指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．1＜a ＜2
D ．0＜a ＜1
解析：选C 由题意知0＜a －1＜1，即1＜a ＜2. 7．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π
2，2k π＋π(k ∈Z )
B.⎣
⎡⎦⎤2k π，2k π＋π
2(k ∈Z )
C.⎣
⎡⎦
⎤
2k π＋π，2k π＋
3π2(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦
⎤2k π＋3π
2，2k π＋2π(k ∈Z )
解析：选A 由y ＝sin x 是减函数得2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，由y ＝cos x 是减函
数得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，所以2k π＋π
2
≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选A.
8．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－4
3
B ．43
C ．34
D ．－34
解析：选B 易知sin θ ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－4
3.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43
. 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫
12|x |＋1
的值域是( )
A ．(0，＋∞)
B ．⎝⎛⎦⎤0，1
2 C ．(－∞，2]
D ．⎣⎡⎦⎤12，2
解析：选B |x |＋1≥1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x
是减函数，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1
的值域为⎝⎛⎦
⎤0，1
2. 10．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝1
4，则tan α的值等于( )
A.2
2
B.33
C. 2
D. 3
解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝1
4，
∴sin 2α＋(cos 2α－sin 2α)＝14，即cos 2α＝1
4.
又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1
2，则α＝π3，
∴tan α＝tan π
3
＝ 3.
11．函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －3
4π是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为
π
2
的奇函数 D ．最小正周期为π
2
的偶函数
解析：选A 因为y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3
2π＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.
12．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－
32 B.3
2
C ．－12＋ 3 D.1
2
＋ 3
解析：选B sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－
3
2
， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝
3
2
. 13．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π
10个单位长度，再把各点的横坐标伸
长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －
π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
5
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫1
2x －π10
D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π
20
解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π10的图象，再
将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －π10的图象．
14．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )f (n )＜0，则f (x )在[m ，n ]上( ) A ．有三个零点 B ．至少有两个零点 C ．有两个零点
D ．有且只有一个零点
解析：选D ∵f (x )在R 上是减函数，且f (m )f (n )＜0，∴f (x )在[m ，n ]上有且只有一个零点．
15．已知A ＋B ＝π
3，则tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝( )
A ．－2 3
B ．2 3
C ．0
D ．1－ 3
解析：选C ∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝0.
16．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0
B ．a ＜0
C ．0＜a ≤1
3
D ．a ≥1
解析：选D 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x
＋3图象的对称轴方程为x ＝1
a
，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a ≤1，
解
得a ≥1.故选D.
17．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝⎛⎭⎫π
6＝( )
A ．2或0
B ．0
C ．－2或0
D ．－2或2
解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π
3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝±2，故选D.
18．函数y ＝sin x
2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中
心是( )
A ．(0，0)
B ．(π，0)
C ．⎝⎛⎭
⎫π
2，0
D ．⎝⎛⎭
⎫－π
2，0
解析：选B 函数y ＝sin x
2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝
sin ⎣⎡⎦⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋π2＝cos 1
2x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 19．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α
＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝( )
A ．－
7
17
B ．
717 C ．512
D ．－
512
解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2α
cos 2α＝2，
所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α
＝2，
即
sin αcos α－sin α＝tan α
1－tan α
＝2，所以tan α＝2
3，
所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×2
31－⎝⎛⎭
⎫
232＝12
5， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π
4
－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－
1251＋125＝－7
17，
故选A.
20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π
2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为
P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭
⎫π
3的值为( ) A ．1 B.
22 C.12 D.3
2 解析：选C 由题意，得T 4＝5π12－π
6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将
点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又
|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选
C.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中的横线上) 21．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．
解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－3
2，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝
2tan θ
1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭
⎫－321－⎝⎛⎭
⎫
－322＝12
5. 答案：
125
22．方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1的解为________．
解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.
答案：x ＝0
23．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎫
3x ＋
π4，x ∈R 的单调增区间是________． 解析：令－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，解得2k π3－π4≤x ≤π12＋2k π
3，k ∈Z.
答案：⎣⎡⎦⎤
2k π3－π4，π12＋2k π3(k ∈Z )
24．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，
log 1
2
（－x ），x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是
________________．
解析：由f (a )＞f (－a )得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞0，
log 2a ＞log 1
2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 1
2（－a ）＞log 2（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ）.解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 25．已知
tan αtan ⎝
⎛⎭⎫α＋π
4＝－2
3，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．
解析：法一：由
tan α
tan ⎝ ⎛⎭⎪
⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1
＝－2
3，解得tan α＝2或－
1
3
. sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝2
2(sin 2α＋cos 2α)
＝
2
2
(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－
22
＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1
－22， 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.
法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
α＋π4＝－2
3，
∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－2
3cos αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4.①
又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝2
2，②
由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－2
5，
cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝32
10.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4
＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2
10.
答案：
210
三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
26．(本小题满分8分)已知sin α＝3
5，且α为第二象限角．
(1)求sin 2α的值；(2)求tan ⎝
⎛⎭
⎫
α＋
π4的值． 解：(1)因为sin α＝3
5，且α为第二象限角，
所以cos α＝－
1－sin 2α＝－4
5
，
故sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. (2)由(1)知tan α＝
sin α
cos α＝－3
4，
故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋π4＝tan α＋tan
π
4
1－tan αtan
π4
＝1－3
41＋34＝17
.
27．(本小题满分8分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期
为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )
的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
16上的最小值．
解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cos
ωx ＋cos 2ωx ＝sin
ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋
1
2
cos 2ωx ＋12＝2
2
sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. ∵ω＞0，依题意得
2π
2ω
＝π，∴ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝
22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由题意，知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π
2
， ∴
2
2≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋π4≤1，∴1≤g (x )≤1＋22. 故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π16上的最小值为1.
28．(本小题满分9分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（4a ＋1）x －8a ＋4，x ＜1，
log a
x ，x ≥1.
(1)当a ＝1
2
时，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1
2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ＜1，log 12
x ，x ≥1.
当x ＜1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数， 所以f (x )＞f (1)＝－2；
当x ≥1时，f (x )＝log 12
x 是减函数，
所以f (x )≤f (1)＝0， 综上，函数f (x )的值域是R .
(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，
则⎩⎨⎧4a ＋1
2
≥1，0＜a ＜1，
12
－（4a ＋1）－8a ＋4≥log a
1.
解得14≤a ≤13
，
故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13.
B 卷——应试等级性考试滚动检测卷 (时间：120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知θ是与－11π4终边相同的角，则使|θ|最小的角θ为( )
A ．－
3π
4
B ．－π4
C ．π4
D ．
3π4
解析：选A 因为－11π4＝－2π－3
4π，所以选A.
2．已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜1} B ．A ∪B ＝R
C ．A ∪B ＝{x |x ＜2}
D ．A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}
解析：选D ∵x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3，∴B ＝{x |－2＜x ＜3}，∴A ∪B ＝{x |x ＜3}，A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}，故选D.
3．已知sin θ＝4
5，sin θcos θ＜0，则sin 2θ＝( )
A ．－
24
25
B ．－1225
C ．－45
D ．2425
解析：选A ∵sin θ＝4
5＞0，sin θcos θ＜0，∴cos θ＜0.∴cos θ＝－
1－sin 2θ＝
－35.∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425
.
4．下列函数中，图象关于y 轴对称的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝x C ．y ＝x |x |
D ．y ＝x －4
3
解析：选D 因为y ＝x －43＝1
3
x 4是偶函数，所以其图象关于y 轴对称．
5．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π
4，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭
⎫k π2＋π
4，0(k ∈Z )
D ．(k π，0)(k ∈Z )
解析：选B 令2x ＝k π2(k ∈Z)，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan 2x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π4，0(k ∈Z)，故选B.
6．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋x －2，则f (0)＋f (1)＝( ) A ．1 B ．3 C ．－3
D ．－1
解析：选A 由于函数f (x )为奇函数，故f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－2)＝1，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝1.故选A.
7．函数ƒ(x )＝sin x cos x ＋3
2
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1
D ．2π，2
解析：选A ƒ(x )＝12sin 2x ＋3
2cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以振幅为1，最小正周期为T
＝2πω＝2π
2
＝π，故选A. 8．化简：cos 20°1－cos 40°
cos 50°的值为( )
A.12
B.22
C. 2
D.2
解析：选B 依题意得
cos 20°1－cos 40°cos 50°＝cos 20°2sin 220°
cos 50°
＝2sin 20°cos 20°cos 50°＝22sin 40°cos 50°＝2
2sin 40°
sin 40°＝2
2
.
9．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选C 由题意可知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．由函数零点的定义可知，f (x )在(0，＋∞)内的零点即方程|x －2|－ln x ＝0的根．令y 1＝|x －2|，y 2＝ln x (x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图
象，如图所示．由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即函数f (x )有两个零点．
10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2＜α＜π2，－π
2
＜β＜π
2
，则α＋β的值为( ) A ．π3
B ．－
2π
3 C ．π3或－2π3
D ．－
π3或2π3
解析：选B 由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α＜0，tan β＜0.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－33
1－4
＝ 3.
又∵－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π
2
，且tan α＜0，tan β＜0，
∴－π＜α＋β＜0，∴ α＋β＝－2π
3
.
11．若将函数f (x )＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g (x )
的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )
A.⎣
⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π
4(k ∈Z )
B.⎣
⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π
4(k ∈Z )
C.⎣
⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π
6(k ∈Z )
D.⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z )
解析：选A 将函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2图象上的每一点都向左平移π3个单位长度，得到
函数g (x )＝
12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝12sin(2x ＋π)＝－1
2sin 2x 的图象，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z)，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，因此函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )，
故选A.
12.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P (x ，y )．若初始位置为P 0
⎝⎛⎭
⎫32，12，当秒针从P 0
(注：此时t ＝
0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式可以是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π
6
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－
π60t －π6
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫－π30t ＋π
6
D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫－π30t －π
3
解析：选C 由题意知，函数的周期为T ＝60， ∴|ω|＝2π60＝π
30
.
设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
±π30t ＋φ.
∵初始位置为P 0
⎝⎛⎭
⎫32，12，
∴t ＝0时，y ＝12，∴sin φ＝1
2，∴φ可取π6
，
∴函数解析式可以是y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
±π30t ＋π6.
又由秒针顺时针转动可知，y 的值从t ＝0开始要先逐渐减小，
故y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π30t ＋π6.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝
20100π180
＝36
π， ∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360
π.
答案：
360π
14．函数y ＝
2cos ⎝
⎛⎭⎫πx －π
3－1的定义域为________．
解析：由2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
πx －π3－1≥0，得
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π3≥12，进而－π3＋2k π≤πx －π3≤π3＋2k π(k ∈Z)，解得2k ≤x ≤2
3＋2k (k ∈Z)．
答案：⎣⎡⎦
⎤2k ，2
3＋2k (k ∈Z ) 15．已知函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)满足f (1)>1，若函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，则a 的取值范围是________．
解析：∵f (1)>1，∴a －1>1，即a >2.∵函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，∴g (0)＝a 1－1－4≤0，∴a ≤5，∴a 的取值范围是(2，5]．
答案：(2，5]
16．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值
为________．
解析：因为0≤x ≤2，所以π4≤ωx ＋π4≤2ω＋π4，要使函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ωx ＋π4(ω>0)的图
象在[0，2]上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得2ω＋π4≥9π2，解得ω≥17π
8，即
ω的最小值为17π
8.
答案：17π
8
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35
，－45. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角 β满足sin(α＋β)＝
5
13
，求cos β的值． 解：(1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝4
5
.
(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±12
13.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝16
65
.
18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝4＋x 2
4－x 2.
(1)求f (x )的定义域，并判断f (x )的奇偶性； (2)求证：f ⎝⎛⎭⎫
2x ＝－f (2x )．
解：(1)要使原函数有意义，只需4－x 2≠0，即x ≠±2， 所以f (x )的定义域为{x |x ≠±2}．
因为f (x )的定义域为{x |x ≠±2}，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4＋（－x ）24－（－x ）2＝4＋x 24－x 2
＝f (x )，所以f (x )为偶函数．
(2)证明：因为f ⎝⎛⎭⎫2x ＝4＋⎝⎛⎭⎫2x 2
4－⎝⎛⎭
⎫2x 2＝x 2＋1x 2－1， f (2x )＝4＋（2x ）24－（2x ）2＝1＋x 2
1－x 2，
所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＝－f (2x )．
19．(本小题满分12分)已知把函数g (x )＝2sin 2x 的图象向右平移π
6个单位长度，再向
上平移1个单位长度得到函数f (x )的图象．
(1)求f (x )的最小值及取最小值时x 的取值集合； (2)求f (x )在x ∈⎣
⎡⎦⎤0，π
2时的值域．
解：(1)由已知得f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3＋1.
当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3＝－1时，f (x )min ＝－2＋1＝－1，此时2x －π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x
＝k π－π12，k ∈Z ，故f (x )取最小值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π
12，k ∈Z .
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以－3
2≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，从而－3＋
1≤2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3＋1≤3，即f (x )的值域为[－3＋1，3]．
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝
32sin 2x －1
2
cos 2x ＋1. (1)求f (x )在[0，π]上的单调递减区间； (2)若f (α)＝2
5，α∈⎝⎛⎭⎫π3
，5π6，求sin 2α的值．
解：(1)f (x )＝32sin 2x －1
2cos 2x ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k
∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π
6
＋k π，k ∈Z ，
又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π6＋1，
又∵f (α)＝25，∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α－π6＝－3
5，
∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，5π6，∴2α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，
∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝－3
5＜0，
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
2α－π6＝－
1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫2α－π6＝－4
5.
∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6sin π6＝－35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝－33－4
10
. 21．(本小题满分12分)有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v ＝1
2log 3x 100－lg x 0，单位是km/min ，其中
x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(参考数据：lg 2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66)
(1)若x 0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，它的飞行速度是多少km/min? (2)若x 0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min ，雌鸟的飞行速度为1.5 km/min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
解：(1)将x 0＝2，x ＝8 100代入函数式可得 v ＝1
2log 381－lg 2＝2－lg 2＝2－0.30＝1.70，
故此时候鸟飞行速度为1.70 km/min. (2)将x 0＝5，v ＝0代入函数式可得 0＝1
2log 3x 100
－lg 5， 即log 3x
100＝2lg 5＝2·(1－lg 2)＝2×0.70＝1.40.
所以x
100
＝31.4＝4.66，于是x ＝466.
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．
(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟的耗氧量为x 2，依题意可得
⎩
⎨⎧2.5＝1
2log 3x 1100
－lg x 0，
1.5＝1
2log 3x 2100
－lg x 0，
两式相减可得1＝1
2log 3x 1x 2，于是x 1x 2
＝9.
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
22．(本小题满分12分)已知x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝
⎛⎭⎫ωx －π
6－sin 2ωx (ω>0)的两个相邻的零点．
(1)求f ⎝⎛⎭
⎫π
12的值；
(2)若关于x 的方程43
3f (x )－m ＝1在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值
范围．
解：(1)f (x )＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎪
⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos 2ωx ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx
＝12⎝⎛⎭
⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝
32⎝⎛⎭⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ωx ＋π3. 由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π， ∴2π
2ω＝π，∴ω＝1， 故f (x )＝
32sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝3
2
. (2)原方程可化为433×32sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＝m ＋1，
即2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3＝m ＋1，
设y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3，0≤x ≤π2，
当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x =π
12时，y 的最大值为2，
要使方程在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2上有两个不同的解，需使3≤m ＋1<2，即3－1≤m <1，所以
m ∈[3－1，1).。